定积分证明题方法总结六
定积分证明题方法总结六篇
定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。
篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1) 三角代换
2) 根幂代换
3) 倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）
8. 降幂法
二、定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
4. 等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1. 不计算积分，比较积分值的大小
1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则 >= ()dx
2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)
b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则
M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法
1) 积分估值定理
2) 放缩法
3) 柯西积分不等式
≤ %
4. 抽象函数的定积分不等式的证法
1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性
2) 积分中值定理
3) 常数变易法
4) 利用泰勒公式展开法
五、变限积分的导数方法
篇二：定积分知识点总结 1、经验总结
(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限
(2)定积分几何意义：
①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab
②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a
反数
(3)定积分的基本性质：
①kf(x)dx=kf(x)dx aabb
②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa
③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac
(4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb
①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义
’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba
篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理
●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上
存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
●分部积分法
如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分
1、定积分解决的典型问题
(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程
2、函数可积的充分条件
●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
3、定积分的若干重要性质
●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f()(b-a)。
4、关于广义积分
设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a
定积分的应用
1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)
●直角坐标系下(含参数与不含参数)
●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)
●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)
●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)
●功、水压力、引力
●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)
篇四：定积分计算方法总结一、不定积分的概念和性质
若F(x)f(x)，则f(x)dxF(x)C， C为积分常数不可丢！
性质1f(x)dxf(x)或 df(x)dxf(x)dx或
df(x)dxf(x) dx
性质2F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C
性质3[f(x)g(x)]dx
或[f(x)g(x)]dx
二、基本积分公式或直接积分法
基本积分公式 f(x)dxg(x)dx g(x)dx；kf(x)dxkf(x)dx. f(x)dx
kdxkxC
xxdx1x1C(为常数且1)1xdxlnxC ax
edxeCadxlnaC xx
cosxdxsinxCsinxdxcosxC
dxdx22tanxCsecxdxcsccos2xsin2xxdxcotxC
secxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxC
dxarctanxCarccotx
C（）1x2arcsinxC（arccosxC）
直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。
三、换元积分法：
1.第一类换元法（凑微分法）
g(x)dxf((x))(x)dxf((x))d(x)
注 (1)常见凑微分：
u(x)f(u)du[F(u)C]u(x).
111dxd(axc), xdxd(x2c),2dc), dxd(ln|x|
c) a2x1dxd(arctanx)d(arccotxd(arcsinx)d(arccosx) 1+x2
(2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况：
若被积函数为一个函数，比如：e2xdxe2x1dx，若被积函数多于两个，比如：sinxcosx1sin4xdx，要分成两类；
(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成(x)；
(4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；
2.第二类换元法
f(x)dxx(t)f((t))(t)dtf((t))(t)dtt1(x)G(t)Ct1(x) 常用代换类型:
(1) 对被积函数直接去根号;
(2) 到代换x1; t
(3) 三角代换去根号
x
atantxasect、
xasint(orxacost)
f(xdx，t
f(xx，x
asect
f(xx，xasint
f(xx，xatant f(ax)dx，ta
x
f(xx，t
三、分部积分法：uvdxudvuvvduuvuvdx.
注 (1)u的选取原则：按“反对幂三指”的顺序，谁在前谁为u，后面的为v;
(2)uvdx要比uvdx容易计算；
(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：
arcsinx1dx，
u
v
(4)多次使用分部积分法： uu求导 vv积分（t；
篇五：定积分计算方法总结一、原函数
定义1 如果对任一xI，都有
F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx
则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数。
例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。 [ln(xx2) 原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。
注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。
设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。
注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I 上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数）注3：如果F(x)为f(x)在区间I 上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。
1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。
二、不定积分
定义2 在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。
如果F(x)为f(x)的一个原函数，则
f(x)dxF(x)C，（C为任意常数）
三、不定积分的几何意义
图 5—1 设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面
上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x)．
在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定
∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C
= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C ∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C
= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - 设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则
f[(x)](x)dx[f(u)du]
公式(2-1)称为第一类换元积分公式。u(x)u(x) (2-1)
f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x)
1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb
篇六：定积分计算方法总结摘要:结合实例分析介绍了不定积分的四种基本计算方法。为使学生熟练掌握,灵活运用积分方法,本文将高等数学中计算不定积分的常用方
法,简单进行了整理归类。
关键词:积分方法第一类换元法第二类换元法分部积分法不定积分是高等数学中积分学的基础,对不定积分的理解与掌握的好坏直接影响到该课程的学习和掌握。熟练掌握不定积分的理论与运算方法,不但能使学生进一步巩固前面所学的导数与微分的知识,而且也将为学习定积分,微分方程等相关知识打好基础。在高等数学中,函数的概念与定义与初等数学相比发生了很多的变化,从有限到无限,从确定到不确定,计算结果也可能不唯一,但计算方法与计算技巧显得更加重要。这些都在不定积分的计算中体会的淋漓尽致。对不定积分的求解方法进行简单的归类,不但使其计算方法条理清楚,而且有助于对不定积分概念的理解,提高学习兴趣,对学好积分具有一定的促进作用。
1 直接积分法
直接积分法就是利用不定积分的定义,公式与积分基本性质求不定积分的方法。直接积分法重要的是把被积函数通过代数或三角恒等式变形,变为积分表中能直接计算的公式,利用积分运算法则,在逐项积分。
一、原函数与不定积分的概念
定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)或dF
f(x)
(x)f(x)dx
,则称F(x)为f(x)的一个原函数
定义2.函数
f(x)的全体原函数F(x)C叫做f(x)的不定积分，，记为: f(x)dxF(x)C
f(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数
“
其中
”叫做积分号
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即
f(x)dxf(x)；df(x)dxf(x)dx.
性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即
f(x)dxf(x)C,
或df(x)f(x)C
性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即
kf(x)dxkf(x)dx
(k0).
性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不
定积分的代数和，即
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
基本积分公式
(1)kdxkxC(k为常数)
(2)xdx
1
1
x
1
C
(1)
1
(3)xlnxC
x
(4)exdxexC
(6)cosxdxsinxC (8)sec2xdxtanxC (10)secxtanxdxsecxC (12)secxdxlnsecxtanxC (14)(16) 11x
11x
2
(5)a
x
dx
a
x
lna
C
(7)sinxdxcosxC (9)csc2xdxcotxC
(11)
cscxcotxdxcscxC
(13)cscxdxlncscxcotxC (15)
1x
2
2
xarctanxC
xarcsinxC
xarcsinxC
三、换元积分法和分部积分法
定理1. 设(x)可导，并且f(u)duF(u)C. 则有 f[(x)](x)dxF(u)C
凑微分
f[(x)]d(x)
令u(x)
f(u)du
代回u(x)
F((x))C
该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法．定理2.设x数F
(t)是可微函数且(t)0，若f((t))(t)具有原函
(t)，则
xt换元
fxdx
fttdt
积分
FtC
t
1
x
回代
1
FxC.
该方法叫第二换元积分法
(完整版)定积分的证明题
题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :40 0=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴<
定积分的方法总结
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+七大积分总结
七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0 ? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二） 定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L 定积分的证明题https://www.sodocs.net/doc/4512725735.html,work Information Technology Company.2020YEAR 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴< 探讨定积分不等式的证明方法 摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词：定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1．运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ?∈[0,1]有? a dx x f 0 )(≥? 1 )(dx x f a ． 证明：由原不等式变形得 ? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a （, 即是要证：? -a dx x f a 0 )() 1(≥?1 )(dx x f a , 对左式，)(x f 在[0,1]上连续， 故 由定积分中值定理知： [] a ，01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?（, 同理对右式：[]12，a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?, 显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明：构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --= ? ? （将b 换成x ）， 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' 定积分习题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 第九章 定 积 分 练 习 题 §１定积分概念 习 题 1．按定积分定义证明：?-=b a a b k kdx ).( 2．通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分： （1）?∑=+= 1 1 22 33 )1(4 1:;n i n n i dx x 提示 （2)?10;dx e x (3)?b a x dx e ; （４）12(0).(:)b i i i a dx a b x x x ξ-<<=?提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式 ??1.计算下列定积分: (1）?+1 0)32(dx x ； (2）?+-1 022 11dx x x ; (３）?2ln e e x x dx ; (4）?--1 2 dx e e x x ; (５)? 30 2tan π xdx (6） ? + 9 4 ;)1(dx x x （７)?+4 0;1x dx （8）?e e dx x x 12 )(ln 1 2．利用定积分求极限: (１));21(13 34lim n n n +++∞→ （2);)(1)2(1)1(1222lim ??????++++++∞→n n n n n n (3）);21 )2(111( 222lim n n n n n +++++∞ → （4))1sin 2sin (sin 1lim n n n n n n -+++∞→ ππ ３．证明：若f 在[a,ｂ］上可积，F 在[a,b]上连续,且除有限个点外 有F ＇（x)＝f (x),则有 ()()().b a f x dx F b F a =-? §3 可积条件 1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割,则∑∑?≤?' .''T T i i i i χωχω 2．证明：若ｆ在[a ，b ］上可积,[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?． 3.设f ﹑g 均为定义在［a,b]上的有界函数。证明：若仅在［a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b ］上可积时，g 在[ａ,ｂ］上也可积，且 ()().χχχχd g a b d f a b ??= 3．设f 在[a,b]上有界，{}[], ,b a a n ?.lim c a n n =∞ →证明：在[a ，ｂ]上只有 () ,2,1=n a n 为其间断点，则ｆ在[ａ,b ］上可积。 4．证明：若ｆ在区间?上有界，则 ()()()()"','".sup sup inf f f f f χ χχχχχχχ∈? ∈? ∈? -=-。 §4 定积分的性质 1.证明:若ｆ与ｇ都在[a ，ｂ]上可积,则 ∑?=→=?n i b a i i i T dx x g x f x g f 1 0,)()()()(lim ηξ 其中i i ηξ,是Ｔ所属小区间△ｉ中的任意两点，ｉ=1,2…，n ． ２.不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小: (1)??101 ;2 dx x xdx 与 ?(２)??20 20 .sin π π xdx xdx 与 3.证明下列不等式: 定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>? 第九章 定 积 分 练 习 题 §1定积分概念 习 题 1．按定积分定义证明：?-=b a a b k kdx ).( 2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作 是对应的积分和的极限，来计算下列定积分： （1）?∑=+= 1 1 22 33 )1(4 1:;n i n n i dx x 提示 （2）?10;dx e x （3）?b a x dx e ; （4 ）2(0).(:b i a dx a b x ξ<<=? 提示取 §2 牛顿一菜布尼茨公式 1．计算下列定积分： （1）?+1 0)32(dx x ； （2）?+-1 022 11dx x x ； （3）?2ln e e x x dx ； （4）?--1 02dx e e x x ； （5）?302tan π xdx （6）?+94;)1(dx x x （7）?+4 0;1x dx （8）?e e dx x x 12 )(ln 1 2．利用定积分求极限： （1）);21(13 34lim n n n +++∞→Λ （2）;)(1)2(1)1(1222lim ?? ????++++++∞→n n n n n n Λ （3）);21 )2(111( 2 22lim n n n n n +++++∞ →Λ （4）)1sin 2sin (sin 1lim n n n n n n -+++∞→Λππ 3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点 外有F ＇（x ）=f (x),则有 ()()().b a f x dx F b F a =-? §3 可积条件 1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则 ∑∑?≤?' .'' T T i i i i χωχω 2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ?. 3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且 ()().χχχχd g a b d f a b ??= 3．设f 在[a,b]上有界，{}[], ,b a a n ?.lim c a n n =∞ →证明：在[a,b]上只有 ()Λ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。 4．证明：若f 在区间?上有界，则 ()()()()"','".sup sup inf f f f f χ χχχχχχχ∈? ∈? ∈? -=-。 §4 定积分的性质 1.证明:若f 与g 都在[a,b]上可积,则 ∑?=→=?n i b a i i i T dx x g x f x g f 1 0,)()()()(lim ηξ 其中i i ηξ,是T 所属小区间△i 中的任意两点,i=1,2…,n. 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: 题目1证明题 容易 d X 证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a 解答_ X a (x-t)f (t)dt X = [(X —t)df(t) X X =(X 一 t)f(t) a + [ f(t)dt X = (^-X) f (a) + [ f (t)dt d X ^X a (X -t)f(t)dt --f(a) f(x) f (x) - f (a)。 题目2证明题 容易 由积分中值定理，在[0,…]上存在点',使 4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n ( 0) G 三[0,] n 》：：0 n 匚 4 4 Iim Sin n 4 J 0 Q 0 . sin ：： 1 .Iim Sin n =0 n _O π .Iim 4 Sin n XdX= 0。 —0 0 题目3证明题 一般 b 设函数 f (x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a 证明：在［a,b ］内至少存在一点?使f 「)=0。 解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点'1，使 b ［ f (x)dx = f (： 1)(b -a) = 0 f ( 1 ) =0 在区间［a ， 1］上,应用罗尔定理，可知存 在一点 二(a ， ' 1) (a,b)使f ( J=0b 题目4证明题 一般 设 f (x) = f (x +a)， na a 证明：当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx 解答 利用积分中值定理证明 解答 π :Ijm 4 Sin n XdX 二 0 n 0 0 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 定积分中的几何直观方法与不等式的证明 摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分01p <<与1p >进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。 关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列 1 引言 文[1]中给出了一个不等式： 11 2(11)21n i n n i =+-<<-∑ （1n >） （1） 田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 设p R ∈且0p >，1p ≠，1n >，则有 1111111[(1)1]1111n p p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ （2） 文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分01p <<与1p >进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】： 命题1的证明【4】 当0p >，1k ≥时，对于1k x k <<+，有(1)p p p k x k <<+，即 111 (1)p p p k x k <<+， 两边取积分，得 1 111 11(1) k k k p p p k k k d x d x d x k x k +++<<+? ??， （3） 即得 11111[(1)](1)1p p p p k k k p k --<+-<+- （4） 对（3）两边分别求和，即得 111 1111[(1)1]1111n p p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ （5） 命题1得证。 该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以1 p y x = 为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。 （图1） 在文[5]中，又把（1）式推广为： 命题2【５】 已知{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，则 1111 1221 ()()n n i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑ （6） 其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx 第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。 五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法： 题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 题目2证明题 容易 。利用积分中值定理证明 0sin lim :400=?→dx x n n π 题目3证明题 一般 。使内至少存在一点证明：在，内可导，且在设函数0) (f ],[0)(0)(],[)(='==?ξξb a dx x f a f b a x f b a 题目4证明题 一般 。为正整数时证明：当， 设??=+=a na dx x f n dx x f n a x f x f 0 0 )()( )()( 题目5证明题 一般 。证明： )1()1(1 0 1 0 ??-=-dx x x dx x x m n n m 题目6证明题 一般 。且 上可积在则有上任意两点且对上有定义在设2)(21)()()(,],[)( .)()(, ,],[,],[)(a b a f a b dx x f b a x f y x y f x f y x b a b a x f b a -≤---≤-? 题目7证明题 一般 。其中证明且内可导在上的连续在设 )(sup ,)()(4 :. 0)()(,),(,],[)( 2x f M a b M dx x f b f a f b a b a x f b x a b a '=-≤==< 题目8证明题 一般 。使， 内至少存在一点上正值，连续，则在在设???==b b dx x f dx x f dx x f b a b a x f a a )(21)()( ),( ],[ )(ξξξ 题目9证明题 一般 。证明： sin sin 0 202 01??<<+ππ xdx xdx n n 题目10证明题 一般 。求证：?<+-<1032 6421πx x dx ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 定积分证明题方法总结六篇 定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。 篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法 三、定积分与极限 1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上定积分总结
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