高考数学总复习十《计数原理》讲义

高考数学总复习十《计数原理》讲义

第三十讲 排列与组合

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A ．112

B ．114

C ．115

D ．118

2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

3．（2017山东）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

A ．518

B ．49

C ．59

D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的

E 处出发，先到

F 处与小红会合，再一起到位于G

处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A ．24

B ．18

C ．12

D ．9

5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

A ．24

B ．48

C ．60

D ．72

6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A ．144个

B ．120个

C ．96个

D ．72个

7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为

A ．

18 B ．38 C ．58 D ．78

8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中

满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为

A ．60

B ．90

C ．120

D ．130

9．（2014安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共

有

A ．24对

B ．30对

C ．48对

D ．60对

10．（2014福建）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1

个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是

A ．()()

()555432111c b a a a a a +++++++ B ．()(

)()554325111c b b b b b a +++++++ C ．()()()554325111c b b b b b a +++++++ D ．()()()

543255111c c c c c b a +++++++ 11．（2013山东）用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为

A ．243

B ．252

C ．261

D ．279

12．（2012新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会

实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

A ．12种

B ．10种

C ．9种

D ．8种

13．（2012浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，

则不同的取法共有

A ．60种

B ．63种

C ．65种

D ．66种

14．（2012山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中

任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是

A ．232

B ．252

C ．472

D ．484

15．（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂

一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用

A．288种B．264种C．240种D．168种

16．（2010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

A．36种B．42种C．48种D．54种

17．（2010广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒

18．（2010湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A．152 B．126 C．90 D．54

二、填空题

19．(2018全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）

20．(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)

21．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）

22．（2017天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数

字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）

23．（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）

24（2014浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分

配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）．

25．（2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不

相邻，则不同的摆法有_______种．

26．（2014广东）从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的

概率为 ．

27．（2014江西）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品

的概率是________．

28．（2013北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，

如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．

29．（2012湖北）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，

94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则

（Ⅰ）4位回文数有 个；

（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有 个．

30．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，

黑色正方形互不相邻．．．．

的着色方案如下图所示：

由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相邻．．．．

的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．

的着色方案共有 种，（结果用数值表示） 31．（2013新课标2）从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数

之和等于5的概率为114

，则n =________． 32．（2013浙江）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的

排法共有________种（用数字作答）．

33．（2010浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、

“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）．

第三十讲 排列与组合

答案部分

1．C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中

随机选取两个不同的数有210C 种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率21031C 15

==P ，故选C ． 2．D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，

只要把工作分成三份：有2

4C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式

共有2343C A 36⨯=种． 故选D ．

3．C 【解析】不放回的抽取2次有1

198C C 9872=⨯=，如图

21，3，4，5，6，7，8，9

2，3，4，5，6，7，8，91

可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有1

1542C C =40，所求概率为405728

=． 4．B 【解析】由题意可知E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法计数原理知，共

有6318⨯= 种走法，故选B ．

5．D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，

有13A 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有4

4A 种方

法，所以其中奇数的个数为1434A A 72=，故选D ．

6．B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，

则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个，选B ．

7．D 【解析】4422728

P -==． 8．D 【解析】易知12345||||||||||x x x x x ++++=1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：

12345||||||||||x x x x x ++++=1，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取一个让其等于1

或-1，其余等于0，于是有115210C C =种情况；

其二：12345||||||||||x x x x x ++++=2，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1、另一个等于-1，其余等于0，于是有221

552240C C C +=种情况；其三：12345||||||||||x x x x x ++++=3，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1，其余等于

0,于是有3313255353280C C C C C ++=种情况．由于104080130++=．

9．C 【解析】直接法：如图，在上底面中选11B D ，四个侧面中的面对角线都与它成60︒，

共8对，同样11AC 对应的也有8对，下底面也有16对，这共

有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对，所以全部共有48

对．

间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或

成角为60︒，所以成角为60︒的共有21212648C --=． 10．A 【解析】分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有

2345(1)a a a a a +++++种不同的取法；第二步，5个无区别的篮球都取出或都不取出，则有5(1)b +种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球任取0个，1个，…，5个，有5(1)c +种不同的取法，所以所求的取法种数为2345(1)a a a a a +++++5(1)b +5(1)c +．

11．B 【解析】能够组成三位数的个数是9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的

个数是9×9×8 =648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为900648252-=．

12．A 【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到

乙地，共有122412C C =种．

13．D 【解析】和为偶数，则4个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有

44224545156066C C C C ++⋅=++=种取法．

14．C 【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有

14

C ⨯14C ⨯14C =64，若2张同色，则有21213244144C C C C ⨯⨯⨯=，若红色1张，其余2张不同色，则有12114344192C C C C ⨯⨯⨯=，其余2张同色则有11243472C C C ⨯⨯=，所以

共有64+144+192+72=472．

另解1：4728856072166

14151641122434316=-=--⨯⨯=

--C C C C ,答案应选C ． 另解2：472122642202111241261011123212143431204=-+=⨯⨯+-⨯⨯=+-C C C C C ． 15．B 【解析】B ，D ，E ，F 用四种颜色，则有441124A ⨯⨯=种涂色方法；B ，D ，E ，F 用

三种颜色，则有33

4422212192A A ⨯⨯+⨯⨯⨯=种涂色方法；B ，D ，E ，F 用两种颜色，

1

则有242248A ⨯⨯=种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法．

16．B 【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有4424A =种，另一类甲排在第二位共有

133318A A =种，故编排方案共有241842+=种，故选B ．

17．C ．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁要完成5次闪亮需用时间为5秒，

共5⨯120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5⨯(120—1)=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒．

18．C 【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，

因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共

有123343C C A 种．(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车：其余三人从事其他三项工作，

共有2333C A 种．所以，不同安排方案的种数是1

23343C C A 2333+C A =126（种）

．故选C ． 19．16【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有

1

224C C 12=（种）

；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有2124C C 4=（种）． 根据分类加法计数原理知，至少有l 位女生人选的不同的选法有16种．

优解 从6人中任选3人，不同的选法有36C 20=（种）

，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有34C 4=（种）

，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20–4 =16（种）． 20．1260【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为224534C C A ；若取

的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为21135333C C C A ．综上，一共可以组成的

没有重复数字的四位数的个数为224534C C A + 21135333C C C A =720+ 540 =1 260．

21．660【解析】分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有4486C C 55-=种不

同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各一人，有2

4A 12=种不同的选法，根

据分步乘法计数原理共有5512660⨯=种不同的选法．

22．1080【解析】分两种情况，只有一个数字为偶数有1

34454C C A 个，没有偶数有45A 个，所

以共有413454541080A C C A +=个．

23．1560 【解析】由题意2401560A ，故全班共写了1560条毕业留言．

24．60【解析】分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数

为212314C C A 36=；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为3

4A 24=，

则获奖情况总共有36 +24 =60（种）．

25．36【解析】将A 、B 捆绑在一起，有22A 种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有44

A 种摆法，共有22A 44

A =48种摆法，而A 、

B 、

C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有33212A ⨯=种摆法，故A 、

B 相邻，A 、

C 不相邻的摆法由48-12=36．

26．16【解析】6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，3363310

16C C P C ⋅==； 27．12

【解析】从10件产品中任取4件共有410C =210种不同取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有1

337C C 105=种不同的取法，故所求的概率为10512102

P ==． 28．96【解析】5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法分给4个人有44A 种

方法，∴总共有44496A =．

29．【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不

能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有90109=⨯种．答案：90

（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，21n +位回文数和22n +位回文数的个数相同，所以可以算出22n +位回文数的个数．22n +位回文数只用看前1n +位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n

⨯． 法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导22102n n S S =-，而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此21210n n S S +=，则答案为910n ⨯．

30．21 43【解析】1,2,3,4n =时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2，3，5，

8，由此可看出后一个总是前2项之和，故5n =时应为5+8=13，6n =时应为8+13=21；

6n =时，所有的着色方案种数为0

1234566666666C C C C C C C 64N =++++++=种，∴

至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有642143-=种．

31．8【解析】由题意22114

n C =，解得8n =． 32．480【解析】第一类，字母C 排在左边第一个位置，有5

5A 种；第二类，字母C 排在左

边第二个位置，有2343A A 种；第三类，字母C 排在左边第三个位置，有23232333A A A A +种，

由对称性可知共有2⨯(5

5A +2343A A +23232333A A A A +)=480种．

33．264【解析】上午的总测试方法有4424A =种，我们以,,,,A B C D E 依次代表五个测试

项目，若上午测试E 的下午测试D ，则上午测试A 的下午只能测试,B C ，此种测试方法共有2种；若上午测试E 的同学下午测试,,A B C 之一，则上午测试,,A B C 中任何一个的下午都可以测试D ，安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了，故共有339⨯=种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法原理，总的测试方法共有2411264⨯=种．

第三十一讲 二项式定理

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅲ)2

5

2()x x

+的展开式中4x 的系数为 A ．10

B ．20

C ．40

D ．80

2．（2017新课标Ⅰ）621

(1)(1)x x

+

+展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35

3．（2017新课标Ⅲ）5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为

A ．-80

B ．-40

C ．40

D ．80 4．(2016年四川) 设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含4

x 的项为

A ．－154x

B ．154x

C ．－204ix

D ．204

ix

5．（2015湖北）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二

项式系数和为

A ．122

B ．112

C ．102

D ．92

6．（2015陕西）二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

7．（2015湖南）已知5

的展开式中含3

2x 的项的系数为30，则a =

A B ． C ．6 D ．－6

8．（2014浙江）在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，

则(3,0)f +(2,1)f +(1,2)f +(0,3)f =

A ．45

B ．60

C ．120

D ． 210

9．（2014湖南）5

1

(2)2

x y -的展开式中23x y 的系数是

A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20

10．（2013辽宁）使得()3n

x n N

+⎛

∈ ⎝

的展开式中含常数项的最小的n 为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

11．（2013江西）5

232x x ⎛

⎫- ⎪⎝

⎭展开式中的常数项为

A ．80

B ．－80

C ．40

D ．－40 12．（2012安徽）2

521

(2)(

1)x x

+-的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3

13．（2012天津）在2

5

1(2)x x

-

的二项展开式中，x 的系数为 A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40 14．（2011福建）5(12)x +的展开式中，2

x 的系数等于

A ．80

B ．40

C ．20

D ．10 15．（2011陕西）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是

A ．20-

B ．15-

C ．15

D ．20 二、填空题

16．(2018天津)在5(

x 的展开式中，2x 的系数为 ．

17．(2018浙江)二项式8

1)2x

的展开式的常数项是___________． 18．（2017浙江）已知多项式3

2

(1)(2)x x ++=543212345x a x a x a x a x a +++++，则4a =___，

5a =___．

19．（2017山东）已知(13)n x +的展开式中含有2

x 项的系数是54，则n = ． 20．(2016年山东)若2

5

(ax

的展开式中5x 的系数是-80，则实数a =_______．

21．(2016年全国I)5(2x 的展开式中，x 3的系数是 ．

（用数字填写答案） 22．（2015北京）在()5

2x +的展开式中，3x 的系数为

．（用数字作答）

23．（2015新课标2）4

()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，

则a =______．

24．（2014新课标1）8

()()x y x y -+的展开式中2

7

x y 的系数为 ．(用数字填写答案)

25．（2014新课标2）()10

x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =___．(用数字填写答案)

26．（2014山东）若6

2b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭

的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ．

27．（2013安徽）若8

x ⎛+ ⎝

的展开式中4

x 的系数为7，则实数a =______．

28．（2012广东）2

6

1()x x

+

的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答） 29．(2012浙江)若将函数5()f x x =表示为2012()(1)(1)f x a a x a x =++++

55(1)a x +

++，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a = ．

30．（2011浙江）设二项式)0()(6

>-

a x

a x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a 的值是 ． 31．（2010安徽）6

展开式中，3x 的系数等于 ．

第三十一讲 二项式定理

答案部分

1．C 【解析】251031552C ()

()C 2r

r

r r r r r T x x x

--+==，由1034r -=，得2r =，所以4x 的系数为2

25C 240⨯=．故选C ．

2．C 【解析】621(1)(1)x x +

+展开式中含2

x 的项为224426621130C x C x x x

⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C ．

3．C 【解析】5(2)x y -的展开式的通项公式为：515C (2)()r

r r r T x y -+=-，

当3r =时，5(2)x x y -展开式中33x y 的系数为323

5C 2(1)40⨯⨯-=-， 当2r =时，5(2)y x y -展开式中33x y 的系数为2325C 2(1)80⨯⨯-=，

所以33x y 的系数为804040-=．选C ．

4．A 【解析】通项616(0,1,2,,6)r r r r T C x i r -+==⋅⋅⋅，令2r =，得含4x 的项为2424615C x i x =-，

故选A ．

5．D 【解析】因为(1)n x +的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以37C C n n =，

解得10n ，所以二项式10

(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为

10

91222

⨯=． 6．C 【解析】由122(1)(1)1n n n n n n n x x C x C x C x +=+=+++⋅⋅⋅+，知2

15n C =，

∴

(1)

152

n n -=，解得6n =或5n =-(舍去)，故选C ． 7．D 【解析】52

15

(1)r r r

r

r T C a x

-+=-，令1=r ，可得530a -=6a ⇒=-，故选D ．

8．C 【解析】由题意知3064(3,0)C C f =，2164(2,1)C C f =，12

64

(1,2)C C f =，0364(0,3)C C f =，因此(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)120f f f f +++=．

9．A 【解析】由二项展开式的通项可得，第四项3

2323

451()(2)202

T C x y x y =-=-，故23x y

的系数为－20，选A ． 10．B 【解析】通项52

(3)3

n r r

n r

r

r n r

n

n

C x C x

---=，常数项满足条件5

2

n r =

，所以2r =时5n =最小．

11．C 【解析】2510515532()

()(2)r r

r

r r r r T C x C x x

--+=-

=-，令1050r -=，解得2r =，所以常数项为22

5(2)40C -=．

12．D 【解析】第一个因式取2

x ，第二个因式取

21x

得：1

451(1)5C ⨯-=，第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=．

13．D 【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r r

C x -，∴103=1r -，即=3r ，

∴x 的系数为40-．

14．B 【解析】5(12)x +的展开式中含2

x 的系数等于2225(2)40C x x =，系数为40.答案选B ． 15．C 【解析】62(6)1231666(4)(2)222r x r x r r x r xr r x xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅，

令1230x xr -=，则4r =，所以4

5615T C ==，故选C ．

16．5

2【解析】35521551C (C ()2r

r r r r

r r T x x --+==-，令3522r -=，得2r =，

所以2

x 的系数为2

2

515C ()2

2

-=

． 17．7【解析】8843

318

811C ()C ()22

r r

r r r r

r T x

x x --+==，令8403r -=，解得2r =，所以所求常数项为2

2

81

C ()72

⨯=．

18．16,4【解析】将3

2

(1)(2)x x ++变换为3

2

(1)(2)x x ++，则其通项为3232C 1C 2r r r m m m

x x --，

取0,1r m ==和1,0r m ==可得，

01102

43232C C 2+C C 241216a =⨯⨯=+=，令

0x =，得54a =． 19．4【解析】()1C 3C 3r

r r r r r n n Τx x +==⋅⋅，令2r =得：22

C 354n ⋅=，解得

4n =． 20．2-【解析】因为5

102552

15

5

()

r

r

r

r

r r

r T C ax C a

x ---+==，所以由510522

r r -=⇒=，

因此252

5

80 2.C a a -=-⇒=-

21．10【解析】由5

(2x 得5552

15

5

C (2)2C r r

r r r

r r T x x

-

--+==，令532

r

-

=得4r =，此时系数为10．

22．40【解析】由通项公式，5152r r

r r T C x -+=⋅，令3r ，得出3x 的系数为3

2

5C 240=．

23．3【解析】4(1)x 展开式的通项为14

C r r

r T x +=，由题意可知， 13024

44444()32a C C C C C ++++=，解得3a =．

24．－20【解析】8()x y +中818C r r r

r T x y -+=，令7r =，再令6r =，

得27x y 的系数为76

8820C C -=-．

25．

12

【解析】二项展开式的通项公式为10110r r r

r T C x a -+=，当107r -=时，3r =， 337410T C a x =，则33

1015C a =，故12

a =．

26．2【解析】266123166()()r r r r r r r

r b T C ax C a b x x

---+==，令1230r -=，得3r =，

故333620C a b =，∴2

2

1,22ab a b ab =+=≥，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等

号成立．

27．21【解析】通项217,34348)(338388388=⇒==⇒=-⇒==--a a C r r x a C x

a x C r r r r r r r 所以

2

1

． 28．20【解析】26

1()x x

+的展开式中第1k +项为

2(6)123166(0,1,2,

,6)k k k k k

k T C x x C x k ---+===

令12333k k -=⇔=得：3x 的系数为3620C =．

29．10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．

即：5455433155

4431

100

a C a a a C a C a a =⎧⎪

+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2

5

50125111f x x a a x a x a x ==+++++

++两边连续对x 求导三

次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即

310a =．

法三：55()(11)f x x x ==-++，则32

35(1)10a C =-=。

30．2【解析】由题意得()k k k k

k k k x

C a x a x C T 2

3

66661

--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=， ∴()262

C a A -=，()4

64

C a B -=，又∵A B 4=，

∴()464C a -()26

2

4C a -=，解之得42=a ，又∵0>a ，∴2=a ． 31．15【解析】4

42

3

615C x =．

高考数学一轮复习讲义 第64课时 计数原理 理

493 课题：计数原理 考纲要求：1.理解分类加法计数原理、分步计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步计数原理分析和解决一些简单的应用问题. 教材复习 1.分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理)： 做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有： 12n N m m m =??? 种不同的方法. 3.()1正确区分和使用两个原理是学好本章的关键.区分“分类与分步”的依据在于能否“一次性”完成. 若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则就分步处理.()2有些较复杂的问题，既要“分类”，又要“分步”，应明确按什么标准“分类”，“分步”，不同的标准，可以有不同的解法，解题时应择优而行.()3在应用计数原理时，要仔细审题，分清是允许重复，还是不允许重复. 基本知识方法 1.两个原理的联系与区别：两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的.区别在于： ()1分类加法计数原理是“分类” ，分步乘法计数原理是“分步”；()2分类加法计数原理中每类方法的每一种方法都能独立完成这件事，分步乘法计数原理中每步中每种方法都做这件事的一步，不能独立完成这件事. 2.对于较复杂的问题有时要两个原理综合使用，即先分类再分步或先分步再分类. 3.使用的工具：列举、列表，树形图. 4.分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”. 典例分析： 考点一 分类加法计数原理 问题1．()1（2012浙江）若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 .A 60种 .B 63种 .C 65种 .D 66种

高考数学总复习十《计数原理》讲义

高考数学总复习十《计数原理》讲义 第三十讲 排列与组合 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115 D ．118 2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 3．（2017山东）从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518 B ．49 C ．59 D ．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A ．24 B ．18 C ．12 D ．9 5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60 D ．72 6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个 7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ． 18 B ．38 C ．58 D ．78 8．（2014广东）设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中

高考数学复习：计数原理

第十编 计数原理 §10.1 两个基本计数原理 1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有 种 . 答案 12 2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有 种. 答案 5 3.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法. 答案 20 4.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有 种. 答案 36 5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？ （2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？ （3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ 解 （1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种. (2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有 3×13=39种方法. (3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法. 例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 解 方法一 按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个. 由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有： 8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）. 方法二 按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有： 1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）. 例2 已知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P (a ,b )表示平面上的点(a ,b ∈M ),问: (1)P 可表示平面上多少个不同的点? (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点 ? 基础自测

2020年高考数学二轮复习讲义： 计数原理与二项式定理

第三讲 计数原理与二项式定理 高考考点 考点解读 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)准确把握两个计数原理的区别及应用条件． (2)明确解决排列、组合应用题应遵守的原则及常用方法． (3)牢记排列数公式和组合数公式． (4)掌握二项式定理及相关概念；掌握由通项公式求常数项、指定项系数的方法；会根据赋值法求二项式特定系数和． 预测2020年命题热点为： (1)以实际生活为背景的排列、组合问题． (2)求二项展开式的指定项(系数)、二项展开式的各项的系数和问题． Z 知识整合hi shi zheng he 1．必记公式 (1)排列数公式： A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) ＝ n ！ (n －m )！ (这里，m ，n ∈N *，且m ≤n )． (2)组合数公式： ①C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) m ！

＝ n ！ m ！(n －m )！ (这里，m ，n ∈N *，且m ≤n )； ②C 0n ＝1. (3)二项式定理： ①定理内容：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n － 1b 1＋…＋C k n a n － k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； ②通项公式：T k ＋1＝C k n a n － k b k . 2．重要性质及结论 (1)组合数的性质： ①C m n ＝C n －m n ； ②C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n ； ③C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ； ④C m n ＋C m n －1＋…＋C m m ＝C m ＋ 1n ＋1. (2)二项式系数的有关性质： ①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4 n ＋…＝2n － 1； ②若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 则f (x )展开式中的各项系数和为f (1)， 奇数项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1) 2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1) 2. Y 易错警示i cuo jing shi 1．分类标准不明确，有重复或遗漏，平均分组与平均分配问题． 2．混淆排列问题与组合问题的差异． 3．混淆二项展开式中某项的系数与二项式系数． 4．在求展开式的各项系数之和时，忽略了赋值法的应用． 1．(2018·全国卷Ⅲ，5)????x 2＋2 x 5的展开式中x 4的系数为( C ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 [解析] 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5 (x 2)5－r ????2x r ＝2r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4可得r ＝2，则x 4的系数为22C 25＝40.

2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第一节分类计数与分步计数原理 理

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 近三年广东高考中对本章考点考查的情况 1．排列与组合是中学数学中相对独立性较强的一部分，也是密切联系实际较强的一部分，一直是高考必考内容．高考对排列组合的考查会以现实生活为背景． 2．对二项式定理的考查，主要是求多项式系数和、求某项系数、求二项式中的参数值、求常数项、有理项系数最大项、求整余数、求近似值等． 3．古典概型与几何概型是两种最基本的概率问题，是高考重点关注的内容，但深度有限．几何概型只要求会解决与长度、面积、体积相关的概率问题，重点是理解概率、学会转化、计算准确快捷，不宜过于深化与拓展． 预计高考对以上内容的考查，仍会以客观题的形式出现，试题难度为“较易”到“中等”，分值为5分． 4．随机变量及其分布在高考中多以解答题的形式出现，常与排列组合、统计等内容相结合，综合考查学生的数据处理能力．分值一般在13分左右，属中、低档题．重点考查离散型随机变量的分布列，以及由此分布列求随机变量的均值、方差，特别是二项分布． 1．(1)分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于本章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决或分步解决，是本章复习的重点． (2)正确区分使用两个原理是学好本章的关键．区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则，就分步处理．2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个多

项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使很多二项式展开式的系数问题迎刃而解(要注意二项式系数与二项式展开式的系数之间的区别)． 3．(1)概率问题应用广泛，贴近生活，本部分知识既有必修内容，也有选修内容．随着高考改革的不断深入，概率问题正逐步成为高考的热点内容． (2)解决概率应用问题时，首先熟悉几种常见的概率类型，熟练掌握其计算公式；其次还要弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么联系． 4．求随机变量的分布列，重要的基础是概率的计算，如古典概率、互斥事件概率、相互独立事件同时发生的概率，n 次独立重复试验有k 次发生的概率等． 5．对离散型随机变量的方差应注意： (1)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越大，表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散，反之D (X )越小，X 的取值越集中，在E (X )附近，统计中常用来描述X 的分散程度； (2)D(X)与E(X)一样也是一个实数，由X 的分布列唯一确定． 第一节 分类计数与分步计数原理 知识梳理 1．分类加法计数原理： 做一件事，完成它可以有两类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2种不同的办法． 定义拓展：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的办法． 2．分步乘法计数原理： 做一件事，完成它需要分成两个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1·m 2种不同的方法． 定义拓展：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同方法，那么完成这件事共有N ＝m 1·m 2·…·m n 种不同的方法． 基础自测 1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有( ) A ．21种 B ．315种 C ．143种 D ．153种 解析：分三类，每类分两步：选语文、数学各1本，有9×7＝63种选法，选语文、英语各1本，有9×5＝45种选法，选数学、英语各1本，有5×7＝35种选法．所以共有63＋45＋35＝143种选法．故选C. 答案：C 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

第6章计数原理综合复习- 2020-2021学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义

分步乘法计数原理 任务 分类 完成一件事 有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中 有n种不同的方法 完成这件事共有N种='m+n种不同的方法 计数 任务 分类 完成一件事 需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方 法 完成这件事共有N种='m×n种不同的方法 计数

一是:要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； 二是:各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事. 2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程 排列的定义-----一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的顺序排成一列，叫 做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素 的排列数，用符号m n A表示 排列数公式: 排列数公式： m n A=n（n-1）（n-2）...（n-m+1） （2）全排列： n n A=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1 （3）阶乘： n n A=n！规定0！=1 （4）排列数的性质： m n A=n1 m 1 n - - A，m n A=m1 m 1 n - - A+m 1 n- A

（1）二项式定理：（a+b）n= n C n a+1 n C1n a-1b+...+k n C n n n k k n b ... b a C + + - ，n∈N*. （2）二项式展开式：二项式定理右边的多项式叫做（a+b）n的二项式展开式，它共有n+1项. （3）二项式系数：各项的系数 k n C（k=0，1，2，...，n）叫做二项式系数. （4）二项展开式的通项：二项展开式中第k+1项 ) k n k b a k k-n k n 1 k N C T∈ ≤ ≤ = + ， （叫做二项展开式的 通项. (1)排列定义中包含两个基本内容: 一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列” (2)两个排列相同,需要满足两个条件:一是元素完全相同,二是元素的排列顺序相同. 知识点5-----二项式定理 注意;(1)二项展开式的通项是第k+1项，而不是第K项， (2)二项展开式的通项的二项式系数是C n²k，而不是C n k+1

高考数学一轮复习专题十计数原理1计数原理与排列组合综合集训含解析新人教A版

专题十计数原理 备考篇 【考情探究】 课标解读 考情分析备考指导主题内容 一、计数原理、排列、组合1.分类加法计数原 理,分步乘法计数原 理 (1)理解分类加法计 数原理和分步乘法计 数原理.(2)会用两个 原理分析和解决一些 简单的实际问题. 2.排列与组合 (1)理解排列、组合的 概念. (2)能利用计数原理 推导排列数公式、组 合数公式. (3)能解决简单的实 际问题. 1.从近几年的高 考命题情况看,考 题难度以中低档 为主,题型以选择 题,填空题的形式 出现. 2.考查内容主要 体现以下方 面:(1)利用排列、 组合解决实际问 题或利用排列、组 合解决概率有关 问题;(2)利用二 项式展开式的通 项求指定项系数 或求二项式系数 问题;(3)利用二 项式展开式求二 项式系数最值问 题或求系数最值 问题,常以这些内 容为考查重点,同 时关注分类讨论 1.在处理排列、组合的应用问题 时,常采用直接法,间接法,在处理 二项式问题时常采用公式法. 2.用排列、组合知识解决计数问题 时,如果遇到的情况较为复杂,即 分类较多,标准也较多,同时所求 计数的结果不太容易计算时,往往 利用表格法、树状图法将其所有的 可能一一列举出来,这样会更容易 得出结果. 3.求解二项式展开式的特定项时, 即求展开式中的某一项,如第n 项,常数项,有理项,字母指数为某 些特殊值的项,先准确写出通项 T r+1=C n r a n-r b r,再把系数与字母分 离出来(注意符号),最后根据题目 中指定的字母的指数所具有的特 征,列出关系式求解即可. 4.关注排列、组合在解决求离散型 随机变量分布列中的应用,能够在 不同背景下抽象的数学本质,强化 在知识的形式过程,知识的迁移中 渗透学科素养. 二、二项式定理1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

新高考数学计数原理知识点

新高考数学计数原理知识点 一、排列组合的基本概念与应用 在数学计数原理中，排列组合是一种常见的方法。排列就是从一 组元素中选择若干个元素按照一定顺序排列的方法，而组合则是从一 组元素中选择若干个元素，不考虑顺序。排列组合的应用广泛，比如 在概率统计、组合数学、密码学等领域。 1.1 排列 排列是指从一组元素中选择若干个元素按照一定顺序排列的方法。在排列中，元素的顺序是重要的，即不同的排列顺序可能会得到不同 的结果。排列可以分为两类：有重复元素的排列和无重复元素的排列。 有重复元素的排列：设有n个元素，其中有k个元素重复，要求 按照一定顺序选取m（m≤n）个元素进行排列。这种排列的总数可以用公式P(n;k1,k2,…,km)表示，其中ki表示第i个元素的个数。 无重复元素的排列：设有n个元素，要求按照一定顺序选取m （m≤n）个元素进行排列。这种排列的总数可以用公式P(n,m)表示， 即n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。 1.2 组合 组合是指从一组元素中选择若干个元素，不考虑顺序。与排列不同，组合中元素的顺序是不重要的，即不同的组合顺序不会得到不同 的结果。

设有n个元素，要求从中选择m（m≤n）个元素进行组合的方法数可以用公式C(n,m)表示，即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)。 二、排列组合的实际问题 在实际生活中，排列组合有广泛的应用。以下是一些常见的排列组合问题。 2.1 生日问题 假设有n个人，问至少两人生日相同的概率是多少？这是一个典型的排列组合问题。根据排列组合的知识，可以得出结论：当n大于23时，至少两人生日相同的概率超过50%。 2.2 田径比赛问题 某田径比赛共有n名选手，设男选手和女选手的人数分别为m和n-m。要求男选手和女选手的名次分开排列，且男选手和女选手的排列顺序分别与原来的顺序相同。这是一个典型的排列组合问题。 2.3 电话号码问题 假设某人有10个号码，每个号码有7位数字，其中第一位数字不能为0或1。问这个人可以输入多少个不同的电话号码？这是一个典型的排列组合问题。 三、排列组合的扩展应用 排列组合不仅仅局限于数学中的应用，还可以扩展到其他领域。 3.1 组合数学

高考数学一轮复习 第十章计数原理10.2排列与组合教学案 理 新人教A版

10.2 排列与组合 考纲要求 1．理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能解决简单的实际问题． 1．排列与排列数：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“一个排列”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列；“排列数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值． 排列数公式A m n ＝________________，右边的第一个因数是n ，后面的每一个因数都比 前面一个少1，最后一个是n －m ＋1，共____个连续正整数相乘．当m ，n 较小时，可利用该公式计数；排列数公式还可表示成A m n ＝__________，它主要有两个作用：一是当m ，n 较 大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时，写出这种形式更便于发现它们之间的规律． 2．组合与组合数：“一个组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”，它是一件事情；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数值．组合数公式的推导要借助于排列数公式，公式C m n ＝A A m n m m ＝__________________，其分子的组成与排列数A m n 相同， 分母是m 个元素的全排列数．当m ，n 较小时，可利用该公式计数；组合数公式还可以表示成C m n ＝______，它有两个作用：一 是当m ，n 较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的组合数式子进行变形和论证． 3．组合数公式有两个性质：(1)C m n ＝______，该公式说明，从n 个不同元素中取出m 个元素与从n 个不同元素中取出n －m 个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留 下的”是一一对应关系；(2)1C m n +＝__________________，该公式说明，从a 1，a 2，…，a n ＋1中取出m 个元素的组合数1C m n +可以分成两类：第一类含有元素a 1，共1C m n -个；第二类不含元素a 1，共C m n 个． 1．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )． A ．8 289A A B ．8289A C C ．8287A A D ．8287A C 2．(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ( )． A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 3．设集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}是S 的子集，且a 1，a 2，a 3满足a 1＜a 2＜a 3，a 3－a 2≤6，则满足条件的集合A 的个数为( )． A ．78 B ．76 C ．84 D ．83 4．刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要有两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法共有__________种． 5．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答)． 一、有限制条件的排列问题

2020高中数学 第一章 计数原理章末复习讲义

第一章计数原理 知识系统整合 规律方法收藏 1．分类和分步计数原理 (1)两个原理的共同之处是研究做一件事，完成它共有的方法种数，而它们的主要差异是“分类”与“分步”． （2)分类加法计数原理的特点:类与类相互独立，每类方案中的每一种方法均可独立完成这件事(可类比物理中的“并联电路"来理解)． (3)分步乘法计数原理的特点:步与步相互依存，且只有所有的步骤均完成了(每步必不可少),这件事才算完成(可类比物理中的“串联电路"来理解）． 2．解决排列组合应用题的原则

解决排列组合应用题的原则有特殊优先的原则、先取后排的原则、正难则反的原则、相邻问题“捆绑”处理的原则、不相邻问题“插空”处理的原则． (1）特殊优先的原则：这是解有限制条件的排列组合问题的基本原则之一，对有限制条件的元素和有限制条件的位置一定要优先考虑． （2)正难则反的原则:对于一些情况较多、直接求解非常困难的问题，我们可以从它的反面考虑，即利用我们平常所说的间接法求解． (3）相邻问题“捆绑"处理的原则：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑"起来看成一个元素与其他元素排列，然后将相邻元素进行排列． (4)不相邻问题“插空”处理的原则：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端插入． (5）指标问题采用“挡板法” 把问题转化为：把n个相同元素分成m个组的分法，这相当于n个相同元素的每两个元素之间共n－1个空，任插m－1个板子的

插法数,即C错误!种． （6)先取后排的原则:对于较复杂的排列组合问题，常采用“先取后排”的原则,即先取出符合条件的元素，再按要求进行排列．(7）定序问题倍缩、空位插入原则 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理． （8）分排问题直排原则 一般地，对于元素分成多排的排列问题,可先转化为一排考虑，再分段研究． (9)小集团问题先整体后局部原则 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他策略进行处理．（10）构造模型原则 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等,可使问题直观理解，容易解决． 3．二项式定理及其应用 (1）二项式定理：(a＋b）n＝C0n a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－k b k ＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!(k＝0，1,2,…，n)称为二项式系数，第k＋1项C错误!a n－k b k称为通项．

数学高考知识点计数原理

数学高考知识点计数原理 在高中数学中，计数原理是一个重要的知识点。它涉及到如何 统计和计算事件的可能结果数量，是很多概率和组合问题的基础。本文将从排列、组合和种类等角度介绍计数原理的相关内容。 一、排列和组合 在计数原理中，排列和组合是两个常见的概念。排列指的是从 一组元素中按照一定顺序选择若干个元素进行排列，而组合指的 是从一组元素中选择若干个元素进行组合，顺序不重要。 1. 排列 排列的计算是根据不同情况下元素选择的方式。假设有n个元素，需要从中选取r个元素进行排列，那么计算排列数的公式为 P(n, r) = n! / (n - r)！。其中n!表示阶乘，即n!= n × (n - 1) × (n - 2) … × 2 × 1。 2. 组合

组合的计算是根据选择元素的方式，顺序不考虑。同样假设有n个元素，需要从中选取r个元素进行组合，那么计算组合数的公式为C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)。 二、计数原理的应用 计数原理的应用在高考中经常出现，下面以几个例子来介绍如何应用计数原理解决问题。 1. 乒乓球比赛 某乒乓球比赛中，共有6名选手，每轮比赛两两对阵，两名选手按顺序开始比赛。要求分别计算比赛进行了多少轮和总共进行了多少场比赛。 解析：每一场比赛是由两名选手来进行的，所以总场数等于选手人数除以2的商。即6 / 2 = 3，所以比赛总共进行了3场。而每一轮比赛都会淘汰一名选手，所以轮数等于选手的人数减一。即6 - 1 = 5，所以比赛进行了5轮。

2. 数字密码 某门锁的密码由4位数字组成，这些数字来自0-9这10个数字。不允许重复数字，那么总共有多少种可能的密码？ 解析：第一位数字有10种选择，第二位数字有9种，第三位 数字有8种，第四位数字有7种。根据乘法原理，总共的可能性 为10 × 9 × 8 × 7 = 5040种。 三、计数原理的延伸 除了排列和组合，计数原理还可以应用在更复杂的问题中，例 如种类问题。 1. 三进制数 某个数位上只能是0、1、2三个数字中的一个，那么四位数一 共有多少种可能性？

第六章 高考数学 计数原理知识总结

第六章 计数原理 ()()1212_...__...._.12.n n n N m m m n N m m m ⎧⎧⇒⎪⎨ =+++⎩⎪ ⎪ ⎧⎪⇒⎨⎪=⨯⨯⨯⎫⎪⎩⇒⎬⎨ ⎭⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⎩⇒定义：完成一件事有类不同方案分类加法计算原理公式：定义：完成一件事需要个步骤分步乘法计数原理公式：分类加法计算原理与分步乘法计算原理区别：一个分类，一个分步两个计算原理的关系及综合应用综合应用明确是先分类还是先分步；确定分类标准和分步程序排列排列计数原理排列与组合1 1(1)(2)...(1)______.:______.,:m n m m n n m m m n m m m m n n n n n A n n n n m A C A C C C C C --+⎧⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎩ ⎧=⎪⎪⎪==+⎨⎪⎪⎪⎩的定义：按一定的顺序排成一列排列数及其公式：排烈应用题：元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法、整体法 组合的定义合成一组组合数及其公式：组合组合数的性质：组合应用题：直接法、间接法、隔板法排列、组合综合应用题先分组后012..""2m n m n n n n n n n n C C C C C C -⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧⇒⎪⎪⎨ ⎩⎪⎪ ⎪⎪⎧=⎪⎪⇒⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎩⎩⎪ ⎪⎪⎪⎩ 排列二项式定理的内容：二项式定理二项展开式的通项对称性；二项式定理增减性与最大值；杨辉三角形与二项式系数的性质各二项式系数的和； 知识点一、计数原理 1.分类加法计数原理 概念：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有

2022届高考数学大一轮总复习(人教A版,理科) 第十章 计数原理 第1讲 分类加法计数原理与分步乘

第十章计数原理 第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、选择题 1．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( ) A B C D A．72种 B．48种 C．24种 D．12种 解析先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C 有2种涂法， D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C 的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种． 答案 A 2．如图，用6种不同的颜色把 图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域 不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )． A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 解析从A开头，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)，故选C. 答案 C 3．某省高中学校自实施素养训练以来，同学社团得到迅猛进展，某校高一新生中的五名同学打算参与“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、

“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参与，每名同学至少参与一个社团且只能参与一个社团．且同学甲不参与“围棋苑”，则不同的参与方法的种数为()． A．72 B．108 C．180 D．216 解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，假如甲不参与“围棋苑”，有下列两种状况： (1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参与“围棋苑”，有C14种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊安排到其他三个社团中，有C24A33种方法，故共有C14C24A33种参与方法； (2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参与“围棋苑”，有C24种方法，甲与丁、戊安排到其他三个社团中有A33种方法，这时共有C24A33种参与方法； 综合(1)(2)，共有C14C24A33＋C24A33＝180种参与方法． 答案 C 4．有4位老师在同一班级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位老师不能在本班监考，则监考的方法有( ) A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 解析分四步完成，共有3×3×1×1＝9种． 答案 B 5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市巡游，要求每个城市有一人巡游，每人只巡游一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎巡游，则不同的选择方案共有()．A．300种B．240种C．144种D．96种 解析甲、乙两人不去巴黎巡游状况较多，接受排解法，符合条件的选择方案有C46A44－C12A35＝240. 答案 B 6．4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选

(湖北专用)高考数学一轮复习 第十章计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学案 理

第十章计数原理 10．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考纲要求 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用它们分析和解决一些简单的实际问题． 1．分类加法计数原理：完成一件事情可以有n类方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有__________种不同的方法． 2．分步乘法计数原理：完成一件事情需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有______________种不同的方法． 1．4封不同的信投入三个不同的信箱中，所有投法的种数是( )． A．34B．43C．A34D．C34 2．4个人去借3本不同的书(全部借完)，所有借法的种数是( )． A．34B．43C．A34D．C34 3．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( )． A．6种B．5种C．4种D．3种 4．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________． 5．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)．若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答) 一、分类加法计数原理的应用 【例1】高三 (1)班有学生50人，男30人，女20人；高三(2)班有学生60人，男30人，女30人；高三(3)班有学生55人，男35人，女20人． (1)从高三(1)班或(2)班或(3)班选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中，或从高三(3)班女生中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ 方法提炼 运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类而且仅属于某一类，即“类”与“类”间有独立性与并列性． 请做演练巩固提升1 二、分步乘法计数原理的应用 【例2－1】现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人．每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？ 【例2－2】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P可表示平面上多少个不同的点？ (2)P可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？

高二数学复习讲义9《计数原理》

高二数学复习讲义（9） ——《计数原理》 <知识点> 一、两个计数原理 3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1、排列： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序

排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列 的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号 表示. 3、排列数公式： 其中 4、组合： 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 5、组合数： 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号 表示。 6、组合数公式： 其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什 m n A m n A ()()() ()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---= . ,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()() ()! !! !121m n m n m m n n n n C m n -= +---= . ,,*n m N m n ≤∈并且

么”. 7、性质： 三、二项式定理 如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式： 2、性质： m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1 1+-=+=奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：

注意事项： 相邻问题，常用“捆绑法” 不相邻问题，常用“插空法” <练习题> 一．填空题 1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数有________个． 2．设n为自然数，则C0n2n－C1n·2n－1＋…＋(－1)k C k n·2n－k＋…＋(－1)n C n n＝________. 3．(2011年高考福建卷)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________． 4．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，则C12n＝________. 5．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序. 用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和十二支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和十二支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．

高考数学复习讲义考点知识与题型讲解第23讲计数原理

高考数学复习讲义考点知识与题型讲解 第二十三讲：计数原理 【考点梳理】 1.排列与组合的概念 （1）特殊元素优先安排的策略； （2）合理分类与准确分步的策略； （2）正难则反、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略； （5）不相邻问题插空处理的策略；（6）定序问题除法处理的策略； 3.二项式定理 011222()n n n n k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++． 4.二项展开式的通项公式 二项展开式的通项：1r n r r r n T C a b -+=()0,1,2,3,,r n =⋯ 公式特点：①它表示二项展开式的第1r +项，该项的二项式系数是； ②字母b 的次数和组合数的上标相同；③a 与b 的次数之和为n ． 5. 二项式系数的性质 （1）对称性；（2）增减性与最大值；（3）二项式系数的和 【典型题型讲解】 考点一：排列、组合 【典例例题】 例1．（2022·广东中山·高三期末）3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位 r n C

女生相邻的不同排法种数是（） A．576B．432C．388D．216 例2．（2022·广东·铁一中学高三期末）高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种. 【方法技巧与总结】 排列、组合搞清楚区别 【变式训练】 1．（2022·广东清远·高三期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有_______种． 2．（2022·广东惠州·一模）现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有（） A．36种B．18种C．9种D．6种 3．（2022·广东湛江·一模）为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（） A．18种B．12种C．72种D．36种 ､､､､､共4．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有A B C D E F 6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（） A．100B．120C．300D．600 5．（2022·广东茂名·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其

2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第10章 第1节 两个计数原理、排列与组合

全国卷五年考情图解高考命题规律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制1道 小题或者1道解答题，分 值占5～17分. 2.考查内容 计数原理常与古典概型综 合考查；对二项式定理的 考查主要是利用通项公式 求特定项；对正态分布的 考查，可能单独考查也可 能在解答题中出现；以实 际问题为背景，考查分布 列、期望等是高考的热点 题型. 3.备考策略 从2019年高考试题可以 看出，概率统计试题的阅 读量和信息量都有所加 强，考查角度趋向于应用 概率统计知识对实际问题 作出决策. 第一节两个计数原理、排列与组合 [最新考纲] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念

及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题． 1．两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案，在 第1类方案中有m 种不同的方 法，在第2类方案中有n 种不同 的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法 结论 完成这件事共有N ＝m ＋n 种不 同的方法 完成这件事共有N ＝mn 种不同的方法 排列的定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 排列数 组合数 定义 从n 个不同元素中取出 m (m ≤n )个元素的所有不同排 列的个数 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数 公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋ 1)＝n ！(n －m )！ C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！ 性质 A n n ＝n ！，0！＝1 C m n ＝C n －m n ，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． ( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．