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直线的方向向量与法向量的求法

如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→

n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？

【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→

或，所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→; 又∵A B k NP =

，∴直线NP 的方程为B

C x A B y -=，易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B

C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→，所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或．说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．

例、求下列直线的方向向量与法向量：

（1）0532=+-y x ；（2）073=+x ．

解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ，直线的法向量为)23,1()3,2(-=-=→→n n 或；

（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，

直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．

探索空间平面法向量的求法与方向的判定

“ 量无论无论是和具有规具有规律性。时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定问题，都离不开平面的成角 ” ” 距离 “ 问题，还是杨玉春 (铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300) 向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“形”的结合。因此用量知识解决某些立体几何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。但用向量无论是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶颈，平面法向量的正确求出是关键。而用向量来求二面角的大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是指向二面角外。本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判定。一、平面法向量的求法 1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B，则或即为平面α的一个法向量。 2、待定系数法(两种设法)：

（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0 n ·b=0求出λ，μ即可。（2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。 3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。 4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ）则a ×b= =( ,| |,|) =(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---) 取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。二、空间平面法向量方向的判定 1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。 2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程（一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补），其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a

（二）典例分析如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求：（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值；（2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值；（3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ，（1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ，所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ，又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量，令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S

直线的方向向量与点向式方程

《直线的方向向量与点向式方程》教学设计授课教师专业、班级授课类型新授课时第1课时所在册第二册所在章节第九章第1.1节课题内容直线的方向向量与点向式方程一、教材及单元内容分析 1．使用教材：中等职业教育规划教材《数学》第二册。 2．本章内容分析：本章教材共分4单元：第1单元直线的方程.(第1节:直线的方向向量与点向式方程, 第2节:直线的斜率与点斜式方程,第3节:直线的法向量与点法式方程,第4节:直线的一般式方程.)第2单元两条直线的位置关系.(第1节,两条直线的平行,第2节,两条直线的交点与垂直,)第3单元点到直线距离.第4单元圆的方程.(第1节,圆的标准方程,第2节,圆的一般方程.) 3．地位和作用：直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门。而如何运用直线方程研究有关直线在平面内的位置关系的方法，为下面学习曲线与方程的概念以及圆锥曲线打下基础。直线和圆的方程是解析几何的主要部分,直线和圆是基本的几何图形,研究图形的基本性质又是几何学习的主要内容,本章要学会领会数形结合的思想,向量是处理本章问题的重要工具.借助代数方程研究数学图形的几何性质. 二、学情分析学生进入中职学校后，学生没了目标，也没有动力，既使有些家长希望孩子能学得一技之长，将来好找个合适的工作，但是学生自己可不这么认为，他们不知道为什么要学？学了有什么用？无求知、上进的愿望；缺乏自尊心、自信心，学习不好不觉得丢面子，考试不及格也无所谓，不想上课或上课不专心听讲，课后不肯花时间复习巩固所学的知识，做作业应付了事，一知半解；缺乏吃苦精神和学习毅力，遇到学习困难就放弃，把时间用到玩手机、看小说、打游戏、谈恋爱等上面。三、教学目标知识目标：( 1）了解直线的方向向量和点向式方程. (2)理解直线的点向式方程的推导过程. 能力目标：能用直线的点向式方程求满足条件的直线方程. 情感目标：培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。培养学生观察和归纳的能力。四、教学重点与难点【教学重点】: 能用直线的点向式方程求直线的方程.. 【教学难点】：理解直线的点向式方程的推导过程.. - 1 -

直线的方向向量与平面的法向量Word版

直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图3－2－1 1．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD → 有怎样的关系？【提示】 AB →∥CD → . 2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？【提示】 n ⊥α. 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量. 空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ?a ∥b ?(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2) 线面平行设l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α?a ·u ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 面面平行设α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β?u ∥v ?(a 1， b 1， c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)

求平面的法向量图3－2－2 已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1， AD ＝1 2 ，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．【自主解答】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (1 2 ，0,0)，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS → ＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD → ＝(12 ，0,0)是平面SAB 的一个法向量． (2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC → ＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC → . 所以????? n ·DC →＝0n · SC →＝0，得方程组????? 12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴????? x ＝－2y z ＝－y ，令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．

高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用平面的法向量仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞的法向量共有两大类(从方向上分) ，无数条。 2、平面法向量的求法斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中，设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］，在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法)：设，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定则。 x, y, z 的一次方程。

直线的方向向量与平面的法向量

直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图3－2－1 1．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD → 有怎样的关系？【提示】 AB →∥CD → . 2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？【提示】 n ⊥α. 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量. 空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ?a ∥b ?(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2) 线面平行设l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α? a ·u ＝0?a 1a 2＋ b 1b 2＋ c 1c 2＝0 面面平行设α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β?u ∥v ?(a 1， b 1， c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)

求平面的法向量图3－2－2 已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1 2 ，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．【自主解答】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (1 2，0,0)，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS → ＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(1 2 ，0,0)是平面SAB 的一个法向量． (2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC → ＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC → . 所以??? ?? n ·DC →＝0 n ·SC →＝0，得方程组??? ?? 12x ＋y ＝0 x ＋y －z ＝0. ∴????? x ＝－2y z ＝－y ，令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．

对法向量的透彻理解与灵活运用

对法向量的透彻理解与灵活运用一、法向量概念理解如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的；（2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=；（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的．二、法向量求解步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：（1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0 =?? =?n a n b ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）．三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ== |||| l n l n ．注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有12cos = 12 12| n n |n ||n ．注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ． 3．求点面距离点面距离的具体求解步骤是：（1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是''A B ，则有|''|||A B AB =e ，是求点到线，点到面的距离

用空间向量解决空间中“夹角”问题

利用空间向量解决空间中的“夹角”问题学习目标： 1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法； 2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.提高分析与推理能力和空间想象能力。重点：利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点：向量夹角与空间中的“夹角”的关系一、复习引入 1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：><=?,cos |||| （2）两向量夹角公式：| |||,cos b a >= < （3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：异面直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a 、b 的方向向量分别为和，问题1：当与的夹角不大于90 的角θ与和的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ a

例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则 )2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,21 ,23(1a a a CB = 即21 323||||,cos 22 111111==>=<,与θ的关系？例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a a AA ==)2,21 ,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n = x y