北京市海淀区2019届高三数学5月期末练习(二模)试题理

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京市海淀区2019届高三数学5月期末练习（二模）试题 理

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

(1)已知集合{}

15A x x =≤≤，{}

36B x x =≤≤，则A B =

(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6] (2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为 (A) 12- (B) 1

2 (C) -2 (D)2

(3，若直线l ：12x t

y at =+??

=+?

(t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是

(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2 (4)在5

(2)x -的展开式中，2x 的系数是

(A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40

(5)把函数2x

y =的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为23

x

y =，则

t 的值为

(A) 12

( B) 2log 3 (C) 3log 2 (D)

(6)学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4

π

，1）”是“函数()

f x 的图象经过点（

,02

π

）”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(8)如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P

与1,A C 不重合）．则下面结论中错误的是

(A)存在点P ，使得平面1A DP ∥平面11B CD (B)存在点P ，使得1AC ⊥平面1A DP

(C) 12,S S 分别是△1A DP 在平面1111A B C D ，平面11BB C C 上 的正投影图形的面积，对任意点P ，12S S ≠ (D)对任意点P ，△1A DP 的面积都不等于

26

第二部分（非选择题共1 10分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为 ( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =

( 11)若数列{}n a 的前n 项和2

8n S n n =-，1,2,3,...,n =则满足0n a >的n 的最小值为

(12)已知圆22

:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为 (13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若

AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则AE AF =

(14)已知集合{}

001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合

{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n n A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数

()y f x =具有性质“ ”．

(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ； (Ⅱ)给出下列函数：①1y x =

；②2

1y x =+；③cos()22

y x π=+，其中具有性质“9”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． ( 15)（本小题满分13分） 在ABC ?中，7,8,3

a b A π

===

．

(Ⅰ)求sin B 的值；

(Ⅱ)若ABC ?是钝角三角形，求BC 边上的高． (16)（本小题满分13分）

某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐 连锁店提供了两种日工资方案：方案(1) 规定每日底薪50元，快递业务每完成一单 提成3元；方案(2)规定每日底薪100元， 快递业务的前44单没有提成，从第45单 开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店 记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 100天的数据，将样本数据分为[ 25，35），

[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。

(Ⅱ)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；

(Ⅱ)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为

1

3，

选择方案(2)的概率 为

2

3

．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独 立，求至少有两名骑手选择方案(1)的概率； (Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）

( 17)（本小题满分14分）

如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足 为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ?沿EC 折起到1D EC ?的位置， 使平面1D EC ?⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 上一个动点。 (Ⅱ)当点G 为棱1AD 中点时，求证：BG ∥平面1D EC t (Ⅱ)求证：AB ⊥平面1D BE ;

(Ⅲ)是否存在点G ，使得二面角1G BE D --的余弦值为63

若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．

(18)（本小题满分13分）

已知椭圆22

2:14x y C b

+=的左顶点 A 与上顶点B 的距离为6．

(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；

(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ?为等边三角形，求点P 的横坐标．

(19)（本小题满分14分） 已知函数22

()(),ax a f x e x a

+=-

，其中0a ≠． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角； (Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围．

( 20)（本小题满分13分）

对于给定的奇数,(3)m m ≥ ，设A 是由m m ?个数组成的m 行m 列的数表，数表中第

i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数

之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.

对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<

且2

m

j <同时成立，则称数对(,)i j 为数表A 的一个“好位置”

(Ⅱ)直接写出右面所给的33?数表A 的所有的“好位置”； (Ⅱ)当5m =时，若对任意的15i ≤≤ 都有()3c i ≥成立，求数表 A 中的“好位置”个数的最小值；

(Ⅲ)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案

数 学 （理科） 2019.05

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. B

2. D

3.D

4. A

5. B

6. A

7. A

8. C 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 1,

-0,1 11. 5

12. 5

2

14.1y x =+（答案不唯一），① ②

三、解答题: 本大题共6小题，共80分. （15）（共13分）

解：（Ⅰ）在ABC △中，因为7a =，8b =，3

A π

=

，

所以由正弦定理sin sin B A

b a

=

得sin 8sin 7b A B a =

==

（Ⅱ）方法1：

由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得21

4964282

c c =+-???

即28150c c -+=，解得5c =或3c = 因为,b a b c >>，所以B ∠为ABC △中最大的角，

当5c =时，222

cos 02a c b B ac +-=>，与ABC △为钝角三角形矛盾，舍掉

当3c =时，222

cos 02a c b B ac

+-=<，ABC △为钝角三角形，

所以3c =

设BC 边上的高为h ，所以sin h c B =7

= 方法2：

因为b a >，所以π3B A >=

，所以π3

C <， 所以B ∠为ABC △中最大的角

因为ABC △为钝角三角形，所以B 为钝角

所以sin sin()C A B =+

sin cos cos sin A B A B =+

=

设BC 边上的高为h ，所以sin h b C ==

16.（共13分）

解：(Ⅰ) 设事件A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”

依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，， 因为0.20.150.050.4++=

所以()P A 估计为0.4. (Ⅱ) 设事件B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）” 设事件i C 为“甲乙丙三名骑手中恰有(0,1,2,3)i i =人选择方案（1）”， 则23()()()P B P C P C =+

22133

33121617()()()333272727

C C =+=+=

所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为

7

27

（Ⅲ）方法1：

设骑手每日完成快递业务量为X 件

方案（1）的日工资*

1503()Y X X =+∈N ，

方案（2）的日工资*

2*

100,44,1005(44),44,X X Y X X X ?≤∈?=?+->∈??N

N

所以随机变量1Y 的分布列为 所以

11400.051700.052000.22300.3

EY =?+?+?+?

2600.22900.153200.05+?+?+?236=

同理随机变量2Y 的分布列为

1Y

140 170 200 230 260 290 320 P

0.05

0.05

0.2

0.3

0.2

0.15

0.05

1Y

100 130 180 230 280 330 P

0.1

0.2

0.3

0.2

0.15

0.05

21000.11300.21800.32300.22800.153300.05EY =?+?+?+?+?+?

194.5=

因为12EY EY >，所以建议骑手应选择方案（1） 方法2：

快餐店人均日快递量的期望是：

300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562?+?+?+?+?+?+?=

因此，方案（1）日工资约为50623236+?= 方案2日工资约为()10062445190 236+-?=< 故骑手应选择方案（1）

17.（共14分） 解： (Ⅰ) 方法1：

在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，

因为CE AD ⊥，所以BF

EC

又因为BC

AD ，1BC CE ==，=3AD

所以四边形BCEF 为正方形，1AF FE ED ===，F 为AE 中点

在图2中，连结GF 因为点G 是1AD 的中点， 所以1GF

D E

又因为BF EC ，GF

BF F =，GF BF ?，平面 BFG ，1,D E EC ?平面

1D EC ，

所以平面BFG

平面1CED

又因为BG GFB ?面 ，所以BG

平面1D EC

方法2：

在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F

因为CE AD ⊥，所以BF

EC

又因为BC

AD ，1BC CE ==，=3AD

所以四边形BCEF 为正方形 ， F 为AE 中点

在图2中，连结GF 因为点G 是1AD 的中点， 所以1GF

D E

又1D E ?平面1D EC ，GF ?平面1D EC

所以GF

平面1D EC

又因为BF EC ，EC ?平面1D EC ，BF ?平面1D EC

所以BF

平面1D EC 又因为GF

BF F =

所以平面BFG

平面1D EC

又因为BG GFB ?面 ，所以BG

平面1D EC

方法3：

在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，

因为CE AD ⊥，所以BF

EC

又因为BC AD ，1BC CE ==，=3AD

所以四边形BCEF 为正方形，1AF FE ED ===，得2AE = 所以1

=2

BC

AE BC AE ，

在图2中设点M 为线段1D E 的中点，连结,MG MC ，

因为点G 是1AD 的中点， 所以1

=2

GM

AE GM AE ，

所以 =GM BC GM BC ，，所以四边形MGBC 为平行四边形 所以BG

CM

又因为CM ?平面1D EC ，BG ?平面1D EC 所以BG

平面1D EC

（Ⅱ）因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，

平面1D EC

平面ABCE EC =,

1,D E EC ⊥1D E ?平面1D EC ，

所以1D E ⊥平面ABCE 又因为AB ?平面ABCE

所以1D E AB ⊥

又2AB BE AE ===，满足222AE AB BE =+ ，

所以BE AB ⊥ 又1BE

D E E =

所以AB ⊥平面1D EB （Ⅲ）因为1,,EA EC ED 三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系

所以(2,0,0)A ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，1(2,0,1),AD EB =-= 假设存在点G 满足题意，

设1,01AG AD λλ=≤≤，则(2,0,1)AG λ=-，

所以(2,0,0)(2,0,1)(22,0,)EG EA AG λλλ=+=+-=-

设平面GBE 的法向量为(,,)a b c =m ，

1

所以0

0EB EG ??=???=??

m m ，即0(22)0a b a c λλ+=??-+=?

取a λ=，则(,,22)λλλ=--m ，

由（Ⅱ），(1,1,0)AB =-为平面1BED 的法向量，

令cos ,3

AB AB AB ?<>=

=

=

m m m

解得2

3

λ=

或

2λ=（舍） 所以存在点G ，使得二面角1G BE D --的余弦值为

3

，且123AG AD =，

得AG =

18.（共13分）

所以22b =

所以椭圆方程为 22

142

x y +=

所以c =

=，

焦点坐标分别为12(F F (Ⅱ)方法1：

设00(,)P x y ，则2200142

x y +=，且(2,0),A - 若点P 为右顶点，则点Q

为上（或下）顶点，4,AP AQ ==，△PAQ 不是等边三角形，不合题意，所以002,0x y ≠±≠. 设线段PA 中点为M ，所以00

2(

,)22

x y M - 因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ?=- 因为直线PA 的斜率0

02

Ap y k x =

+ 所以直线MQ 的斜率00

2

MQ x k y +=-

又直线MQ 的方程为000022()22

y x x y x y +--

=-- 令0x =，得到0000

(2)(2)22Q y x x y y +-=

+ 因为22

00142

x y += 所以02

Q y

y =-

因为PAQ △为正三角形，

所以||||AP AQ =

化简，得到200532120x x ++=，解得002,65

x x =-=-（舍） 即点P 的横坐标为25

-. 方法2：

设00(,)P x y ，直线AP 的方程为(2)y k x =+.

当0k =时，点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）

顶点，4,AP AQ ==，△PAQ 不是等边三角形，不合题意，所以0k ≠.

联立方程22

142

(2)x y y k x ?+

=???=+?

消元得2222(12)8840k x k x k +++-= 所以160?=>

所以2

02

8(2)12k x k -+-=+

设线段PA 中点为M ，所以2

02

24212M x k x k --==

+，

222

42(2)1212M k k

y k k k -=+=

++ 所以222

42(,)1212k k

M k k -++

因为AP MQ ⊥，所以1

MQ K k =-

所以直线MQ 的方程为2

22

214()1212k k y x k k k --=--++

令0x =，得到2222

2142121212Q k k k

y k k k k -=-?=

+++ 因为PAQ △为正三角形， 所以||||AP AQ =

2412k =+化简，得到42

430k k +-=，解得223,14

k k ==-（舍）

所以202422

125

k x k -+==-

+， 即点P 的横坐标为2

5

-.

方法3： 设00(,)P x y ，

当直线AP 的斜率为0时，点P 为右顶点，则点Q

为上（或下）顶点，

4,AP AQ ==，△PAQ 不是等边三角形，不合题意，所以直线AP 的

斜率不为0.

设直线AP 的方程为2x ty =-

联立方程 22

142

2x y x ty ?+

=???=-?

消元得，22

(2)40t y ty +-=

所以0242

t

y t =

+ 设线段PA 中点为M

所以222M t y t =

+,24

2M

x t -=+， 所以2242(,)22

t

M t t -++

因为AP MQ ⊥，所以1

MQ k k =-

所以直线MQ 的方程为2224

()22t y t x t t --=--++

令0x =，得到222

Q t

y t -=+

因为PAQ △为正三角形， 所以||||AP AQ =

2|4|2t t =+化简，得到42340t t --=，解得224

,13t t ==-（舍）

所以202242

25

t x t -==-+，

即点P 的横坐标为2

5

19．（共14分）

解：（Ⅰ）因为2

2

()e ()a x a f x x a

+=-

，所以2'()e (2(2))a x f x ax x a =+-+ 所以'(1)0f =

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为0 （Ⅱ）方法1：

因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122

,1a x x a

+=-

= 当0a >时，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:

而222

(1)e (1)e (11)e ()0a a a a f a a a +=-

=--=-<，符合题意 当1a =-时，122

1a x x a

+=-==，

2'()e (1)0a x f x x =-+≤,()f x 没有极值，不符合题意

当10a -<<时，x >11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表

而2

(1)e ()0a f a

=->，不符合题意

当1a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:

x 1(,)x -∞ 1x

1(,1)x

1

(1,)+∞

()f x '

+

-

+

()f x

极大值

极小值

x

(,1)-∞ 1

1(1,)x 1x

1(,)x +∞

()f x '

-

+

-

()f x

极小值

极大值

所

以

2

()2122

()e

[()()]0a a a

a a f x a a

+-

++=-

-<， 解得2a <- 综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞

方法2：

因为函数()f x 的极小值小于0， 所以()0f x <有解，即22

0a x a

+-<有解 所以

2

0a a

+>，所以有0a >或2a <- 因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122

,1a x x a

+=-

= 当0a >时， x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:

而222

(1)e (1)e (11)e ()0a a a a f a a a

+=-

=--=-<，符合题意 当2a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:

x

1(,)x -∞ 1x

1(,1)x 1

(1,)+∞

()f x '

-

+

-

()f x

极小值

极大值

x

1(,)x -∞ 1x

1(,1)x

1

(1,)+∞

()f x '

+

-

+

()f x

极大值

极小值

x

1(,)x -∞ 1x

1(,1)x 1

(1,)+∞

()f x '

-

+

-

而2

2()()212

22

2(2)()e

[()()]e 0a a a a a

a a a a f x a a a ++-

-+++=--=<，符合题意

综上，a 的取值范围是(,2)

(0,)-∞-+∞

20.（共13分）

解：（Ⅰ）“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1) （Ⅱ）因为对于任意的1,2,3,4,5i =，()3c i ≥；

所以当,1i j a =时，5

|5()|532c i -≤-<

， 当,0i j a =时，,5

|5()|()2

i j a c i c i -=>；

因此若(,)i j 为“好位置”，

则必有,1i j a =，且55

()2

r j -<，即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1，其中有t 列中含1的个数不少于3，

则有5t -列中含1的个数不多于2， 所以52(5)15t t n +-≥≥，53

t ≥

， 因为t 为自然数，所以t 的最小值为2

因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326?= 所以，该数表好位置的个数不少于1569-=个 而下面的55?数表显然符合题意

()f x

极小值

极大值

1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1

1

1

此数表的“好位置”的个数恰好为9

综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9

（Ⅲ） 当(,)i j 为“好位置”时，且,1i j a =时，

则有|()|2m m c i -<

，所以()2

m c i >， 注意到m 为奇数，*

()c i ∈N ，所以有1

()2

m c i +≥ 同理得到1

()2

m r j +≥

当(,)i j 为“好位置”，且,0i j a =时，

则|()|2m m c i -<

，则必有()2

m

c i <， 注意到m 为奇数，*

()c i ∈N ，所以有1

()2

m c i -≤ 同理得到1

()2

m r j -≤

因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，

所以不妨设11

(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥

≤≤<+≤≤ 11

(),0,(),122

m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤

其中0,p q m ≤≤，,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表

1A

3A

2A 4A

其中1A 是p 行q 列，3A 是p 行m q -列，2A 是m p -行q 列，4A 是m p -行

1 0 0 1 1

m q -列

设1A ，2A ，3A ，4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x

则1A ，2A ，3A ，4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---

34(),()()p m q x m p m q x -----

则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个

而 1312m x x p ++≥?， 341

()2m x x m q -+≤-? 所以 1411

()22

m m x x p m q +--≥?--?

所

以

141411

()()()()()22

m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+?

--?

而 11

()()()22m m m p m q p m q +---+?--?

211

()22m m m pm qm pq p m q +-=--++?--?

211222m m m m

p q pq -++=?-?++

22111()()2242m m m m m

p q +--+=---+

21121

()()224m m m m p q +-++=--+

显然当11

()()22

m m p q +---取得最小值时，上式取得最小值，

因为0,p q m ≤≤，所以

2211211121

()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+

2211211121

()()(0)()224224

m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+

当p m =时，数表A 中至少含有1

2

m m +?个1，

而11(1)22m m m m m +-?>+-?

，所以q 至少为2 此时21121

()()224m m m m p q +-++--+

21121

()(2)224

m m m m m +-++≥--+

21m =-