空间向量的数量积(人教A版)(含答案)

空间向量的数量积（人教A版）

一、单选题(共10道，每道10分)

1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( )

A.(1，1，1)

B.(-2，-1，1)

C.(1，-3，1)

D.(1，-1，1)

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示

2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示

3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( )

A.或2

B.或2

C.2

D.

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示

4.向量，若，且，则的值为( )

A.-2

B.2

C.-1

D.1

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示

5.已知空间向量，若与垂直，则( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示

6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( )

A.4

B.−4

C. D.

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示

7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( )

A.1

B.2

C.3

D.

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积

8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积

9.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则下列等式成立的是( )

A. B.

C. D.

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积10.(上接第9题)( )

A. B.

C. D.

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积

(高一新教材第二册配套学案) 向量的数量积

6.2.4向量的数量积 学习目标核心素养 1．平面向量的数量积．(重点) 2．投影向量的概念．(难点) 3．向量的数量积与实数的乘法的区 别．(易混点) 1．通过平面向量的物理背景给出向量 数量积的概念和几何意义的学习，培养 数学建模和数学抽象的核心素养． 2．通过向量数量积的运算学习，提升 数学运算和数据分析的核心素养. 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ. 问题：该大力士所做的功是多少？ 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝ π 2时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0.

思考1：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？ [提示] 两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量． 3．投影向量 设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，过AB → 的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→ ，这种变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量． 4．向量数量积的性质 设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a·e ＝e·a ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ?a·b ＝0. (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |. 特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . (4)|a·b|≤|a||b |. 5．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a . (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 思考2：a ·(b ·c )＝(a ·b )·c 成立吗？ [提示] (a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，因为a ·b ，b ·c 是数量积，是实数，不是向量，所以(a ·b )·c 与向量c 共线，a ·(b ·c )与向量a 共线．因此，(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )在一般情况下不成立． 拓展：

向量公式大全

向量公式大全 『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法 羈AB+BC=AC a+b=(x+x'，y+y') a+0=0+a=a 运算律： 交换律：a+b=b+a 结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 2.向量减法 罿AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3.数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣ 当λ＞0时，λa与a同方向 当λ＜0时，λa与a反方向 当λ=0时，λa=0，方向任意 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0 『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ

向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍 数乘运算律: 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb) 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ 4.向量的数量积

定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?c os〈a，b〉若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣ 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y' 向量数量积运算律 a?b=b?a(交换律) (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律) (a+b)?c=a?c+b?c(分配律) 向量的数量积的性质 a?a=|a|2 a⊥b〈=〉a?b=0

平面向量的数量积导学案

平面向量的数量积导学案

河北孟村回民中学高一数学导学纲编号 班级姓名 年级高一作者温静时间 课题 2.4平面向量的数量积课型新授【课程标准】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.了解并掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 【重点】重点是数量积的定义、几何意义及运算律，. 【难点】难点是夹角公式和求模公式的应用. 【导学流程】 一、了解感知： （一）知识链接：1、向量加法和减法运算的法则_________________________________. 2、向量数乘运算的定义是 . 3、两个非零向量夹角的概念：_________________________________. 思考：通过前面的学习我们知道向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘”呢？

（二）自主探究：（预习教材P103-P106） 探究1：如下图，如果一个物体在力F的作用下 产生位移s，那么力F所做的功W= ，其中 θ是 . 请完成下列填空： F（力）是量；S（位移）是量；θ是； W（功）是量； 结论：功是一个标量，功是力与位移两个向量的大小及 其夹角余弦的乘积 启示：能否把“功”看成是力与位移这两个向量的一种 运算的结果呢？ 新知1向量的数量积（或内积）的定义 已知两个非零向量a和b，我们把数量cos a bθ叫做a和b的数量积（或内积），记作a b?，即 注：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可 以用“?”代替。 ②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零，即a?=。 00

探究2：向量的数量积运算与向量数乘运算的结果有什么不同？影响数量积大小因素有哪些？ 小组讨论，完成下表： θ的范围0°≤ θ<90° θ=90° 0°<θ≤ 180° a·b的符号 新知2：向量的数量积（或内积）几何意义 （1）向量投影的概念：如图，我们把cos aθ叫做向量a在b 方向上的投影；cos bθ叫做向量b在a方向上的投影. 说明：如图， 1cos OB bθ =. 向量投影也是一个数量，不是向量； 当θ为锐角时投影为_______值；当θ为钝角时投影为_______值； 当当θ = 0?时投影为 ________；当θ＝９０?时投影为__________； 当θ = 180?时投影为__________. （2）向量的数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影的乘积。

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量数量积学案

平面向量的数量积（1）学案 一、导学目标： 1.掌握平面向量的数量积定义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.熟练应用平面向量的数量积处理有关模长、角度和垂直问题, 掌握向量垂直的条件； 二、学习过程： （一）复习引入 1．向量数量积的定义 (1)向量数量积的定义：____________________________________________ (2)向量数量积的性质： ①如果e 是单位向量，则a e ?＝e a ?＝________； ②a a ?＝___________或a ＝__________； ③cos ,a b <>＝________； ④非零向量,a b ，a b ⊥?________________； ⑤a b ?____a b . 2．向量数量积的运算律 (1)交换律：a b ?＝________； (2)分配律：()a b c +?＝______________________； (3)数乘向量结合律：(a λ)·b ＝________________. （二）探索研究 小试牛刀 1.(口答)判断题. (1)=?； (2)a b b a ?=?； (3)22a a =； (4)()()a b c a b c ?=?； (5)a b a b ?≤?； (6) ． 2. 已知向量a 和b 的夹角为135°，2a =，3b =，则a b ?= ________ =??=?

3．已知2a =，3b =，则a b ?=－3，则a 和b 的夹角为__________ 4．(2010·重庆)已知向量a 、b 满足0a b ?=，2a =，3b =，则2a b -＝________ 学生归纳： 例题探究 例1（2010·湖南） 在Rt ABC ?中，90C ∠=,4AC =,则AB AC ?等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 变式： 1.在ABC ?中，3AB =，2AC =，BC =AB AC ?等于 ( ) A.－32 B.－23 C.23 D.32 2.在ABC ?中，3AB =， 2AC =，5AB AC ?=，则BC =_____________ 例2已知向量a b ⊥，2a =，3b =，且32a b +与a b λ-垂直，则实数λ的值为________. 变式： (2011·课标全国) 已知a 和b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a b +与向量ka b -垂直，则k ＝________ （三）练习 1.已知4a =，3b =，(23)(2)61a b a b -?+=，（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求a b +. 2.(2011·广东) 若向量,,a b c 满足//a b ，且a c ⊥，则(2)c a b ?+＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3.在ABC ?中，M 是BC 的中点，1AM =，2AP PM =，则()PA PB PC ?+＝_______ 4.设非零向量,,a b c 满足a b c ==，a b c +=，则a 与b 的夹角为 ( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 5.(2011·辽宁) 若,,a b c 均为单位向量，且0a b ?=，()()0a c b c -?-≤，则a b c +-的最大值为 ( ) A.2－1 B.1 C. 2 D.2

最新华师大附中数学复习教学案平面向量数量积的坐标表示

华师大附中2011届数学复习教学案平面向量数量积的坐标表 示

课题：平面向量数量积的坐标表示 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量?Skip Record If...?与?Skip Record If...?，作?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?，?Skip Record If...?＝?Skip Record If...?，则∠A ＯB＝θ（０≤θ≤π）叫?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量?Skip Record If...?与 ?Skip Record If...?，它们的夹角是θ，则数量|?Skip Record If...?||?Skip Record If...?|c osθ叫?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的数量积，记作?Skip Record If...???Skip Record If...?，即有?Skip Record If...???Skip Record If...? = |?Skip Record If...?||?Skip Record If...?|c osθ， （０≤θ≤π）.并规定?Skip Record If...?与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积?Skip Record If...???Skip Record If...?等于?Skip Record If...?的长度与 ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向上投影|?Skip Record If...?|c osθ的乘积

(学案)校级公开课--平面向量的数量积及应用(学案)

课题：平面向量的数量积及其应用 一、知识归纳：见课本 二、问题探究： 问题1．()1已知ABC △中，||6,||9,45BC CA C ==∠=?，则BC CA ?= ()2已知平面上三点,,A B C 满足3,4,5AB BC CA ===， 则AB BC BC CA CA AB ?+?+?的值等于 ()3已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，求a 与a b +的夹角 问题2．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。 问题3 已知向量a =,23sin ,23cos ?? ? ??x x b =,2sin ,2cos ??? ??-x x 且x ∈??????-4,3ππ. （1）求a ·b 及|a +b |; (2)若f(x)=a ·b -|a +b |，求f(x)的最大值和最小值.

2 问题4 设两个向量e 1,e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1与e 2的夹角为3 ,若向量2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为钝角， 求实数t 的范围. 课堂练习 1、一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成0 60角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 A. 6 B. 2 C. 25 D. 27 2. |a |=1,|b |=2,c =a +b ,且c ⊥a ,则向量a 与b 的夹角为 ( )A .30° B .60° C .120° D .150° 3.如图所示，在平行四边形ABCD 中， AC =（1，2） ，BD =（-3，2），则AD ·AC = . 4、.设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.

(重点)平面向量数量积公式的应用(可编辑修改word版)

F D C A a B 1 O - A 1 b B 平面向量数量积公式的应用 向量的数量积是我们学习向量中的一种新的运算，它是两个向量之间的乘法关系，它们的积是数量，因此，数量积公式充分把向量与数结合在一起，为我们解题提供了一种新的思维方式。下面谈谈数量积公式在解题中的应用。 一、解决平面几何问题： 1. 长度问题 例 1：设 AC 是平行四边形 ABCD 的长对角线，从 C 引 AB 、AD 的垂线 CE 、CF ，垂足分别为 E 、F ，如图所示，求证： AB ? AE + AD ? AF = AC 2 。 B E 2. 垂直问题 例 2：如图所示，四边形 ADCB 是正方形，P 是对角线 DB 上一点，PFCE 是矩形，证明： PA ⊥ EF 。 3. 夹角问题 例 3：求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角。 二、解决三角问题： 1. 证明一些公式： 例 4： 对 于 任 意 实 数 ， Y ， 求 证 ： cos(+ ) = cos cos - sin sin 。 X y A B P E D O F C x y A E O C D B x

2. 证明三角恒等式： 例 5：已知 、 为锐角， 且 3sin 2 + 2 s in 2 = 1 ， A 5 3sin 2- 2 s in 2= 0 ，求证：+ 2= 。 2 A 6 A 4 A 7 e A 3 A 1 A 2 3. 求三角函数值： 2 例 6：求值： cos 7 + cos 4+ c os 6。 7 7 4. 解与三角形有关的问题： 例 7：在锐角△ABC 中，已知cos A + cos B - cos( A + B ) = 3 ，求角 C 的值。 2 三、证明等式： 一般来说，等式的证明都要进行恒等运算，但应用向量的有关知识和运算，并且简单明了。 例 8：设(x 2 + y 2 )(a 2 + b 2 ) = (ax + by )2 （ ab ≠ 0 ），求证： x = y a b

平面向量数量积的坐标表示学案

必修4 2．4．3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【学习目标】 1.举例说明平面向量数量积的坐标表示、用坐标表示向量的模、夹角、垂直、平面内两点间的距离公式； 2.能运用以上知识解决有关问题和解决问题的思想方法； 3.通过本节课的学习，进一步加深对向量数量积的认识，提高同学们的运算速度、运算能力、创新能力及数学素质. 【学习重点】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离等公式. 【难点提示】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离的综合 运用以及灵活解决相关问题. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材106108P 结合进行自主学习（对教材中的文字、 图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题： 1.两个非零向量的夹角 ，夹角的范围是 ； 当两向量共线与垂直时夹角分别是 、 、 ；与非零向量a 垂直的向量有 个； 2.平面向量数量积定义 ， 向量数量积的几何意义 、向量数量积的性质 、 、 、 、 . 3.向量数量积满足的运算律 、 、 ；

4.平面向量的坐标表示及坐标运算 ，平面向量共线的坐标表示 ； 热身练习 已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB =； （2）____AB AC -=；请问同学们，你还能求：____AB =，____AB AC ?=， cos ____ABC ∠=，该△ABC 的形状如何？等. 这就是我们本节课要探究的问题！ 二、学习探究 通过“学习准备”，在想一想：前面我们学习了平面向量的坐标表示，我们已经会用向量的坐标表示来表示向量中的哪些相关知识？能用向量的坐标表示解决向量的哪些问题？上节课我们又学习了向量的数量积及相关知识，那么，现在你能用向量的坐标来表示向量的数量积、模、夹角吗？请同学们发挥你的想象探究一下： 探究向量数量积坐标表示 已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =，请你坐标表示a b ?？ 【提示】请同学们一定要先独立思考，再看链接1 探究： 归纳结论 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ?b = . 快乐体验 1.已知：(3,4),(5,12)a b =-=，求：|a |= ，|b |= ，a ?b = ， cos ___θ=（θ为向量a 与b 的夹角） 解： 2. 已知(2,3),(2,4),(2,4),a b c ==-=-求2,()(),(),().a b a b a b a b c a b ?+?-?++ 解： 3.已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB AC ?=； （2）____AB =；（3）△ABC 的形状是 . 解： 同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积的坐标表示有哪些感悟？它们有哪些性质呢？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？ 挖掘拓展 1.你能用几种语言来描述平面向量数量积的坐标表示？它实质就是一个运算公式，这个公式又怎样的特征？有几个变量？如何运用该公式？ 2.设),(y x a = ，则|a |= 或|a |= (长度公式) 3.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么 ||||AB a == (平面内两点间的距离公式) 4.夹角的计算：设),(11y x a =，),(22y x b = ,夹角为θ，则cos θ= 5.垂直关系分析：设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥? ?

向量公式大全83635

向量公式 设a=（x，y），b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b

811向量数量积的概念学案-辽宁省营口市第二高级中学【新教材】人教B版（2019）高一数学必修第三册（无答案）

8.1.1向量数量积的概念 班级：小组：学生姓名： 【学习目标】1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直. 预学案 知识点一向量的夹角 思考 1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 思考2 △ABC为正三角形，设AB→＝a，BC→＝b，则向量a与b的夹角是多少？ 梳理两个向量夹角的定义 (1)已知两个非零向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则________称作向量a和向量b的夹角，记作________，并规定它的范围是______________. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝________.

(2)当__________时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作__________. 知识点二向量在轴上的正射影 思考向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？ 梳理向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图). →叫作OA→＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量O1A1 做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a 在________上的数量或在____________上的数量.OA→＝a在轴l上正射影的坐标记作a l，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l＝|a|cos θ. 知识点三向量的数量积(内积) 思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且 力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？

《空间向量数量积的运算》的教学反思

《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应

湖南湘潭市凤凰中学年高中数学2.4.1向量的数量积学案新人教a版4

湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.4.1向量的数量积学案 新人教A 版 必修4 【学习目标】 1.从物理中的物体受力做功，理解向量数量积的概念，并了解向量数量积得几何概念。 2. 能够运用向量数量积的概念求两个向量的数量积，探究并掌握向量数量积的重要性质，并能根据条件逆用等式求向量的夹角。 【重点、难点】 重点： 向量数量积的概念及几何意义 难点： 向量数量积的运算律的证明 自主学习案 【知识梳理】（或问题导学、课前预习等） 1. 向量数量积得概念及其几何意义 （1）向量数量积的概念：已知两个非零向量a 与b 共线，它们的夹角为θ，把 叫做a 与b 的数量 积（或内积），记作： ，即： 。 规定→ 0与任一向量的数量积为 ，即： 。 （2）“投影”的概念：把 或（ ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。 如图，,,→ →→==b OB a OA 过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则θcos ||1→=b OB 。 投影是一个 ，不是向量；当θ为锐角时，它是 ；当θ为钝角时，它是 ；当θo 90=时，它是 ；当θo 0=时，它是 ；当θo 180=时，它是 。 （3）几何意义：数量积a ?b 等于b 的长度与a 在b 方向上的投影θcos ||→a 的 。 （4）物理意义：力做的功是力与位移的 。 2．数量积随θ变化而变化的规律（a ，b 为非零向量） （1）当o 0=θ则a ?b （2）当)90,0(o o ∈θ则a ?b （3）当o 90=θ则a ?b （4）当)180,90(o o ∈θ则a ?b （5）当o 180=θ则a ?b 3．已知两个非零向量a 与b 共线，它们的夹角为θ，=θcos 4．2 a = ，a = 交换律 结合律 分配律 除法运算 R b a ∈、 ab=ba a （bc ）=（a b ）c a （b+c ）=ab+ac ab=k 且b ≠0， b k a = 向量a 、 b 1．已知｜｜=6，｜｜=2,且a 与b 的夹角为o 60则a ?b = 。 2. 已知两个非零向量a 与，｜｜=6，且a 与b 的夹角为o 60，则a 在方向上的投影为 。

空间向量的数量积(人教A版)(含答案)

空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(教、学案)

2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教材分析 本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数 量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。 二．教学目标 1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。 2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。 3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、 三、教学重点难点 重点：平面向量数量积的坐标表示. 难点：向量数量积的坐标表示的应用. 四、学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用 长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工 具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节 内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取 以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实 际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积 的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的 模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

平面向量数量积运算专题(附标准答案)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( )

A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________.

人教A版高中数学《平面向量的数量积》导学案

2.4《平面向量的数量积》导学案 【学习目标】 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 【导入新课】 复习引入： 1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 4．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=， ),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 5．a ∥b (b 0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 6．线段的定比分点及λ P 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ， 使 P P 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况： λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0) 7. 定比分点坐标公式：

苏教版数学高一-【学案导学设计】 必修4试题 2.4向量的数量积(二)

2.4 向量的数量积(二) 课时目标 1．掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算． 2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模． 1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于它们________________________． 2．平面向量的模 (1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________. (2)两点间距离公式：若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则|AB →|＝________________. 3．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________________＝________________________. 4．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?________________. 一、填空题 1．已知向量a ＝(1，n)，b ＝(－1，n)，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝________. 2．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝______. 3．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 5．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 6．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值为________． 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________. 8．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________. 9．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．

《空间向量的数量积运算》示范教案

3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？