线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章 向量组的线性相关性

1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T

=(1-0, 1-1, 0-1)T

=(1, 0, -1)T .

3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .

2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6

1

321a a a a -+=

])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61

T T T --+=

=(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组

A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;

B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由

?????

??-=3121

23111012421301

402230) ,(B A ???

?

? ??-------971820751610402230

421301

~r

????

?

?

?------531400251552000751610

421301 ~r ???

?

?

?

?-----000000531400751610

421301

~r

知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

由

???

?

?

??-????? ??---????? ??-=000000

110

201110110220201312111421402~~r r B

知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.

4. 已知向量组

A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;

B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明 由

???

?

??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,

知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.

5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.

证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.

(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.

6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .

解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为

????

??-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A ,

所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为

0222

000430

12||≠=-=B ,

所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.

7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由

)1)(1(11111

1||+-=--=a a a a

a a A

知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关.

8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2线性表示的表示式.

解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使 λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得 22

11

121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,

设2

11λλλ+-

=c , 则

b =

c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .

9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相

关？试举例说明之.

解不一定.

例如,当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1,-1)T, b2=(0, 0)T时,有

a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,

而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例,是线性无关的.

10.举例说明下列各命题是错误的:

(1)若向量组a1,a2,???,a m是线性相关的,则a1可由a2,???,a m线性表示.

解设a1=e1=(1, 0, 0,???, 0),a2=a3=???=a m=0,则a1,a2,???,a m线性相关,但a1不能由a2,???,a m线性表示.

(2)若有不全为0的数λ1,λ2,???,λm使

λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0

成立,则a1,a2,???,a m线性相关, b1,b2,???,b m亦线性相关.

解有不全为零的数λ1,λ2,???,λm使

λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0,

原式可化为

λ1(a1+b1)+???+λm(a m+b m)=0.

取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,???,a m=e m=-b m,其中e1,e2,???,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,???,a m和b1,b2,???,b m均线性无关.

(3)若只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式

λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0

才能成立,则a1,a2,???,a m线性无关, b1,b2,???,b m亦线性无关.

解由于只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式

由λ1a1+???+λm a m+λ1b1+???+λm b m=0

成立,所以只有当λ1,λ2,???,λm全为0时,等式

λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+???+λm(a m+b m)=0

成立.因此a1+b1,a2+b2,???,a m+b m线性无关.

取a1=a2=???=a m=0,取b1,???,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但

a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关.

(4)若a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关, 则有不全为0的数,

λ1, λ2, ? ? ?, λm 使

λ1a 1+ ? ? ? +λm a m =0, λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0

同时成立.

解 a 1=(1, 0)T , a 2=(2, 0)T , b 1=(0, 3)T , b 2=(0, 4)T ,

λ1a 1+λ2a 2 =0?λ1=-2λ2, λ1b 1+λ2b 2 =0?λ1=-(3/4)λ2,

?λ1=λ2=0, 与题设矛盾.

11. 设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.

证明 由已知条件得

a 1=

b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,

这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.

12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成

????

?

?

??

???????????????????????=???100110

111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ?

, b r 线性无关.

13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:

(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由

???

?

?

??-????? ??--????? ??----=000000

010

291032001900820291844210141002291

) , ,(~~321r r a a a ,

知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以

a 1, a 2是一个最大无关组.

(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7). 解 由

??

?

?

? ??--????? ??------????? ??------=00000059014110180590590141

763451312141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.

14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:

(1)????

?

?

?48

203225134549475132539475

43173125

;

解 因为

????

? ?

?48

2032251345494751325394754317312513121

433~

r r r r r r ---????

? ?

?531

05310321043173125342

3~

r r r r --???

?

? ?

?000

03100321043173125

,

所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

(2)???

?

?

?

?---14

0113130215120

12211. 解 因为

????

? ??---14

011313021512012211

131

42~

r r r r --????

? ?

?------22

200151201512012211

234

3~

r r r r +????

?

? ?

?---00

000222001512012211

, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.

15. 设向量组

(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T

的秩为2, 求a , b .

解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为

???? ??----???? ??---???? ??=52001110311161101110311

131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,

而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.

16. 设a 1, a 2, ? ? ?, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,? ? ?, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关.

证法一 记A =(a 1, a 2, ? ? ?, a n ), E =(e 1, e 2,? ? ?, e n ). 由已知条件知, 存在矩阵K , 使

E =AK .

两边取行列式, 得

|E |=|A ||K |.

可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关.

证法二因为e1,e2,???,e n能由a1,a2,???,a n线性表示,所以

R(e1,e2,???,e n)≤R(a1,a2,???,a n),

而R(e1,e2,???,e n)=n,R(a1,a2,???,a n)≤n,所以R(a1,a2,???,a n)=n,从而a1,a2,???, a n线性无关.

17.设a1,a2,???,a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.

证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,???,a n线性无关,而a1,a2,???,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,???,a n线性表示,且表示式是唯一的.

充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,???,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,???,e n能由a1,a2,???,a n线性表示,于是有

n=R(e1,e2,???,e n)≤R(a1,a2,???,a n)≤n,

即R(a1,a2,???,a n)=n,所以a1,a2,???,a n线性无关.

18.设向量组a1,a2,???,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k (2≤k≤m),使a k能由a1,a2,???,a k-1线性表示.

证明因为a1,a2,???,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,???,λm,使

λ1a1+λ2a2+???+λm a m=0,

而且λ2,λ3,???,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使

λk≠0,λk+1=λk+2=???=λm=0,

于是

λ1a1+λ2a2+???+λk a k=0,

a k=-(1/λk)(λ1a1+λ2a2+???+λk-1a k-1),

即a k能由a1,a2,???,a k-1线性表示.

19. 设向量组B : b 1, ? ? ?, b r 能由向量组A : a 1, ? ? ?, a s 线性表示为

(b 1, ? ? ?, b r )=(a 1, ? ? ?, a s )K , 其中K 为s ?r 矩阵, 且A 组线性无关. 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .

证明 令B =(b 1, ? ? ?, b r ), A =(a 1, ? ? ?, a s ), 则有B =AK . 必要性: 设向量组B 线性无关.

由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r . 因此R (K )=r .

充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使??

?

??=O E KC r 为K 的标准形. 于是

(b 1, ? ? ?, b r )C =( a 1, ? ? ?, a s )KC =(a 1, ? ? ?, a r ).

因为C 可逆, 所以R (b 1, ? ? ?, b r )=R (a 1, ? ? ?, a r )=r , 从而b 1, ? ? ?, b r 线性无关.

20. 设

?

????+???+++=?????????????????????+???++=+???++=-1

321312321 n n n

n

ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价. 证明 将已知关系写成

?????

? ???

?????????????????????????????=???0111

1011

1101

1110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为

0)1()1(0

1111011

1

1011110||1≠--=???????????????????????????=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价.

21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.

(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ; 解 因为

AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x )

=(A x , A 2x , 3A x -A 2x )

???

?

??-=110301000) , ,(2

x x x A A ,

所以????

??-=110301000B .

(2)求|A |.

解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3, |A |=0. 22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:

(1)?????=-++=-++=++-02683054202108432143214321

x x x x x x x x x x x x ;

解 对系数矩阵进行初等行变换, 有

???? ??--???? ??---=00004/14/310040

1 2683154221081~r A ,

于是得

???+=-=4

323

1)4/1()4/3(4x x x x

x .

取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T . 因此方程组的基础解系为

ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .

(2)?????=-++=-++=+--03678024530232432143214321

x x x x x x x x x x x x .

解 对系数矩阵进行初等行变换, 有

????

??--???? ??----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,

于是得

???+-=+-=4

324

31)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x

x x .

取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为

ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .

(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ? ? ? +2x n -1+x n =0. 解 原方程组即为

x n =-nx 1-(n -1)x 2- ? ? ? -2x n -1.

取x 1=1, x 2=x 3= ? ? ? =x n -1=0, 得x n =-n ;

取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ? ? ? =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;

? ? ? ;

取x n -1=1, x 1=x 2= ? ? ? =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0, -n )T , ξ2=(0, 1, 0, ? ? ?, 0, -n +1)T , ? ? ?,

ξn -1=(0, 0, 0, ? ? ?, 1, -2)T .

23. 设???

??--=82593122A , 求一个4?2矩阵B , 使AB =0, 且

R (B )=2.

解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为

??? ??---??? ??--=8/118/5108/18/101 82593122~r

A , 所以与方程组A

B =0同解方程组为

???+=-=4

324

31)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x

x x .

取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为

ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T .

因此所求矩阵为???

?

?

??-=8008115

11

B .

24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为

ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .

解 显然原方程组的通解为

????? ??+????? ??=????

? ??012332102143

2

1k k x x x x , 即????

?=+=+==142132

12213223k x k k x k k x k x , (k 1, k 2∈R ), 消去k 1, k 2得

???=+-=+-0230

324

31421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.

25. 设四元齐次线性方程组

I : ???=-=+004

22

1x x x x , II : ???=+-=+-00

432321x x x x x x .

求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解. 解 (1)由方程I 得??

?=-=4

24

1x x x x .

取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为

ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得??

?-=-=4

324

1x x x x x .

取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为

ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程

III : ?

????=+-=+-=-=+0

00

0432*******x x x x x x x x x x

的解. 因为方程组III 的系数矩阵

???

?

? ??--????? ??---=000

021001010

100

1

1110011110100011~r A ,

所以与方程组III 同解的方程组为

?????==-=4

34241

2x x x x x x .

取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为 ξ=(-1, 1, 2, 1)T .

因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .

26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明

R (A )+R (A -E )=n .

证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知

R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,

由此R (A )+R (A -E )=n .

27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明

???

??-≤-===2

)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当.

证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .

当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,

即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.

当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故A *=O , 从而R (A *)=0. 28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:

(1)?????=+++=+++=+3223512254321432121

x x x x x x x x x x ;

解 对增广矩阵进行初等行变换, 有

???

?

??--???? ??=2100013011080101 322351211250011~r B .

与所给方程组同解的方程为

?????=+=--=2

13 843231

x x x x x . 当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为

?????==-=0

43231

x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .

(2)?????-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321

x x x x x x x x x x x x .

解 对增广矩阵进行初等行变换, 有

????

??---???? ??-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .

与所给方程组同解的方程为

???--=++-=2)2/1((1/7)1

)2/1()7/9(4

32431x x x x x x .

当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解

η=(1, -2, 0, 0)T .

与对应的齐次方程组同解的方程为

???-=+-=4

32431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础解系

ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .

29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知η1, η2, η3是它的三个解向量. 且

η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,

求该方程组的通解.

解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得

2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T

为其基础解系向量, 故此方程组的通解:

x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).

30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时

(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;

(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;

(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.

解 ??

??

??---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ???

? ??-+++---βαβαα

34001110121 ~r

. (1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示. (2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无关, 而向量组a 1,

a 2, a 3,

b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一. (3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,

??

?

?

??----=1105402111421) , , ,(123b a a a ???

?

??--000013101201 ~r

, 方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为

?

???

??--+=???? ??-+???? ??-=???? ??c c c c x x x 1312011132321, c ∈R .

因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1, 即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .

31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线 l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,

l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,

相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.

证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组

?????=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即?????-=+-=+-=+3

33222111

c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a , b 唯一线性表示, 而c 能由a , b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a , b 线性无关, 且向量组a , b , c 线性相关.

32. 设矩阵A =(a 1, a 2, a 3, a 4), 其中a 2, a 3, a 4线性无关, a 1=2a 2- a 3. 向量b =a 1+a 2+a 3+a 4, 求方程A x =b 的通解.

解由b=a1+a2+a3+a4知η=(1, 1, 1, 1)T是方程A x=b的一个解.

由a1=2a2-a3得a1-2a2+a3=0,知ξ=(1,-2, 1, 0)T是A x=0的一个解.

由a2,a3,a4线性无关知R(A)=3,故方程A x=b所对应的齐次方程A x=0的基础解系中含一个解向量.因此ξ=(1,-2, 1, 0)T是方程A x=0的基础解系.

方程A x=b的通解为

x=c(1,-2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T,c∈R.

33.设η*是非齐次线性方程组A x=b的一个解, ξ1,ξ2,???,ξn-r,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:

(1)η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r线性无关;

(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,???,η*+ξn-r线性无关.

证明(1)反证法, 假设η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r线性相关.因为ξ1,ξ2,???,ξn-r线性无关,而η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r线性相关,所以η*可由ξ1,ξ2,???,ξn-r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.

(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,???,η*+ξn-r与向量组η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,???,ξn-r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,???,η*+ξn-r也线性无关.

34.设η1,η2,???,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1,k2,???,k s为实数,满足k1+k2+???+k s=1. 证明

x=k1η1+k2η2+???+k sηs

也是它的解.

证明因为η1,η2,???,ηs都是方程组A x=b的解,所以

Aηi=b (i=1, 2,???,s),

从而A(k1η1+k2η2+???+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+???+k s Aηs

=(k1+k2+???+k s)b=b.

因此x=k1η1+k2η2+???+k sηs也是方程的解.

35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,???,ηn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为

x=k1η1+k2η2+???+k n-r+1ηn-r+1, (其中k1+k2+???+k n-r+1=1).

证明因为η1,η2,???,ηn-r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2-η1,ξ2=η3-η1,???,ξn-r=η n-r+1-η1均为A x=b的解.

用反证法证:ξ1,ξ2,???,ξn-r线性无关.

设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,???,λn-r,使得

λ1ξ1+λ2ξ2+???+λ n-rξ n-r=0,

即λ1(η2-η1)+λ2(η3-η1)+???+λ n-r(ηn-r+1-η1)=0,

亦即-(λ1+λ2+???+λn-r)η1+λ1η2+λ2η3+???+λ n-rηn-r+1=0,

由η1,η2,???,ηn-r+1线性无关知

-(λ1+λ2+???+λn-r)=λ1=λ2=???=λn-r=0,

矛盾.因此ξ1,ξ2,???,ξn-r线性无关.ξ1,ξ2,???,ξn-r为A x=b的一个基础解系.

设x为A x=b的任意解,则x-η1为A x=0的解,故x-η1可由ξ1,ξ2,???,ξn-r 线性表出,设

x-η1=k2ξ1+k3ξ2+???+k n-r+1ξn-r

=k2(η2-η1)+k3(η3-η1)+???+k n-r+1(ηn-r+1-η1),

x=η1(1-k2-k3???-k n-r+1)+k2η2+k3η3+???+k n-r+1ηn-r+1.

令k1=1-k2-k3???-k n-r+1,则k1+k2+k3???-k n-r+1=1,于是

x=k1η1+k2η2+???+k n-r+1ηn-r+1.

36.设

V1={x=(x1,x2,? ? ?,x n)T| x1,? ? ?,x n∈R满足x1+x2+? ? ? +x n=0},

V2={x=(x1,x2,? ? ?,x n)T| x1,? ? ?,x n∈R满足x1+x2+? ? ? +x n=1},

问V1,V2是不是向量空间？为什么？

解V1是向量空间,因为任取

α=(a1,a2,? ? ?,a n)T∈V1,β=(b1,b2,? ? ?,b n)T∈V1,λ∈∈R,

有a1+a2+? ? ? +a n=0,

b1+b2+? ? ? +b n=0,

从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ? ? ? +(a n +b n ) =(a 1+a 2+ ? ? ? +a n )+(b 1+b 2+ ? ? ? +b n )=0, λa 1+λa 2+ ? ? ? +λa n =λ(a 1+a 2+ ? ? ? +a n )=0, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ? ? ?, a n +b n )T ∈V 1, λα=(λa 1, λa 2, ? ? ?, λa n )T ∈V 1. V 2不是向量空间, 因为任取

α=(a 1, a 2, ? ? ?, a n )T ∈V 1, β=(b 1, b 2, ? ? ?, b n )T ∈V 1, 有 a 1+a 2+ ? ? ? +a n =1, b 1+b 2+ ? ? ? +b n =1,

从而 (a 1+b 1)+(a 2+b 2)+ ? ? ? +(a n +b n )

=(a 1+a 2+ ? ? ? +a n )+(b 1+b 2+ ? ? ? +b n )=2, 所以 α+β=(a 1+b 1, a 2+b 2, ? ? ?, a n +b n )T ?V 1.

37. 试证: 由a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 0, 1)T , a 3=(1, 1, 0)T 所生成的向量空间就是R 3.

证明 设A =(a 1, a 2, a 3), 由

020

111011

10||≠-==A ,

知R (A )=3, 故a 1, a 2, a 3线性无关, 所以a 1, a 2, a 3是三维空间R 3的一组基, 因此由a 1, a 2, a 3所生成的向量空间就是R 3.

38. 由a 1=(1, 1, 0, 0)T , a 2=(1, 0, 1, 1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2, -1, 3, 3)T , b 2=(0, 1, -1, -1)T 所生成的向量空间记作V 2, 试证V 1=V 2. 证明 设A =(a 1, a 2), B =(b 1, b 2). 显然R (A )=R (B )=2, 又由

????

? ?

?--?????

?

?---=00

000000

1310021

1 13

1013101101

0211) ,(~r B A , 知R (A , B )=2, 所以R (A )=R (B )=R (A , B ), 从而向量组a 1, a 2与向量组b 1, b 2等价.

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

北大版 线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何？ 解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都 改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项， 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ， 故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的

值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ， 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解 ： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

线性代数习题参考答案

第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。

4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=

2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

线性代数习题及解答

线性代数习题一 说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2，则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．6 2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +A D ． E -A -1 3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ） A ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1 ?? ???A B B ．?? ??? A B 不可逆 C ．?? ? ??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ??? B A D ．?? ???A B 可逆，且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是 （ ） A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关 B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T 6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案

第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

线性代数习题与答案(复旦版)1

线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

线性代数习题及答案

高数选讲线性代数部分作业 1．已知n阶方阵满足A2+2A-3I＝O，则(A+4I)-1为 . 2．设n阶方阵满足 的代数余子式，则为（）。 3．已知n阶方阵 ，则A中所有元素的代数余子式之和为（）。 4．设有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数，则方程组必有一个特解是（） 5．设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组＝0与＝0有相同的基础解系，则在下列方程组中以为基础解系的是（） (A) (B) (C) (D) 6．设A、B为四阶方阵，( ) （A）1．（B）2. （C）3. （D）4 7．设n阶矩阵A与B等价，则（）成立。 (A)detA=detB (B) detAdetB (C)若detA0，则必有detB0(D) detA=－detB 8．设是四维非零向量组，是的伴随矩阵，已知方程组 的基础解系为k（1，0，2，0）T,则方程组的基础解系为（） (A) (B) (C) (D) 9．设A是矩阵，则下列命题正确的是：（） （A）若R(A)＝m，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （B）若R(A)＝n，则齐次方程组Ax＝0只有零解。 （C）若m

11．四元非齐次线性方程组的通解为 x＝（1，－1，0，1）T＋k（2，－1，1，0）T,k为任意常数，记 则以下命题错误的是 （A） (B) (C) (D) 12．知线性方程有无穷多解，求的取值并求通解。 13．设A是阶方阵，是A的两个不同的特征值，是A的对应于的线性无关特征向量，是A的对应于的线性无关特征向量，证明线性无关。14．已知矩阵的秩为1，且是的一个特征向量，（1）求参数; （2）求可逆矩阵和对角矩阵，使得 15．设5阶实对称矩阵满足，其中是5阶单位矩阵，已知的秩为2，（1）求行列式的值；（2）判断是否为正定矩阵？证明你的结论。 （2）的特征值全为正数，所以是正定矩阵。 16．． 17． 18．

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

线性代数课后习题答案 1.3

习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二 注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析 第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解.

(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解

第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1）???? ????? ???71 10 025********* 4； （2）????????????-26 52321121314 1 2； （3）????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+

2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分