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线性代数课后题详解
第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
相信自己加油
(1)3
81141
1
02---; (2)b
a c a c b
c b a
(3)222111c b a c b a
; (4)y
x y x x y x y y x y x
+
++.
解 注意看过程解答(1)
=---3
81141
1
2
811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?
)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4-
(2)=b
a c a c
b
c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++
3333c b a abc ---=
(3)
=2
2
2
1
11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---=
(4)
y
x
y
x x y x y y x y x
+++
yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业
(1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3;
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(5)1 3 …
)12(-n 2 4 … )2(n ;
(6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2.
解(1)逆序数为0
(2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为
2
)
1(-n n :
3 2 1个 5 2,5
4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… …
)12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n
)1(-n 个
(6)逆序数为)1(-n n
3 2 1个 5 2,5
4 2个 ……………… …
)12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n
)1(-n 个
4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… …
)2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个
3.写出四阶行列式中含有因子2311a
a 的项. 解 由定义知,四阶行列式的一般项为
43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p
已固定,
4321p p p p 只能形如13□□,即1324或1342.对应的t 分别为
10100=+++或22000=+++
∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.
4.计算下列各行列式:
多练习方能成大财 (1)??
???????
???711
0025102021421
4; (2)?????
?
???
???-26
0523********
12; (3)????
??????---ef cf bf
de cd bd ae ac ab ; (4)??
???
???????---d c b a
100
110011001 解
(1)
7
110025102021421434327c c c c --0
1001423
102
021
1021
4---
=34)1(14
31022110
14+-?--- =14
310221
10
14
--3
21
13
2c c c c ++1417172001099-=0
(2)
26
5232112131412-24c c -2
6050321221
304
12-
24r r -0412
03212213
0412
- 14r r -0
000
032122130412-=0
(3)
ef
cf
bf
de cd bd ae ac ab
---=e
c
b
e c b e c b
adf ---
=1
111111
11
---adfbce
=abcdef 4
(4)
d
c b a 100110011001---21ar r +
d c
b a ab 1001
10011
010
---+
=1
2)
1)(1(+--d
c
a a
b 10
1
101--+
2
3dc c +0
10111-+-+cd c ad a ab
=
2
3)
1)(1(+--cd
ad
ab +-+111=1++++ad cd ab abcd
5.证明:
(1)11
1
2222b b a a b ab a +=3)(b a -;
(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz
ay bx
az bz
ay by
ax +++++++++=y
x z x z y z y
x
b a )(33+;
(3)
0)3()2()1()
3()2()1()3()2()1()3()2()1(2
22
22
2
2
2
22222222
=++++++++++++d d d d c c c c
b b b b a a a a ;
(4)
4
4442
2
2
2
1111d c b a d c b a d
c
b
a
))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1
22
110000
0100
001a x a a a a x x x n n n
+-----Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--111Λ. 证明
(1)
1
22222221
31
2a b a b a
a b a ab a c c c c ------=
左边
a
b a b a
b a ab 22)1(2
221
3-----=+ 2
1)
)((a
b a a b a b +--=右边=-=3)(b a (2)bz
ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开
按第一列
左边
bz ay by ax x by ax bx az z bx
az bz ay y b +++++++
++++++002
y
by
ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz
ay y
x by
ax x z
bx
az z y b +++
z
y
x y x z
x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分
右边=-+=233)1(y
x
z
x z y z
y x b y
x
z
x z y
z y x a (3) 2
2
22
2222
2222
2222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=
d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边
9
644129
64
4129644129
644122
222
141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c
964496449644964422
2
2
2
++++++++d d d
d c c c c
b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412
2
2
2+++++++++d d d c c c b b b a a a
9
4949
49494642
2
22
24232423d
d c c
b b a a
c c c c c c c c ----第二项
第一项
06416416416412
2
22=+d d
d c c c
b b b a a a
(4)
44444442
2
2
2
2
2
2
0001
a d a c a
b a a
d a
c a
b a
a d a c a
b a ---------=
左边
=
)
()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b a d a c a b --------- =)
()()(111
))()((222a d d a c c a b b a
d a
c a
b a d a
c a b
++++++---
=?---))()((a d a c a b
)()()()()(0
0122222a b b a d d a b b a c c a b b b
d b c a b +-++-++--+ =?-----))()()()((b d b c a d a c a b
)()()()(1
12
222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++
=))()()()((d b c b d a c a b a -----)((d c b a d c +++-
(5) 用数学归纳法证明
.,1
,22121
22命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==
假设对于)1(-n 阶行列式命题成立,即
,12211
1-----++++=n n n n n a x a x a x D Λ
:1列展开按第则n D
1
110010
001)1(11----+=+-x x a xD D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛΛ右边=+=-n n a xD 1
所以,对于n 阶行列式命题成立.
6.设
n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转ο90、或依
副对角线翻转,依次得
n
nn n a a a a D 11111Λ
M M
Λ
=, 1
1112n nn n a a a a D ΛM M Λ= ,11
113a a a a D n n nn
Λ
M M
Λ
=, 证明D D D D D n n =-==-32
)1(21,)1(.
证明
)det(ij a D =Θ
n
nn n n n n
nn
n a a a a a a a a a a D 22111111
11111)1(Λ
M M ΛΛΛ
M M
Λ
--==∴
ΛΛ
M M Λ
Λ=--=--n
nn n n
n n n a a a a a a a a 3311
22111121)1()1(
nn n n n n a a a a ΛM M
Λ
Λ111121)1()1()1(---=-- D D n n n n 2
)1()1()2(21)
1()1(--+-+++-=-=Λ
同理可证nn
n n n n a a a a D ΛM M Λ11
11
2
)1(2
)
1(--=D D n n T n n 2
)1(2
)1()
1()1(---=-=
D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2
)1(22)
1(3)1()1()1()1(
7.计算下列各行列式(阶行列式为k D k ):
(1)a
a
D n
1
1O
=,其中对角线上元素都是
a ,未写出的元素都是0;
(2)x
a
a
a x a a a x
D n
Λ
ΛΛΛΛΛΛ=
;
(3)
11
11)()1()()1(1111
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛn a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+;
提示:利用范德蒙德行列式的结果.
(4)
n
n
n
n
n d c d c b a b a D O
N N
O
000
01
1
11
2=;
(5)
j
i a a D ij ij n -==其中),det(;
(6)n
n
a a a D +++=
11
1
11111121
Λ
ΛΛΛΛΛ
Λ,
021≠n a a a Λ其中.
解
(1)
a
a a a a D n 00
010********
000
1000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=
按最后一行展开
)
1()1(10
0000
000010000)1(-?-+-n n n a
a a
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ)
1)(1(2)1(--?-+n n n a a
a
O
(再按第一行展开)
n n n n
n a a a
+-?-=--+)
2)(2(1)1()1(O
2--=n n a a )1(22-=-a a n
(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行,得
a x x a a x x
a a x x a a a a x D n ------=0000000ΛΛΛΛΛΛΛΛ 再将各列都加到第一列上,得
a
x a x a x a a a a
n x D n ----+=
000000
)1(ΛΛΛΛΛΛ
ΛΛ
)
(])1([1
a x a n x n --+=-
(3)从第1+n 行开始,第1+n 行经过n 次相邻对换,换到第1行,第n
行经)1(-n
次对换换到第2行…,经2
)
1(1)1(+=
++-+n n n n Λ次行
交换,得
n
n
n n n n n n n n a a a n a a a n
a a a D )()1()()1(1
111)1(1112)1(1
-------=---++Λ
Λ
ΛΛΛΛ
ΛΛ
此行列式为范德蒙德行列式
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-?
-?-=---=1
12
1
)1(2
)1(1
12
)1()][()
1()
1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i Λ
∏≥>≥+-=
1
1)(j i n j i
(4)
n
n
n
n
n d c d c b a b a D 0
1
1
11
2O
N N
O
=
n n n n n n
d d c d c b a b a a 000000
111
111
1
1
----ΛO
N
M N
O
展开
按第一行
0)
1(11
1
11
111
1
2c d c d c b a b a b n
n n n n n
n ----+-+O
N N
O
2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开
由此得递推公式:
222)(--=n n n n n n D c b d a D
即
∏=-=n
i i i i i n D c b d a D 222)(
而 11111
1
1
1
2c b d a d c b a D -==
得 ∏=-=n
i i i i i n c b d a D 1
2)(
(5)
j
i a ij -=
4321401233101222101
13210)det(ΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ--------=
=n n n n n n n n a D ij n
Λ
,3221r r r r --0
432111*********
111111111ΛΛΛ
Λ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ--------------n n n n Λ,,141
312c c c c c c +++
1
524
232102221002210002100001---------------n n n n n ΛΛ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛΛ=
212)1()1(----n n n
(6)n
n a a a D +++=
11
11111112
1ΛΛ
ΛΛΛΛΛΛ,,433
221c c c c c c ---
n n n n a a a a a a a a a a +-------100
1
0001000010001000100001
1
43
3221Λ
ΛΛΛ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ展开(由下往上)
按最后一列
))(1(121-+n n a a a a Λn
n n a a a a a a a a a --------0
000000000000000
0000
0000022
43
3
221Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
n
n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ++Λ
n
n n a a a a a a a a -------00000000
0000000001143322ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
n n n n n n a a a a a a a a a a a a ΛΛΛΛ322321121))(1(++++=---
)1
1)((121∑+==n i i
n a a a a Λ
8.用克莱姆法则解下列方程组:
?????
??=+++-=----=+-+=+++;
01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
????
???
??=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(545434323
212
1x x x x x x x x x x x x x
解 (1)112
1
3
513241211111
----=
D
8
1
20735032
1
1111------=
145008130032101111---=142142000541003
2101111-=---=
112
105132412211151------=
D 1121
05
132********----=
1121023313090509151------=2331309
0501121091
51------= 120230046
100011210915
1-----=
14200038100112109151----=142-=
11
2
3
51224121115
12-----=
D 8
1
1507312032
7
1151-------=
31390011230023101151-=284284
0001910023101151-=----=
42611
1
3
5
232422115113-=----=
D
1420
2
1
3
2
132********
4=-----=
D
1
,
3,
2,
14
43
32
21
1-========∴
D
D x D
D x D D x D D x
(2)5
1
000651000
6510
065100065=D 展开按最后一行
6
1
0005100
65100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019
D D ''''-'''=1146566551141965=?-?=
(
,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',)
5
1
001
651000
6510
06500006
11=D 展开按第一列
6
510065100650006+'D
46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=
5
10106
51000
65
000
0601000152=D 展开
按第二列5100
65100650
0061
-6
510065*********-
3655
106510
65?-=1145108065-=--=
5
11
006
50000
60
100
0051001653=D 展开
按第三列5100
650006100051
6
500061*********+
6
100510
6565
10650061+=703114619=?+=
5
1000601000
051000651010654=D 展开
按第四列6
1000510065100655
000610005100
651-
-
5
106510
6565--=395-=
1
100
00
51000
651
00
0651100655=D 展开按最后一列D '+1
0051
0065
1006
512122111=+=
665
212
;665
395
;665
703
;665
1145
;665
1507
44321=
-=
=
-
==
∴
x x x x x . 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ???
??=++=++=++0
200321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?
解
μλμμμλ
-==1
2111
1
13D ,
齐次线性方程组有非零解,则03=D
即 0=-μλμ
得
10==λμ或
不难验证,当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.
10.齐次线性方程组取何值时问,λ???
??=-++=+-+=+--0
)1(0)3(2042)1(321
321321x x x x x x x x x λλλ
有非零解? 解
λ
λλ----=
11
1
132421D λ
λλλ--+--=
10
1
112431
)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-= 3)1(2)1(23-+-+-=λλλ
齐次线性方程组有非零解,则0=D
得 32,0===λλλ或
不难验证,当
32,0===λλλ或时,该齐次线性方程组确有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换:
???
??++=++=++=,
323,53,223213
32123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换.
解
由已知:?
???? ??????? ?
?=????? ??221321323513122y y y x x x
故 ????
? ??????? ??=????? ??-3211
221323513122x x x y y y ?????
???????
??----=321423736
947y y y ???
??-+=-+=+--=3213
32123211423736947x
x x y x x x y x x x y
2.已知两个线性变换
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3(答案略) 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ (正号) (2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- (3)原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8(答案略) 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- (2)按第一列展开: 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
习题1.2: 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解:由行列式的定义可知,第三行只能从32a 、34a 中选,第四行只能从42a 、44a 中选,所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ,即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明:第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0,同理,第四行取41a 、42a ,第三行取31a 、32a ,由于每一列只能取一个,则在第三第四第五行中,必有一行只能取0.以第五行为参考,含有51a 的因式必含有0,同理,含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值: (1)01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L (2)00100200100000 n n -L L M O M O M L L ; 解:(1)0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何? 解:排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到,每一次邻换都 改变排列的奇偶性,故当2)1( n n 为偶数时,排列 1 1x x x n n 为奇排列,当2)1( n n 为奇数时,排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解:含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ,13223441 (1)t a a a a , 13213244 (1)t a a a a ,13213442 (1)t a a a a ,13243241 (1)t a a a a ,13243142 (1)t a a a a 六项, 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t , (3241)4t , (3124)2 t , (3142)3 t , (3421)5t ,(3412)4 t , 故所求为13223144 1a a a a , 132134421a a a a , 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的
值. 解:根据行列式的定义,非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L , 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ,故行列式的值等于: (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解:展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式: 解 : (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; (2)b a c a c b c b a ; (3)222111c b a c b a ; (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 (1)=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- (2)=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= (3)=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= (4)y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为 2 ) 1(-n n : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 (6)逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2,5 4 2个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… … )2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1. 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ,该排列为 排列。 (2) i = ,j = 时, 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为偶排列,该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中, 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ,含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2. 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解: 该行列式的3!项展开式中,有 项不为零,它们分别为 ,所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。 3. 证明:在全部n 元排列中,奇排列数与偶排列数相等。 证明:n 元排列共有!n 个,设其中奇排列数有1n 个,偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有1n 2n ,同理得2n 1n ,所以1n 2n 。
4. 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多,则此行列式为0,为什么? 5. n 阶行列式中,若负项的个数为偶数,则n 至少为多少? (提示:利用3题的结果) 6. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)2 011 411 8 3 --- (2)2 2 2 1 11a b c a b c
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 相信自己加油 (1) 3811411 02 ---; (2)b a c a c b c b a (3) 2 2 2 111 c b a c b a ; (4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答(1)=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- (2) =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= (3) =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= (4) y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业 (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0
(2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 (6)逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2,5 4 2个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… … )2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知,四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p 已固定, 4321p p p p 只能形如13□□,即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式: 多练习方能成大财 (1)?? ??????? ???711 00251020214214; (2)????? ? ??? ???-26 0523******** 12; (3)???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4)?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ; 21-1 2 解:;5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ;1 1 12 2 ++-x x x x 解: ; 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解: ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解: ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解: ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解: .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=
2.求下列排列的逆序数: (1)34215; 解:3在首位,前面没有比它大的数,逆序数为0;4的前面没有比它大的数,逆序数为0;2的前面有2个比它大的数,逆序数为2;1的前面有3个比它大的数,逆序数为3;5的前面没有比它大的数,逆序数为0.因此排列的逆序数为5. (2)4312; 解:4在首位,前面没有比它大的数,逆序数为0;3的前面有1个比它大的数,逆序数为1;1的前面有2个比它大的数,逆序数为2;2的前面有2个比它大的数,逆序数为2.因此排列的逆序数为5. (3)n(n-1)…21; 解:1的前面有n-1个比它大的数,逆序数为n-1;2的前面有n-2个比它大的数,逆序数为n-2;…;n-1的前面有1个比它大的数,逆序数为1;n 的前面没有比它大的数,逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4)13…(2n-1)(2n) …42. 解:1的前面没有比它大的数,逆序数为0;3的前面没有比它大的数,逆序数为0;…;2n-1的前面没有比它大的数,逆序数为0;2的前面有2n-2个比它大的数,逆序数为2n-2;4的前面有2n-4个比它大的数,逆序数为2n-4;…;2n 的前面有2n-2n 个比它大的数,逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知,四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p 已固定,4321p p p p 只能形如13□□, 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式: (1) 71100 251020214214 ; 解: 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解: 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
线性代数习题一 说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT 表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设行列式11 121321 222331 3233a a a a a a a a a =2,则1112 13 31323321312232 2333 333a a a a a a a a a a a a ------=( ) A .-6 B .-3 C .3 D .6 2.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =( ) A .E +A -1 B .E -A C .E +A D . E -A -1 3.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是( ) A .?? ???A B 可逆,且其逆为-1-1 ?? ???A B B .?? ??? A B 不可逆 C .?? ? ??A B 可逆,且其逆为-1-1?? ??? B A D .?? ???A B 可逆,且其逆为-1-1?? ?? ? A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是 ( ) A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关 B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T +=---+=--αβαβ则+αβ=( ) A .(0,-2,-1,1)T B .(-2,0,-1,1)T C .(1,-1,-2,0)T D .(2,-6,-5,-1)T 6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是( )
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明:(1)首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?,所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++,我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域,所以有理数的和、差、积仍然为有理数,所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ,则必有22,b a 不同时为零,从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数,所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述,我们有)3(Q 是数域。 (2)类似可证明)(p Q 是数域,这儿p 是一个素数。 (3)下面证明:若q p ,为互异素数,则)()(q Q p Q ?。 (反证法)如果)()(q Q p Q ?,则q b a p Q b a +=? ∈?,,从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数,而q 是无理数,所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ,则2 qb p =,这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ,则有 a p =,从而有“有理数=无理数”成立,此为矛盾。 所以假设不成立,从而有)()(q Q p Q ?。
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659; (2) 987654321; (3) n (n 1)…321; (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+… +1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解: 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ,其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标,则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ; (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314) 4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
高数选讲线性代数部分作业 1.已知n阶方阵满足A2+2A-3I=O,则(A+4I)-1为 . 2.设n阶方阵满足 的代数余子式,则为()。 3.已知n阶方阵 ,则A中所有元素的代数余子式之和为()。 4.设有通解k[1,-2,1,3]T+[2,1,1,4]T,其中k是任意常数,则方程组必有一个特解是() 5.设A与B是n阶方阵,齐次线性方程组=0与=0有相同的基础解系,则在下列方程组中以为基础解系的是() (A) (B) (C) (D) 6.设A、B为四阶方阵,( ) (A)1.(B)2. (C)3. (D)4 7.设n阶矩阵A与B等价,则()成立。 (A)detA=detB (B) detAdetB (C)若detA0,则必有detB0(D) detA=-detB 8.设是四维非零向量组,是的伴随矩阵,已知方程组 的基础解系为k(1,0,2,0)T,则方程组的基础解系为() (A) (B) (C) (D) 9.设A是矩阵,则下列命题正确的是:() (A)若R(A)=m,则齐次方程组Ax=0只有零解。 (B)若R(A)=n,则齐次方程组Ax=0只有零解。 (C)若m 11.四元非齐次线性方程组的通解为 x=(1,-1,0,1)T+k(2,-1,1,0)T,k为任意常数,记 则以下命题错误的是 (A) (B) (C) (D) 12.知线性方程有无穷多解,求的取值并求通解。 13.设A是阶方阵,是A的两个不同的特征值,是A的对应于的线性无关特征向量,是A的对应于的线性无关特征向量,证明线性无关。14.已知矩阵的秩为1,且是的一个特征向量,(1)求参数; (2)求可逆矩阵和对角矩阵,使得 15.设5阶实对称矩阵满足,其中是5阶单位矩阵,已知的秩为2,(1)求行列式的值;(2)判断是否为正定矩阵?证明你的结论。 (2)的特征值全为正数,所以是正定矩阵。 16.. 17. 18. 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n : 习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二 注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析 第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解. 第一章 行列式 4.计算下列各行列式: (1)???? ????? ???71 10 025********* 4; (2)????????????-26 52321121314 1 2; (3)????????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4)????? ???? ???---d c b a 1 00 110011001 解 (1) 71100251020214 214 34327c c c c --0 10014 2310202110 214---=3 4)1(1431022 11014+-?---=14 31022110 14-- 3 21132c c c c ++14 171720010 99-=0 (2) 260 5232112131 412-24c c -2605032122130 412-24r r -0412032122130 412- 14r r -0 000032122130412-=0 (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4 (4) d c b a 100 110011001---21ar r +d c b a ab 1 001 100 110 10---+=12)1)(1(+--d c a ab 1011 1--+ 2 3dc c +0 10111-+-+cd c ad a a b =23)1)(1(+--cd ad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd 5.证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(3 3+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2 2222222 2 2222222 =++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; (4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-?; (5)1 22 110000 0100001a x a a a a x x x n n n +-----ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛΛn n n n a x a x a x ++++=--11 1Λ. 证明 (1)0 0122222221 312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a (2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开 按第一列 左边 bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分 bz ay y x by ax x z bx az z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解
线性代数课后习题答案 1.3
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解