高中数学易错题举例分析
高中数学易错题举例解析
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。
??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2
不等价。 已知f(x) = a x + x
b
，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。
错误解法 由条件得??
?
??≤+≤≤+≤-62230
3b
a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32
338-≤≤-
b ④ ③+④得 .3
43
)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即
错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b
x
ax x f +
=)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有??
?
??+=+=22)2()1(b a f b
a f , 解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f
b f f a -=-=
).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+
=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3
37
)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌
握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。
(1) 设βα、是方程0622
=++-k kx x 的两个实根，则2
2
)1()1(-+-βα的最小值是
不存在)D (18)C (8)B (4
49)A (-
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα
.
4
49
)43(42)(22)(1
212)1()1(222222--=++--+=+-++-=-+-∴
k βααββαββααβα
有的学生一看到4
49
-
，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42
≥+-=? ? .3k 2k ≥-≤或
当3≥k 时，2
2
)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，2
2
)1()1(-+-βα的最小值是18。 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2) 已知(x+2)2
+ y 2
4
=1, 求x 2+y 2的取值范围。
错解 由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+
38)2+3
28 ， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 28
3 ]。
分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)2
+ y 24 =1 ? (x+2)2
=1－ y 24
≤1 ? －3≤x ≤－1，
从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1。∴ x 2+y 2的取值范围是[1,
28
3
]。 注意有界性：偶次方x 2≥0，三角函数－1≤sinx ≤1，指数函数a x >0，圆锥曲线有界性等。 ●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1
b )2的最小值。
错解 (a+
a 1)2+(b+
b 1)2=a 2+b 2+21a +21b
+4≥2ab+ab 2
+4≥4ab ab 1?+4=8,
∴(a+
a 1)2+(b+b
1
)2的最小值是8. 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=
2
1
,第二次等号成立的条件是ab=
ab 1
，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。 事实上，原式= a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b
)+4=[(a+b)2－2ab]+[(a 1+b 1)2－ab 2
]+4
= (1－2ab)(1+221
b
a )+4，
由ab ≤(2b a +)2=41 得：1－2ab ≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221
b a ≥17，
∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21
时，等号成立)，
∴(a + a 1)2 + (b + b
1)2的最小值是25
2 。
●不进行分类讨论，导致错误
(1)已知数列{}n a 的前n 项和12+=n
n S ，求.n a
错误解法 .22
2)12()12(11
11----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析 显然，当1=n 时，12
31
111=≠==-S a 。
错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。
因此在运用1--=n n n S S a 时，必须检验1=n 时的情形。即：???∈≥==),2()
1(1N n n S n S a n
n 。
(2)实数a 为何值时，圆0122
2
2
=-+-+a ax y x 与抛物线x y 21
2
=
有两个公共点。 错误解法 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 2
12
=联立，消去y ，
得 ).0(01)2
12(2
2≥=-+--x a x a x ①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得??
??
???>->-=?.
01021202a a ， 解之得.817=a
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当0=a 时，圆与抛物线有两个公共点。
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得?
??<->?.010
2a 解之，得.11<<-a
因此，当817=
a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
12
=有两个公共点。 思考题：实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2
12
=，
(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。
●以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q
.
错误解法 ,2963S S S =+ q q a q q a q q a --?=--+--∴1)
1(21)1(1)1(916131，
.012(363）＝整理得
--q q q
1q 2
4
q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 3
3
3
3
6
=-
=∴=-+∴=--≠或得方程由。
错误分析 在错解中，由q
q a q q a q q a --?=--+--1)
1(21)1(1)1(916131，
01q q 2(q 363）＝整理得--时，应有1q 0a 1≠≠和。
在等比数列中，01≠a 是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比1=q 的情况，再在1≠q 的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .
又依题意 963S 2S S =+ ? q
q a q q a q q a --?=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ? 01
q q 2(q 3
63）＝--,即,0)1)(12(3
3
=-+q q 因为1≠q ，所以,013
≠-q 所以.0123
=+q 解得 .2
4
3
-
=q 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
(2)求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22
=仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为
???=+=x
y kx y 212
，消去y 得.02)1(2=-+x kx 整理得 .01)22(2
2=+-+x k x k 直线与抛物线仅有一个交点，,0=?∴解得∴=
.21k 所求直线为.12
1
+=x y 错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为1+=kx y 时，没有考虑0=k 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次
项系数不能为零，即,0≠k 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22
=相切。
②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线x y 22
=只有一个交点。 ③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ,则??
?=+=x
y kx y 212
，
∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=?解得k = 1
2 ,∴ 所求直线为.12
1
+=
x y 综上，满足条件的直线为：.12
1
,0,1+=
==x y x y
《章节易错训练题》
1、已知集合M = {直线} ，N = {圆} ，则M ∩N 中元素个数是 A(集合元素的确定性) (A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2 (D) 0或1或2
2、已知A = {}x | x 2 + tx + 1 = 0 ，若A ∩R * = Φ ，则实数t 集合T = ___。{}
2t t ->(空集) 3、如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是C(等号) (A) －1≤k ≤0 (B) －1≤k<0 (C) －1 4、命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是C(等号) （A ）(4,)+∞ （B ）[)4,+∞ （C ）(,4)-∞- （D ）(],4-∞- 5、若不等式x 2－log a x <0在(0, 1 2 )内恒成立，则实数a 的取值范围是A(等号) (A) [1 16 ,1) (B) (1, + ∞) (C) (1 16 ,1) (D) (1 2 ,1)∪(1,2) 6、若不等式(－1)n a < 2 + (－1)n + 1 n 对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是A(等号) (A) [－2，3 2 ) (B) (－2，3 2 ) (C) [－3，3 2 ) (D) (－3，3 2 ) 7、已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足：(1)1f =；当0x <时，()0f x <；对于任意 的实数x 、y 都有()()()f x y f x f y +=+。证明：()f x 为奇函数。(特殊与一般关系) 8、已知函数f(x) = 1－2x x + 1 ，则函数()f x 的单调区间是_____。递减区间(－∞，－1)和(－1， +∞) （单调性、单调区间） 9、函数y = log 0. 5(x 2－1) 的单调递增区间是________。[－ 2 ，－1）（定义域） 10、已知函数f (x )= ?????log 2(x+2) x>0x x －1 x ≤0 ， f (x )的反函数f － 1(x )= 。 ????? 2x －2 x >1 x x －1 0≤x <1 （漏反函数定义域即原函数值域） 11、函数 f (x ) = log 12 (x 2 + a x + 2) 值域为 R ，则实数 a 的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0) (A) (－2 2 ,2 2 ) (B) [－2 2 ,2 2 ] (C) (－∞,－2 2 )∪(2 2 ,+∞) (D) (－∞,－2 2 ]∪[2 2 ,+∞) 12、若x ≥0，y ≥0且x +2y =1，那么2x +3y 2的最小值为B(隐含条件) （A ）2 （B ）34 （C ）23 （D ）0 13、函数y=63422-+++x x x x 的值域是________。(－∞, 52)∪(5 2 ,1)∪(1,+∞) （定义域） 14、函数y = sin x (1 + tan x tan x 2 )的最小正周期是C （定义域） (A) π 2 (B) π (C) 2π (D) 3 15、已知 f (x ) 是周期为 2 的奇函数，当 x ∈ [0,1) 时，f (x ) = 2 x ，则 f (log 12 23) = D(对数运算) (A) 2316 (B) 1623 (C) －1623 (D) －2316 16、已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值。 （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。(2004天津) （求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。） 17、已知tan (α－π3 )= － 3 5 则tan α = ；sin α cos α 3cos 2α －2sin 2 α = 。 3 2 、 3 3 （化齐次式） 18、若 3 sin 2α + 2 sin 2β －2 sin α = 0，则cos 2α + cos 2β 的最小值是 __ 。14 9 (隐含条件) 19、已知sin θ + cos θ = 15 ，θ ∈ (0，π)，则cot θ = _______。－3 4 (隐含条件) 20、在△ABC 中，用a 、b 、c 和A 、B 、C 分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a =2、 2=b 、4 π = A ，则∠ B = B(隐含条件) （A ） 12π （B ） 6 π （C ） 6 56 ππ 或 （D ） 12 1112 π π 或 21、已知a >0 , b>0 , a +b=1，则(a + 1a )2 + (b + 1b )2的最小值是_______。25 2 (三相等) 22、已知x ≠ k π (k ∈ Z)，函数y = sin 2x + 4 sin 2x 的最小值是______。5（三相等） 23、求x x y 2 2cos 8 sin 2+= 的最小值。 错解1 | cos sin |8 cos 8sin 22cos 8sin 22 222x x x x x x y =??≥+= .16,.16| 2sin |16 min =∴≥= y x 错解2 .261182221)cos cos 8()sin sin 2( 22 2 2+-=-+≥-+++=x x x x y 错误分析 在解法1中，16=y 的充要条件是.1|2sin |cos 8 sin 222==x x x 且 即.1|x sin |2 1 |x tan |== 且这是自相矛盾的。.16min ≠∴y 在解法2中，261+-=y 的充要条件是 ,22cos 2sin cos cos 8sin sin 22 222 22====x x x x x x ，，即且这是不可能的。 正确解法1 x x y 2 2 sec 8csc 2+= . 18x tan 4x cot 2210)x tan 4x (cot 210) x tan 1(8)x cot 1(22 2 2222=??+≥++=+++= 其中，当.18y 2x cot x tan 4x cot 2 22===时，，即.18min =∴y 正 确 解 法2 取正常数k ，易得 k x k x x k x y -+++=)cos cos 8()sin sin 2( 22 2 2.268222k k k k k -?=-?+?≥ 其中“≥”取“＝”的充要条件是 .18k 21x tan x cos k x cos 8x sin k x sin 222222====且，即且 因此，当,18k k 26y 2 1 x tan 2 =-?== 时，.18min =∴y 24、已知a 1 = 1，a n = a n －1 + 2n － 1(n ≥2)，则a n = ________。2n －1(认清项数) 25、已知 －9、a 1、a 2、－1 四个实数成等差数列，－9、b 1、b 2、b 3、－1 五个实数成等比数列， 则 b 2 (a 2－a 1) = A(符号) (A) －8 (B) 8 (C) －98 (D) 98 26、已知 {a n } 是等比数列，S n 是其前n 项和，判断S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列吗？ 当q = －1，k 为偶数时，S k = 0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 不成等比数列； 当q ≠－1或q = －1且k 为奇数时，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列。 （忽视公比q = －1） 27、已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件： 1211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，f(a n )－f(a n －1) = k(a n －a n －1)(n = 2,3,┄)，其中a 为常数，k 为非零常数。（1）令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）当1|| →lim 。(2004天津) （等比数列中的0和1，正确分类讨论） 28、不等式m 2－(m 2－3m)i < (m 2－4m + 3)i + 10成立的实数m 的取值集合是________。{3}(隐含条件) 29、i 是虚数单位， (－1+i )(2+i ) i 3 的虚部为（ ）C(概念不清) (A) －1 (B) －i (C) －3 (D) －3 i 30、实数m ，使方程021)4(2 =++++mi x i m x 至少有一个实根。 错误解法 方程至少有一个实根， 020m )m i 21(4)i 4m (22≥-=+-+=?∴ ? ,52m ≥或.52-≤m 错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。 正确解法 设a 是方程的实数根，则 .0i )m 2a 4(1m a a ,0m i 21a )i 4m (a 22=++++∴=++++ 由于m a 、都是实数，? ? ?=+=++∴ 0240 12m a ma a ,解得 .2±=m 31、和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；和a = (3,－4)垂直的单位向量是_________。 (35 ，－45 )或(－35 ，45 )；(45 ，35 )或(－ 45 ，－ 3 5 )(漏解) 32、将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /的函数表达式为y= 4x ，则向量a =______。 a = (h ，4h+8) (其中h ∈ R)(漏解) 33、已知 |a |＝1，| b |＝2，若a //b ，求a ·b 。 ①若a ，b 共向，则 a ·b ＝|a |?|b |＝2， ②若a ，b 异向，则a ·b ＝－|a |?|b |＝－2。(漏解) 34、在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC = a ，则正三棱锥A －BCD 的体积为____________。 2 24 a 3 (隐含条件) 35、在直二面角 α－AB －β 的棱 AB 上取一点 P ，过 P 分别在 α、β 两个平面内作与棱成 45° 的斜线 PC 、PD ，那么∠CPD 的大小为D(漏解) (A) 45? (B) 60? (C) 120? (D) 60? 或 120? 36、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。 （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ； （3）求二面角C —PB —D 的大小。(2004天津) (条件不充分(漏PA ? 平面EDB ，?DE 平面PDC ，DE ∩EF = E 等)；运算错误，锐角钝角不分。) 37、若方程 x 2 m + y 2 = 1表示椭圆，则m 的范围是_______。(0，1)∪(1，+ ∞)(漏解) 38、已知椭圆 x 2m + y 2 = 1的离心率为 32 ，则 m 的值为 ____ 。4 或 1 4 (漏解) 39、椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F 1、F 2 组成的三角形的周长为 4 + 2 3 且∠F 1BF 2 = 2π3，则椭圆的方程是 。x 24 + y 2 = 1或x 2 + y 24 = 1(漏解) 40、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。 （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=?OQ OP ，求直线PQ 的方程； （3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明 λ-=。(2004天津) (设方程时漏条件a > 2 ，误认短轴是b = 2 2 ；要分析直线PQ 斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑△>0，后韦达定理。) 41、 已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ,离心率2=e ,求双曲线方程。 错解1 .60,40,10,42 2222=-=∴=∴===a c b a c c a x 故所求的双曲线方程为.160 4022=-y x 错解2 由焦点)0,10(F 知,10=c .75,5,2222=-==∴== a c b a a c e 故所求的双曲线方程为 .175 252 2=-y x 错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。 正解1 设),(y x P 为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ，离心 率2=e ，由双曲线的定义知.2| 4|)10(22=-+-x y x 整理得 .14816)2(2 2=--y x 正解2 依题意，设双曲线的中心为)0,(m , 则 ?????????==+=+. 21042 a c m c m c a 解得 ?????===.284m c a ,所以 ,4816642 22=-=-=a c b 故所求双曲线方程为 .148 16)2(2 2=--y x 42、求与y 轴相切于右侧，并与⊙06:2 2 =-+x y x C 也相切的圆的圆心 的轨迹方程。 错误解法 如图3－2－1所示，已知⊙C 的方程为.9)3(2 2 =+-y x 设点)0)(,(>x y x P 为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与y 轴相切于M 点， 与⊙C 相切于N 点。根据已知条件得 3||||+=PM CP ，即3x y )3x (22+=+-，化简得).0(122 >=x x y 错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x 轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以)30(0≠>=x x y 且也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y 2 = 12x(x>0)和)30(0≠>=x x y 且。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。 43、（如图3－2－2），具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角βα轴－y -等于?60.已知β内的曲线C '的方程是)0(22 >'=p x p y ，求曲线C '在α内的射影的曲线方程。 错误解法 依题意，可知曲线C '是抛物线， 在β内的焦点坐标是.0),0,2 (>'p p F 因为二面角βα轴－y -等于?60， 且轴，轴轴，轴y x y x ⊥⊥'所以.60?='∠x xo 设焦点F '在α内的射影是),(y x F ，那么，F 位于x 轴上， 从而,90,60,0?='∠?='∠=FO F OF F y 所以.421260cos p p F O OF =?= ??'=所以点)0,4 (p F 是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物 线，开口向右，顶点在原点。所以曲线C '在α内的射影的曲线方程是.2 px y = 错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F 是射影(曲线)的焦点，其次，没有证 1 图3－2－2 明默认C / 在α 内的射影(曲线)是一条抛物线。 正确解法 在β内，设点),(y x M ''是曲线上任意一点 （如图3－2－3）过点M 作α⊥MN ，垂足为N ， 过N 作y NH ⊥轴，垂足为.H 连接MH ， 则y MH ⊥轴。所以MHN ∠是二面角 β-α轴－y 的平面角，依题意，MHN ∠?=60. 在.2 1 60cos ,x HM HN MNH Rt '=??=?中 又知x HM '//轴（或M 与O 重合）， x HN //轴（或H 与O 重合） ，设),(y x N ， 则 ?? ?='='∴??? ??' ='=. 22 1y y x x y y x x 因为点),(y x M ''在曲线)0(22 >'=p x p y 上，所以).2(22 x p y = 即所求射影的方程为 ).0(42 >=p px y 44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)2 3 ,0(P 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方程。 错误解法 依题意可设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 则 43 1222 22222 =-=-==a b a b a a c e ， 所以 41 22=a b ，即 .2b a = 设椭圆上的点),(y x 到点P 的距离为d ， 则 2 2 2 )2 3 (-+=y x d . 34)2 1 (349 3)1(222222 +++-=+ -+-=b y y y b y a 图3－2－3 所以当2 1- =y 时，2 d 有最大值，从而d 也有最大值。 所以 22)7(34=+b ，由此解得：.4,12 2==a b 于是所求椭圆的方程为.14 22 =+y x 错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当2 1- =y 时，2 d 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑y 到的取值范围。事实上，由于点),(y x 在椭圆上，所以有b y b ≤≤-，因此在求2 d 的最大值时，应分类讨论。即： 若2 1< b ，则当b y -=时，2 d （从而d ）有最大值。 于是,)2 3()7(2 2 +=b 从而解得矛盾。 与2 1 ,21237<>- =b b 所以必有21≥ b ，此时当2 1-=y 时，2 d （从而d ）有最大值， 所以22)7(34=+b ，解得.4,12 2==a b 于是所求椭圆的方程为.14 22 =+y x 数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。 高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是 2017年高考备考：高中数学易错点梳理 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。 错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。 错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。 错解：[-1，0） 剖析：忽视A =?的情况。 正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。 错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。 正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。 错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。 正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I 高中数学中的易错题分类及解析关键词：高考数学易错题全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩. 易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性. 易错题的分类解析: 分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析. 本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集. 下表是易错题分类 表： 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动 . 从 数学学习的认知结构上讲， 数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深 度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构 . 所以，数 学中有许多题目，求解的思路并不繁杂， 但解题时，由于读题不仔细， 或者对某些知识点的 理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨 论??等等原因，都会导致错误的出现 . “会而不对，对而不全” ，一直以来都是严重影响考 生数学成绩的重要因素 . 一．易错题的典型特征 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有 关 度有关 . 同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关 . 1．考生自我心理素质 ：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的 产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程 . 部分考生题意尚未 明确， 加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维 定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍 . 2．易错点的隐蔽性 ：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体， 而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五 个因素组成 . 数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考 生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用 . 个体思维的跳跃性是产生思维漏洞 的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强 3．易错点形式多样性 ：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般 有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、 数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等 . 4．易错题的可控性 ：学生的认识结构有其个性特点 . 在知识总量大体相当的情况下，有的 学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对 知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取 . 在学生形成了 一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理 和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和 完善，所谓“吃一堑长一智” . 只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的 “警戒点” , 养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少 . 1. 数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性， 不仅是不分精粗的笼统的属性， 它已经是抓住了 数学对象的根本的、 最重要的本质属性 . 每一个概念都有一定的外延与内涵 . 而平时学习中对 概念本质的不透彻， 对其外延与内涵的掌握不准确， 都会在解题中反映出来， 导致解题出错 例 1. 若不等式 ax 2 +x+a < 0 的解集为 Φ，则实数 a 的取值范围（ ） 1 1 1 1 1 1 A.a ≤ - 或 a ≥ B.a < C.- ≤ a ≤ D.a ≥ 2 2 2 2 2 2 【错解】选 A.由题意，方程 ax 2 +x+a=0的根的判别式 0 1 4a 2 0 , 又与试题的难易程 易错题的分类解析 高考数学易考易错点总结 高考数学易考易错点总结? 1.指数、对数函数的限制条件你注意了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)它们的函数值分布情况是如何的? 2.利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化?是否保证等价转化? 3.利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一? 4.图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身” 进行的? 5.对于集合，你是否清楚集合中的元素(数、点、符号、图形等)是什么及元素的特性(确定性、互异性、无序性)?在集合运算时是否注意空集和全集? 6.命题的否定(只否结论)与否命题(条件、结论全否)的区别你知道吗? 7.求一个函数或其反函数的解析式的时候你标明函数的定 义域了吗? 8.映射的概念你了解吗?对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性(B中可有多余元素)? 9.根据定义证明函数的单调性时的一般步骤是什么(取值规定大小、作差化连乘积、判断符号下结论)? 10.判断一个函数的奇偶性时是否注意到定义域关于原点对称这个必要非充分条件了? 11.“三个二次”的关系你清楚吗?(二次函数的图像与轴的交点的横坐标即二次方程的根;不等式的解集为二次函数图像上方或下方的点的横坐标的集合)含有参数的二次型你是否注意对二次项系数、对称轴、定义域、判别式、根的大小等的讨论? 12.数列也是一种特殊的函数你忽视了吗?是否能利用数列 性质解题? 13.你还记得三角变换化简的通性通法吗(“角”的变换、“名”的变换、“幂”的变换、“形”的变换等)? 14.利用“均值不等式”证明或求最值的时候是否注意“一正、二定、三相等”的条件?如果等号取不到经常采用哪些办法(利用单调性、配凑、图像法等)? 15.分式不等式的一般解法是什么(移项、通分、合并同类项、分式化整式)? 16.理解直线的倾斜角和斜率的概念了吗?在设直线方程解 题时是否忽略斜率不存在的情况? 17.直线的截距概念如何理解(截距可以是正数、负数、零)? 18.会求球面距离吗?它的基本类型有哪些?你能把它们转化为熟悉的图形吗(经度同纬度不同转化为线面角、纬度同经度不同转化为二面角)? 高中数学易错题集锦 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固 地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是 不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 【高中数学】高中数学18个易错知识点汇总，看完拿高分！ Part 1 集合与简单逻辑 01易错点：遗忘空集致误 错因分析：由于空集是任意非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=?，B≠?两种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B=?这种情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或解题不全面。 02易错点：忽视集合元素的三性致误 错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围，再具体解决问题。 03易错点：四种命题的结构不明致误 错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A 则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。这里面有两组等价的命题，即“原命题和逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”。 04易错点：充分必要条件颠倒致误 错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。 05易错点：逻辑联结词理解不准致误 错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q 假(概括为一真即真);p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假) Part 2 函数与导数 06易错点：求函数的定义域时忽视细节致误 错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时要注意下面几点： (1)分母不为0; (2)偶次被开放式非负; (3)真数大于0; 高一数学必修一易错题集锦答案 1. 已知集合M={y |y =x 2 ＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） 解：M={y |y =x 2 ＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2 ＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2 ＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的． 2 .已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或∴C={0，1，2} 3 。已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有：m +n ∈ (填A,B,C 中的一个) 解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B 。 4 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若B A ，求实数p 的取值范围． 解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3 ②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2. 由①、②得：p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题． 5 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2 }．若A=B ，求c 的值． 分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2 －2ac=0， a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2 －2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2 －ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2 －c －1=0， 即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－ 21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A 是实数集，满足若a∈A，则 a -11∈A ，1≠a 且1?A. ⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－ a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素. 高中数学易错题集锦 指导教师：任宝安 参加学生：路栋胡思敏 李梅张大山 ?【例1②×2①×2③+b a 和 993)3(f ∴3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα 有的学生一看到4 49 - ，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根βα、 ∴0)6k (4k 42≥+-=??.3k 2k ≥-≤或 当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x 2+y 2的取值范围。 错解∴当分析∴ x 2 【例3错解)2的最小 值是分析2 1 ,第二 原式 由ab ∴原式≥2×17+4=2(当且仅当a=b=2时，等号成立)， ∴(a+a 1)2+(b+b 1 )2的最小值是。 ●不进行分类讨论，导致错误 【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a 错误解法.222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析显然，当1=n 时，1231111=≠==-S a 。 错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。 集合部分错题库 1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)} 3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a 2 }，若A B ，则实数a 的范围为 A.［6，+∞) B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0 高中数学易错题 一．选择题（共6小题） 1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5 2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（） A．缺条件，不能求出B．C．D． 3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（） A．3＜d＜4 B．C．D． 4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（） A．B．C．D． 5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（） A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0 6．（2011?江西模拟）下面命题： ①当x＞0时，的最小值为2； ②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条； ③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象； ④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12． 其中正确的命题是（） A．①②④B．②④C．②③D．③④ 二．填空题（共10小题） 7．Rt△ABC中，AB为斜边，?=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________． 8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且 35种高中数学易错题失分题汇总解析 关键词：高考数学易错题 全文摘要：“会而不对，对而不全”严重影响考生成绩.易错题的特征：心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性.易错题的分类解析:分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严，每类再分为若干小类，列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析.本文既是对高考中的易错题目的分类解析，同时又是第一轮复习中的一本易错题集.下表是易错题分类表： 正文 数学学习的过程，从本质上说是一种认识过程，其间包含了一系列复杂的心理活动.从数学学习的认知结构上讲，数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想，组合成的一个整体结构.所以，数学中 有许多题目，求解的思路并不繁杂，但解题时，由于读题不仔细，或者对某些知识点的理解不透彻，或者运算过程中没有注意转化的等价性，或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因，都会导致错误的出现.“会而不对，对而不全”，一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素. 解题出错是数学答题过程中的正常现象，它既与数学学习环境有关,又与试题的难易程度有关.同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关. 1．考生自我心理素质：数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物.而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程.部分考生题意尚未明确，加之考试求胜心切，仅凭经验盲目做题，以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势，造成主观盲动性错误和解题思维障碍. 2．易错点的隐蔽性：数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体，而其心理结构是指智力因素及其结构，即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成.数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程，在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用.个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因，这种思维漏洞一旦产生，考生自己是很难发现的，因此易错点的隐蔽性很强. 3．易错点形式多样性：根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点，数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式：而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面；心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. 4．易错题的可控性：学生的认识结构有其个性特点.在知识总量大体相当的情况下，有的学生对知识不仅理解深刻，而且组织得很有条理，便于储存与撮；相反，有的学生不仅对知识理解肤浅，而且支离破碎，杂乱无章，这就不利于储存，也不容易提取.在学生形成了一定的数学认知结构后，一旦遇到新的信息，就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工，随着认识活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐变得更加精确和完善，所谓“吃一堑长一智”.只要我们在容易出错的地方提高警戒意识，建立建全解题的“警戒点”,养成严谨的数学思维好习惯，易错点就会逐渐减少. 1.数学概念的理解不透 数学概念所能反映的数学对象的属性，不仅是不分精粗的笼统的属性，它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性.每一个概念都有一定的外延与内涵.而平时学习中对 高中数学37个易错知识点汇总分析 为了帮助同学们复习备考，减少不必要的丢分，下面对高中数学易错知识点37个进行汇总分析，供同学们参考。 1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A 时，易忽略A是空集Φ的情况。 2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。 3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称，优先考虑定义域对称。 4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。 5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。 6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。 8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。 9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。 10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示，而应用逗号连接多个区间。 11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。 12．已知Sn求a n 时，易忽略n＝1的情况。 13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。 14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y 轴平行的情况。 15．用到角公式时，易将直线L 1、L 2 的斜率ｋ 1 、ｋ 2 的顺序弄颠倒；使用到 高中数学错题精选一：三角部分 1．△ABC 中，已知cosA= 135，sinB=5 3 ，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、65 16 - 2．为了得到函数??? ? ? -=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移 6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3 π 3．若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ） A. 1 B. 区间（0，1） C. 121 n - D. 不能确定 4．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是…………………( ) A. ]3, 0[π B. ]127, 12[ ππ C. ]65,3[ππ D. ],6 5[ππ 5．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值范围为（ ） A 、),2(+∞ B 、),1(+∞ C 、)2,1( D 、)1,1(- 6．已知53sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ <<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12 543--或 7．曲线y=2sin(x+)4 πcos(x-4 π)和直线y=2 1 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、 P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 8．函数的图象的一条对称轴的方程是（） 9．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π 3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得 函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+ π 3 ) B ． y=sin(－2x － π3 ) C ．y=sin(－2x+ 2π3 ) D ． y=sin(－2x －2π 3 ) 10．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ） A 、]4 ,4 [π ππ π+- k k （z k ∈） B 、)](43 ,4[z k k k ∈++ πππ π C 、)](2 2,4 2[z k k k ∈+ + π ππ π D 、)](2 ,4 [z k k k ∈+ + π ππ π 11．已知奇函数()[]上为，在01 -x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β) C 、f(sin α)＜f(cos β) D 、f(sin α)＞ f(cos β) 高中数学错题精选二：不等式部分 1、若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤- 21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥ 2 1 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。 2、已知函数y =㏒2 1(3x )52 +-ax 在[-1，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围（ ） A a ≤-6 B -60＜a ＜-6 C -8＜a ≤-6 D －8≤a ≤-6 正确答案：C 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。 3、f(x)=︱2x —1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ） A a ＜0,b ＜0,c ＜0 B a ＜0,b ＞0,c ＞0 C 2 a -＜2c D 22+a c ＜2 正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。 4、已知实数x 、y 满足x 2+y 2=1，则(1－xy)(1+xy)( ) A.有最小值 2 1 ，也有最大值1 B.有最小值 4 3 ，也有最大值1 C.有最小值 4 3 ，但无最大值 D.有最大值1，但无最小值 正确答案：B 。 错误原因：容易忽视x 、y 本身的范围。 5、已知21,x x 是方程)(0)53()2(2 2R k k k x k x ∈=+++--的两个实根，则2 22 1x x +的最大值为 （ ） 高中数学易错题 数学概念的理解不透 必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-2 1或a ≥2 1 B.a ＜2 1 C.-2 1≤a ≤2 1 D.a ≥ 2 1 【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ?0且20140120 a a a ??≤?-≤?≥?>?. 必修一（2）判断函数f(x)=(x －1) x x -+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)= (x -===，所以 ()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数. 【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为： (1)(1)0101110 1x x x x x x +-≥?+≥??-≤ 数学 高中数学易错、易混、易忘问题备忘录（留着） 1.在应用条件A∪B＝B <=> A∩B＝A <=> A B时，易忽略A是空集Φ的情况，并且要时刻注意集合的三要素中的互异性和无序性 2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 3.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 4.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(任取, 作差, 判正负.) 5.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或” 6.单调区间不能用集合或不等式表示.两个单调区间之间要用逗号相连 7.用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件. 8.函数(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对号函数，对号函数是奇函数，图像关于原点对称)在上单调递增；在 上单调递减） 9.函数的单调区间：在上单调递增；是奇函数，图像关于原点对称. 10.对数函数真数与底数的限制条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数需要讨论 11.用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性，也就是换元之后的自变量的取值范围 12.用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０. 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略. 13.等差数列中的重要性质：若m+n=p+q，则;（反之不成立） 14.等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则. （反之不成立） 15. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况. 16.已知求时, 易忽略n＝1的情况. 17.等差数列的一个性质：设是数列{}的前n项和, {}为等差数列的充要条件是： (a, b为常数)其公差是2a. 18.数列求和之“错位相减”法——若其中{}是等差数列，{}是等比数列，求{}的前n项的和 19.数列求和之“裂项求和”（如） 20.在解三角问题时，注意到正切函数、余切函数的定义域，注意到正弦函数、余弦函数的有界性了，并且在求解三角函数的题目时，要时刻注意角范围 21.三角化简的通性通法（切化弦、降幂扩角、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名） 22.在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？——） 23.在三角函数中的“1”代换 这些统称为1的代换) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用. 24.与实数0有区别，的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定. 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直. 25.，则，但不能得到或. 有. 26.时，有. 反之不能推出 27.一般地，即向量运算中不存在分配率 28.在中， 高中数学知识易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成 立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 必修2易错填空题集锦 2011-10-26 1. 下列四个命题： ① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； ② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线； ③ 平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变； ④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。 其中错误的说法有 ①、② 、④。 2. 有下列四个命题： ① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面平行； ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。 其中正确的命题是 ②、③ 。（写出所有正确命题的序号） 3. 以下四个命题： ① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等； ② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行，则α//β； ③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β； ④ α、β为两斜相交平面，面α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直. 其中正确命题的序号是 ④ 4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是： ①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。 上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。（写出所有正确结论的序号） 5. 直线,l m 与平面,αβ满足,l m αβ⊥?，有下列命题： ①//l m αβ?⊥ ；②//;l m αβ⊥?； ③//.l m αβ?⊥ 其中正确的命题是 ① ③ 。（写出所有正确命题的序号） 6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： （1）若,//n m n αβ=I ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥； （4）若,m n αα⊥?，则.m n ⊥ 其中所有正确命题的序号是 （2）（4） 7. 已知直线a 、b 、c ，平面α、β、γ，并给出以下命题： ①若α∥β，β∥γ，则α∥γ， ②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ， ③若a ∥b ∥c ，且a ∥α，b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ； ④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ，且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ． 其中正确的命题有 . ①②④ 8. 已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。 其中正确命题的序号是 ②④ 高中数学易错、易混、易忘备忘录 1.在应用条件A ∪B ＝Ｂ?A ∩B ＝Ａ?ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况 2.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则 3 根据定义证明函数的奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称 4 求反函数时，易忽略求反函数的定义域 5 单调区间不能用集合或不等式表示. 6 用基本不等式求最值时，易忽略验证“一正二定三等”这一条件 7 你知道函数(0,0)b y ax a b x =+>>的单调区间吗？（该函数在(,)-∞+∞和 上单调递增；在[和（0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！(其在第一象限的图像就象“√”，特命名为：对勾函数) 是奇函数，图像关于原点对称. 8 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？ （真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀 9 用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为０ 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 10 等差数列中的重要性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+;（反之不成立） 等比数列中的重要性质：若m+n=p+q,则m n p a a a a = （反之不成立） 11 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况 12 已知n S 求n a 时, 易忽略n ＝１的情况 13 等差数列的一个性质：设n S 是数列{n a }的前n 项和, {n a }为等差数列的充要条件是： 2n S an bn =+（a, b 为常数）其公差是2a 14 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n c a b =其中{n a }是等差数列， {n b }是等比数列，求{n c }的前n 项的和） 15 你还记得裂项求和吗？（如111(1)1 n n n n =-++） 16 在解三角问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的 有界性了吗？ 17 你还记得三角化简的通性通法吗？（ 异角化同角，异名化同名，高次化低次）高中数学易错题举例解析
80个高中数学易错题
高中数学易错题分类及解析
高考数学易考易错点总结
高中数学易错题集锦
高中数学】高中数学18个易错知识点e
高一数学必修一易错题集锦答案
高中数学易错题集锦
(完整)高一数学必修一易错题(提高篇)
(完整版)高中数学易错题(含答案)
35种高中数学易错题失分题汇总解析
高中数学37个易错知识点汇总分析
高中数学易错题精选
高中数学易错题知识讲解
最全高中数学易错点
(完整版)高中数学易错重点知识点梳理
高中数学必修易错题精选(含部分答案)
高中数学易混易错知识点大全