线性代数知识点归纳
线性代数复习要点
第一部分 行列式
1. 排列的逆序数
2. 行列式按行（列）展开法则
3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算：
① (定义法)12
1212
11
12121222()
121
2
()n n n
n n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
1
②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.
推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
1122,,
0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++
=?≠??
③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
1122
1122***0**0*0
nn
nn
b b A b b b b =
=
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则
=
=()mn A O
A A O A B
O B
O B
B
O A A
A B B O B O
*
=
=*
*=-1
⑤ 关于副对角线：
(1)2
1121
21
1211
1()
n n n
n
n n n n n n n a O a a a a a a a O
a O ---*
==-1
⑥ 范德蒙德行列式：()1
22
22
12
11
11
12
n i
j
n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111
⑦ a
b -型公式：1
[(1)]()n a b b b b a b
b
a n
b a b b
b a
b b b b
a
-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.
⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.
(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法)
2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n
n
k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；
3. 证明0A =的方法：
①、A A =-； ②、反证法；
③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解；
v1.0 可编辑可修改
⑤、证明0是其特征值.
4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij
ij ij M A A M ++=-=-
第二部分 矩阵
1. 矩阵的运算性质
2. 矩阵求逆
3. 矩阵的秩的性质
4. 矩阵方程的求解
1. 矩阵的定义 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212
n n m m mn a a a a a a A a a a ??
? ?
= ?
???
称为m n ?矩阵. 记作：()
ij
m n
A a ?=或m n A ?
同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. 矩阵运算
a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.
b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.
c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ?=, ()ij s n B b ?=,则()ij m n C AB c ?==， 其中
12121122(,,
,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ?? ? ?==+++ ? ? ???
注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BA
AB A ==?=或B=0
不成立.
a. 分块对角阵相乘：11
112222,A B A B A B ????
==
? ??????1111
2222A B AB A B ??=
???,1122n
n n A A A ??
= ???
b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
行向量；
11112
1111112
112
21222221222221212000000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b a
b b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ?????????????
?????Λ==???????
??
??
???????
c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○
列向量.
111211111212
121222212122221211220
00000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ??????????????????Λ==???????
??
??
???????
d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：m
n
m n
A A A
+=， ()()
m n mn
A A =
⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作T
A . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵
T
A A =.
A 是反对称矩阵
T A A =-.
b. 分块矩阵的转置矩阵：T
T
T T
T A B A C C D B
D ??
??= ? ?????
⑥ 伴随矩阵： ()
11
21112222*12n T
n ij
n
n
nn A A A A A A A A A A A ?? ? ?
== ? ???
，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **
AA A A A E ==,1
*n A A
-=, 1
1
A
A --=.
分块对角阵的伴随矩阵：*
*
*A BA B AB ????=
? ??
??? *
(1)(1)mn mn A A B B
B A
**?
?
-??= ? ?
?-????
2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆 0A ≠.
①伴随矩阵法 1
A A A *-= ○注： 1
a b d b c d c a ad bc --????= ? ?
--????
1 主换位
副变号
② 初等变换法 1()()A E E A -????
→初等行变换
③ 分块矩阵的逆矩阵：1
11A A B B ---????
=
? ????? 1
11A B B A
---?
?
?
?= ? ?????
1
111A C A A CB O B O
B ----??-??
=
? ????? 1
111A O A O C B B CA B ----????= ? ?
-????
④
1
2
31111
2
13a a a a a a -???? ? ?
=
? ? ? ? ??
??
?
, 3
2
1
1
1
112
13a a a a a a -??
??
?
?
=
? ? ? ? ?????
⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==?=）
3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 称为行最简形矩阵
4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换
初等变换
初等矩阵 初等矩阵的逆 初等矩阵的行列式
?i j r r (?i j c c )
(,)E i j 1(,)(,)E i j E i j -=
(,)E i j =-1 ?i r k (?i c k ) (())E i k
11[()][()]
k E i k E i -= [()]E i k k =
+?i j r r k (+?i j c c k )
(,())E i j k
1[,()][,()]E i j k E i j k -=- [,()]E i j k =1
?矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；
对A 施行一次初等○
列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○
右乘A .
注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.
5. 矩阵的秩 关于A 矩阵秩的描述：
①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0；
③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0； ?矩阵的秩的性质：
① ()A O r A ≠?≥1; ()0A O r A =?=;0≤()m n r A ?≤min(,)m n
② ()()()T
T
r A r A r A A ==
③ ()()r kA r A k =≠ 其中0
④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ??+≤?=??=?
若若0的列向量全部是的解
⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B
⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο??=??
=??=???=?=?
?????=?=??
? 只有零解
在矩阵乘法中有左消去律；
若()()()n s r AB r B r B n B ?=?=??
? 在矩阵乘法中有右消去律.
⑧ ()r r
E O E O r A r A A O
O O
O ????
=?
? ?????
若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ????==+
? ?????, ()()A C r r A r B O B ??
≠+ ???
?求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法
6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)
A B E X ????
→初等行变换
(I)的解法：构造()() A E B X ????
? ?????→ ? ? ? ?????
初等列变换(II)的解法：构造
T T T T
A X
B X X
=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得
第三部分 线性方程组
1. 向量组的线性表示
2. 向量组的线性相关性
3. 向量组的秩
4. 向量空间
5.线性方程组的解的判定
6. 线性方程组的解的结构（通解）
（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βααα，若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，
则称β是12,,
,n ααα的线性组合，或称称β可由12,,
,n ααα的线性表示.
线性表示的判别定理:
β可由12,,,n ααα的线性表示
由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：
①、11112211211222221122n n n n m m nm n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++= ??+++= ????+++=?有解
②、111211121
222221
2
??????
??? ? ??? ?
=?= ??? ? ??? ???????
n
n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β
③、()121
2
n n x x a
a a x β
??
? ?= ?
?
??
（全部按列分块，其中12n b b b β?? ? ?= ? ???）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）
⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数） 2. 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，
则m s
AB C ?=?()()1112121222121212
,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα??
? ?
???= ?
???
?i i A c β= ，(,,)i s =1,2
?i β为i Ax c =的解
?()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ???=???=
?12,,
,s c c c 可由12,,,n ααα???线性表示.
即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.
即： 11121112122
22212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ??????
??? ?
??? ?= ??? ?
??? ????????111122*********
22211222n n m m mn m
a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=??+
++=?
???++
+=?
3. 线性相关性
判别方法：
法1
法2
法3
推论
?线性相关性判别法（归纳）
? 线性相关性的性质
① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.
⑦ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法唯一 4. 最大无关组相关知识
向量组的秩 向量组12,,
,n ααα的极大无关组所含向量
的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r ααα
矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .
向量组等价 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ???=??? ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系
③ 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >，则12,,,s βββ???线性相关.
向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n .
④向量组
12
,,,
s
βββ
???可由向量组
12
,,,
n
ααα
???线性表示,且
12
(,,,)
s
rβββ
???
12
(,,,)
n
rααα
=???,则两向量组等价；
⑤任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.
⑥向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定.
⑦若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
⑧设A是m n
?矩阵,若()
r A m
=，A的行向量线性无关；
5. 线性方程组理论
线性方程组的矩阵式Axβ
=向量式
1122n n
x x x
αααβ
+++= 1112111
2122222
12
,,
n
n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
A x
a a a x b
β
??????
? ? ?
? ? ?
===
? ? ?
? ? ?
??????
其中
1
2,,2,,
j
j
j
mj
j n
α
α
α
α
??
?
?
==
?
?
?
??
1
（1）解得判别定理
（2）线性方程组解的性质：
1212
12
121122
1212
(1),,
(2),,
(3),,,,
,,,,
(4),,
(5),,
(6
k
k k k
Ax
Ax k k
Ax k
Ax Ax Ax
Ax Ax
ηηοηη
ηοη
ηηηο
λλλληληλη
γβηογηβ
ηηβηηο
=+?
?
=?
?
=?
?
++?
==+=
=-=
是的解也是它的解
是的解对任意也是它的解
齐次方程组
是的解对任意个常数
也是它的解
是的解是其导出组的解是的解
是的两个解是其导出组的解
2112
12
112212
112212
),
(7),,,,
1
00
k
k k k
k k k
Ax Ax
Ax
Ax
Ax
ηβηηηο
ηηηβ
ληληληβλλλ
ληληληλλλ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?=?-=
?
=
?
?+++=?+++=
?
?+++=?+++=
?
是的解则也是它的解是其导出组的解
是的解则
也是的解
是的解
(3) 判断
12
,,,
s
ηηη是Axο
=的基础解系的条件：
①
12
,,,
s
ηηη线性无关；
②
12
,,,
s
ηηη都是Axο
=的解；
③ ()
s n r A
=-=每个解向量中自由未知量的个数.
(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤
12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；
令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212...,,...,n r n r
n r k k k k α---++其中为任意常数.
（5）其他性质
一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,
,s ξξξ是Ax ο=的一个解?1,,,,s ξξξη*线性无关
√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）?()()A r r A r B B ??
==
???
, 且有结果： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 矩阵m n A ?与l n B ?的行向量组等价?齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解?PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ?与l n B ?的列向量组等价?AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.
第四部分 方阵的特征值及特征向量
1. 施密特正交化过程
2. 特征值、特征向量的性质及计算
3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化
1. 标准正交基 n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量()12,,
,T
n a a a α=与()12,,
,T
n b b b β=的内积 11221
(,)n
i i n n i a b a b a b a b αβ===++
+∑
αβ与正交 (,)0αβ=. 记为：αβ⊥ ④ 向量()12,,,T
n a a a α=的长度 222
2
12
1
(,)n
i n i a a a a ααα====+++∑
⑤ α是单位向量
(,)1ααα==. 即长度为1的向量.
2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=
③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+
(,)(,)k k αβαβ=
3. 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，
则称λ是方阵A 的一个特征值，x 为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. A 的特征矩阵
0E A λ-=（或0A E λ-=）.
A 的特征多项式 ()E A λ?λ-=（或()A E λ?λ-=）.
④ ()?λ是矩阵A 的特征多项式?()A O ?= ⑤ 12
n A λλλ= 1
n
i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 的迹.
⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.
⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.
⑧ ()1r A =?A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ?? ? ? ? ???
、21122()n n A a b a b a b A =++
+,从而A 的特征值
为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0.
○()12,,
,T
n a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.
⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:
① 若A 满足()f A O =?A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0 ②()f A 的全部特征值为12(),(),
,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.
⑩ A 与T
A 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法
(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,
,i
n r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.
则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--++
+
其中12,,
,i n r k k k -为任意不全为零的数.
5. A 与B 相似 1
P AP B -= （P 为可逆矩阵） A 与B 正交相似 1
P AP B -= （P 为正交矩阵）
A 可以相似对角化 A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 的相似标准形）
6. 相似矩阵的性质： ①
E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
○α是A 关于0λ的特征向量,1
P α-是B 关于0λ的特征向量.
②A B =tr tr
③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =
⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法
① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1
P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：
12
1n P AP λλλ-??
? ?=
? ??
?
.
② A 可相似对角化?()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数?A 恰有n 个线性无关的特征向量. ○：当i λ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化?i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.
③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值?A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：
① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；
○：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似?有相同的特征值. 9. 正交矩阵 T
AA E =
正交矩阵的性质：① 1
T A A -=；
② T T
AA A A E ==；
③ 正交阵的行列式等于1或-1；
④ A 是正交阵,则T
A ，1
A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.
10. 11.
施密特正交规范化
123,,ααα线性无关,
112122111313233121122(,)
(,)(,)(,)
(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=????=-??
?=-
-??
正交化
单位化：111βηβ=
222β
ηβ= 333
βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量
代入方程，确定其自由变量.
第四部分 二次型
1. 二次型及其矩阵形式
2. 二次型向标准形转化的三种方式
3. 正定矩阵的判定
1.
二次型 1112
11212222121211
12(,,
,)(,,
,)n n n
n T
n ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==????
?
? ? ?=== ? ? ? ? ???
??∑∑ 其中A 为对称矩阵，12(,,
,)T n x x x x =
A 与
B 合同 T
C AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）
正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p -
符号差 2p r - (r 为二次型的秩)
④ 两个矩阵合同?它们有相同的正负惯性指数?他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =
2. 12(,,
,)T
n f x x x x Ax =经过正交变换
合同变换
可逆线性变换
x Cy = 化为21
n
i i f d y =∑标准形.
正交变换法
配方法
（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;
（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换
()1,2,,,i i j j i j
k
k x y y x y y k n k i j x y
=-??
=+=≠??=?且,
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.
初等变换法
3. 正定二次型 12,,,n x x x 不全为零，12(,,,)n f x x x >0.
正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.
4. ()T
f x x Ax =为正定二次型?（之一成立）： （1） x ο?≠ ，T
x Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ； （4）A 的所有顺序主子式全大于0；
（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得T
C AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得T
A P P =； 5. （1）合同变换不改变二次型的正定性.
（2）A为正定矩阵?ii a>0；0
A>.
（3）A为正定矩阵?1
,,
T
A A A
-*也是正定矩阵.
（4）A与B合同，若A为正定矩阵?B为正定矩阵
（5）,A B为正定矩阵?A B
+为正定矩阵，但,
AB BA不一定为正定矩阵.
6.半正定矩阵的判定
一些重要的结论
()
,n
T
A
r A n
A
A
Ax x Ax
A
Ax
A A
A E
οοο
ββ
=
=??≠≠
≠?
?∈=
?
可逆
的列（行）向量线性无关
的特征值全不为0
只有零解，
总有唯一解
是正定矩阵
12
,
s i
A p p p p
n B AB E AB E
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?=???
?
==
??
是初等阵
存在阶矩阵使得或
○注：全体n维实向量构成的集合n叫做n维向量空间.
()
A
r A n
A A
A
Ax A
ολ
<
=?
==
不可逆
0的列（行）向量线性相关
0是的特征值
有非零解,其基础解系即为关于0的
?
?
??
?
?
?
??特征向量
?
?
?????
→????
具有
向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???：
①称为
n
的标准基，
n
中的自然基，单位坐标向量；
②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示.
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数知识点归纳同济第五版
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 11 12121222() 121 2 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1 例 计算 2-100-1 300001100-25 解 2-100 -1 30000110 -2 5 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1) 2 1121 21 1211 1()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* = =-1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 2 2 22 12 11 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式
⑦ a b - 型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数总结归纳
行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5
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线性代数总结归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
《线性代数》知识点 归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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线性代数知识点总结
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
线性代数知识点总结第二章doc资料
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++
线性代数知识点整理
? ∑??-= ???????= pn p p n n nn n n n n p a p a p a a a a a a a a a a D 21221121 2222111211 ) 1(逆序数 （1）行列中两个数一次对换改变奇偶性 （2）全部n （n ≥2）级排列中奇偶各占一半， 2 ! n 个；n!项相加，每项n 个数相乘 ? 行列式性质： （1）D=D T （2）某行（列）提公因数k 出来 （3）任意互换两行（列），值变号，r 行j 列 （4）两行（列）元素成比例，D=0 （5）某一行（列）全为0，D=0 （6）可拆 （7）某一行（列）×k ＋另一行（列），值不变 ? 反对称行列式：0 0?---???????--??-?=y x n c b c a n b a D =0 ? 余子式：划去a ij ，所剩M ij ；代数余子式：A ij =(-1)i+j M ij ? D=a i1A i1+a i2A i2+……+a in A in （按行展开） D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +……+a nj A nj （按列展开） （1）各元素与其代数余子式乘积的和 （2）某一行（列）元素×另一行（列）对应代数余子式之和=0 ? 上（下）三角：n ab n b a D ?=? = ? 副对角：n ab a b n D n n ?-=? = -2 )1() 1( ? 范德蒙： 的乘积所有满足)(1)(11111 12 112 222121i j n j i i j n n n n n n x x n j i x x x x x x x x x x x -≤≤≤=-=?? ? ??????????∏≤≤≤--- ? 拉普拉斯展开式： b a b c a c b a =O = O
线性代数章节知识点总结
考研线性代数的六大考点 博研堂专家通过对最近几年考研数学真题以及学生考研分数的分析，得出结论：首先，线性代数的得分率总体要比高等数学和概率论高5%左右；其次，在对考研学生的调查中，70%以上的学生认为线性代数试题难度低，容易取得高分；再次，线性代数侧重的是方法的考查，考点比较明确，系统性更强。鉴于此，博研堂专家认真归纳整理线性代数的主要考点，供同学们分享： 总体来说，线性代数主要包含行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型六章内容。按照章节，博研堂专家总结出线性代数必须掌握的六大考点。 一是行列式部分，强化概念性质，熟练行列式的求法。 在这里我们需要明确下面几条：行列式对应的是一个数值，是一个实数，明确这一点可以帮助我们检查一些疏漏的低级错误；行列式的计算方法中常用的是定义法，比较重要的是加边法，数学归纳法，降阶法，利用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再按行或列展开。另外范德蒙行列式也是需要掌握的；行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二是矩阵部分，重视矩阵运算，掌握矩阵秩的应用。 通过历年真题分类统计与考点分布，矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩。此外，伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是需要同学们熟练掌握的细节。涉及秩的应用，包含矩阵的秩与向量组的秩之间的关系，矩阵等价与向量组等价，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析，备考需要在理解概念的基础上，系统地进行归纳总结，并做习题加以巩固。 三是向量部分，理解相关无关概念，灵活进行判定。 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢？首先在于对定义概念的理解，然后就是分析判定的重点，即：看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 四是线性方程组部分，判断解的个数，明确通解的求解思路。 线性方程组解的情况，主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的情况。为了使考生牢固掌握线性方程组的求解问题，博研堂专家对含参数的方程通解的求解思路进行了整理，希望对考研同学有所帮助。通解的求法有两种，若为齐次线性方程组，首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值，在特征值为零和不为零的情况下分别进行讨论，为零说明有解，带入增广矩阵化简整理；不为零则有唯一解直接求出即可。若为非齐次方程组，则按照对增广矩阵的讨论进行求解。 五是矩阵的特征值与特征向量部分，理解概念方法，掌握矩阵对角化的求解。 矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。相关题型有：数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相似对角化、有关实对称矩阵的问题。 六是二次型部分，熟悉正定矩阵的判别，了解规范性和惯性定理。 二次型矩阵是二次型问题的一个基础，且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示，二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不可或缺的部分，二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，要会用配方