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线性代数知识点总结
1行列式
（一）行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：（用于化简行列式）
（1）行列互换（转置），行列式的值不变
（2）两行（列）互换，行列式变号
（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数 k 乘此行列式
（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这
个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘 k 加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为 0。
（二）重要行列式
4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式：（A 是 m 阶矩阵， B 是 n 阶矩阵），则
7、n 阶（ n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★ 8、对角线的元素为a，其余元素为 b 的行列式的值：
（三）按行（列）展开
9、按行展开定理：
（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于 0
（四）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1） |kA|=k n|A|
（2） |AB|=|A| ·|B|
（3） |A T|=|A|
（4） |A -1|=|A| -1
（5） |A*|=|A| n-1
（6）若 A 的特征值λ1、λ2、λn，则
（7）若 A 与 B 相似，则 |A|=|B|
（五）克莱姆法则
11、克莱姆法则：
（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（ 2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0
（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为 0，则齐次线性方程组只有 0 解；如果方程组有非零解，那么必有 D=0。
2矩阵
（一）矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项：
（1）矩阵乘法要求前列后行一致；
（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若 B=E,O,A-1，
（3） AB=O不能推出 A=O 或 B=O。
2、转置的性质（ 5 条）
（1）（A+B）T=A T+B T
（2）（kA）T=kA T
（3）（AB）T=B T A T
（4） |A| T=|A|
（5）（A T）T=A
（二）矩阵的逆
3、逆的定义：
AB=E或 BA=E成立，称 A 可逆， B 是 A 的逆矩阵，记为B=A-1
注： A 可逆的充要条件是 |A| ≠ 0
4、逆的性质：（ 5 条）
（1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0)
（2）（AB）-1=B-1·A-1
（3） |A -1|=|A| -1
（4）（A T）-1=（A-1）T
（5）（A-1）-1=A
5、逆的求法：
（1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解
（2） A 为数字矩阵：（A|E）→初等行变换→（ E|A-1）
（三）矩阵的初等变换
6、初等行（列）变换定义：
（1）两行（列）互换；
（2）一行（列）乘非零常数 c
（3）一行（列）乘 k 加到另一行（列）
7、初等矩阵：单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：
（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵
（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且 E ij-1=E ij（i，j 两行互换）；
E i-1（ c） =E i（1/c）（第 i 行（列）乘 c）
E ij-1（k）=E ij（-k）（第 i 行乘 k 加到 j）
★（四）矩阵的秩
9、秩的定义：非零子式的最高阶数
注：（ 1） r（A）=0 意味着所有元素为0，即 A=O
（2） r（A n×n）=n（满秩）←→ |A| ≠0 ←→A 可
逆；r（ A）＜ n←→|A|=0 ←→A 不可逆；
（3） r（A）=r（r=1、2、、 n-1）←→r 阶子式非零且所有 r+1 子式均为 0。
10、秩的性质：（7 条）
（1） A 为 m× n 阶矩阵，则 r（A）≤ min（m,n）
（2） r（A±B）≤ r（ A）±（ B）
（3） r（AB）≤ min{r （ A），r（B）}
（4） r（kA）=r（A）（k≠0）
（5） r（A）=r（AC）（C 是一个可逆矩阵）
（6） r（A）=r（A T）=r（ A T A）=r（AA T）
（7）设 A 是 m×n 阶矩阵， B 是 n×s 矩阵， AB=O，则 r（ A） +r（B）≤ n
11、秩的求法：
（ 1） A 为抽象矩阵：由定义或性质求解；
（ 2） A 为数字矩阵： A →初等行变换 →阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素
均为 0），则 r （A ）=非零行的行数
（五）伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质：（8 条）
（ 1） AA*=A*A=|A|E → ★ A*=|A|A -1
（ 2）（kA ）*=k n-1A* （ 3）（AB ）*=B*A* （ 4） |A*|=|A| n-1 （ 5）（A T ）*=（A*）T
（ 6）（A -1）*=（ A*）-1=A|A| -1
（ 7）（A* ）*=|A| n-2·A
（r （ A ）=n ）；（r
（ A ） =n-1）；（r
（ A ）＜ n-1）
13、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同。 14、分块矩阵求逆：
3 向量
（一）向量的概念及运算
1、向量的内积：（α，β） =αT β =β T α
2、长度定义： || α||=
3、正交定义：（α，β） =α T β=βT α=a 1b 1+a 2b 2+ +a n b n =0
4、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵， AA T =E ←→ A -1=A T ←→ A T A=E → |A|= ±1
（
★
（ 8）r （ A*）=n r （ A*）=1 r （ A*）（ （六）分块矩阵
（二）线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量β可由α 1，α 2，，α s 线性表示
(1)←→非齐次线性方程组（α1，α 2，，α s）（x1，x2，，x s）T=β有解。
★(2)←→r（α1，α2，，αs）=r（α1，α2，，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）
6、线性表示的充分条件：（了解即可）
若α 1，α2，，α s 线性无关，α 1，α 2，，α s，β线性相关，则β可由α1，α 2，，α s 线性表示。
7、线性表示的求法：（大题第二步）
设α 1，α 2，，α s 线性无关，β可由其线性表示。
（α 1，α 2，，α s|β）→初等行变换→（行最简形|系数）
行最简形：每行第一个非0 的数为 1，其余元素均为0
（三）线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项：
（1）α线性相关←→α =0
（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例
9、线性相关的充要条件：
向量组α 1，α 2，，α s 线性相关
（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；
（2）←→齐次方程（α1，α2，，αs）（ x1，x2，， x s）T=0 有非零解；
★（ 3）←→r（α1，α2，，αs）＜ s 即秩小于个数
特别地， n 个 n 维列向量α1，α2，，αn线性相关
（1）←→ r（α1，α2，，αn）＜ n
（2）←→| α1，α2，，αn |=0
（3）←→（α1，α2，，αn）不可逆
10、线性相关的充分条件：
（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关
（2）部分相关，则整体相关
（3）高维相关，则低维相关
（4）以少表多，多必相关
★推论： n+1 个 n 维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α 1，α 2，，α s 线性无关
（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；
（2）←→齐次方程（α1，α2，，αs）（ x1，x2，， x s）T=0 只有零解（3）←→r（α1，α2，，αs）=s
特别地， n 个 n 维向量α1，α2，，αn线性无关
←→r（α1，α2，，αn）
=n ←→ α 1，α 2，，α n
|
≠
←→矩阵可逆|
12、线性无关的充分条件：
（1）整体无关，部分无关
（2）低维无关，高维无关
（3）正交的非零向量组线性无关
（4）不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
（ 1）定义法
★（ 2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关
【专业知识补充】
（ 1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满
秩矩阵，矩阵的秩不变。
（2）若 n 维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β 1，β 2，β 3）=（α 1，α 2，α 3）C，则r（β 1，β 2，β 3）=r（C），从而线性无关。
←→r（β1，β2，β3） =3 ←→ r（C）=3 ←→ |C| ≠0
（四）极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比：矩阵的秩 :非零子式的最高阶数
★注 :向量组α1，α2，，αs的秩与矩阵 A=（α1，α2，，αs）的秩相等★16、极大线性无关组的求法
（1）α1，α2，，αs （2）α1，α2，，αs 为抽象的：定义法为数字的：
（α 1，α 2，，α s）→初等行变换→阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
（五）向量空间
17、基（就是极大线性无关组）变换公式：
若α 1，α2，，α n 与β 1，β2，，β n 是n维向量空间V的两组基，则基变换
公式为（β 1，β 2，，β n）=（α 1，α 2，，α n）C n×n
其中， C 是从基α1，α2，，αn到β1，β2，，βn的过渡矩阵。
C=（α1，α2，，αn）-1（β1，β2，，βn）
18、坐标变换公式：
向量γ在基α1，α2，，αn 与基β1，β2，，βn 的坐标分别为x=（x1，x2，，x n）T，y=（ y1，y2，， y n）T，，即γ =x1α1 + x2α2 + +x nαn =y1β1 + y2β2+ +y nβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C 是从基α1，α
2，，αn到β 1，β 2，，β n 的过渡矩阵。C=（α 1 ，α2，，α n）-1（β
1，
β 2，，β
n）
（六） Schmidt 正交化19、Schmidt 正交化
设α 1，α 2，α 3线性无关
（1）正交
化令β
1=α1
（ 2）单位化
4线性方程组
（一）方程组的表达形与解向量
1、解的形式：
(1)一般形式
(2)矩阵形式： Ax=b；
(3)向量形式： A=（α1，α2，，αn）
2、解的定义：
若η =（c1，c2，， c n）T满足方程组 Ax=b，即 Aη =b，称η是 Ax=b 的一个解（向量）
（二）解的判定与性质
3、齐次方程组：
（1）只有零解←→r（A）=n（ n 为 A 的列数或是未知数 x 的个数）
（2）有非零解←→r（A）＜ n
4、非齐次方程组：
（1）无解←→r（A）＜ r（A|b ）←→r（ A）=r（A）-1
（2）唯一解←→r（ A） =r（A|b ）=n
（3）无穷多解←→r（A）=r（A|b ）＜ n
5、解的性质：
（1）若ξ1，ξ2是 Ax=0的解，则 k1ξ1+k2ξ2是 Ax=0 的解
（2）若ξ是 Ax=0 的解，η是 Ax=b 的解，则ξ +η是 Ax=b 的解
（3）若η1，η2是 Ax=b 的解，则η1-η2是 Ax=0 的解
【推广】
（1）设η1，η2，，ηs是 Ax=b 的解，则 k1η1+k2η2+ +k sηs为
Ax=b 的解（当Σ k i=1）
Ax=0的解（当Σ k i=0）
（ 2）设η1，η2，，ηs是 Ax=b 的 s 个线性无关的解，则η2-η1，η3-η1，，
ηs-η 1 为Ax=0的s-1个线性无关的解。
变式：①η 1-η2，η 3 -η2，，η s-η2
②η 2-η1，η 3-η2，，η s-ηs-1
（三）基础解系
6、基础解系定义：
（1）ξ1，ξ2，，ξs是 Ax=0 的解
（2）ξ1，ξ2，，ξs线性相关
（3） Ax=0 的所有解均可由其线性表示
→基础解系即所有解的极大无关组
注：基础解系不唯一。
任意 n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系。
★7、重要结论：（证明也很重要）
设 A 施 m×n 阶矩阵， B 是 n×s 阶矩阵， AB=O
（1） B 的列向量均为方程 Ax=0 的解
（2） r（A）+r（B）≤ n（第 2 章，秩）
8、总结：基础解系的求法
（1） A 为抽象的：由定义或性质凑 n-r（ A）个线性无关的解
（2） A 为数字的： A→初等行变换→阶梯型
自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系
（四）解的结构（通解）
9、齐次线性方程组的通解（所有解）
设 r（ A） =r，ξ1，ξ2，，ξn-r为 Ax=0 的基础解系，
则 Ax=0 的通解为 k1η1+k2η2+ +k n-rηn-r（其中 k1，k2，， k n-r为任意常数）
10、非齐次线性方程组的通解
设 r（ A） =r，ξ1，ξ2，，ξn-r为 Ax=0 的基础解系，η为 Ax=b 的特解，
则 Ax=b 的通解为η + k1η1+k2η2+ +k n-rηn-r（其中 k1，k2，，k n-r为任意常数）（五）公共解与同解
11、公共解定义：
如果α既是方程组 Ax=0 的解，又是方程组Bx=0 的解，则称α为其公共解
12、非零公共解的充要条件：
方程组 Ax=0 与 Bx=0有非零公共解
←→有非零解←→
13、重要结论（需要掌握证明）
（1）设 A 是 m× n 阶矩阵，则齐次方程 ATAx=0与 Ax=0 同解， r（ ATA）=r（A）（2）设 A 是 m×n 阶矩阵， r（A）=n，B 是 n× s 阶矩阵，则齐次方程 ABx=0与
Bx=0同解， r （AB） =r（B）
5 特征值与特征向量
（一）矩阵的特征值与特征向量
1、特征值、特征向量的定义：
设 A 为 n 阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得 Aα=λα，称α是矩阵
A 属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：
| λE-A|称为矩阵 A 的特征多项式（λ的n 次多项式）。
| λE-A |=0 称为矩阵 A 的特征方程（λ的n 次方程）。
注 :特征方程可以写为 |A- λ E|=0
3、重要结论：
（ 1）若α为齐次方程 Ax=0的非零解，则 Aα=0·α，即α为矩阵 A 特征值λ =0 的特征向量
（2） A 的各行元素和为 k，则 (1， 1，， 1)T为特征值为 k 的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法
（1） A 为抽象的：由定义或性质凑
（2） A 为数字的：由特征方程法求解
5、特征方程法：
（ 1）解特征方程 | λE-A|=0，得矩阵 A 的 n 个特征值λ1，λ2，，λn
注： n 次方程必须有 n 个根 (可有多重根，写作λ1=λ2==λs=实数，不能省略 ) （2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共 n-r（λi E-A）个解）
6、性质：
（1）不同特征值的特征向量线性无关
（2） k 重特征值最多 k 个线性无关的特征向量
1≤n-r（λi E-A）≤ k i
（3）设 A 的特征值为λ1，λ2，，λn，则 |A|= Πλi，Σλi =Σ a ii
（4）当 r（A）=1，即 A=αβT，其中α，β均为 n 维非零列向量，则 A 的特征值为λ 1=Σa ii =αTβ=βTα，λ 2= =λn=0
（5）设α是矩阵 A 属于特征值λ的特征向量，则
f A -1 （相
P AP
-
A
（A）A T
1
A*
似）
f λ
- λλ-1
λ
（λ） 1
|A| λ
αα/ ααP-1α（二）相似矩阵
7、相似矩阵的定义：
设 A、B 均为 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵P 使得 B=P-1 ，称
A 与
B
相似，记
AP 作 A~B
8、相似矩阵的性质
（1）若 A 与 B 相似，则 f（A）与 f（ B）相似
（2）若 A与 B相似，B与 C相似，则 A与 C相似
（ 3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）
【推广】
（ 4）若 A 与 B 相似，则 AB 与 BA 相似， A T 与 B T 相似， A -1 与 B -1 相似， A* 与 B*
也相似
（三）矩阵的相似对角化
9、相似对角化定义：
如果 A 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵
P ，使得 P -1
Λ
，
AP= = 称 A 可相似对角化。
注：A αi λi α（i
αi ≠ ，由于 P 可逆），故 P 的每一列均为矩阵 A 的特征值λ i
的
= 0
特征向量
10、相似对角化的充要条件
（ 1） A 有 n 个线性无关的特征向量
（ 2） A 的 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量
11、相似对角化的充分条件：
（ 1） A 有 n 个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）
（ 2） A 为实对称矩阵
12、重要结论：
（ 1）若 A 可相似对角化，则 r （A ）为非零特征值的个数， n-r （A ）为零特征值的
个数
（ 2）若 A 不可相似对角化， r （ A ）不一定为非零特征值的个数
（四）实对称矩阵
13、性质
（ 1）特征值全为实数
（ 2）不同特征值的特征向量正交
（ 3） A 可相似对角化，即存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP=Λ
（ 4） A 可正交相似对角化，即存在正交矩阵 Q ，使得 Q-1AQ=QTAQ=Λ
6二次型
（一）二次型及其标准形
1、二次型：
（1）一般形式
（2）矩阵形式（常用）
2、标准形：
如果二次型只含平方项，即 f （x1，x2，， x n） =d1x12+d2 x22++d n x n2
这样的二次型称为标准形（对角线）
3、二次型化为标准形的方法：
（ 1）配方法：
通过可逆线性变换x=Cy（C 可逆），将二次型化为标准形。其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（ 2）正交变换法：
通过正交变换 x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+ +λn y n2
其中，λ 1，λ 2，，λ n 是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵
注 :正交矩阵 Q 不唯一，γi与λi对应即
可。（二）惯性定理及规范形
4、定义：
正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；
负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；
规范形： f=z12+ z p2-z p+12--z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：
二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（ 1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2） p=正特征值的个数， q=负特征值的个数， p+q=非零特征值的个数 =r（A）（三）合同矩阵
6、定义：
A、B 均为 n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 B=C T AC，称 A 与 B 合同
△7、总结： n 阶实对称矩阵 A、B 的关系
（ 1） A、 B 相似（ B=P-1AP）←→相同的特征值
T ）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（ 2）A、B 合同（B=C
AC
（3） A、 B 等价（ B=PAQ）←→r（ A） =r（B）
注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价
（四）正定二次型与正定矩阵
8、正定的定义
二次型 x T Ax，如果任意 x≠ 0，恒有 x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n 元二次型 x T Ax 正定充要条件：
（ 1） A 的正惯性指数为 n
（ 2） A 与 E 合同，即存在可逆矩阵C，使得 A=C T C 或 C T AC=E
（3） A 的特征值均大于 0
（4） A 的顺序主子式均大于 0（ k 阶顺序主子式为前 k 行前 k 列的行列式）10、n 元二次型 x T Ax 正定必要条件：
（1） a ii＞0
（2）|A| ＞0
11、总结：二次型 x T Ax 正定判定（大题）
（1） A 为数字：顺序主子式均大于 0
（2） A 为抽象：①证 A 为实对称矩阵： A T=A；②再由定义或特征值判定
12、重要结论：
（1）若 A 是正定矩阵，则 kA（k＞0），A k，A T，A-1， A* 正定
（2）若 A、B 均为正定矩阵，则 A+B 正定
线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο??
√ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，
线性代数公式总结大全
线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数知识点归纳同济第五版
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 11 12121222() 121 2 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1 例 计算 2-100-1 300001100-25 解 2-100 -1 30000110 -2 5 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1) 2 1121 21 1211 1()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* = =-1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 2 2 22 12 11 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式
⑦ a b - 型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数超强总结
√ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ??????????
⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：
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大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
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线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
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行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5
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行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【
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线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.
线性代数知识点全归纳
线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；
线性代数知识点总结
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
《线性代数》知识点 归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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