(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题

数学

亲爱的2019届平冈学子：

恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了，做好了充分的准备吗？其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题，善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。

从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大，选拔性很明显，难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子，是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性，能有效地克服知识和方法上的跳跃，利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。

这里给大家几个学数学的建议：

1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。

2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。

3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。

4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题归纳于同一知识方法。

5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自学力度，拓展自己的知识面。

6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。

7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。

8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。

9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。

初高中数学衔接呼应版块

1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。

3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，

6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

9. 角度问题，三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时，度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。

10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

目 录

1.1 数与式的运算

1.1.1绝对值 1.1.

2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1．2 分解因式

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算 1.1.1．绝对值

一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >??

==??-

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

二、典型例题： 例1 解不等式：4|1|>-x 解法一：由01=-x ，得1=x ；

①若1--x ，即41>-x ，得3-

②若x ≤1，不等式可变为4)1(>-x ， 即5>x 又1≥x ∴ 5>x

综上所述，原不等式的解为3-x 。

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；

所以4|1|>-x 的几何意义即为 |PA |＞4．

可知点P 在点C (坐标为-3)的左侧、或点P 在点D (坐标5)的右侧．

∴ 3-x 。 练 习A 1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，

则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

1

-3

x

|x －1|

图1．1－1

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 练习B

3．解不等式：3|2|<+x

4、化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

1.1.

2. 乘法公式

一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 2

2

()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 2

2

2

()2a b a ab b ±=±+．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b +-+=+；

（2）立方差公式 2233

()()a b a ab b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；

（5）两数差立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 二、典型例题

例1 计算：2

2

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ??-+-?? =2

4

2

(1)(1)x x x -++=6

1x -．

解法二：原式=22

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =3

3

(1)(1)x x +- =6

1x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222

a b c ++的值．

解： 2

2

2

2

()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习A 1．填空：

（1）

221111

()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

(3 ) 2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

1

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）

2116m （2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一、概念：一般地，形如

0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

32a b 212

x +

+，22x y ++ 必须记

住

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次

，+

一般地，，与b 与b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程

0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2． a ==,0,

,0.a a a a ≥??

-

二、典型例题

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1 （20)a ≥； （30)x <．

解： （1= （20)a ==≥；

（3220)x

x x ==-<．

例2 (3-．

解法一：

(3-

393- ＝1)6＝12．

解法二：

(3-

．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1 （2

和

解： （1

1===

，

=

==

，

>

（2）∵

=

== 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

.

例4 化简：20042005+?．

解：20042005+?

＝20042004+?-?-

＝2004

??+

?-???

＝2004

1

?

例 5 化简：（1； （21)x <<． 解：（1）原式=4545+-

222522)5(+??-

=

2=

-2=．

（2）原式

1x x

=-

， ∵01x <<，∴

11x x >>， 所以，原式＝1

x x

-． 练 习A 1．填空：

（1

＝__ ___； （2

(x =-x 的取值范围是_ _ ___；

（3

）=__ ___；

（4

）若x =

=______ __．

（提示先简化后代入）

2．选择题：

=

（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<

练习B

3

．若b =，求a b +的值．

4．比较大小：2

－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.4．分式

一、概念：1．分式的意义

形如

A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质：A A M B B M ?=?； A A M

B B M

÷=÷．

上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式

像a

b c d

+，2m n p

m n p

+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

二、典型例题：

例1 若

54(2)2x A B

x x x x +=+++，求常数,A B 的值．

解： ∵(2)()254

2(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，

∴5,

24,

A B A +=??=? 解得 2,3A B ==．

例2 （1）试证：111

(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；

（2）计算：1111223910

+++???L ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有

11112334(1)2

n n +++

（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++， ∴111

(1)1

n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．

（2）解：由（1）可知

111

1223910

+++

???L 11111

(1)()()223910=-+-++-L

1110=-＝9

10．

（3）证明：∵1112334(1)n n +++??+L ＝111111

()()()23341n n -+-++-+L

＝11

21

n -+，

又n ≥2，且n 是正整数，

∴1

n ＋1 一定为正数，

∴1112334(1)n n +++??+L ＜1

2

． 例3 设c

e a

=

，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 解：在2c 2－5ac ＋2a 2＝0两边同除以a 2，得 2e 2－5e ＋2＝0， ∴(2e －1)(e －2)＝0，

∴e ＝1

2 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．

练习A

1．填空题：

对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (11

2

n n -+)；

2．选择题：

若223x y x y -=+，则x

y

＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）6

5

3．正数,x y 满足xy y x 22

2=+，求x y x y

-+的值．

4．计算1111 (12233499100)

++++????．

习题1．1

A 组

1．解不等式：13x ->

２．已知1x y +=，求33

3x y xy ++的值．

3．填空：

（1）1819

(2(2+-＝___________________；

（22=，则a 的取值范围是____________________；

（3

=____________________．

4．填空：12a =，1

3

b =，则22

23a ab -=____ ______________；

5．已知：11

,23x y ==的值．

B 组

1．选择题：

（1=

（ ）

（A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<

（2）计算 （ ）

（A （B （C ） （D ）

2．计算：1111

132435911

++++

????L ．

1．2 分解因式

一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）2

2

()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．

（3）由图1．2－4，得 2

2

()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：

（1）32

933x x x +++； （2）2

2

2456x xy y x y +--+-． 解： （1）32

933x x x +++=3

2

(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++

=2

(3)(3)x x ++．

或32

933x x x +++＝3

2

(331)8x x x ++++＝3

(1)8x ++＝3

3

(1)2x ++

＝22

[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+?+

＝2

(3)(3)x x ++． 二次项 一次项 常数项

（2）2

2

2456x xy y x y +--+-=2

2

(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．

3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解． 若关于x 的方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2

(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.

例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：

（1）2

21x x +-； （2）2

2

44x xy y +-．

解： （1）令2

21x x +-=0

，则解得11x =-

21x =-，

∴2

21x x +-

=(1(1x x ????----???

?

=(11x x +-++．

（2）令2

2

44x xy y +-=0

，则解得1(2x y =-+

，1(2x y =--，

∴22

44x xy y +-

=[2(1][2(1]x y x y +-++．

二、练习A 1．选择题：

多项式22

215x xy y --的一个因式为 （ ）

（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：

（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；

（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．

练习B 组

1．分解因式：

（1） 3

1a +； （2）42

4139x x -+；

－1 －2 x

x 图1．2－1 －1 －2

1 1

图1．2－2

－2 6

1 1

图1．2－3

－ay －by

x x

图1．2－4 －1 1

x y

图1．2－5

x+y 2x-y 2 -3

（3）22

222b c ab ac bc ++++；

2．在实数范围内因式分解：

（1）2

53x x -+ ； （2）2

3x --；

（3）2

2

34x xy y +-；

3．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．

2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

一、概念：我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为

2224()24b b ac

x a a

-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是

（1）当

b 2－4a

c ＞0

时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x 1，2

（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－

2b a

； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2

()2b x a

+

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有

（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2＝2b a -±；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b

a

；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 二、典型例题：

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

12

a x =

，

22

a x =

（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，

①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；

②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1． （4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，

所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根

11x = 21x =

②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

一、概念：1、若一元二次方程

ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根

1b x -=，2b x -=， 则有

1222b b b b

x x a a

---+=

+==-；

22122

2(4)42244b b b b ac ac c

x x a a a a a

----=?===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a

-

，x 1·x 2＝c

a ．这一关系也被称为韦达定理．

2、特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，

所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是

一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0的两根，因此有

以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 二、典型例题：

例2 已知方程2

560x

kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．

所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35

． 所以，方程的另一个根为－

3

5

，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－

65，∴x 1＝－35

． 由 （－

35）＋2＝－5

k

，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－3

5

，k 的值为－7．

例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．

∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，

即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21， 化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．

当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝-1． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．

（★）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解． 解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①

xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12， 即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．

∴112,6,x y =-??=? 或22

6,2.x y =??=-?

因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根． 解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求

2212

11

x x +的值； （3）x 13＋x 23． 解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根， ∴1252x x +=-，123

2

x x =-．

（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝2

5

3()4()2

2

--?-

＝

254

＋6＝494， ∴| x 1－x 2|＝72．

（2）2222

12121222222

21212125325()2()3()2113722439()9()24

x x x x x x x x x x x x --?-+++-+=====?-．

（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]

＝(－

52)×[(－52)2－3×(32

-)]＝－215

8． 注意：．．．

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出

其一般规律：

设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则

1

x

=

2x =， ∴| x 1－x 2|

=

||||

a a ==

． 于是有下面的结论：

若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝

||

a （其中Δ＝

b 2－4a

c ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ①

且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4，

由②得 a ＜17

4

．

∴a 的取值范围是a ＜4．

练习A

1．选择题：

（1

）方程2

2

30x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根

（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根

（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＜

14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－1

4

，且m ≠0 （3）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）

（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （4）下列四个说法：

①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73

-

； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

（5）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1

2．填空:

（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则

12

11

x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ． （4）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ． （5）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（6）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （7）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．

3

|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．

5．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

6．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．

练习B 组 1．选择题:

若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两实根互为相反数，则k 的值为 （ ） （A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:

（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．

（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．

4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和

12

2

x x +；（2）x 13＋x 23．

5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质

一、复习引申：问题1 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12

x 2

，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．

再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝

12

x 2

，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 1、二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2

，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

2、二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”

；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：

由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2

＋b x a

＋224b a )＋c －24b a

224()24b b ac a x a a

-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，

图2.2-1

于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：

3、（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a

-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b

a

-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．

（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2

4(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a

-时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b

a

-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函

数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

二、典型例题：

例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当

x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋

4， ∴函数图象的开口向下；

对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；

当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；

当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随着x 的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点A (－1，4))，与x 轴交于点B 和C (，与y 轴的交点为D (0，1)，过这四点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选

点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y ×(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx +b

将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,

50150,k b k b =+??

=+?

解得 k ＝－1，b ＝200．∴ y ＝－x ＋200．

设每天的利润为z （元），则

z ＝(－x +200)(x －120)＝－x 2＋320x －24000

＝－(x －160)2＋1600， ∴当x ＝160时，z 取最大值1600． 答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．

例3 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．

解法一：y ＝x 2

＋bx ＋c ＝(x +2

b )224b

c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的

图像，也就是函数y ＝x 2的图像，所以，

图2.2-3 图2.2-4 图2.2－5

2

40,220,4b

b c ?--=????-+=?? 解得b ＝－8，c ＝14． 解法二：把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，等价于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像． 由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x 2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x 2－8x ＋14与函数y ＝x 2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题． 三、练习A 1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x

（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）

（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题

（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．

（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；

当m ＝ 时，函数图象经过原点．

（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值

y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象． （1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；

2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点个数．

当抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有

ax 2＋bx ＋c ＝0． ①

并且方程①的解就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)

与x 轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2－4ac 有关，由此可知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b 2－4ac 存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点；反过来，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．

于是，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以 x 1＋x 2＝b a

-

，x 1x 2＝c

a ，

即 b a ＝－(x 1＋x 2)， c

a

＝x 1x 2．

所以，y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (2

b c x x a a

+

+) = a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]

＝a (x －x 1) (x －x 2)．

由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

二、典型例题：

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．

解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．

∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为)0(2)1(2

<+-=a x a y ， ∵二次函数的图像经过点（3，－1）， ∴2)13(12

+-=-a ，解得a ＝4

3

-． ∴二次函数的解析式为2)1(432+--

=x y ，即y=4

523432++-x x 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问

题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，

展开，得 y ＝ax 2＋2ax －3a ，

顶点的纵坐标为

22

12444a a a a

--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝1

2

±．

所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－213

22

x x -+．

分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐

标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式． 解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．

又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2． 于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，

∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－

12，或a ＝12

． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝1

2

(x ＋1)2－2．

说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，

要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+??

-=??=++?

解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．

所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

三、练习A 1．选择题:

（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定

（2）函数y ＝－1

2

(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）

（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0) ．

（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可． 例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位； （2）向上平移3个单位，向左平移2个单位． 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式． 解：二次函数y ＝2x 2－4x －3的解析式可变为 y ＝2(x －1)2－1，

其顶点坐标为(1，－1)．

（1）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，-2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x －3)2－2． （2）把函数y ＝2(x －1)2－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y ＝2(x ＋1)2＋2．

2．对称变换 问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的

特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称

变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题． 例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1．

图2.2－7

平冈中学2019届初高中数学衔接知识点及习题

解：（1）如图2．2－7，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状． 由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，可知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为A 1(－3，-1)，所以，二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线x ＝－1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝2(x ＋3)2－1，即y ＝2x 2＋12x ＋17．

（2）如图2．2－8，把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状． 由于y ＝2x 2－4x ＋1＝2(x －1)2－1，可知，函数y ＝2x 2－4x ＋1图象的顶点为A (1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为B (1，3)，且开口向下，所以，二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于直线y ＝1对称后所得到图象的函数解析式为y ＝－2(x －1)2＋3，即y ＝－2x 2＋4x ＋1．

二、分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象． 分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）． 解：设每封信的邮资为y （单位：分），则y 是x 的函数．这个函数的解析式为

80,

(0,20]

160(20,40]240,

940,80]320(60,80]400,

(80,100]

x x y x x x ∈??∈??

=∈??∈?∈??

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．

三、配方法及其应用

1、同学们知道，在求二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象的顶点坐标或求最大（小）值时需用到变形：

a b ac a b x a c bx ax y 44)2(222

-++=++=，这种变形的过程就叫配方。具体过程为c x a

b x a

c bx ax y ++=++=)(2

2

a b c a b x a b x a 4])2([222

-+++=

a

b a

c a b x a 44)2(2

2-++=

用配方来解决最大（小）值等问题的方法叫作配方法，这是高中数学最重要的方法之一，望同学们给予足够的重视，在上高中之

前务必先学会并掌握配方。

例1、将下列二次函数式配方：

（1）322

++=x x y

（2）1522

+-x x （3）1632-+-=x x y

（4）2

541x x y +-=

解：（1）2)1(2)12(2

2++=+++=x x x y

（2）817

)45(28251)162525(21)25(2222

--=-++-=+-

=x x x x x y （3）2)1(331)12(31)2(32

22+--=+-+--=---=x x x x x y

（4）5

1)52(5541)25454(51)54(522

2+-=-++

-=+-=x x x x x y 例2、求下列二次函数的最大（或最小）值： （1）x x y 322

+= （2）2

61x x y -+= （3）12212

++=

x x y

（4）44

12

-+-

=x x y

)

y (图2.2－9

解：（1）89)43(289)16923(2)23(2222-+=-++=+

=x x x x x y ∴当43-=x 时 y 取最小值89

-

（2）10)3(91)96(1)6(2

22+--=+++--=+--=x x x x x y

∴当x=3时，y 取最大值10 （3）1)2(21

21)44(211)4(21222-+=-+++=++=

x x x x x y ∴当x=-2时，y 取最小值-1 （4）3)2(4

1

41)44(414)4(41222---=-++--=---

=x x x x x y ∴当x=-2时，y 取最大值-3

思考：1、二次函数式的配方和分解因式的区别是什么？

2、你是否已概括出了配方的几个步骤？（注：最好不要用公式去套）

四、练习A 组

将下列二次函数配方

（1）x x y 32

-=

（2）1422

+-=x x y

（3）1622---=x x y

（4）13

2

312--=

x x y

（5）)4(-=x x y

（6）)4)(2(--=x x y

（7）)1)(2(-+-=x x y

（8）)5)(3(2

1

-+=

x x y

（9）)1(2)1(2

-+-=x x y

（10）34)1(2

-++=x x y

（11）2

2

131x x y --=

（12）6.04.01.02

--=x x y

（13）x x y 5

6532-=

（14）322

4++=x x y

（15）1222

4--=x x y

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

一、概念：方程 22

260x xy y x y +++++=

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2

x ,2xy ,2

y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

224310,

210;x y x y x y ?-++-=?

--=? 2222

20,

560.

x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次

方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 二、典型例题：

例1 解方程组

22440,

220.x y x y ?+-=?--=?

分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．

解：由②,得

x ＝2y ＋2， ③

把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0，

即 y (y ＋1)＝0．

解得 y 1＝0，y 2＝－1．

把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0．

所以原方程组的解是 112,

0x y =??=?，

22

0,

1.x y =??

=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．

例2 解方程组 7,

12.

x y xy +=??

=?

解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 2

7120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =．

所以原方程的解是 114,

3x y =??=?，

22

3,

4.x y =??=?

解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．

这个方程组的,x y 是一元二次方程 2

7120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =??=? 223,

4.

x y =??=?

三、练习A

1．下列各组中的值是不是方程组2213,

5

x y x y ?+=?+=? 的解? （ ）

（1）2,3;x y =??=? （2）3,2;x y =??=? （3）1,4;x y =??=? （4）2,3;

x y =-??=-?

2．解下列方程组:

（1） 22

5,625;

y x x y =+??+=? （2）3,10;x y xy +=??=-?

① ②

①

②

图2.3－1

史上最全的初高中数学知识点衔接归纳

初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 二、“脱节”知识点掌握情况调查 高一新生入学不久，在已进行“乘法公式”与“因式分解”讲授后，我们对学生初高中“脱节”知识点作了全面调查，统计情况如下：

初高中数学衔接测试题

初高中数学衔接测试题https://www.sodocs.net/doc/586905186.html,work Information Technology Company.2020YEAR

高一《初高中数学衔接读本》测试卷 一．选择题 1. 下列各式正确的是 （ ） A 、a a =2 B 、a a ±=2 C 、a a =2 D 、22a a = 2. 已知 7 54z y x ==，则 =-+++z y x z y x （ ） A 、9 B 、 716 C 、3 8 D 、8 3. 二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列 结论：①a>0；②c>0；?③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A 、0个 B 、1个 C 、 2个 D 、3个 4. 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ， 若AB=2，BC=3，则CD 的长是（ ） A ．83 B ．23 C ．43 D ．53 5. 已知3 21 +=a ，则a a a a a a a a 1 121212 22--+---+-化简求值的结果是 （ ） A 、 0 B 、 31- C 、 3 D 、 13-- 6. 若多项式b x x -+1732分解因式的结果中有一个因式为4+x ，则b 的值为（ ） A 、20 B 、－20 C 、13 D 、－13 7.当34x =223111 (2)(42)x x x x x -+++的值为（ ） A 、16 B 、34、32 D 、40 8. 把多项式1222+--b a a 分解因式，结果是（ ） A 、)1)(1(++-+b a b a B 、)1)(1(-+--b a b a

初高中数学衔接考试卷

数学初高中衔接考试卷 （考试时间：120分钟 满分：100分） 一、 选择 （每题4分，共32分） 1.若b a b a b a +<<>则且,,0,0一定是 ( ) 非正数非负数负数正数... .D C B A 2.若669,32 --+-?=? 8.已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交与O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的 方程()03122 2 =++-+m x m x 的根，则m 等于 ( ) 3 5.35.5.3.或或---D C B A 二、 填空 (每题4分,共20分) 1. 若 2 2442 --+=-x b x a x x ，则b a += . 2. 已知最简根式b a b a a -+72与是同类根式，则满足条件的b a 、的值 . 3. 若方程03)1(22=+++-k x k x 的两根之差为1，则k 的值是 . 4. 如果方程0)()()(2=-+-+-b a x a c x c b 的两根相等，则c b a 、、之间的 大小关系是 . 5. 已知方程23)1(-=+k x k 的解大于1，求k 的取值范围 . 三、解答 (共48分) 1. 解方程：（8分） （1）02232222 =++--x x x ；（2）49 491=+++ x x x

初高中数学衔接研究报告

初高中数学衔接研究报告

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初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告 平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组 执笔人:韩雨濛 摘要: 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求，造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异,以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、 一、问题的提出 1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性,初中数学是高中数学学习的基础,高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展,在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础,是高中数学教学必须研究的重要课题。 2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关

键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。 3．近年来初高中数学教学衔接作为“初高中教学衔接”这一宏观课题,在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试,试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果,因此有进行全面研究的重要价值。 二、选题目的与意义 １．找出初高中数学教学衔接的相关关键点,从而为高中数学教学提出有用的建议,为学生适应高中数学学习进行有效地定位。 2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学,为学生进一步深造打下基础。 3.为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础,提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解; 三、课题研究目标 １、通过研究,促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题,在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接,结合旧知识,寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。

初高中数学衔接知识点

初高中数学到底“衔接”什么？新生需掌握的八个知识点 很多新高一的同学，暑假里都忙着“衔接”，步入高中，无论是学习方法还是知识难度都有了很大的改变，大家都想趁着暑假来全方位提升自己，让这一级台阶迈得更稳。但是到底该衔接些什么内容，才可以达到事半功倍，直击问题的核心呢?为新高一的学生们答疑解惑，如何做好初高中衔接教育。 初高中数学到底“衔接”什么? 衔接≠上新课、竞赛培训、巩固复习课每年的暑假，都有不少新高一的学生去参加初高中衔接的课程，二八学习法温馨提醒：做好衔接方面的工作是必要的，但是不要盲目参加，要分清楚到底是不是衔接，衔接的是哪些知识。 初高中衔接教材：不是要急于学习高一的新课本，而是将一些初中应该提高与拓展的部分进行巩固。目前初高中数学衔接教学存在的三个误区： 误区之一：衔接课程讲授大量的高一新知识，衔接课变成了新课。 误区之二：衔接课程讲授大量的初中竞赛内容，衔接课变成了竞赛培训课。 误区之三：衔接课程仅仅是巩固初中知识，衔接课变成了复习课。 数学语言更抽象了思维方法更理性了王老师提醒，高中数学和初中有很大不同： 一是数学语言在抽象程度上突变：历来学生都反映，集合、映射等概念难以理解，离生活很远，似乎很“玄”。 二是思维方法向理性层次跃迁：数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。 三是知识内容的整体数量剧增，加之时间紧、难度大，这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。 王老师建议同学们做好课后的复习工作，理解新旧知识的内在联系，学会对知识结构进行梳理. 二八学习法初高中衔接教材系列的三大优势： 1.针对性强：内容衔接，复习已学过的内容，预习新学期学习的内容，温故知新。 2.新颖性强：通过《二八学习法讲义》掌握高效学习方法，并通过二八学习法视频加深对二八学习法的理解，并将掌握的方法运用于学习之中。资料部分，内容新颖，知（知识）、能（能力）、思（思考方法）并重，讲、练、评一体化。 3.实用性强：二八学习法讲义+视频讲解+资料（读和练）三维一体，相得益彰，高效学习，效率惊人！ 初中名师家教、高中名师家教、初高中衔接教材 产品类别内容（二八学习法讲义+DVD光盘+资料） 秋季开学新初一版语、数、英三科 秋季开学新初二版语、数、英三科 秋季开学新初三版语、数、英、理四科 秋季开学新高一版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高二版语、数、英、理、化五科 秋季开学新高三版语、数、英、理、化五科 二八学习法，是指引学习方向的学习方略，方向正确，事半功倍，相信二八学习法会给你的学习带来神奇的效果！ 二八学习法五大系列产品是：名师家教、同步导学、复习指南、模法解题、试题分析 足不出户尽享名师家教 单科提分20-30分

初高中数学知识衔接资料全

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零 的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??--x 解法一：由01=-x ，得1=x ； ①若1--x ，即41>-x ，得3--x ， 即5>x 又1≥x ∴ 5>x 综上所述，原不等式的解为3-x 。 解法二：如图，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|； 所以4|1|>-x 的几何意义即为 |PA |＞4． 可知点P 在点C (坐标为-3)的左侧、或点P 在点D (坐标5)的右侧． ∴ 3-x 。 2、解不等式：3|2|<+x 3、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c 的值为多少 4. 已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。 1 A -3 C x P |x －1| D

初高中数学衔接知识点总结讲课稿

初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >??==??-

2019初高中数学衔接知识点及习题

数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点归纳

初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223() 33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

初中高中数学知识点

初一 第一章有理数 1．1正数和负数 1．3有理数的加减法 1．4有理数的乘除法 1．5有理数的乘方 第二章整式的加减 2．1整式 2．2整式的加减 第三章一元一次方程 3．1从算式到方程 3．2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项3．3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4实际问题与一元一次方程 第四章图形认识初步 4．1多姿多彩的图形 4．2直线、射线、线段 4．3角 第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.2平行线及其判定 5.3平行线的性质 第六章平面直角坐标系 6.1平面直角坐标系 6.2坐标方法的简单应用 第七章三角形 7.1与三角形有关的线段 7.2与三角形有关的角 7.3多边形及其内角和 7.4课题学习镶嵌 第八章二元一次方程组 8.1二元一次方程组 8.2消元——二元一次方程组的解法 8.3实际问题与二元一次方程组 8.4三元一次方程组解法举例 第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.2实际问题与一元一次不等式 9.3一元一次不等式组 第十章数据的收集、整理与描述 10.1统计调查 10.2直方图

10.3课题学习从数据谈节水，设计制作长方体形状的包装纸盒。初二 第十一章全等三角形 11.1全等三角形 11.2三角形全等的判定 11.3角的平分线的性质 第十二章轴对称 12.1轴对称 12.2作轴对称图形 12.3等腰三角形 第十三章实数 13.1平方根 13.2立方根 13.3实数 第十四章一次函数 14.1变量与函数 14.2一次函数 14.3用函数观点看方程（组）与不等式 14.4课题学习选择方案 第十五章整式的乘除与因式分解 15.1整式的乘法 15.2乘法公式 15.3整式的除法 第十六章分式 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程 第十七章反比例函数 17.1 反比例函数 17.2 实际问题与反比例函数 第十八章勾股定理 18.1 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理 第十九章四边形 19.1 平行四边形，平行四边形法则 19.2 特殊的平行四边形 19.3 梯形 19.4 课题学习重心 第二十章数据的分析 20.1 数据的代表 20.2 数据的波动 20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析

初高中数学衔接知识点+配套练习

第一讲 数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2 2 2 2 +++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ 222222a ab b ac bc c =+++++ ∴等式成立 【例1】计算：22 )312(+- x x 解：原式=22 ]3 1)2([+-+x x 9 1 3223822) 2(3 1 2312)2(2)31()2()(234222222+ -+-=-??+?+-++-+=x x x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式) 证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++- 解：原式=3 3 3 3 2 2 )(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到： 【公式3】3 3 2 2 ))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：

初高中数学衔接知识点总结

初高中数学衔接知识点 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法

初高中数学衔接内容调测卷含答案

1.已知 | 2x - y | + x + 3 y - 7 = 0 , 则 ( x - y ) 的值为（ ） ．．．．．．．. 5.已知关于 x 不等式 2x 2＋bx －c ＞0 的解集为 x | x < -1或x > 3} ，则关于 x 的不等式 A . ? x | x ≤ -2或x ≥ } B . ?x | x ≤ - 或x ≥ 2} ≤ x ≤ 2} D . ?x | -2 ≤ x ≤ } C . {m | -1 ≤ m ≤ 且m ≠ 0} D . ?m | m ≤ -1或m ≥ } 号 证 考 准 题 答 要 不 初高中数学衔接内容调测卷 注意事项： 1、本试卷分为 3 大题，其中选择题 8 题，填空题 4 题，解答题 3 题；满分 100 分，考 试时间 60 分钟. 2、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答；在草稿纸上答题无效. 3、答题必须使用黑色签字笔或钢笔书写，字体工整，笔迹清楚；严禁使用计算器． 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 2 y - x 1 A . - 1 B . C .0 D .1 2 2．化简： a - 1 等于 （ ） a A . -a B . a C . - -a D. - a 3．若 2 x 2 - 5 x + 2 < 0 ，则 4x 2 - 4x + 1 + 2 x - 2 等于（ ） 名 姓 A . 4 x - 5 B . - 3 C . 3 D . 5 - 4 x 4.已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x 2－8x ＋7＝0 的两根，则这个直角 内 三角形的斜边长等于 （ ） A . 3 B . 3 C . 6 D . 9 { 线 封 bx 2 + cx + 4 ≥ 0 的解集为 （ ） ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 C . {x | - 1 2 ? 1 ? 2 校 学 密 6.关于 x 的一元二次方程 mx 2+(m -1)x+m=0 有实根，则实数 m 的取值范围是（ ） 1 1 A . {m | -1 < m < } B . {m | -1 ≤ m ≤ } 3 3 1 ? 1 3 ? 3 衔接内容调测卷第 1 页共 4 页

初高中数学知识点总结

七年级上册 第一章有理数（12课时） 一、正数和负数（1课时） 二、有理数（3课时） 1、有理数 2、数轴 3、相反数 4、绝对值 三、有理数的加减法（3课时） 1、有理数的加法 2、有理数的减法 四、有理数的乘除法（3课时） 1、有理数的乘法 2、有理数的除法 五、有理数的乘方（2课时） 1、乘方 2、科学记数法 3、近似数和有效数字 第二章整式的加减（4课时） 一、整式（2课时） 二、整式的加减（2课时） 第三章一元一次方程（7课时） 一、从算式到方程（2课时） 1、一元一次方程 2、等式的性质 二、解一元一次方程（一）----合并同类项与移项 （1课时） 三、解一元一次方程（二）----去括号与去分母（1 课时） 四、实际问题与一元一次方程（1课时） 第四章图形认识初步（5课时） 一、多姿多彩的图形（1.5课时） 1、几何图形 2、点、线、面、体 二、直线、射线、线段（2.5课时） 1、角 2、角的比较和运算 3、余角和补角 七年级下册 第五章相交线与平行线（4课时） 一、相交线（1课时） 1、相交线 2、垂线 二、平行线（1课时） 1、平行线 2、直线平行的条件 三、平行线的性质（1课时） 四、平移（1课时） 第六章平面直角坐标系（3课时） 一、平面直角坐标系（1.5课时） 1、有序数对 2、平面直角坐标系 二、坐标方法的简单应用（1.5课时） 1、用坐标表示地理位置 2、用坐标表示平移 第七章三角形（3课时） 一、与三角形有关的线段（1课时） 1、三角形的边 2、三角形的高、中线与角平分线 3、三角形的稳定性 二、与三角形有关的角（1课时） 1、三角形的内角 2、三角形的外角 三、多边形及其内角和（1课时） 1、多边形 2、多边形的内角和 四、镶嵌 第八章二元一次方程组（2课时） 一、二元一次方程组 二、消元 三、实际问题与二元一次方程组 第九章不等式与不等式组（5课时）

初高中数学衔接基础知识点专题

初高中数学衔接知识点专题 临洮二中数学组董学峰 ★专题一数与式的运算 【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: .即. [2]绝对值的几何意义: 的距离. [3]两个数的差的绝对值的几何意义:表示的距离. [4]两个绝对值不等式:;. 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: [1]平方差公式: ; [2]完全平方与公式: ; [3]完全平方差公式: . 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式1] [公式2](立方与公式) [公式3] (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式 [1]式子叫做二次根式,其性质如下: (1) ;(2) ;(3) ; (4) . [2]平方根与算术平方根的概念: 叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根. [3]立方根的概念: 叫做的立方根,记为 4.分式 [1]分式的意义形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质: (1) ; (2) . [2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个就是分式时,就叫做繁分式,如, 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. [3]分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 例1 解下列不等式:(1) (2)＞4. 例2 计算: (1) (2) (3) (4) 例3 已知,求的值. 例4 已知,求的值. 例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1) (2) (3) (4) 例6 设,求的值. 例7 化简:(1) (2)

(word完整版)初高中数学衔接练习题

初中升高中衔接练习题（数学） 乘法公式1．填空：（1）221111()9423 a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22 )168(m m =++ )； (3) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若2 12 x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213 m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数 因式分解 一、填空题：1、把下列各式分解因式： （1）=-+652x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652x x __________________________________________________。 （5）()=++-a x a x 12__________________________________________________。 （6）=+-18112x x __________________________________________________。 （7）=++2762x x __________________________________________________。 （8）=+-91242m m __________________________________________________。 （9）=-+2 675x x __________________________________________________。 （10）=-+22612y xy x __________________________________________________。 2、若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的） 1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072++x x （5）44152++x x 中，有相同因式的是（ ） A.只有（1）（2） B.只有（3）（4） C.只有（3）（5） D.（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5） 2、分解因式2 2338b ab a -+得（ ） A ()( )3 11-+a a B ()()b a b a 3 11-+ C ()()b a b a 3 11-- D ()()b a b a 3 11+- 3、()()2082-+++b a b a 分解因式得（ ） A 、()( )2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()( )10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32 可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ） A 、10=a ，2=b B 、10=a ，2-=b C 、10-=a ，2-=b D 、10-=a ，2=b 5、若()()b x a x mx x ++=-+ 102 其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9± 三、把下列各式分解因式 1、()()3211262 +---p q q p 2、22365ab b a a +- 3、6422 --y y 4、8224--b b 提取公因式法 一、填空题：1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。

2017初高中数学衔接教材(已整理)-

2017初高中数学衔接教材 现有初高中数学教材存在以下“脱节”: 1、绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用; 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用; 3、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解,对系数不为1的涉及不多,而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用到它,如解方程、不等式等; 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高 中数学中函数、不等式常用的解题技巧; 5初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围)、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中不作要求,此类题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们的相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因此也脱节; 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领; 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解,高中则作为重点,并无专题内容在教材中出现,是高考必须考的综合题型之一;

9、几何中很多概念(如三角形的五心:重心、内心、外心、垂心、旁心)和定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理)初中早就已经删除,大都没有去学习; 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老师根本没有去延伸发掘,不利于高中数学的学习。 新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足,加以补充和完善。 目录 第一章数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程

(完整版)初高中数学衔接知识点专题(一)数与式的运算

初高中数学衔接知识点专题（一） ★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1．绝对值 [1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>?；||(0)x a a >>? ． 2．乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++= [公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3] 33a b =- (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1] 0)a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 = ； (2) = ； (3) = ； (4) = ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作0)x a =≥，其 (0)a ≥叫做a 的算术平方根． [3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为x =4．分式 [1]分式的意义 形如 A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，如2m n p m n p +++， 说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程