教育测量：从数学模型到法学模型

教育测量：从数学模型到法学模型

谢小庆

（北京语言大学）

摘要：美国教育协会和美国国家教育测量学会共同组织编写的《教育测量》在业内被称为是“测量领域的《圣经》”。在2006年出版的《教育测量》（第4版）中，将图尔敏的论证模型作为效度研究的基本范式。这不仅是效度研究范式的转变，更标志着教育测量研究从数学模型向法学模型的转变。本文讨论了这种教育测量研究范式的转变。

关键词：测验考试教育测量图尔敏

效度研究是教育和心理测量研究领域中最重要的问题。美国教育协会（American Council on Education）和美国国家教育测量学会（National Council on Measurement in Education）共同组织编写的《教育测量（Educational Measurement）》在业内被称为“教育测量领域的《圣经》”。在2006年出版的《教育测量（第4版）》中，将图尔敏的证模型作为效度研究的基本范式。1在新的效度研究范式中，“理据（warrant）”成为核心概念，效度研究被视为一种通过构造理据系统、理据链条和理据网络而对效度进行的“论证（argument）”，效度研究被视为一种对测验分数做出普乐好（plausible）解释的过程。2，3作为一门学科，教育测量学已经走过了百余年的历史。在教育测量学的发展历史中基本的研究模型是数学模型，是借助数学工具改进教育评价的质量，从而提高教育评价的有效性、可靠性和公平性。百年间，教育测量研究的数学模型取得了很大的成绩，研究成果被广泛地应用于考试实践，既促进了教育的公平，

1Brennan, R. L., ed. : Educational measurement (4th edition), [C] Washington, DC: American Council on Education/Praeger，2006，第17-64页

2谢小庆，测验效度概念的新进展[J]，考试研究，2013年第3期，2013，56-64页

3谢小庆，效度：从分数的合理解释到可接受解释[J]，中国考试，2013年第7期，3-8页

也提高了教育的效率。每当数学家和计算技术专家发明了一种新的数学工具或计算技术，教育测量学家往往会在第一时间就拿来应用。有时候，教育测量学家甚至会自己发明一些新的数学工具用于自己的研究。例如，今天被广泛应用于自然科学和社会科学各个领域的因素分析（factor analysis）方法，就是由斯皮尔曼（Spearman）、瑟斯顿（Thurstone）、卡特尔（Cattell）等人在教育测量的研究中发展起来的一种数学工具。

Mislvey是今天国际教育测量领域中最有影响的学者之一。他曾说：“如果我们将支配着今天教育测量活动的测验理论概括成，将20世纪的统计学应用于19世纪的心理学，那么，这不能算是一种夸张。”1 Mislvey已经看到，在描述人的复杂的心理过程时，仅仅靠数学模型是不够的。实际上，人的心理过程的复杂性，远远超出最先进的数学模型的处理能力。教育测量，不仅需要先进的数学模型和计算技术，还需要先进的心理学模型。

一、数学模型的局限性

在数学模型被应用于教育评价之前，教育评价主要依靠基于个人经验之上的定性方法。在许多情况下，我们都可以根据经验做出正确的判断，并做出正确的决策。但是，由于不同的研究者各自的经验、观点、倾向、偏好不同，有时候对同一问题会得到非常不同的结论。例如，客观性选择题能否考察出学生的写作能力？英语46级考试成绩应否作为学位授予的必要条件？物理系招生是否需要有语文最低分数要求？古代汉语研究生招生是否需要外语最低分数要求？……对于许多问题，不同教师的看法相去甚远，甚至截然不同。孰是孰非？仅凭各自的经验只会争论不休。为了支持自己的观点，双方都可以举出大量的个案，然而个案是不足为据的。这些时候，就需要借助定量方法，需要借助统计方法。这时，定量分析可以帮助我们从各执一词的争论中摆脱出来。因此，在几乎整个20世纪，数学模型成为教育测量研究的基本研究范式。

在教育心理测量的研究过程中，人们逐渐认识到数学模型的局限性。这种局限性，突出地表现在以下几个方面：

1Mislvey, R. J.,Foundations of a new test theory, in Test for a new generation of tests, Lawrence Erlbaum Associates Publishes, New Jersey, 1993, p19.

1.概率的逻辑基础

今天应用于教育测量的数学方法大部分基于概率理论之上。然而，概率理论能否应用于教育测量研究，尚是一个颇值怀疑和非常棘手的问题。何谓概率？通俗讲即“重复试验中事件发生的可能性”。对于概率概念，“重复试验”是一个非常重要的前提。例如，只有多次重复抛掷硬币，才可能得到正面朝上的概率。倘若是不可重复的试验，倘若每次抛掷时硬币的重量、质地、成分、形状等会发生变化，就无所谓概率。教育研究的对象是人，每个人不仅具有不同的遗传特点，而且经历、需要、欲望、情感、能力水平等各异。对不同的人进行的观察能否被视作重复试验呢？能否被视作与将一枚硬币多次抛掷相似的重复试验呢？这个问题的答案至少不是不言而喻的。

退一步，既使我们将对不同的人的观察视为重复试验，这种基于概率基础之上的统计规律性能否成为关于有个性的人的教育决策的依据呢？这仍然是一个需要讨论的问题。即使根据我们的研究知道具有某一组神经生理心理特点的人中90% 难以完成某一水准的学业，我们能否根据这一研究结果而预言一个具有这些神经生理心理特点的人不能完成学业呢？这里，人的能动性是一个不容忽视的因素。不用说预言一个具有能动性、选择性的人，即使是从大量抛硬币中得到的统计规律，对于预测下一次抛掷硬币的结果也是毫无意义的。

归根结底，概率方法是基于归纳逻辑之上的，然而，正如恩格斯早在100多年前所指出的：“按照归纳派的意见，归纳法是不会错误的方法，但事实上它是很不中用的，甚至它的似乎最可靠的结果，每天都被新的发现所推翻。”1将归纳法用于研究死的、被动的物理现象尚存在着“不中用”的一面，对于研究能动的、有选择性的人的心理现象，则具有更大的局限性。

2.显著性检验

今天教育测量研究中经常运用的一种定量分析方法是显著性检验，包括正态检验、t 检验、卡方检验、F 检验等。通常，只有基于一定的定性分析之上，在一定的问题情境之中，显著性检验才有意义。

1恩格斯，自然辩证法[M]，人民出版社，1972，第206 页。

当我们用组间比较的方法1对一项测验的效度进行论证的时候，我们可能犯两种错误，一种是“接受无效测验”，一种是“拒绝有效测验”。在统计学中将这两种错误分别称为“第一类错误(或α错误) ”和“第二类错误(或β错误) ”。犯某一类错误的可能性的减少必然以犯另一类错误的可能性的提高为代价。差异显著性标准愈严格，就愈不容易犯“接受无效测验”错误，同时，就愈容易犯“拒绝有效测验”的错误。显著性检验标准的设定（P=0.001,0.01,0.05,0.1或0.2），需要根据测验的实际应用情况来确定。对于用于飞行员选拔的测验，我们可能会设定较严格的标准；对于用于高中招生的测验，我们可能会设定较宽松的标准。设定怎样的标准，需要基于先于显著性检验的定性分析之上。

3.相关分析

今天教育测量研究中最常用的定量分析方法是相关分析，包括回归分析、因素分析等。这些定量分析方法可以揭示出事物之间的相关关系。然而，相关并不等于因果。学校早上八点上课，商店早上9 点开门，二者相关很高，但并不存在因果关系。人类的许多误解都是源于错误地对事物之间的相关关系做出了因果的解释。“重物下落较快”这一错误看法就是由于人们对“质量大”和“下落快”之间的相关关系错误地做出了因果解释。“心脏是思维的器官”这一错误看法就是由于人们对心跳与思维之间的相关关系错误地做出了因果的解释。

教育测量总是力图揭示考生的心理属性与教育成果之间的因果联系，从而为教育决策提供依据。相关是因果关系的必要条件，但不是充分条件。能否对相关关系做出因果的解释？仅仅靠定量分析是不够的。

二、图尔敏的工作逻辑学和论证模型

斯特芬·图尔敏（Stephen Toulmin，1922—2009）是一个在世界范围有广泛影响的科学哲学家和逻辑学家。他出生于英国，1948年在剑桥大学因逻辑学研究获得博士学位。他在剑桥大学所受到的数学、逻辑学和物理学方面的良好训练为他日后的科学哲学研究打下了坚实的基础。在剑桥学习期间，他直接得到当

1谢小庆，心理测量学讲义[M]，华中师范大学出版社，1988，第156页。

时在剑桥任教的罗素（Bertrand Russell）和维特根施坦（Ludwig Wittgenstein）的指导。他既受到罗素和早期维特根施坦的分析哲学的影响，看重理性和严格的形式逻辑在认识世界中的作用，也受到晚期维特根施坦的影响，认识到理性和形式逻辑的局限性。他1958年出版了《论证的使用（The Uses of Argument ）》，从“概率”概念入手，揭示了理性和形式逻辑在面对复杂的科学、社会问题时存在的局限性。他发现，仅仅借助于数学模型和形式逻辑，很难在现实生活中形成有效的论证。对于一个理论、一个观点、一个命题的论证，不是一个可能立即得到答案的实验室研究，不是一场可以决出胜负的球赛。一个新理论、新观点被接受，一个旧理论、旧观点被放弃，往往是一个漫长的过程，往往是一个旷日持久的论证过程。就像科学理论不可能被“证实”一样，持有某种观点的人完全将自己的论辩对手说服的情况很少，持有某种观点的人将所有的论辩对手说服的情况很少。

图尔敏对以形式逻辑为主体的传统逻辑学进行了反思，对始于亚里士多德的以“三段论”为代表的逻辑学体系进行了反思，对罗素和怀特海（Alfred Whitehead）所进行的逻辑学数学化的努力进行了反思。他认为，逻辑学的出发点不应是符合逻辑的理论，而应是符合逻辑的实践；逻辑学不应局限于研究理想的逻辑，更应该研究工作的逻辑（working logic），更应该研究日常生活实践中的逻辑。他指出，那种数学化的、跨时间的、跨学科领域的逻辑远远不能满足实际生活中论证和决策的需要。他认为，逻辑学中不仅需要包含形式逻辑，还需要包含非形式逻辑；不仅需要包含数学模型或几何学模型，还需要包含法学模型。

在正视理性和形式逻辑局限性的基础上，为了进行更有效的论证，图尔敏提出了一个同时基于形式逻辑和非形式逻辑基础之上的论证模型。在这个论证模型中，包含资料（datum，D）、必要条件（backing，B）、理据（warrant，W）、限定（qualifer，Q）、反驳（rebuttal，R）和结论（claim，C）等6个基本要素。论证的基本过程是：资料（D）和必要条件（B）共同构成了理据（W），在接受了反驳（R）之后，经过限定（Q），使结论（C）有条件地得以成立。1，2在2006年出版的权威文献《教育测量（第4版）》中，将图尔敏的论证模1谢小庆，测验效度概念的新进展[J]，考试研究，2013年第3期，2013，56-64页

2谢小庆，效度：从分数的合理解释到可接受解释[J]，中国考试，2013年第7期，3-8页

型作为效度研究的基本模式。

三、数学模型与法学模型的区别

将图尔敏的论证模型作为效度研究的基本模式，标志着教育测量范式从数学模型向法学模型的转变。

2009年圣诞夜，美国德克萨斯州30岁的吉尔伯特（Ezekiel Gilbert ）因23岁的应招女弗拉戈（Ive Frago ）收取了150美元后拒绝提供性服务，将她枪杀。2013年6月6日，法院终审宣判吉尔伯特无罪。在这起案件中，指控被告有罪的检察官是有理由的：被告不应为150元就夺取一个人的生命；为被告辩护的律师也是有道理：私有财产不可侵犯，被告的行为是为了保卫自己的私有财产。最终，陪审团基于“保护私有财产”的考虑支持了律师。在这里，既没有正确的（right）判决，也没有合理的（rational）判决，仅仅有普乐好的判决。

2012年2月26日，28岁的协警齐默尔曼（George Zimmerman）巡逻时射杀17岁黑人少年马丁（Trayvon Martin）。2013年7月13日，法院终审宣判齐默尔曼无罪。在这起案件中，指控被告有罪的检察官是有理由的：马丁并没有携带武器，被告使用武力过当，剥夺了一个并无大错的年轻人的生命；为被告辩护的律师也是有道理：警察是高危行业，需要得到社会的高度保护。最终，陪审团基于“保护警察安全”的考虑支持了律师。在这里，既没有正确的（right）判决，也没有合理的（rational）判决，仅仅有普乐好的判决。

从这两个案例可以看出一些“法学模型”的特点：首先，需要以事实为依据，判决不能基于虚假或虚构的事实之上；其次，必须符合形式逻辑，判决不能与形式逻辑相冲突，必须是合理的。第三，在符合前两项的基础之上，基于不同的价值取向，可能存在多种可能的选项，这些选项，基于不同的前提假设和价值倾向之上，它们之间的区别在于是否属于普乐好的一项。

法学模型将教育测量研究视为围绕考试的效度、信度、公平性、及格标准设定等问题进行的辩论，类似于法庭上控辩双方的辩论。一项考试的的支持者努力为考试进行辩护，努力拓展考试的的应用领域。相反，该考试的反对者则提出种种质疑，谨慎地界定考试的应用范围，避免考试分数的误用。

法学模型与数学模型的区别主要表现在：

1．时间依赖性

数学模型独立于时间，不存在时间维度。1+1=2，23 =8，世世代代永远如此。法学模型则不同，有时会表现出与时俱进的特点。在美国，不久以前，买卖黑奴是合法的，今天已经属于非法。不久以前，黑人乘坐白人专用的公共汽车是违法的，今天已经成为合法的。1984年6月30日邓小平接见日本客人时说：“所谓小康，从国民生产总值来说，就是年人均达到800美元……国民生产总值可以达到一万亿美元。”1 2012年，中国人均国民生产总值已经超过6000美元，总量已经超过8万亿美元。“小康社会”是否已经实现？对此，需要进一步的论证。1995年，根据教育部668号文件，外国留学生达到汉语水平考试（HSK）3级才可以进入理工科学习专业，HSK达到6级才可以进入文史哲和中医学科学习专业。由于来华留学生人数的快速增长，今天，北京大学等一流中国大学实际采用的留学生入系学习专业的汉语标准，已经远远高于1995年的教育部标准。

2．领域依赖性

数学模型具有跨各个研究领域的一致性。1+1=2，23 =8，对于各个研究领域是一致的，对于物理学是这样，对于生物学也是这样。法学模型则不同，在不同的研究领域中可能表现出不同的特点。在对于盗窃罪的认定上，盗窃一般民用物资与盗窃军用危险品是不同的。在塑料拖鞋生产车间，合格率标准可以是95%；在载人航天器关键元件的生产车间，合格率则要达到99.99%以上。在作文评分时，误差控制范围可以是总分的10%；在采用光电读卡器对选择题试卷进行扫描时，误差控制范围可以是10-5；在作弊甄别时，误差范围则要求控制在10-17以下。

3．情境依赖性

数学模型具有跨各种情境的一致性，在各种不同的情境中，数学模型计算得到的结果是一致的。法学模型则不同，即使在同一研究领域中，对于不同的情

1邓小平，邓小平文选（第三卷），人民出版社，1993年，第64页。

境，也可能做出不同的选择。在强奸罪的认定上，成年受害人与未成年受害人是不同的。医师、护士、律师、会计师等职业资格考试的合格标准，关系到患者、当事人和顾客的利益。如果报考者达不到必要的能力和知识要求，患者、当事人和顾客的利益就会受到损害，安全就得不到保障。按照数学模型，“合格标准”应该是全国统一的。但是，今天在东部沿海，许多人手握资格证书却找不到工作岗位；在西部偏远地区，严重缺乏这些方面的专业人才。在职业资格的合格标准设定上，往往需要根据实际情况对合格标准进行调整。

4．答案的唯一性

借助数学模型，一般可以得到唯一正确的答案。法学模型则不同，依据事实并符合逻辑的答案，往往不是唯一的。无论是对枪杀应召女的吉尔伯特的无罪判决，还是对枪杀17岁黑人青年的齐默尔曼的无罪判决，都不是唯一的“正确答案”，都仅仅是多种合理选项之一。

2013年7月18日，作为某项职业资格考试专家委员会成员，笔者与专家委员会委员们共同确定了该项考试2013年的及格分数线。考试主持单位从4个方面对及格线设定进行了研究。第一是安哥夫方法，第二是借助作为“外锚”的共同题实现的试卷分数等值，第三是以几十所业内骨干学校的近10万名考生作为样本的等百分位等值，第四是2013年该项专业人员的需求分析。4个方面的研究结果互相验证，结果高度一致。综合4个方面的研究结果，专家委员会最终面临两个候选方案，两个方案仅仅相差1分。虽然仅仅相差1分，却关系到12000余名考生能否取得职业资格。

事实上，相差1分的两个方案都是符合事实的，也都是合理的，“高1分方案”有利于保护服务对象的利益，“低1分方案”则有利于保护求职者的益。最后，专家委员会经过无记名投票，选择了低分方案。

低分方案胜出的主要原因是“西部因素”。专家委员会对受到影响的12000余名考生的构成进行了分析，发现其中相当大的比例来自新疆、西藏、青海、甘肃等西部省份。这些省区，严重缺乏此类专业人员，人员缺口巨大。因此，多数专家投票支持了低分方案。从此例也可以看出，与不受情境因素影响的数学模型相比，法学模型往往需要考虑情境因素。

四、教育测量范式转变对学习革命的影响

2013年4月26、27两日，在美国国家教育测量学会（National Council on Measurement in Education，简称NCME）年会期间，NCME安排资深教育测量专家们进行了长达16小时的专业培训，集中介绍教育测量领域的一些最新进展。这次培训课程向亚洲、非洲和南美洲的一些国家免费直播。与旧金山课堂现场的学员们一道，北京语言大学教育测量所的研究生们通过网络收看了这些培训课程。借助专用的网络教学软件，北京的学员不仅可以在同一个屏幕上同步看到讲课教师和PPT课件，而且随时可以向讲课教师提问。

计算机技术和网络的迅速发展，正在改变着传统的学习方式。一轮新的学习革命正在向我们走来。

教育测量研究从数学模型向法学模型的转变，将改变传统的教育评价方式，将对新的学习革命产生重大的影响。参照法学模型来审视认识的发展，不难发现，对于一个理论、一个观点、一个命题的论证，就像对于吉尔伯特和齐默尔曼的案件审理一样，并不存在唯一正确的答案。辛亥革命已经过去了百年。今天，辛亥革命对于中国现代化进程的影响仍然是激烈争论的话题。“五四”已经过去了近百年。今天，“五四”对于中华民族文化建设的正面和负面的影响仍然是学术界激烈争论的话题。“罗斯福新政”已经过去了近80年。今天，对其得失成败仍然存在巨大争议，仍然是经济学家们和政治学家们激烈争论的话题。

今天，中国学校中广泛流行的是形成于上世纪50年代的学习方法，是深受前苏联影响的学习方法。学校中广泛流行的是形成于20世纪以前的“真理——谬误”的简单思维方式。这种思维方式把学习过程理解为一个学生学习和掌握“科学真理”的过程，理解为一个老师向学生传授“科学真理”的过程。事实上，在今天的学校中讲授的许多标有“科学真理”标签的东西都是非常可疑的。这种学习方式，大大地摧残了学习者的好奇心，大大地打击了学习者的怀疑精神，大大地压抑了学习者的创造性。

教育评价方式的改变，将改变这种陈旧的学习方式。教育将不再是简单地向学生灌输特定的结论，而是倡导研究性的学习，而是发展学生的审辩式思维能

力（critical thinking competency）。在学校中，学习者的好奇心将受到小心翼翼地呵护，学习者的怀疑精神将受到鼓励。教育者将努力保护和激发学习者的创造力，倡导研究性的学习，倡导审辩式论证。这样，学习将成为一个探索和发现的过程，而不仅仅是一个记忆和拷贝的过程。这样，学习将成为一个快乐和享受的过程，而不再是一个枯燥和痛苦的过程。

五、结语

在2006年出版的《教育测量（第4版）》中，将图尔敏论的证模型作为效度研究的基本范式。这不仅是效度研究范式的转变，这标志着教育测量研究从数学模型向法学模型的转变。这种转变，将改变传统的教育评价模式，将对新一轮的学习革命产生重要的推动作用。

Educational Measurement: from Math Model to Legal Model Xie Xiaoqing

Abstract

A new validation paradigm based on Toulmin argument model was proposed in Educational Measurement (4th edition), jointly published by American Council on Education and American Educational Research Association in 2006. This new validation model implied a transformation from math model to legal model in the field of educational measurement research. This paper discussed the new transformation.

Key word: test, examination, educational measurement, Toulmin （发表于上海教育考试院主编《招生考试研究》2013年第3辑，上海交通大

学出版社2013年12月出版）

高中数学模型解题法

高中数学模型解题法 高中数学模型解题理念 数学模型解题首先需要明确以下六大理念(原则)： 理念之一——理论化原则。解题必须有理论指导，才能由解题的必然王国走进解题的自由王国，因为思维永远高于方法，伟大的导师恩格斯在100多年前就指出：一个名族要屹立于世界名族之林，就一刻也不能没有理论思维!思维策略永远比解题方法重要，因为具体解题方法可以千变万化，而如何想即怎样分析思考这一问题才是我们最想也是最有价 值的!优秀的解题方法的获得有赖于优化的思维策略的指导，没有好的想法，要想获得好的解法，是不可能的! 理论之二——个性化原则。倡导解题的个性张扬，即要学会具体问题具体分析，致力于追求解决问题的求优求简意识，但是繁复之中亦显基础与个性——通性通法不可丢，要练扎实基本功!具有扎实的双基恰恰是我们的优势，因为万变不离其宗，只有基础打得牢了才可以盖得起知识与思维的坚固大厦。因此要求同学们，在具体的解题过程中，要学会辩证地使用解题模型，突出其灵活性，并不断地体验反思解题模型的有效性，以便于形成自己独特的解题个性风格与特色。 理论之三——能力化原则。只有敢于发散(进行充分地联想和想象，即放得开)，才能有效地聚合，不会发散，则无力

聚合!因此，充分训练我们的发散思维能力，尽情地展开我们联想与想象的翅膀，才能在创新的天空自由地翱翔! 理论之四——示范化原则。任何材料都是给我们学生自学方法的示范，因此面对任何有利于增长我们的知识与智慧的机会，我们要应不失时机地抓住，并从不同的角度、不同的层次、甚至通过不同的训练途径、用不同时间段来认识、理解，并不断深化，以达到由表知里、透过现象把握问题本质与规律的目的。关于学思维方法，我们应当经过两个层次：一是：学会如何解题；二是：学会如何想题。 理论之五——形式化原则。哲学上讲内容与形式的辩证形式，内容决定形式，形式反映内容，充实寓于完美的形式之中，简洁完美的形式是充实而有意义的内容的有效载体，一个好的解题设想或者灵感，必然要通过解题的过程来体现，将解题策略设计及优化的解题过程程序化，形成可供我们在解题时遵循的统一形式，就是解题模型。 理论之六——习惯性原则。关于数学的解题，有三个层次：第一个层次，正常的解题，就是按照已知、求解、作答等等。这是我们大多数同学的解题情况，解出来，高兴得不得了，也不再做深层次的追求与思考，解不出来，就一头露水，而且很郁闷，不知其所以然。第二个层次，有思考的解题，主要就是发散和聚合，简单点说就是一题多解和对于解题“统一”模型的思考。第三个层次，主动的解题，就是对题

如何检测一个数学模型的合理性

如何检测一个数学模型的合理性 为了得到正确的结论、在进行系统分析、预测和辅助决策时，必须保证模型能够准确地反映实际系统并能在计算机上正确运行。因此，必须对模型的有效性进行评估。模型有效性评估主要包括模型确认和模型验证两部分内容：模型确认考察的是系统模型（所建立的模型）与被仿真系统（研究对象）之间的关系，模型验证考察的则是系统模型与模型计算机实现之间的关系。 对于一个具体的建模项目来说，模型有效性评估贯穿于研究的始终。必须指出，模型实际上是所研究的系统的一种抽象表述形式，要验证一个模型是否百分之百有效是极其困难的，也是没有实际意义的。另外，模型是否有效是相对于研究目的以及用户需求而言的。在某些情况下，模型达到60％的可信度使可满足要求；而在另外一些情况下，模型达到99％都可能是不满足的。 模型有效性的概念出现在20世纪60年代，随着计算机仿真技术在各个学科和工程领域的普遍应用，模型有效性问题日益受到人们的关注。1967年，美国兰德公司的fishman和Kivtat明确指出，模型有效性研究可划分为两个部分：模型的确认（validation）和验证（verification）。这一观点被国际仿真学界普遍采纳。模型确认指通过比较在相同输入条判和运行环境下模型与实际系统输出之间的一致性，评价模型的可信度或可用性。模型验证则是判断模型的计算机实现是否正确。 尽管确认和验证在各文献中的定义不尽相同，但对于二者之间的区别，专家的看法却是基本一致的。简单地说，模型确认强调理论模型与实际系统之间的一致性，模型验证则强调当前模型与计算机程序之间的一致性。在有些文献中也采用工程技术人员容易接受的“校模”和“验模”两个术语来分别代替“确认”和“验证”。模型的确认和验证与建模的关系见图8.5。 在图8.5中，“问题实体”指被建模的对象，如系统、观念、政策、现象等。“理论模型”是为达到某种特定的研究目的而对问题实体进行的数学／逻辑描述。“计算机模型”（computerized Model）是理论模型在计算机上的实现。 通过“分析与建模”活动可以建立理论模型。计算机模型的建立需通过“编程及实现”这一步骤来完成。经过仿真“实验”即可得到关于问题实体的结果。 模型确认包括理论模型有效性确认、数据有效性确认和运行有效性确认三部分内容，其中运行有效性确认是模型确认的核心。 图8.5 确认和验证与建模的关系 1）理论模型有效性确认

数学建模-鱼模型测量

鱼模型测量 数学089班王敬华丘创权黄建其 摘要 分析题目可得知只有三组数据：身长，胸围，重量。需要得出的是用身长和胸围去表示重量，我们可以先分析这三组数据，在综合考虑它们之间会有什么关系？ 首先看身长与重量的关系，可以得到它们大体上是正相关的关系，再看一下胸围和重量的关系也是正相关的，因此我们可以得到重量与身长，胸围两者的关系是正相关的。 在这里我们把鱼比拟成一个类似于两个有共同底面的圆锥，所以我们建立一个以圆锥体的底面周长、两个高之和分别为鱼的胸围、鱼长。并且可以用MATLAB 进行拟合求解。根据拟合数据的所得的鱼模型函数来估计出：当鱼的长度和胸围分别为40.2cm、26.3cm时鱼的重量为904.3g。 一、问题的提出 鱼的重量和鱼的长度和胸围有关。现有一种鱼，并且测量得到其中8条鱼长度、胸围和重量（胸围指鱼身的最大周长）如下表： 试建立模型按照测量的长度和胸围来估计鱼的重量。现有一条鱼的长度和胸围分别为40.2cm和26.3cm，请用你的模型计算出这条鱼的重量。 二、问题分析 分析题目可得知只有三组数据：身长，胸围，重量。需要得出的是用身长和胸围去表示重量，我们可以分析这三组数据，在综合考虑它们之间会有什么关系？ 首先看身长与重量的关系，可以得到它们大体上是正相关的关系，再看一下胸围

和重量的关系也是正相关的，因此我们可以得到重量与身长，胸围两者的关系应该都是正相关的关系。并且可以用MATLAB进行拟合求解。 三、模型假设 1、假设这些数据测量的是同一种鱼,且密度是不变的。 2、假设鱼的最大周长指的是胸围 3、假设都是在同一条件下测量 4、假设模型建立在理想状态下其它的影响因素忽略不计 四、符号意义 W代表重量L代表身长C代表胸围P表示密度 五、模型建立与求解 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体相同，把鱼的形状看作类似于两个有共同底面的圆锥所构成，其中鱼的最大周长为胸围， 那么有W=P*S*H/3=P*L*C^2/(12PI())=KX (其中K=P/(12PI()),X=L*C^2) 因此我们可以得到如下的表格数据 依照上面的假设和定义，我们可以构造如下模型：

数学模型考试试卷

1.“商人怎样安全过河”模型中状态随决策变化的规律是 k k k k d s s )1(1-+=+。(允许决策模型) 1、2、“公平的席位分配”模型中的Q 值法计算公式是 )1(2+= i i i i n n p Q 。 3、“存贮模型”的平均每天的存贮费用计算公式为 =)(T C 221rT c T c + ，当= T r c c 21 2时， )(T C 最小。 4、LINGO 中，表示决策变量x 是0-1变量的语句是 @gin(x) 。 5、一阶自治微分方程 ()x f x =&的平衡点是指满足 ()0f x = 的点，若 '()0f x < 成立，则其平衡点是稳定的。 6、市场经济中的蛛网模型中，只有当 f K < g K 时，平衡点 0P 才是稳定的。 7、“传染病模型”中SIS 模型是指被传染者康复以后，还有可能再次感染该传染病。 8、传送系统的效率模型中，独立地考虑每个钩子被触到的概率为p ，则共有n 个钩子的系统中，一周期内被触到k 个 钩子的概率为 (1)k k n k n C p p -- 。 9、我们所建立的“人口指数增长”模型是根据微分方程rt e x t x 0)(= 建立的。我们所建立的“人口阻滞增长”模型是 根据微分方程 )1(m x x rx dt dx -= 建立的。 10、“商人怎样安全过河”模型中，从初始状态到终止状态中的每一步决策都是集合D 中的元素 。 11、建立起的“录像机计数器的用途”模型bn an t +=2中的参数a 和b 可用 数值积分 方法求得。 12、“双层玻璃的功效”模型中，建筑规范一般要求双层玻璃的间隙约为玻璃厚度的1/2 。“双层玻璃的功效”模型中，按建筑规范实施的双层玻璃可节能 97 % 。 13、“传染病模型”中所未涉及的模型是SIS 模型. 14、下列正则链和吸收链的说法中，错误的是 吸收链存在唯一极限状态概率。 15、“人口阻滞增长”模型是在“指数增长模型”的前提下， 假设人口增长率是人口数量的减函数 。 16、“人口阻滞增长”模型中，当人口数 =)(t x 2/m x 时，人口增长率最大；当人口数=)(t x m x 时，人口增长率为0。 17、“录像带计数器的读数”多种方法建立的模型都是n v rk n v wk t ππ222 + = 。“录像机计数器的用途”模型中，计数 器的读数 的增长速度越来越慢 。 18、“双层玻璃的功效”模型中，所依据的基本物理公式是 = Q d T k ?。 19、“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。 “经济增长模型”中，要保持总产值 )(t Q 增长，即要求。 0>dt dQ 20、“传染病模型”中SIR 模型是指被传染者康复以后具有免疫性, 不再感染该传染病。 21. 存贮模型的优化目标是 平均每天费用最小。

[高中数学解题技巧]高中数学模型解题法

竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除 [高中数学解题技巧]高中数学模型解题 法 高中数学教学中,提升数学学习水平的关键是教师要教会学生解题的技巧和方法,好的解题技巧和方法能使学生的解题效率得到提升。接下来小编为你整理了高中数学解题技巧，一起来看看吧。 高中数学解题技巧之19条铁律 铁律1 函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

铁律2 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。 铁律3 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是…… 铁律4 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法。

铁律5 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法。 铁律6 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏。 铁律7 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，

与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式。 铁律8 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点)。 铁律9 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可。 铁律10

大气污染指数与气象参数数学模型

大气污染指数与气象参数数学模型 1.问题重述 大气是指包围在地球外围的空气层，是地球自然环境的重要组成部分之一。人类生活在大气里，洁净大气是人类赖于生存的必要条件。一个人在五个星期内不吃饭或5天内不喝水，尚能维持生命，但超过5分钟不呼吸空气，便会死亡。随着地球上人口的急剧增加，人类经济增长的急速增大，地球上的大气污染日趋严重，其影响也日趋深刻，如由于一些有害气体的大量排放，不仅造成局部地区大气的污染，而且影响到全球性的气候变化。因此，加强大气质量的监测和预报是非常必要。目前对大气质量的监测主要是监测大气中2SO 、2NO 、悬浮颗粒物（主要为PM10）等的浓度，研究表明，城市空气质量好坏与季节及气象条件的关系十分密切。 附件给出城市A 、B 、C 、D 、E 、F 从2003年3月1日至2010年9月14日测量的污染物含量及气象参数的数据。 请运用数学建模的方法对下列问题作出回答： 1.找出各个城市2SO 、2NO 、PM10之间的特点，并将几个城市的空气质量进行排序。 2．对未来一周即2010年9月15日至9月21日各个城市的2SO 、2NO 、PM10以及各气象参数作出预测。 3．分析空气质量与气象参数之间的关系。 4．就空气质量的控制对相关部门提出你的建议。 2.问题分析 本题为生活中的实际问题，层层递进式提出四个问题，分别需要对空气污染 因素以及气象参数进行分析求解。第一问为评价性问题，先从城市内部个污染物特点出发，再到城市之间空气质量进行比较。第二问是预测性问题，通过对给出的数据进行分析，预测各项参数之后的趋势。第三问是寻找关联性问题，要求找出空气质量与气象参数之间的关系。第四问为开放型问题，可通过之前得出的结论或者相关文章及模型提出建议。 2.1 问题1 通过查阅资料，运用已有的API 对各个城市的各项污染指标进行计算，得出各个污染指数API 月平均的折线图，观察，得出各城市各项指标的特点。鉴于求解城市API 时有一定的误差，故选择综合评价模型，对数据进行标准化处理之后，确定动态加权函数，对模型进行求解，排名。检验模型后确定结论的合理性。 2.2 问题2 预测模型主要有灰色预测，时间序列等模型。由所给数据以及问题可知该预测模型为时间序列。随机选取气象参数之一气温（tem ）为例进行分析，先通过SPSS 软件得到其时序图，观察其走势，对其做平稳化处理。然后以最小BIC 为标准，构造模型，进一步应用SPSS 软件求解，得出各项参数，并预测出2010年9月15日至2010年9月21日的数据。其余各城市各污染物浓度以及气象参数应用类似方法进行求解。最后，由于F 城市所提供数据与需要预测日期相隔较

实验一 控制系统的数学模型

实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G

高中数学通用模型解题方法技巧总结

高中数学通用模型解题方法 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？ A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： 要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,……a n,都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集。 当然，我们也要注意到，这种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为，非空真子集个数为 （3）德摩根定律： 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在上单调递减，在上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非” ∨∧? ()()().

命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质（高考经常考） 满足条件，满足条件， 若；则是的充分非必要条件； 若；则是的必要非充分条件； 若；则是的充要条件； 若；则是的既非充分又非必要条件； 7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B 的映射个数有n m个。 如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。 函数的图象与直线交点的个数为个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 函数定义域求法： ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于一； ●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ●正切函数 ●余切函数 ●反三角函数的定义域 函数y＝arcsinx的定义域是[－1, 1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－ 1, 1] ，值域是[0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是R ，值域是.，函数y＝arcctgx 的定义域是R ，值域是(0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

圆形工件正次品的检验模型 (数学建模)

圆形工件正次品的检验模型 1.摘要 2.问题重述与分析 某工件为圆形, 半径为100.1 , 超出此范围即为次品. 测量仪器自 mm mm 动在每个工件的圆周上测量36个数据. 假定测量出的二维数据(,) x y是足够精 i i 确的, 要求建立一个合理的检验正/次品的模型, 对每个工件的36个数据进行计算后给出判断. 工件半径的误差主要由制造工艺造成.工件不合格的原因可能是半径过大或过小(如图一),或是表面粗糙度过大(如图二). 图一图二 机械制造中对表面粗糙度的定义是无论用何种加工方法加工,在零件表面总会留下微细的凸凹不平的刀痕,出现交错起伏的峰谷现象,粗加工后的表面用肉眼就能看到,精加工后的表面用放大镜或显微镜仍能观察到.这就是零件加工后的表面粗糙度.国家规定表面粗糙度的参数由高度参数、间距参数和综合参数组成,其中高度参数有三个：轮廓的平均算术偏差（Ra）,不平度平均高度（Rz）,轮廓最大高度Ry.如无特殊要求,一般仅选用高度参数.推荐优先选用Ra值,因为Ra能充分反映零件表面轮廓的特征. 此值较大,工业上认为Ra大于6.3μm时,表面粗糙.但为了简化模型, 忽略表面粗糙度对本题的影响.假设所给数据相邻两点之间的轮廓曲线以这两点为极点.因此在分析中只针对给出的点作判定,而对在点与点连线过程中有可能出现的超出范围的情况不作考虑.如果工件合格,那么可以找到一个点P00 x y（称之 (,) 为近似圆心）,使工件的圆周上的36个数据满足：36个点都在以近似圆心、半径满足大于9.9且小10.1的圆环上。从相反的角度考虑,如果这36个点都在一个圆环上,那么分别以这36个点为圆心、内外半径分别为9.9mm和10.1mm的所有圆环域的交集,便是满足条件的近似圆心的可行域。 3.模型假设 （1）假设圆形表面粗超程度一样。 （2）假设所给数据相邻两点之间的轮廓曲线以这两点为极点。 （3）假设每个工件的这36个点具有代表性。 4.符号说明 i：表示工件的序号；

数学建模声音识别模型的建立与评价.

声音识别模型的建立与评价 【摘要】 声音识别是研发智能防盗门的重要环节，对正常和非正常开门（指盗窃开门等声音）的声音进行准确地识别变得尤为重要。本文对采集到的正常和非正常声音进行识别模型建立和评价。其主要方法是：利用80次声音数据，结合MATLAB 工具及分析计算，建立正常、非正常声音与数据y的均值、方差、短时平均能量均值、短时平均幅度均值、短时平均过零率均值和短时自相关函数均值之间的关系的BP神经网络模型。然后分析模型，确定目标函数t，1表示正常，0表示非正常，即对声音进行识别；又进行误差分析，达到误差要求时将80个数据代入函数，即为对声音模型进行验证与评价。 针对问题一，首先从80次声音数据入手，利用MATLAB的load函数载入到计算机内存，内存中变量有Fs和y等变量，其中Fs为采用频率，y为采用数据。再用sound函数，播放出声音信号，从听觉角度比较正常、非正常声音在响度和音调两方的差异。最后利用plot函数绘制出具体的声音波形图，从视觉角度比较声音的频率与振幅的不同效果。 针对问题二，采用合适的时域分析处理声音信号，找出和提取了最重要的特征向量是短时能量和平均幅度、短时平均过零率、短时自相关函数，并比较了它们在表达声音时的不同优越性和特点，用途。 针对问题三，用MATLAB计算出80个正常、非正常声音数据，y的均值、方差、短时平均能量均值、短时平均幅度均值、短时平均过零率均值和短时自相关函数均值，利用这些均值作为BP神经网络的输入数据p且对p进行转置。确定目标函数t，1表示正常，0表示非正常。进行多次训练达到误差要求，求解和分析模型结果，并对80组样本数据进行检验。最后对BP神经网络模型进行评价、改进及推广。 针对问题四，利用主成分分析（PCA）特征变换对参数进行优化，先在正常和非正常中分别随机选取声音组号，再将以上问题得到的对应特征参数均值进行PCA变换，获得新的特征参数f正和f非能够更具区分性，并用参数优化技术包括语音包络检测、Delta特征的引入，获得更好的声音识别率。 针对问题五，对于原始信号中有叠加一定幅度的白噪声，前期处理时为了达到优良的消噪效果，采用新兴方法小波去噪原理，先用所给函数得到如11.mat 的加白噪声的声音，运用MATLAB中的小波工具箱对含噪信号进行小波分解、阈值量化、小波重组，获得的去噪结果与原始信号效果比较，验证小波去噪的可靠性。 关键词：BP神经网络时域分析特征向量主成分分析小波去噪原理

水道测量数学建模

试卷编号： 河北联合大学轻工学院 知行书院

一、摘要： . 首先用matlab绘制出测量点的位置,然后绘制出水底地形图，对地形图经过进一步处理，得到效果更好的加强地形图，根据不同船只的吃水深度，从中可找出对应的危险水域。该模型的建立按照假设条件，根据实际的测量数据，找出要求求解的结果，对航运部门来说，根据该模型，可对不同吃水位的船只在海域设置不同的警示标记，减少事故的发生，创造一个相对安全的海域环境。 二、问题重述： 某海域上频繁地有各种吨位的船只经过。为保证船只的航行安全，有关机构在低潮时对水深进行了测量,下表是他们提供的测量数据： 水道水深的测量数据 其中（x, y）为测量点，z为（x, y）处的水深(英尺)。船的吨位可以用其吃水深度来反映，分为 4英尺、4.5英尺、5英尺和 5.5英尺 4 档。航运部门要在矩形海域（75，200）×（－50，150）上为不同吨位的航船设置警示标记。请根据测量的数据描述该海域的地貌，并绘制不同吨位的警示线，供航运部门使用。 提示：水深z可以看做是区域坐标（x, y）的函数z= z (x, y），测量数据只是它的部分取值。可绘制函数图象和等值线图，将不同吃水线标记图上 三、模型假设： 1、每个测量点的数据都影响着其他未知点的深度，且距离越近，影响越大； 2、海底无暗礁； 3、任意两个数据点之间深度的变化都影响着其他未知点的深度； 4、两个数据点深度的变化对某一未知点的影响沿两点连线传播。 四、模型分析与建立： 根据假设条件海底无暗礁，所以很自然地想到绘制海底地形图，进一步处理得到比较光滑的海底地形曲面图。根据海底地形的海拔高低以及不同船只的吃水深度，找到不同吨位船只的危险海域，达到很好的警示效果。 (一)、首先绘制出监测点在矩形区域对应的海域位置(如所示)：

高中数学解题模型和解法_考前复习

高中数学解题模型和解法_考前复习 高中数学学习现状 一、不会解：想不到、分不清、思维定势 据调查显示：半数中学生成绩被数学、物理拖后提，原因并不是智力问题，也不是懒惰，而是方法的问题。这些学生做题就像在荒原上开汽车，很容易迷路，绕弯路。 二、解题慢：速度慢、不熟练、记忆模糊 80%的考生感叹：考试时间段，题目做不完。其实，这隐含着一个人们最容易忽视的问题：那就是没有在解题时建立正确的方法。公式、定理背的的滚瓜烂熟，但一到做题的时候就卡壳。尤其在考试的时候，时间又紧，做题卡壳，做小题的时间都不后用，最后几道大题直接就放弃了。 三、老出错：不细心、踩陷阱、毫厘之差 很多学生会说：这个题我做错，不是我不会，是因为粗心做错了。其实这个观点是大错特错。出题人会在出提时故意设置陷阱，就算你再细心，也还是很容易犯错，也就是说，罪魁祸首根部不是你粗心、细心的问题，而是解题方法的问题。 其实，将这些总结为一句话：成绩差，归根到底，没方法，缺少正确的引导！ 针对这个令广大莘莘学子头疼的问题，我们提出模型解题法。只要在科学方法的引导下，成绩一定会得到最大程度的提高。 模型三大步：看题型、套模型、出结果。 第一步：熟悉模型，不会的题有清晰的思路 第二步：掌握模型，总做错的题不会错了 第三步：活用模型，大题小题都能轻松化解 一、选择题解答模型策略 注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考基础考能力的导向，使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。 准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。 迅速是赢得时间，获取高分的秘诀。高考中考生“超时失分”是造成低分的一大因素。对于选择题的答题时间，应该控制在30分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。 一般地，选择题解答的策略是： ① 熟练掌握各种基本题型的一般解法。 ② 结合高考单项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。 ③ 挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。 二、填空题解答模型策略 填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。高考中共5个小题，每题5分，共25分，占全卷总分的16.7%。 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型： 一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现。

数学建模竞赛 基于多雷达目标定位的数学模型

基于多雷达目标定位的数学模型 (选作题号 A) 摘要 建立方程组把求雷达系统定位的最少雷达数量问题转化为以最少的方程个数n 使该方程组具有唯一解，得出结论：1、当雷达站点不共线布置时，只需要三部雷达便可实现定位；2、当所有雷达位于一直线上时，无论雷达数目是多少，均只能获得目标在x 或y 方向的坐标，不能完全定位。 对于问题二，我们采用微积分、概率论中的相关知识以及斜距离定位系统分析定位误差，建立了定位误差与测距误差和坐标误差的关系的微分方程模型。得到结果：采用三个雷达定位时，定位误差的期望值为0，方差与雷达的测距误差 r σ和坐标误差s σ成线性关系。 针对问题三，首先，建立了可选站址的定位算法模型，但此算法中雷达站址的选择具有局限性。最后我们从概率统计的角度建立了基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法模型，并在具体实施中对算法进行化简，较好地解决了问题中的三组数据目标定位，得出的相应目标飞行物坐标为（-25292，6292，24003），（-28138，4315，23941），（-25461，6217，23765），并通过对结果的误差比较，给出了影响误差的因素及算法的评价。 以问题二对定位精度的分析为基础，进一步通过对定位误差分析计算并参考有关资料，给出了如下一些控制精度的建议：1、 采用先进技术,减小测距误差和站点坐标误差；2、适当增加相邻雷达站间距离；3、合理布置雷达站点空间分布；4、适当增加雷达站的数量。 在完成所有模型的建立与求解之后，我们还对模型优劣进行了比较分析和评价，并提出了相应的改进和完善的方向，并把模型进行推广使用。 关键字: 目标定位 定位误差 微分方程 坐标误差

高中化学模型记忆卡模型解题法(Word版)

高中化学模型记忆卡模型解题法 氧化还原反应方程式的书写 模型口诀 失升氧化还原剂，七字口诀要牢记，先定两剂与两物，再平电子和原子。 模型思考 1．解读氧化还原反应方程式时，先判断变价元素，然后按照“失（电子）、升（价）、氧化（反应）、还原剂”进行分析。 2．书写氧化还原反应方程式时， 第一步：先确定反应物中氧化剂、还原剂；生成物中的氧化产物和还原产物。 第二步：利用电子守恒进行配平。配平时的逻辑关系不能忽略，先要电子得失守恒，然后原子守恒。若先原子守恒配平，必须验证电子是否守恒。 如果是氧化还原形的离子方程式则应遵循：电子守恒、电荷守恒、原子守恒的逻辑关系。 模型归纳示图 离子方程式正误的判断 模型口诀 牢记“三死一灵活”，判断正误不迷惑，写、拆、删、查四步曲，正确书写不出错。 模型思考 1．判定离子方程式是否正确的方法按照“三死一灵活”的顺序判断，“三死”是指（1）“拆”得对否；（2）电荷、质量守恒；（3）盐类水解符号的使用和分步是否正确。“一灵活”是指反应是否符合客观实事。 2．书写离子方程式时，可按“写、拆、删、查”四步进行。 3．解读是上述的逆向思维，要理解离子符号代表哪类电解质，才能确定该离子方程式代表哪类物质间的反应。

模型归纳示图 化学方程式的书写 模型口诀 吸放热、对正负，标状态、定系数，按照目标变换式，盖斯定律大用处。 模型思考 有些反应的反应热不易测得，通过已知反应的反应热，利用盖斯定律获得： 第一步：要确定需要的反应的反应热，其中的反应物和生成物的状态和化学计量数关系。 第二步：将已知的热化学方程式按照所要获得的反应，进行变换，对不需要的物质进行定量的“消元”——都是反应物（或都是生成物），可做减法；一项是反应物，一项是生成物，可做加法，同时可用相同的数学式计算出该反应的ΔH，最后书写出热化学方程式。 模型归纳示图

压缩机电流检测数学模型

压缩机电流检测电路的数学模型 熊飞 摘要：本文以试验测试数据做为数学模型建立的依据，得到了电流互感器互感系数C 和检测电流I的关系，即C= f(I)；并在此基础上，得到I/O口输入电压U与检测电流I、R14、R13之间的关系，即U=f(I,R14,R13)。运用软件：matlab,程序见附录。 ●压缩机电流检测电路 参数：I——压缩机检测电流 U——芯片I/O口输入电压 C——互感器互感系数 R13、R14——分压电阻 ●分析 1，电流互感器将大电流I转化为小电流I/C，可得到R6两端交流电压Uo=R6*Ii/C。 2，在经过整流二极管D10半波整流后，二极管D10的负极与地之间的直流电压V1=0.707*Uo－0.5V=0.707*R6*Ii/C－0.5V；减掉的0.5V为二极管上的压降。 3，芯片I/O口输入电压U= R13/（R13+R14）*V1。 4，按以上分析可以得到：芯片I/O口输入电压U= R13/（R13+R14）*(0.707*R6*I/C-0.5) 5，从理论公式中可以看出，电阻R13、R14、R6为定值，C值在实际中并不是常数，而是随检测电流I而变化的！ ●关于的数学模型C=F(I)的建立 1，检测电流I从1A到30A变化，每次增加1A，记录下每次芯片I/O口输入电压U； 【电流互感起为0057W、R14=6.8K、R13=16K时的试验检测数据】 （I为压缩机检测电流，U为芯片I/O口输入电压）

2，依据以上测试值和理论计算公式U= R13/（R13+R14）*(0.707*R6*I/C-0.5)，不同输入电流时，计算出电流互感起互感系数C【程序1】 2，根据以上测试数据，建立关于C=F(I)的函数关系 ①选用函数模型：C=K0+K1I+K2I2+…….+KnI n ②模型建立思想：n为函数阶次，当n从1变化到30时，观察实际值和理论值 的拟合度以及平方差dlt，当拟合度最佳且平方差dlt最小的时候，此时的函数为最佳拟合函数。 ③平方差dlt说明： 当电流为I1时，据试验测试数据计算得到的互感系数为C_A1，依据拟合模型C=F(I)计算得到的互感系数为C_L1，dlt1=( C_A1-C_L1)2,当电流从1到30A变化时，可以得到dlt1、dlt2 、dlt3 。。。。。。dlt30 ， dlt=sqrt(dlt1 +dlt2 +dlt3…..+ dlt30), [sqrt表示为开平方]

教育测量：从数学模型到法学模型

教育测量：从数学模型到法学模型 谢小庆 （北京语言大学） 摘要：美国教育协会和美国国家教育测量学会共同组织编写的《教育测量》在业内被称为是“测量领域的《圣经》”。在2006年出版的《教育测量》（第4版）中，将图尔敏的论证模型作为效度研究的基本范式。这不仅是效度研究范式的转变，更标志着教育测量研究从数学模型向法学模型的转变。本文讨论了这种教育测量研究范式的转变。 关键词：测验考试教育测量图尔敏 效度研究是教育和心理测量研究领域中最重要的问题。美国教育协会（American Council on Education）和美国国家教育测量学会（National Council on Measurement in Education）共同组织编写的《教育测量（Educational Measurement）》在业内被称为“教育测量领域的《圣经》”。在2006年出版的《教育测量（第4版）》中，将图尔敏的证模型作为效度研究的基本范式。1在新的效度研究范式中，“理据（warrant）”成为核心概念，效度研究被视为一种通过构造理据系统、理据链条和理据网络而对效度进行的“论证（argument）”，效度研究被视为一种对测验分数做出普乐好（plausible）解释的过程。2，3作为一门学科，教育测量学已经走过了百余年的历史。在教育测量学的发展历史中基本的研究模型是数学模型，是借助数学工具改进教育评价的质量，从而提高教育评价的有效性、可靠性和公平性。百年间，教育测量研究的数学模型取得了很大的成绩，研究成果被广泛地应用于考试实践，既促进了教育的公平， 1Brennan, R. L., ed. : Educational measurement (4th edition), [C] Washington, DC: American Council on Education/Praeger，2006，第17-64页 2谢小庆，测验效度概念的新进展[J]，考试研究，2013年第3期，2013，56-64页 3谢小庆，效度：从分数的合理解释到可接受解释[J]，中国考试，2013年第7期，3-8页

血样的分组检验数学建模

问题一血样的分组检验 摘要:本文以血样分组检验为原型，通过建立数学模型，利用概率统计，数学期望值等知识对如何分组检验以及什么情况下需要进行分组检验作出了合理的解释。 关键词：血样分组检验，数学模型，概率统计, 数学期望值 具体问题 在一个很大的人群中通过血样检测普查某种疾病，假定血样为阳性的先验概率为p （通常p很小）。为减少检验次数，将人群分组，一组人的血样混合在一起化验。当某组的混合血样为阴性时，即可不经检验就判断该组每个人的血样都为阴性；而当某组的混合血样为阳性时，则可判断该组至少有一人血样为阳性，于是需要对该组的每个人在做化验。 (1)当p固定时(0.1%,…,1%,…)如何分组，即多少人一组，可使平均总检验数 最少，与不分组的情况比较。 (2)当p多大时不应分组检验。 (3)当p固定时如何进行二次分组（即把混合血样呈阳性的组再分成小组检验， 重复一次分组时的程序）。 (4)讨论其他分组方式，如二分法（人群一分为二，阳性组在一分为二，继续 下去），三分法等。 分析问题 本文对血样分组检验建立数学模型，目的就是要找到一种最佳的分组方案，对于一个数量固定的人群（假定人群数量为n 人），我们在决定哪一种分组方案最好或者需不需要分组时，可以引入数学平均值。 如果不分组，每个人都参加检验，则总共需要检验n次，每个人平均需要检验一次，如果分组后计算出每个人的平均检验次数小于1次，则认为分组比不分组好，需要分组，

反之，则不需要分组；在众多组合的分组中，哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，则认为这种分组时最优的分组方案。这也是数学概率模型的基本思路。 在人群（数量很大）中进行血样检验，已知先验阳性率为p, 为减少检验次数将人群分组。若k人一组，当k份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性，则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。 模型假设 结合本问题的实际情况，对该模型作出如下合理的假设： 1.人群数量总数为n人； 2.先验概率P在检验中为一常量，保持不变； 3.每个人检验一次是否阳性的概率相互独立，即每个人接受检验是互相独立事件，互不影响； 4.每次分组时都能达到平均分配，能分成m组，即m=n/k，m为正整数。 变量说明 根据提出的问题和模型假设，给出如下变量： n---- 被检验人群的总数； m----人群被分成的组数； k----每组的人数； k1----第二次分组时每组的人数； p---- 先验阳性概率； q=1- p----先验阴性概率； ξ----每个人需要检验的次数，为一随机变量； Eξ----ξ的期望值，每个人需要检验的平均次数。 模型建立 利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验次数小于1次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。 在众多组合的分组中，比较哪一种分组计算出来的每个人的平均检验次数最小，平

数学模型课后详细复习资料

数学模型作业 六道题 作业一 1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 解： 要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。即：V=k 1 L3，因此，模型为： 33 111 M V k l K L ρρ ===…………………………… 模型一 利用Eviews软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1 ，如下图1所示： 图1 从图1结果可以得到参数K 1 =0.014591，所以模型为： 3 1 M0.014591 L = 上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。因此，有必要改进模型。如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比， 即：V=k 2 d2L，因此，模型为： 身长 /cm 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 质量 /g 765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围 /cm 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6

1 2 5 3 4 7 6 22222M V k d K d L L ρρ===……………………………… 模型二 利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示： 图2 从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为： 22M 0.032248d L = 将实际数据与模型结果比较如表1所示： 实际数 据M 765 482 1162 737 482 1389 652 454 模型一M 1 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 模型二M 2 729.877 465.248 1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.960 2.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。 解： 将大学生数量为34、29、42、21、56、18、71的区分别标号为1、2、3、4、5、6、7区，画出如下区域区之间的相邻关系： 记r 为第i 区的大学生人数，用0-1变量x ij =1表示（i ，j ）区的大学生由