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初三数学竞赛试题(含答案)

初三数学竞赛试题班级姓名一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．要使方程组???=+=+2

3223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（）

（A ）334<a （D ）3

43<>a a 或 2．一块含有?30角的直角三角形（如图），它的斜边AB ＝8cm, 里面

空心DEF ?的各边与ABC ?的对应边平行，且各对应边的距离都是

1cm,那么DEF ?的周长是（）

(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+

3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )

(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种

4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( )

(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y

(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y

5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )

(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 6

1 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方

向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。

如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶

点，棋子停在顶点D 。依这样的规则，在这10次移动的过程中，

棋子不可能分为两停到的顶点是( )

(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.

7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )

(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根

8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54? 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )

(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64

二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)

9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.

10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是

11.ABC ?中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知

232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等

12．设直线1-+=k kx y 和直线k x )k (y ++=1(k 是正整数)及x 轴

围成的三角形面积为k s ，则2006321s ...s s s +++的值是。

13．如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2

和3，且点B 、C 、G 在同一直线上，M 是线段AE 的中

点，连结MF ，则MF 的长为。

14．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为

21:的两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小

的三角形的面积是。

三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分）

15．(12分)已知c ,b ,a 都是整数，且42=-b a ,012=-+c ab ,求c b a ++的值。

16. 做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A，B两种款式的服装

合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获毛利润分别为30元和40元，乙店铺获毛利润分别为27元和36元。某日王老板进货A款式服装35件，B款式服装25件。怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺毛利润不小于950元的前提下，王老板获取的总毛利润最大？

最大的总毛利润是多少？

17. 如图所示，⊙O沿着凸n边形A1A2A3…A n-1A n的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的

（1）当⊙O和凸n边形的周长相等时，证明⊙O自身转动了两圈；

（2）当⊙O的周长是，凸n边形的周长是时，请写明此时⊙O自身转动的圈数。

18. 已知二次函数1122

+-++=m x )m (x y 。

（1）随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表

达式；如果不是，请说明理由；

（2）如果直线1+=x y 经过二次函数1122+-++=m x )m (x y 图象的顶点P ，求此时m 的值。

一、选择题

1．答案D 解：解方程组，得???

????-=-=526,543a y a x 要使方程组的解是一对异号的数，只需3340

26043026043>-???>-<-a a a a a a 或即或 2．答案B

解：连结BE ，分别过E ，F 作AC 的平行线 BC 于点M 和

N ，则EM=1，BM=3，MN=33134-=--

∴小三角形的周长是MN+2MN+3MN=6cm

解：能组成三角形的只有（1，7，7）、（2，6，7）、（3，5，7）、（3，6，6）、（4，4，7）、（4，5，6）、（5，5，5）七种

解：将抛物线C 再变回到抛物线A ：即将抛物线y=2(x+1)2-1向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到抛物线y=2(x-1)2-2，而抛物线y=2(x-1)2-2关于x 轴对称的抛物线是y=-2(x-1) 2+2

解：四册教材任取两册共有6种不同的取法，取出的两册是一套教材的共有4种不同的取法，故所求概率是3

解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到

设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，

3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是

1+2+3+…+k=)1(21+k k ，应停在第p k k 7)1(21-+格，这

是P 是整数，且使0≤p k k 7)1(2

-+≤6，分别取k=1，

2，3，4，5，6，7时，p k k 7)1(21-+=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7

177)1(21++=-+t t m p k k ，由此可知，停棋的情形与k=t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到。

解：假设有整数根，不妨设它的根是2k 或2k+1（k 为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除A ；若a ，b ，c 分别取4，8，3则排除C ，D

解：每个2×2小方格图形有4种不同的画法，而位置不同

的2×2小方格图形共有12个，故画出不同位置的L 形图形

案个数是12×4=48

二、填空题

12 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高（设为h ），则5h=3×4,512=

h 10．答案：35%或65%（答对一个给3分）

解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35%或65%

11．答案：10 解：不难验证，a 2=b 2+c 2，所以△ABC 是直角三角形，其中a 是斜边。 bsinB+csinC=10222===+=?+?a a a a b c a c c a b b 12．答案：2007

1003 解：方程组???-=-=???++=-+=1

1)1(1y x k x k y k kx y 的解为直线的交点是（-1，-1）直线???

??-++=-+=0,1)1(,1k k x k x k y k kx y 轴的交点分别是与、 1

1121111210,1+-=+---?-?=??? ??+-k k k k k k Sk k k ，所以 ??? ??-++-+-+-=

++++200712006141313121211212006321ΛΛS S S S

100320071121=??? ??-

?= 13．答案：22 解：连结DM 并延长交EF 于N ，则△ADM ≌△ENM ，

∴FN=1，则FM 是等腰直角△DFN 的底边上的高，所以FM=

2 14．答案：46

3 解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部

分边长分别为n 和2n ，得

????==???????==???????=+=+???????=+=+3343532222;222n

y n x n y n x n y x n x x n y x n x x 或解得或

x 其中n 是3的倍数三角形的面积222236633663634321n S n n n n S =?=??

? ??-??? ????=?对于当n ≥0时，S △随着n 的增大而增大，故当n=3时，36

?S 取最小三、解答题

15．解：将a=4+2b 代入ab+c 2-1=0，得2b 2+4b+c 2-1=0，

∴22622c b -±-= ∵b ，c 都是整数，∴只能取???-=-=???=-=???-==???==12,12,10,10443

32211c b c b c b c b 相对应a 1=4,a 2=4,a 3=0,a 4=0

故所求a+b+c 的值有4个：5，3，-1，-3

16．解：设分配给甲店铺A 款式服装x 件（x 取整数，且5≤x ≤30），则分配给甲店铺B 款装（30-x ）件，分配给乙店铺A 款服装（35-x ）件，分配给乙店铺B 款式服装[25-(30-x)]=(x-5)件，总毛利润（设为y 总）为：

Y 总=30x+40(30-x)+27(35-x)+36(x-5)=-x+1965

乙店铺的毛利润（设为y 乙）应满足：

Y 乙=27(35-x)+36(x-5)≥950，得x ≥9520

对于y 总=-x+1965,y 随着x 的增大而减小，要使y 总最大，x 必须取最小值，又x ≥9

520,故取x=21，即分配给甲店铺A 、B 两种款式服装分别为21件和9件，分配给乙店铺A ，B 两种款式服装分别为14件和16件，此时既保证了乙

店铺获毛利润不小于950元，又保证了在此前提下王老板获取的总毛利润最大，最大的总毛利润为y总最大=－21+1965=1944（元）

17．解（1）一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周长），因此若不考虑⊙O滚动经过n个顶点的情况，则⊙O自身恰好转动了一圈，现证明，当⊙O在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角。

如图所示，设∠A2A1A n为钝角，已知A n A1是⊙O的切线，⊙O滚动经过端点A1后到⊙O’的位置，此时A1A2是⊙O’的切线，因此OA⊥A n A1，O’A1⊥A1A2，当⊙O转动至⊙O’时，则∠γ就是⊙O自身转动的角。

∵∠γ+∠β=90°，∠α+∠β=90°，∴∠γ+∠α，即⊙O滚动经过顶点A1自身转动的角度恰好等于顶点A1的一个外角。对于顶点是锐角或直角的情况，类似可证（注：只证明直角的情况）

∵凸n边形的外角和为360°

∴⊙O滚动经过n个顶点自身又转动一圈

∴⊙O自身转动的圈数是)1

18．解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上，求该抛物线的函数表达式如下：

利用配方，得y=(x+m+1)2-m2-3m，顶点坐标是P（-m-1,-m2-3m）

方法一：分别取m=0,-1,1，得到三个顶点坐标是P1(-1,0)、P2(0,2)、P3(-2,-4)，过这三个顶点的二次函数的表达式是y=-x2+x+2

将顶点坐标P(-m-1,-m2-3m)代入y=-x2+x+2的左右两边，左边=-m2-3m,右边=-(-m-1)2+(-m-1)+2=-m2-3m，∴左边=右边，即无论m取何值，顶点P都在抛物

线y=-x2+x+2上，即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2（注：如果没有“左边=右边”的证明，那么解法一最多只能得4分）

方法二：令-m-1=x，将m=-x-1代入-m2-3m，得

-(-x-1)2-3(-x-1)=-x2+x+2

即所求抛物线的函数表达式是y=-x2+x+2上

（2）如果顶点P(-m-1,-m2-3m)在直线y=x+1上，则-m2-3m=-m-1+1，即m2=-2m ∴m=0或m=-2

∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1图象的顶点P时，m的值是-2或0

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