粗糙表面分形维数估算的改进立方体覆盖法重点

24卷第17期

2005年9 岩石力学与工程学报 Vol.24 No.17 月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Sept.，2005

粗糙表面分形维数估算的改进立方体覆盖法

张亚衡1，周宏伟1，谢和平12 ，

(1. 中国矿业大学(北京) 岩石力学与分形研究所，北京 100083；2. 四川大学，四川成都 610065)

摘要：岩石断口表面形貌的定量描述是评价其力学行为的基础。在粗糙表面分形维数估算的立方体覆盖法基础上，

提出了估算粗糙表面分形维数的改进立方体覆盖法。进一步根据粗糙表面形貌的有关数据，采用立方体覆盖法和

改进的立方体覆盖法分别对同一粗糙表面估算其分形维数值，并进行了对比分析，发现改进的立方体覆盖法不仅

具有直接覆盖法的优点，其估算过程也更加直观和方便。

关键词：岩石力学；粗糙表面；分形维数；立方体覆盖法；改进的立方体覆盖法中图分类号：TU 311.2 文献标识码：A 文章编号：1000–6915(2005)17–3192–05 IMPROVED CUBIC COVERING METHOD FOR FRACTAL

DIMENSIONS OF A FRACTURE SURFACE OF ROCK

ZHANG Ya-heng1，ZHOU Hong-wei1，XIE He-ping12 ，

(1. Institute of Rock Mechanics and Fractals，China University of Mining and Technology，Beijing 100083，China；

2. Sichuan University，Chengdu 610065，China)

Abstract：Description of fracture surface of rock is the base of evaluating its mechanical behavior. Ways to determine the fractal dimensions of a fracture surface are essential for a better understanding of its complete topographic characteristics. Triangular prism surface area method，projective covering method and cubic covering method are three widely used methods at present. Both the triangular prism surface area and projective covering methods cannot avoid the problem of approximate estimation of the real area surrounded by four points on the fracture surface，because the four points considered seldom lie on a plane. Such approximate calculations will certainly result in error. However，the cubic covering method can assure that every step is accurate. Therefore，it can be regarded as a reliable method for direct determination of the fractal dimension of a fracture surface. In this paper，a laser profilometer is employed to measure the topography of a rock fracture surface. Based on cubic covering method for the fractal dimensions of a fracture surface of rock，a new method named improved

cubic covering method is proposed. Cubic covering method and improved cubic covering method are applied to computing fractal dimensions of the same fracture surface of rock. The results show that the improved cubic covering method not only has the advantage of the cubic covering method，but also has more convenient computing process.

Key words：rock mechanics；fracture surface；fractal dimension；cubic covering method；improved cubic covering method

～多有意义的研究成果[16]，但大多数研究成果都是

1 引言

分形几何在粗糙表面形貌描述领域已取得了很

收稿日期：2005–02–24；修回日期：2005–04–17 对粗糙表面上剖线形貌进行分形描述，对整个粗糙表面形貌的分形描述方法较少，有些研究仅限于对一维问题的推广，Mandelbrot本人也提出用剖线的

基金项目：国家重点基础研究发展规划(973)项目(2002CB412707)；国家自然科学基金资助项目(10372112，50221402)；教育部优秀青年教师资助计划项目

作者简介：张亚衡(1980–)，男，2003年毕业于中国矿业大学北京校区力学与建筑工程学院土木工程专业，现为硕士研究生，主要从事岩石力学方面的研究工作。E-mail：zyhkoala@https://www.sodocs.net/doc/6419034886.html,。

第24卷第17期张亚衡等. 粗糙表面分形维数估算的改进立方体覆盖法• 3193・维数加1来近似表示整个粗糙表面的维数[7]。由于粗糙表面的形貌非常复杂，表现为空间分布上的变异性、各向异性和局域特征[8]，采用粗糙表面上某条剖线的分形维数或若干剖线的平均分形维数无法描述整个表面的形貌特征。为了解决这一问题，很多学者提出对粗糙表面进行直接分析测量[9

～12]

，即

直接测量粗糙表面的分形维数，其值为2～3。

对复杂的无规则曲线的分形维数计算，码尺法和覆盖法是最常用方法。而对于粗糙表面，就不可能用具有某一尺度的二维欧氏几何体如圆、正方形及三角形等来直接覆盖粗糙表面，因此，不得不采用间接覆盖的方法。目前在所有用于估算粗糙表面真实分形维数的计算方法中，最具代表性的是三角形棱柱表面积法[9]、投影覆盖法[10

，11]

和立方体覆盖

法[12]。文[9]提出三角形棱柱表面积法用于计算粗糙表面分形维数。在文[9]提出三角形棱柱表面积法 7 a后，文[13]提出使用电子显微成像扫描的方法直接计算粗糙岩石表面分形维数。这就涉及到在平面网格的基础上计算真实粗糙表面分形维

数的概念。文[10，11]于1998年提出投影覆盖法，这种方法被认为是修正的三角形棱柱法[14]。应用此种方法，文[10，11]计算出砂岩的粗糙表面分形维数值为2.013～2.039。文[15]应用投影覆盖法分别计算柔性和脆性材料的表面分形维数，发现这2种材料的分形维数值分别是2.081 3和2.014 6。由于三角形棱柱表面积法和投影覆盖法都存在近似地测量粗糙表面面积的问题，从而导致计算结果的偏差。针对这个问题，文[12]提出立方体覆盖法，该方法有效地避免了由于近似计算导致的计算偏差。文[12]应用该方法计算岩石粗糙表面分形维数，发现当观测尺度δ＞1.25 mm时，粗糙表面根本不表现出分形性质；只有当观测尺度δ＜1.25 mm时粗糙表面才表现出分形性质。粗糙表面的分形维数存在于不同的尺度范围内，并不存在一个超越尺度范围的普适的分形维数。在立方体覆盖法思想基础上，本文提出了改进的立方体覆盖法，并通过实验计算，分析比较了立方体覆盖法和改进的立方体覆盖法计算结果的差异。

2 粗糙表面形貌测试

本次实验使用的实验仪器是大尺度激光扫描仪，仪器精度为0.1 mm，量程为300 mm(图1)。

激光头电源

监视器

试件

激光头

电机控制器

图1 大尺度激光扫描仪(与天津大学联合研制)

Fig.1 Large scale laser profilometer

本次实验使用的试件尺寸约100 mm×100 mm(长×宽)，测量间距为0.1 mm，这样获取的数据点总数约为1 000×1 000，在Winsurf下生成的岩石粗糙表面形貌见图2。

图

2 试件表面测量结果(单位：mm)

Fig.2 Surface topography of a rock fracture measured by the

large scale laser profilometer(unit：mm)

3 粗糙表面分形维数计算的立方体覆盖法

用立方体覆盖法估算的分形维数是纯几何意义上的分形维数，就如用二维方形网格去覆盖无规则曲线一样，在计算过程中没有近似的过程，每个计算步骤都有精确的方法，所以计算出的分形维数接近真实的分形维数。

立方体投影覆盖法的操作过程如下：在平面XOY上存在一正方形网格，网格中每格的尺寸是δ，正方形的4个角点处分别对应4个高度h(i，j)，h(i，j+1)，

h(i+1，j)和h(i+1，j+1)(1≤i，j≤n−1，n为每个边的量测点数)。用边长为δ的立方体对粗糙表面进行覆盖，计算覆盖区域δ×δ内的立方体个数，

• 3194 • 岩石力学与工程学报 2005年

即在第i，j个网格内，覆盖粗糙面的立方体个数

Ni，j[8]为

Ni，j=INT{δ−1

[max(h(i，j)，h(i，j+1)，h(i+1，j)，

h(i+1，j+1))−min(h(i，j)，h(i，j+1)，h(i+1，j)，

h(i+1，j+1))]+1} (1)

式中：INT为取整函数。

则覆盖整个粗糙表面所需的立方体总数N(δ)为[8]

N(δ)=

∑n−1

Ni，j (2)

i，j=1

改变观测尺度再次覆盖，再计算覆盖整个粗糙表面所需的立方体总数，若粗糙表面具有分形性质，按分形理论，立方体总数N(δ)与尺度δ之间应存在如下关系：N(δ)～δ−D (3)

式中：D为粗糙表面自相似分形维数。

采用试件的扫描实验数据，将立方体覆盖法的计算过程编写程序，建立N(δ)与δ之间的关系，计算数据见表1，反映N(δ)与δ关系的双对数坐标图见图3。

表1 立方体法计算得到的δ与N(δ)关系Table 1 Relation between N(δ) and δ estimated by the

cubic covering method

δ/mm N(δ) 0.1 298 059 0.2 67 474 0.4 16 648 0.8 4 147 1.6 1 032 3.2 256 6.4 64 12.8 16

25.6 4 51.2

1

由表1和图3可知，当δ的范围为0.1～1.6

mm时，试件粗糙表面的分形维数为2.143；当δ的范围为1.6～51.2 mm时，试件粗糙表面的分形维数精确到2.000。因此，可得到以下结论：当测量尺度大于1.6 mm时，粗糙表面不表现出分形性；只有当测量尺度小于1.6 mm时，粗糙表面才表现分形性。

65

4 )0N3/N(gl21

－3.0

－2.5

－2.0

－ 1.5

－1.0

－0.5

0.0

lg(δ/δ0

)

图3 立方体法计算粗糙表面分形维数结果 Fig.3 lg-lg plot of N(δ) and δ estimated by the cubic

covering method

4 粗糙表面分形维数估算的改进立方

体覆盖法

由式(1)可知，在第i，j个网格内，覆盖的立方体个数是由这个网格4个角点的最高值减去最低值，除以立方体单位边长再加1取整得到的。这意味着覆盖总是从网格的最低角点处的高度开始。不同的网格由于最低角点的高度不同，覆盖起始点有就各不相同。这样覆盖不利于体现粗糙表面的复杂性和真实性。针对这个问题，提出了改进的立方体覆盖法。

改进的立方体覆盖法与立方体覆盖法最大的区别是在每个网格中，覆盖的起始位置不是从最低角点的高度处开始，而是从一个统一的高度开始覆盖，覆盖粗糙面的立方体个数Ni，j为

Ni，j=INT{δ−1[max(h(i，j)，h(i，j+1)，h(i+1，j)， h(i+1，

j+1))]+1}−INT{δ−1[min(h(i，j)，h(i，j+1)，

h(i+1，j)，h(i+1，j+1))]} (4)

图4所示以粗糙平面的一段剖面曲线为例，分别采用立方体覆盖法和改进的立方体覆盖法，覆盖粗糙表面的情况。其中深色的方格代表覆盖的立方体，白色粗曲线代表粗糙平面的剖面曲线。由图可见，立方体法用14个小立方体覆盖完这段曲线；改进的立方体法用19个小立方体覆盖完这段曲线，2种覆盖方法得到的覆盖立方体数目差5个，覆盖结果差异明显。

第24卷第17期张亚衡等. 粗糙表面分形维数估算的改进立方体覆盖法• 3195・

Y

Z

O

(b) 改进的立方体覆盖法

图4 改进的立方体法与立方体法覆盖的区别 Fig.4 Difference of covering process between improved cubic covering method and cubic covering method

采用试件的扫描实验数据，将改进的立方体覆盖法的计算过程编写程序，建立N(δ)与δ之间的关系，计算数据见表2，反应N(δ)与δ关系的双对数坐标图见图5。

表2 改进的立方体法计算得到的δ与N

(δ)关系Table 2 Relation between N(δ) and δ estimated by the

improved cubic covering method

δ/mm

N(δ)

0.1 416 921

0.2 92 620 0.4 21 834

0.8 5 271 1.6 1 302

3.2 325

6.4 66

12.8 16

25.6

51.2 1

6 5

4)0 N/N(3 gl2

1 0

－3.0

－2.5－2.0－1.5

－1.0

－0.50.0

lg(δ/δ0)

图5 改进的立方体法计算粗糙表面分形维数结果 Fig.5 lg-lg plot of N(δ) and δ estimated by the improved

cubic covering method

由表2和图5可知，当δ的范围为0.1～6.4

mm时，试件粗糙表面的分形维数是2.170，当δ的范围为6.4～51.2 mm时，试件粗糙表面的分形维数精确到2.000。因此，可以得到以下结论：当测量尺度大于6.4 mm时，粗糙表面不表现出分形性；只有当测量尺度小于6.4 mm时，粗糙表面才表现分形性。

5 讨论与结论

由2种方法的计算结果可知，当采用立方体法计算分形维数时，测量尺度δ＞1.6 mm时，粗糙表面分形维数D等于2.000，即粗糙表面不表现出分形性；当δ＜1.6 mm时，粗糙表面才表现出分形性；当采用改进的立方体法计算分形维数时，测量尺度

δ＞6.4 mm时，粗糙表面分形维数D等于2.000，即粗糙表面不表现出分形性；当δ＜6.4 mm时，粗糙表面才表现出分形性。岩石粗糙表面的分形维数在所有尺度上并不存在一个普适值，较小的测量尺度计算出的分形维数比较大尺度计算出的分形维数大，当尺度δ越趋于0，计算出的分形维数越接近

真实值。

改进的立方体覆盖法继承了立方体覆盖法每个

计算步骤都有精确方法的优点，其理论基础与立方体覆盖法完全一致。它与立方体覆盖法最大的区别是改进了覆盖模式，从统一的基准平面开始覆盖。

这种覆盖方法与计算复杂曲线的盒子数覆盖法极其

• 3196 • 岩石力学与工程学报 2005年

相似，因此，改进的立方体覆盖法可视为盒子数覆盖法[16]由二维向三维，由计算曲线分形维数向曲面分形维数的扩展。

对比立方体覆盖法和改进的立方体覆盖法，可以发现，改进的立方体覆盖法计算的分形维数比立方体法计算的分形维数值稍大。这是因为改进的立方体覆盖法从统一的基准面开始覆盖，有效避免了覆盖过程中的人为因素，更加真实地反映了断裂表面的粗糙信息；更详尽地提取粗糙信息的细节数据；更好地体现了粗糙岩石形貌的复杂性。另外，当尺度δ＞6.4 mm时改进的立方体覆盖法计算的分形维数值才精确等于2，而立方体法的这个临界值为1.6

mm。这也说明，改进的立方体法能够更详尽地提取粗糙表面信息的细节数据，在更大的分形测量尺度下仍然适用。改进的立方体覆盖法在立方体覆盖法的理论基础上改进了覆盖模式，其计算结果与立方体覆盖法相比更接近真实分形维数值，是一种适用范围更广，更可靠的分形维数计算方法。参考文献(References)：[1] 夏元友，朱瑞赓. 关于分形理论在结构岩体的应用研究[J]. 岩石力

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浅谈数学怪物——分形

浅谈数学怪物——分形 1 分形理论的产生 分形（Fractal）理论是当今世界的新理论、新学科，其概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的.大自然中物体和现象的几何形状普遍具有复杂的不规则性, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力,分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何无法描述的几何现象和物体的,它的产生使自然景物的描绘成为可能,这也是分形几何得到高度重视的原因之一.在分形理论真正发展起来的这十几年来,其研究倍受重视,分形的理论意义及实用价值深深吸引着人们寻求新规律、新特征存在的可能性. 2 分形理论的发展 分形理论的发展可以分为三个阶段[1](P114-115)： 第一个阶段是从1827年到1925年,在此期间,数学家们构造并且研究了很多奇遇或病态的集合及其图象,还试图对这类集合与经典集合的差别进行了详细分析.1827年,维尔斯特拉斯证明的一种在任意一点都不具有有限或无限的导数的连续函数曾引起了极大的震动,虽然人们认为此函数是极为“病态”的，但人们还是从不同方面推广了它,并且还对这类函数的奇异性质作了深入的研究.1904年，瑞典的数学家科赫通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处处不可微的连续曲线,并且还对该曲线的性质加于研究,该曲线改变了连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法,这是第一个认为构造的具有局部与整体相似结构的曲线.1883年,德国数学家康托尔构造了一类不连通的紧集s,s被称为康托尔三分集.在当时,它被认为在传统的研究中是可以忽略的,但现在它在非线性研究中却占有重要的意义.1890年,意大利数学家皮亚诺构造了能够通过某个正方形内所有点的曲线,这种奇怪的曲线曾使人们对以往的长度与面积等概念重新进行认识,并使数学界大吃一惊.在此基础上，1901年,闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919年,豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数.总之,在此阶段,人们已经提出了典型的“分形”对象和相关问题,并为研究此类问题提供了最基本的数学工具. 第二阶段大致是从1926年到1975年,在此阶段,人们对分形的性质作了深入研究,特别是对维数理论的研究已获得了丰富的成果.这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究,不仅逐渐使其形成了理论,而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中.庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数,分形集的局部性质,分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论中的应用,这些都极大地丰富了分形几何理论.列维在这一阶段的工作极为重要,首先,他第一个系统地研究了自相似

分形理论在无机材料中的应用

分形理论在材料中的应用 1 分形理论简介 Fractal 一词,源于拉丁文Fractus。原译为“不规则的”或“破碎的”,但通常把它译为“分形”。近年来,分形一直是国内外有关学者们的研究热点,它的应用性研究逐渐被渗透至物理、数学、化学、生物、医药、地震、冶金,甚至哲学、音乐与绘画等各个领域。 1. 1 分形理论的提出 众所周知,普通的几何对象具有整数维数。例如:点为零维,线为一维,面为二维,立方体为三维。然而,自然界中真实的线、面并不总是光滑的,许多物体的形状也是极不规则的,例如连绵起伏的山脉轮廓线、曲折蜿蜒的江河川流、变幻无常的浮云,以及令人眼花缭乱的繁星等等。同样,这种现象在材料科学中也很普遍,如:高分子的凝聚体结构、材料固体裂纹、电化学沉积等等,这些都是难于用欧氏几何学加以描述的。对于诸如具有此类几何结构的体系,如何进行定量表征呢? 随着人类对客观世界认识的逐步深入,以及科学技术的不断进步,象传统数学那样把不规则的物体形状加以规则化,然后进行处理的做法已不能再令人满意了。于是,在七十年代中期,分数维几何学应运而生[1 ] 。 整数与分数维集合的几何测度理论,早在本世纪初已由纯数学家们发展起来。但谈到分数维几何学的创始人,则首先当推法国数学家曼德尔布罗,他在总结了自然界中的非规整几何图形后[2 ] ,于1975 年第一次提出分形这个概念。此后,分形在不同学科领域中被广泛地应用起来; 直至1982 年德尔布罗出版了他的专著《The Fractal Geomet ry of Nature》则表明分形理论已初步形成[3 ] 。 1. 2 自相似性 分形结构的本质特征是自相似性或自仿射性。自相似性是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。简单地说,就是局部是整体成比例缩小的性质。形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用相机的倍数,故又称标度不变性或全息性。自仿射性则是指:把考察的对象的一部分沿各个方向以不同比例放大后,其形态与整体相同或相似。而具有自相似性或自仿射性结构的体系就是分形体[4 ,5 ] 。 例如: Sierpinski三角形是一个比较经典的例子, 取三边的中点并相互连接---产生四个全等的小三角形。（如下图）事实上,自然界中的许多复杂现象和复杂图形背后,时常隐藏着一种无标度性,即从不同的尺度范围来看,局部与整体是自相似的。这种体系到处可见,大到天体星系、变换不定的云彩,小到材料的裂纹、构件的断裂面、空气中的灰尘微粒,以及凝聚态物质的微观凝聚体等等,都具有尺度不同的多层次的形状和结构。当你放大或缩小观察和测量的尺度时,形状和结构几乎不变。可见,分形理论应用性研究的领域十分广阔,具有巨大的潜力。 1. 3 分形体的数学构造 分形体是个其维数介于点、线、面之间的客体,具有分形特征的物体的维数往往是分数。分形体不具 有晶体几何的旋转对称和平移对称性,但具有其特有的标度对称、伸缩 对称与自相似性。分形体之间的差别在于标度的不同,而形状在不同尺 度上是相同的[6 ] 。 分形体的数学构造通常可分为以下四类: (1) Cantor 棒分形; (2) Sierpinski 四面体分形;(3) 随机分形如:渗流集团[7 ,8 ] ; (4) 多重 分形。其中,多重分形[9 ]是定义在分形上的由多个标度指数的奇异测 度所组成的无限集合,是为处理复杂而非均匀系统与过程而由Halsey 等人发展起来的。这是因为简单分形不能完整而生动地刻画大自然的 复杂性与多样性,它仅是一种近似的手段;用一个参数不足以描述它, 需要引入一系列参数用以更详细地描述复杂分形及其生长过程的特 点。 1. 4 欧氏空间与非欧氏空间

计算机图像的盒维数计算方法

计算机图像的盒维数计算方法 摘要 分形维数是分形几何中研究的主要对象，近年来的许多研究将其用来刻画一个几何体的复杂程度，从而得到了许多丰富而有意义的结论。在应用中常采用盒维数作为分形维数，其具有定义直观，计算简便的特点。在计算机图像的处理问题中，目前有多种盒维数的计算方法。本文结合近年来的最新研究结果，对几何体的盒维数的计算问题作一综述，研究这些算法，并评价其优点和限制。本文旨在对计算机图像处理领域的盒维数计算方法作分类研究。 【关键词】分形几何盒维数图像处理计算方法 1 背景介绍 近些年来，图像的计算机分析，在很多方面受到了分形几何的启发。总体来看，分形几何在其中的最重要的应用是分形维数的估计。本文将着重介绍两种不同的盒维数的计算方法。 本文中所有的讨论均针对二维欧式空间中的集合。由于盒维数具有有限稳定性，从而若计算的对象集合包含一个内点（从而包含一个开集），则这个集合的盒维数自然地应该等于2。因此不失一般性地，本文中二维黑白图像的分形维

数计算问题讨论的是该图像的边界集（不包含内点）的分形维数；二维灰度图像计算的是该图像对应的三维集合的边界集的分形维数。 2 盒子计数方法 盒子计数方法（Box-Counting method，BCM）是最早被用来计算盒维数的算法，由Russel等人于1980年提出，并发展出了多种变形的算法。 记F为待分析的图像（信号），Nδ为覆盖F所需的最少的半径不超过δ的几何形体的个数，则定义F的上、下盒维数为： （1） （2） 若，则称该极限为F的盒维数，记为dimBF BCM的计算过程如下： （1）计算覆盖图像所需最少的尺度不超过δ的“盒子”的个数，记为Nδ （2）作出log（Nδ）-logδ图像（下文简称为log-log 图），利用最小二乘法得到回归直线的斜率k （3）则该图像的盒维数即为-k 该方法在应用时有许多限制：首先，需要将信号进行黑白化处理，从而信号的一些细节被忽略了。其次，对同一张图像选取不同尺度的盒子进行覆盖时，达到最小覆盖数时盒

第三章 分形和多重分形

第三章 分形和多重分形 分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它 们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。分形和多重分形是不依赖于尺 度的自相似的一个自然结果。单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已 有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。实际上通过计 算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。为了获得对一个分形更详细 的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。 在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠 加而成的。从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的 测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并 且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径 为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态 的复杂性和某种奇异性。表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或 广义维数q D 。多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通 过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了 奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。 §3.1 分形的基本理论 3.1.1 分形理论的基本概念 ㈠ 分形 分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸 线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。在研究中，他将测量长度与放大比 例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系 可用一个定量参数-称分形维数来描述。由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几

python 立方体覆盖法 求三维分形维数

python 立方体覆盖法求三维分形维数立方体覆盖法是一种用于计算三维分形维数（Fractal Dimension）的方法之一。分形维数用于描述不规则几何形状的复杂程度。立方体覆盖法通常涉及将立方体逐渐缩小并计算所需的立方体数量。 下面是一个简单的Python代码示例，用于实现立方体覆盖法，并计算三维分形维数： ```python import numpy as np def cube_counting(dimension, iterations): total_cubes = 0 for i in range(iterations): total_cubes += 2 ** (dimension * i) return total_cubes def fractal_dimension(iterations): dimensions = np.arange(1, iterations + 1) cube_counts = [cube_counting(d, iterations) for d in dimensions] slope, _ = np.polyfit(np.log(1 / dimensions), np.log(cube_counts), 1)

return -slope # 设置迭代次数 iterations = 10 # 计算分形维数 fractal_dim = fractal_dimension(iterations) # 打印结果 print(f"迭代次数: {iterations}") print(f"三维分形维数: {fractal_dim}") ``` 在这个例子中，`cube_counting`函数计算每个维度的立方体数量，然后`fractal_dimension`函数计算分形维数。通过增加迭代次数，你可以获得更准确的估计。 请注意，立方体覆盖法是众多计算分形维数的方法之一，具体的选择可能取决于你所处理的特定问题。

三维粗糙表面分形参数结构函数法

三维粗糙表面分形参数结构函数法 【摘要】 本文介绍了三维粗糙表面分形参数结构函数法的基本原理、参数 的选择与计算、分形参数的意义和应用、分形结构函数的建立以及实 验研究和数值模拟。通过对三维粗糙表面的分形特征进行分析和模拟，揭示了其表面形貌的复杂性和规律性。研究表明，分形参数可以有效 描述表面的粗糙度和形貌特征，为材料科学、表面工程和生物医学等 领域提供了重要参考。通过建立分形结构函数，可以更准确地对表面 特征进行表征和预测，为表面设计和改性提供了理论依据。未来可以 进一步完善该方法，拓展其在不同领域的应用，为实际工程和科研提 供更多的帮助和指导。 【关键词】 三维粗糙表面、分形参数、结构函数法、基本原理、参数选择与 计算、分形参数的意义和应用、分形结构函数的建立、实验研究、数 值模拟、结论、展望。 1. 引言 1.1 引言 三维粗糙表面是自然界和工程领域中常见的表面形态，其不规则 性和复杂性给表面性能和功能带来了挑战。为了描述和分析三维粗糙

表面的特性，研究者们提出了各种各样的方法和技术。三维粗糙表面分形参数结构函数法是一种较为常用和有效的方法。 本文将重点介绍三维粗糙表面分形参数结构函数法的基本原理、参数的选择与计算、分形参数的意义和应用、分形结构函数的建立以及实验研究和数值模拟等方面内容。通过深入探讨这些内容，可以更好地理解和应用该方法，从而更好地揭示和分析三维粗糙表面的特性。 三维粗糙表面分形参数结构函数法的引入，为我们研究和理解三维粗糙表面提供了新的思路和工具。通过对分形参数和结构函数的建立与分析，可以更全面地把握三维粗糙表面的特性，为相关领域的研究和应用提供有力支持。在未来的研究中，我们可以进一步探索和拓展这一方法，更好地应用于实际问题的解决并取得更好的效果。 2. 正文 2.1 三维粗糙表面分形参数结构函数法的基本原理 三维粗糙表面分形参数结构函数法是一种用于表征和分析三维粗糙表面形貌的方法。其基本原理是利用分形几何学的理论，将表面形貌抽象为具有统计自相似性的分形结构，通过计算得到一系列描述表面形貌特征的分形参数。这些分形参数包括Hurst指数、方差、局部均值等，能够全面描述表面的粗糙度、几何形貌等特征。 在三维粗糙表面分形参数结构函数法中，参数的选择与计算是非常关键的一步。通过对表面数据的采集和处理，可以得到表面的高度

高分子复合材料断面的三维分形维数的计算方法

高分子复合材料断面的三维分形维数的计算方法 吴成宝;李文攀;孔磊;李璐瑶 【摘要】高分子复合材料的断面形貌呈现出自相似性和自放射性,具有分形特征,可用分形维数来定量描述.文中讨论了结构函数法、像素点覆盖法和投影覆盖法计算高分子复合材料断面的三维分形维数的原理、方法和步骤,对比分析了三种方法的准确性.最后指出了将来的研究方向. 【期刊名称】《合成材料老化与应用》 【年(卷),期】2019(048)002 【总页数】4页(P124-127) 【关键词】高分子复合材料;断面;三维;分形维数;计算方法 【作者】吴成宝;李文攀;孔磊;李璐瑶 【作者单位】广州民航职业技术学院飞机维修工程学院,广东广州510470;广州民航职业技术学院飞机维修工程学院,广东广州510470;广州民航职业技术学院飞机维修工程学院,广东广州510470;广州民航职业技术学院飞机维修工程学院,广东广州510470 【正文语种】中文 【中图分类】TQ318 由于材料结构、成型工艺参数的不同，高分子复合材料在承受外载过程中，会形成凹凸不平、光滑程度很低的断面，其表面形貌存在不同的层次性[1-2]。在对高分

子复合材料断面形貌的传统分析中，其拉伸或冲击断面看作是对某一平均平面的偏差，且与描述其他粗糙平面一样，亦通常用上述统计学参数和粗糙度指数表征，并以此来判断复合材料的断裂机理，并用脆性、韧性或两者的混合形式来定性表征。但断面细节特征研究发现：材料中的裂纹的扩展往往是按Z字形前进的，每一步 都是不规则，大小不等，方向不一，而且往往在大Z 形通道上又有小Z字形通道，有不同层次的嵌套结构，断面处处连续、处处不可微，是一个非稳定的随机过程，具有自相似性，是分形结构。在扫描电镜下，如果这种随机表面轮廓被不同的倍数重复放大时，更加精细的结构不断出现。而且，轮廓在不同放大倍数下都是不光滑的，在任何点都不存在切线，所以轮廓函数是处处不可微的，另外，当轮廓被放大时，放大后的表面和原始表面的概率分布非常相似，呈现出自相似性和自放射性，具有分形特征，可用分形维数来定量描述。本文总结和对比分析了目前常用的三种计算断面分形维数的方法。 1 结构函数法 1.1 用结构函数法求算表面分形维数的可行性证明 由高维分形定理[3-5]：设集合A和B均是Ed中的子集，用D表示交集AI B的分形维数，由代数拓扑维可知，三个集合A×B，A与B的剩余维数的代数和为零。 则有： (d-D)-(d-dimA)-(d-dimB)=0 (1) 由此可得： D=dimA+dimB-d (2) 此式为一个高维分形和一个面的交集的分形维计算公式。一般有0

镀层表面轮廓曲线分形维数计算方法的评价

镀层表面轮廓曲线分形维数计算方法的评价 吴成宝;田巨;刘传生;陈峥华;王舰;龚煜;李璐瑶 【摘要】The surface profile curve of coating is fractal and can be quantitatively characterized by the fractal dimension (D).To verify the accuracy of the present methods for calculating the D value,the W-M fractal function was used to generate the standard surface profile curves with different fractal dimensions,and then the D values were calculated by eight methods including the vertical section method,yard stick method,box counting method,variation method,structure function method,weighted covariation method,power spectrum density method and root mean square method.The results indicated that the yard stick method has a maximum relative error ranging from 6.20％ to 22.77％ with a mean relative error of 16.76％,which is the largest among those of all the methods;the relative error of weighted covariation method is in a range between 2.17％ and 21.35％,and 11.73％ averagely;the mean relative errors of box dimension method,power spectrum density method,and variation method are 8.61％,6.92％ and 5.25％,respectively;the mean relative errors of mean square root method and vertical section method are 0.51％-9.84％and 0.19％-3.97％,respectively;and the structure function method has a relative error of 1.21％ maximum,0.01％ minimum,and 0.45％averagely.Therefore,the structure function method has the highest accuracy and is most suitable for calculating the fractal dimension.%镀层表面轮廓曲线具有分形结构,可以用分形维数(D)来定量表征.为了验证现有D值测算

基于分形理论的表面粗糙度参数的计算方法

基于分形理论的表面粗糙度参数的计算方法 近年来，随着制造技术和精度的不断提高，对于表面粗糙度的要求也越来越高。表面粗糙度是表面形貌的一种重要参数，它是指表面上不规则的高低起伏现象。表面粗糙度的计算方法有很多种，其中基于分形理论的表面粗糙度参数的计算方法是一种比较新颖的方法。 分形理论是指处理自相似结构的数学工具，它的数学模型和方法具有良好的自 适应性，适用于不规则的、复杂的和具有分形性质的系统。因此，分形理论在表面粗糙度的分析和计算中也得到了广泛的应用。下面我们将介绍基于分形理论的表面粗糙度参数的计算方法的原理和具体步骤。 一、分形理论在表面粗糙度计算中的应用 分形几何学是当代数学的一个新的分支学科，是处理非整数维度的自相似现象 的几何学。分形理论是通过描述物质结构的分形特征来描述其物理性质和物理现象的数学工具。在高精度表面形貌测量中，我们可以应用分形理论对表面粗糙度进行计算和分析。 分形理论在表面粗糙度计算中的应用主要有以下两个方面： 1、表面分形维数 表面分形维数是表面粗糙度计算中的一个重要参数，它是描述表面分形结构复 杂程度的一个量化指标。表面分形维数是通过分形理论中的盒子维数计算出来的。这个维数与几何维数、赫斯特维数等不同，它是一种介于整数维和非整数维之间的分数维。表面分形维数越大，表面结构越复杂，表面粗糙度也就越大。 2、自相关函数 自相关函数是表面粗糙度计算中另一个重要的参数，它是表面形貌中波峰和波 谷分布规律的数学描述。自相关函数是指表面形貌中每一个点的高度与其周围一定

范围内其他点高度的相关程度。通过自相关函数可以了解表面形貌在不同尺度上的相关性，从而计算表面粗糙度的参数。 二、基于分形理论的表面粗糙度参数的计算方法 基于分形理论的表面粗糙度参数的计算方法主要包括以下几个步骤： 1、表面形貌的测量和数据采集 表面形貌的测量可以通过比较常见的表面测量设备进行，例如接触式和非接触 式表面形貌测量仪器。数据采集要求在一定的区域内取得足够密集的点阵分布，以保证分形维数和自相关函数的计算精度。 2、分形维数的计算 分形维数的计算可以采用盒子计数法和变换维数法两种方法，其中盒子计数法 是比较常用的一种方法。盒子计数法是通过对表面形貌进行网格分割以统计分形数，来计算分形维数。具体方法为：首先，用正方形盒子覆盖整个表面，盒子的边长为$L$；其次，计算每个盒子中包含的点数$n(L)$；最后，采用线性回归方法，得出 盒子维数$D$。通常使用线性回归分析求得的分形维数与实际的分形维数误差很小，这个方法可以转化为图象计量分析。 3、自相关函数的计算 自相关函数是表面形貌的统计描述函数，可以通过计算表面中每个位置处与其 相距一定距离的所有点的高度关系来得到。方法是先确定一个窗口，然后在窗口内取出所有的点，对这些点的坐标和高度值做标准化处理，然后计算它们之间的相关系数。得到自相关函数后，可以通过分析关键特征参数来求解表面粗糙度的其他参数。 三、结论

计算机图形学概念

图形及其要素、表示法；图像； OpenGL 等图形标准； 点阵法:是用具有颜色信息的点阵来（枚举）表示图形的一种方法，它强调图形由哪些点组成，并具有什么灰度或色彩。输入和输出设备：输入设备：光笔、鼠标、键盘、触摸屏、跟踪球、操纵杆、数据手套、数字化仪、扫描仪、音频和视频输入系统；输出设备:阴极射线管(CRT)：光栅扫描图形显示器；平板显示器，液晶显示器、等离子显示器等；光点：电子束打在显示器的荧光屏上，显示器能够显示的最小发光点，一般用其直径来标明光点的大小。像素点：图形显示在屏幕上时候，按当前的图形显示分辨率所能提供的最小元素点，其最小尺寸等于光点。象素信息从应用程序转换并放入帧缓冲区的过程称之为扫描转换过程帧缓冲存储器简称帧缓存或显存，它是屏幕所显示画面的一个直接映象，又称为位映射图(Bit Map)或光栅。帧缓存的每一存储单元对应屏幕上的一个像素，整个帧缓存对应一帧图像。位平面;位平面是与象素一一对应的一个bit 矩阵。每个象素的单一颜色值对应一个bit ，就构成了一个位平面。对一幅用多个比特表示其灰度值的图象来说，其中的每个比特可看作表示了1个二值的平面，也称位面。这类方法主要有两个步骤：位平面分解和位平面编码。三种分辨率：屏幕分辨率也称光栅或者物理分辨率，指屏幕上最多可能安置的象素的总数。，决定了显示器的最大可能分辨率，任何显示器所提供的分辨率都不可能超过这个物理分辨率，用水平方向与垂直方向的光电数的乘积来表示。显示分辨率：显示分辨率是显示器在显示图像时的分辨率，分辨率是用点来衡量的，显示器上这个“点”就是指像素(pixel)。显示分辨率的数值是指整个显示器所有可视面积上水平像素和垂直像素的数量。存储分辨率：它是指帧缓冲区的大小，一般用缓冲区的字节数来表示。在光栅系统中，像素点亮度值的二进制表示春处在帧缓冲区中，因此像素点的数目受到缓冲区大小的限制。光栅中的像素数目成为帧缓冲区的分辨率。图形的实现－－直接存储颜色数据：黑白图形的实现：一个bit 有两个值0，1，对应黑和白。即一个位平面就可以实现黑白图形。前例为：1M 比特内存。灰度图形的实现：增加位平面的个数。一个象素对应多个位平面的相同矩阵位置，其颜色为各个位平面的组合。 三个位平面能表示的颜色为23种。彩色图形的实现：三只电子枪R,G ,B ；每个电子枪对应固定数目的位平面中的数据；三个位平面则对应8种彩色。为增加彩色的数目，一个电子枪可以配备多个位平面。计算机图形学的应用领域：科学、医药、商业、工业、政府部门、艺术、娱乐业、广告业、教育、培训等 当前计算机图形学的研究热点； 光栅图形显示子系统的结构： 1、基本概念 几何元素的六层拓扑结构：形体、外壳、面、环、边（顶点）、点的几何坐标； 图形的几何信息和拓扑信息：图形信息本身分为几何信息和非几何信息 图形对象及构成它的点、线、面的位置、相互间关系和几何尺寸等都是几何信息； 显示处理 器存 储器 CP U 显示 控制器 显示器 帧缓存 显示处理 器（GPU) 系统 主存 系统总 线

机械结合面接触特性参数的理论与实验研究综述

机械结合面接触特性参数的理论与实验研究综述 杨红平;赵荣珍;李维谦 【摘要】机械零部件之间的接触性能对装备的静动态、振动、运动响应等性能有着重要影响.通过对该领域相关文献的分析和归纳,总结出机械结合面特性参数的理论计算和实验方法的基本框架以及这些理论方法之间的相联系,为机械动力学的建模和计算提供系统的研究思路. 【期刊名称】《天水师范学院学报》 【年(卷),期】2015(035)002 【总页数】6页(P54-59) 【关键词】机械结合面;接触特性参数;建模;实验 【作者】杨红平;赵荣珍;李维谦 【作者单位】天水师范学院机电与汽车工程学院,甘肃天水741001;兰州理工大学机电工程学院,甘肃兰州730050;天水星火机床责任有限公司,甘肃天水741024【正文语种】中文 【中图分类】TH131.1 装备制造业是一个国家综合国力和国防实力的重要体现，装备制造业的提升和发展为我国经济发展和国防建设提供技术装备，它对推进经济结构战略性调整、产业升级、扩大国内需求、实现经济可持续发展的战略至关重要.[1]而机床行业又是装备制造业的基础行业，高档数控机床产品的研发、分析与设计对提升高端装备制造乃

至整个装备制造产业链的价值和水平，具有重要理论意义和应用价值. 机械结合面性能对机械装备的动态特性、抗振性、运动响应敏捷性等性能有重要影响.研究表明，[2-3]机床整机刚度的50%取决于结合面刚度，整机阻尼的50～80%来自结合面阻尼.因此，提供具有准确性的结合面建模方法是进行机械装备自主创 新设计开发中迫切需要解决的关键基础课题.本论文针对机械结合面特性参数理论 计算和实验研究现状进行详细总结和归纳，并指出了存在的不足. 1 国内外结合面研究现状 零件、组件、部件之间通过许多相互接触的相对运动表面或相对固定表面联接起来，称为“机械结合面”.机械结合面之间存在着接触刚度和接触阻尼，影响结合面刚 度和阻尼的因素较多，[4-9]如：表面加工方法；材质及其热处理方法；表面粗糙 度和表面完整性；结合面的类型、尺寸、形状；面压及其分布；面间介质等.目前 对结合面基础特性参数的研究还处于不完善的阶段，一般采用实验的方法，通过设计专门的实验装置和测试系统，获得有限配对副、材料、加工工艺等条件下的基础特性参数.但是，实验法对实验结果的精度要求很高，由于结合面物理、微观和宏 观的几何特性以及受力的复杂性，导致实验数据不够准确，并受到实验环境和条件的限制.因此，国内外不少学者从结合面微观接触角度展开研究，揭示结合面接触 机理，获取接触特性参数. 1.1 结合面表面形貌表征 机械结合面接触问题是两个粗糙表面间的接触.1966年，Greenwood和Williamson[10]研究发现，机械加工表面由高度近似服从Gauss分布的微凸体组成，为粗糙表面接触理论研究奠定了坚实的基础.1970年，Whitehouse和Archard[11]进行三个基本形式的假设，即基于自相关函数为指数函数、各向同性和高斯分布，研究了联合分布概率密度及峰高与峰顶曲率的相关性，从而提出了 W-A理论.1971年Nayak将随机表面模拟成一个二维正态过程，提出了统计几何

新教材高中物理功与能重点难点易错点高频必刷高分必考经典题变力做功问题的求法新人教版必修2

变力的功求法集锦 第一.平均力法 1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。 2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。 【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 练习1：例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少? 练习2：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。问此钉子全部进入木板需要打击几次？ 【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做了多少功？ F Kd+d ′ d +d ′ kd d C A B D

【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。 第二. 图象法 1.原理：在F-l 图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F －l 图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。 2、方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l 图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功。 【例1】0处时的动能为 ( ) A.0 B. 1/2F m x 0 C. 4πF m x 0 D.4 πx 02 【例2】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少? 【例3】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做了多少功。