高中数学第一册数列练习及答案

第一册数列单元测试及答案

、选择题(每题5分)：

1. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 公比为q 的等比数列 a 为递增数列的一个充分不必要条件是 ------------------------------- ()

(A )q 1

( B )a i 0,q 1

(C )0 ：： q ::: 1 ( D )a^：： 0,q ■ 1

2. 一个等差数列共10项，偶数项的和为15，则此数列的第6项为 ------------------ ()

(A ) 3

( B ) 4

( C ) 5

( D ) 6

3?已知 a - 3, a^ = 6 , &诃2 = a * 1 - a *，贝V a 33 为 -------------------------- ()

(A )

6

( B ) -6

(C ) 3

(D ) -3

4.等比数歹U

：a n

中，a 1

a 2 a 3 a 4 ? a 5 = 31, a 2 a 3 a 4 ?

a 5 ? a 6 = 31,贝y

通项a *为 -----------------------------------------------------------

(A) 是等差数列，不是等比数列 (C )既是等差数列，也是等比数列

6.在2与7之间插入n 个数，使这个以 那么n 等于 --------------------------- (B)

26

( B ) 25

()

(B )是等比数列，不是等差数列

(D )不是等差数列，也不是等比数列

2为首项的数列成为等差数列，若 06 = 56,

--------------------------- () (C ) 24

( D ) 23

7?某人于2000年1月1日起，每年这一天到银行存一年定期 a 元，若年利率r 保持不 变，且每年到期的存款将本和利都存入新一年的定期，到

2004年1月1日将所有的

存款全部取出， 他可取回的钱数为 -------------------------------------- ()

(A ) a(1 r)5 (B ) a(1 r)4

(C )旦(1 - r)5 -1 】

(D ) - (1 - r)5 -(1 ? r)】

r r

&上一个n 级的台阶，若每次可上一级或两级，记上法的总数为 f(n),则下列结论中

正确的是 ------------------------------------------------------------ ()

(A ) f(n)二n

( B ) f(n )=f( n-1) 2f( n-2)( n _ 3)

(C ) f (n ) = f( n -1) f (n — 2)( n _ 3) (D ) f (n ) = f( n — 1) f( n — 2)( n _ 3)

、填空题(每题5分)：

9?数列1, 3, 6, 10,—,的一个通项公式是 __________________ 。

(A) 2

n -1

(B) 2n

n 1

(C ) 2

(D) 2

5.设2a = 3 , 2b = 6 , 2c =12 ,贝y 数歹y a,b,c --------------------------------------------

10.成等差数列的四个数之和为

26，中间两数之积为40，则它们中的最大数是__________ 。

则边数

11.一个凸n边形，各内角

的度数成等差数列，公差是100，最小内角为1000,

n等于 _____ 。

12.数列：a. ?的首项Q =1，且a. .1 色一，则

它的通项a n =

1+2a n

三、解答题(每题10分)：

13.在数列「a n /中, a n =26-2n(n ? N ”)，它的前n项之和为S n ,

(1)求使S n取得最大值时n的值；

(2)求使S n - 0时n的最大值。

14 ?数列「C n ［的各项是一个首项均为1的等差数列和等比数列对应项的和，若

c4 =12，求数列"c n』的前n项的和S n。

15?设a0为常数,a n= 3nJ-2a nJ(n? N ),

(1)a。= 1，求证：3 -3a nJ为等比数列；

5

(2)a0= 1，求a n (n N )。

5

16.平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都不交于同一点, 证明这

样的n个圆把平面分成n2 - n ? 2块区域(n?N ”)。

1~8. BACAACDD 9. %=罟

10.

11

11

.

12

.的

13. (1)方法1：易知 屛是以d =-2为公差的递减等差数列，要使

S n 取得最大值,

「26 — 2n 王0 丿 二 n =12 或 13, 24 — 2 n 兰 0

-

考虑到n ? N ”，结合二次函数性质可知当 n -12或13时S n 取得最大值；

(2 )由 s n = —n 2 +25 nn0 得 0 v n <25( n ^ N”)，可知使 S n a 0 时 n 的最大值为 24。

n_1

14.设等差数列公差为 d ，等比数列公比q ，则c^1

(n - 1)d q _，

2 3 3 2

二 d =5 q _ q = 2q - 3q

n (q-2)(2q 2 +q+2) =0=』一2= C n = n + 2n ° ,

d =1 & =(1

2 3 F (1

2 22 2nJ )

a — 3a

15?要证3n -3a n4 ［为等比数列，只要证

口 n 为常数即可。

a

n

—3a nJ

(1)T a^3n4 -2an 4(n N ),

? am -3a n =(3n -2a n )-3a n =3n -5(3心-2anJ

=-2 3n ^ -2 5a n 厂 -2(3心-5anG

参考解答

必有

a n K0 ,_a n+ — 0

即S n 取得最大值时 n 的值为12或13；

方法2：印=24，

Sn =

^_^_n 2 ■25^-(^^5)2 625

2

,+2d +q 2 =7 J +3d +q 3 =12

n(n 1) 2

-2n

???a n -3a n4 二(3n4

-2and) -3an4

= 3n4 -5a n 4,

-_2(a n - 3a n 」),

又 a ^ _3a 0 =3° _5a 0 = 0,

1

(2

)若 a o ，则 a 1 -3a 0 =0,

5

由(

1

)可知 a *

-生“

J

- _2(a n 1 ~ 3a n _2 )=…=(-2)"'(內—^直)=0 ,

1

a n 」可得 a n 3n (n N )。

5

16.记这样的n 个圆把平面分成 f(n)块区域，由于第n 1个圆与前n 个圆共有2n 个交点, 这2n 个交点把第n 1个圆分成2n 段圆弧，每一段圆弧把它所在的区域一分为二，此时平 面区域数增加了 2n 块，故f(n 1) = f(n) ? 2n ,

??? f (n ) = f(n -1) 2( n -1) f (n -1) = f (n - 2) 2(n -2) f (n _2) = f(n _3)

2(n _3)

f(3H f (2) 2 2 f ⑵=f(1)

2 1

以上各式相加得 f(n) = f(1) ? 21 ? 2 ? 3

(n-1) 1,

由f(1) =2得f(n ) = n 2 - n 2，即这样的n 个圆把平面分成n 2 - n ? 2块区域。

a

n 1

-3a n a n -

3a

n A

即 a 「3a n J 是以a 1 - 3a )为首项、

-2为公比的等比数列。

又；a n =3心-2a n 」，以上两式消去