解三角形题型总结很全面

解三角形

要点一、正弦定理和余弦定理的概念 ①正弦定理公式：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（其中R 表示三角形的外接圆半径）

②余弦定理公式： 第一形式：

2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

=+-=+-=+-

第二形式：

222

222

222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab

+-=

+-=

+-=

要点二、三角形的面积公式 ① 111

222ABC a b c S a h b h c h ?=?=?=?； ②111

sin sin sin 222

ABC

S bc A ab C ac B ?===； 要点三、利用正、余弦定理解三角形

已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.

在ABC ?中，已知,a b 和A 时，解的情况主要有以下几类：

①若A 为锐角时：a bsin A

a bsin A

()bsin A a b ()a b ()

=??<

无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角

A b a sin = b a ≥

一解 一解

b a A b <

两解 无解

②若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤??>?

无解

一解锐角

要点四、三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：2

2

2

a b c +=，

互余关系：0

90A B +=，cos 0C =，sin 1C =； （2）等腰三角形

a b =，A B =；

用余弦定理判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）

（1）在ABC ?中，222

222090cos 02b c a A A b c a bc

+-<

>?+>； （2）在ABC ?中，222

22290cos 02b c a A A b c a bc

+-=?=

=?+=； （3）在ABC ?中，222

22290cos 02b c a A A b c a bc

+-

180A B C ++=，

0902

A B C

++= （1）在ABC ?中sin sin cos cos ;A B a b A B A B >?>?>?< （2）互补关系：0

sin(A+B)=sin(180)sinC C -=，

0cos(A+B) cos (180)cosC C =-=-， 0tan(A+B) tan(180)tan C C =-=-；

（3）互余关系：0sin

sin (90)cos 222

A B C C

+=-=， 0cos cos(90)sin 222A B C C +=-=，

0tan tan (90)cot 222

A B C C +=-=.

【典型例题】

类型一：利用正、余弦定理解三角形 例1. 在ABC ?中，已知下列条件，解三角形.

（1）10a =, b =, 45A =?；

（2）=a c 45B =?.

【总结升华】

举一反三：

【变式1】 △ABC 中，已知c=1，b=2，∠B=45°，求∠C 和a.

【变式2】在ABC ?中::3:7:5a b c =, 求角B ；

【变式3】在ABC ?中，若2a =，b =，c =，求角A 和sin C ．

例2、(1)已知在△ABC 中，a ＝20，A ＝30°，C ＝45°，求B ，b ，c . (2)在△ABC 中， a ＝1，b ＝3，A ＝30°；

(3)已知△ABC 的三边长为a ＝23，b ＝22，c ＝6＋2，求△ABC 的各角度数． (4)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(3＋1)，解此三角形． （5）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A 、角C 和边a .

【总结升华】

举一反三：

【变式】△ABC 中，,6c =

A=45°，a=2，求b 和B ，C.

1.在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，C ＝π

3，求A ，B ，b .

2.在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，A ＝π

4，求C ，B ，b .

3．在△ABC ，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形

类型二、利用正弦、余弦定理解三角形 例3. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，1AB BC ?=，则BC ＝(

)

B. C ． D.

【总结升华】

【变式1】如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB =，BC=2BD ，则sinC

的值为（ ）

A ．3

B ．6

C ．3

D ．6

【变式2】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 。若2

2

a b -=，sin C B =，则A=（ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

【变式3】已知△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则AB BC ?的值为________ 【变式4】△ABC 的周长等于2（sinA+sinB+sinC ），则其外接圆半径等于 ． 【变式5】已知△ABC 周长为4，sinA+sinB=3sinC ，则AB=

【变式6】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A=30°，2asinB=3，则b= ． 【变式7】在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，a=5，A=，cosB=，则边c= ．

类型三、利用正余弦定理判定三角形形状

例4．已知△ABC 中，a=6，b=8，c=9，试判断此三角形的形状。

【总结升华】

余弦定理用于判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号）

（1）在ABC ?中，222

222090cos 02b c a A A b c a bc

+-<

>?+>； （2）在ABC ?中，222

22290cos 02b c a A A b c a bc

+-=?=

=?+=； （3）在ABC ?中，222

22290cos 02b c a A A b c a bc

+-

【变式】判断下列三角形的形状： (1)a=6，b=8，c=10；(2) a=6，b=8，c=11

例5．已知△ABC 中cos cos a A b B =，试判断△ABC 的形状.

【总结升华】

举一反三：

【变式1】根据下列条件，试判断△ABC 的形状. （1）bcosA=acosB ；（2）a=2bcosC

【变式2】在△ABC 中，根据下列条件决定三角形形状. (1)sin sin sin cos cos B C A B C

+=+；(2)2222

()sin()()sin()a b A B a b A B -+=+-.

例6．锐角 ABC ?中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边。

(1) 若()()(),a c a c b b c +-=-求A ∠的大小 (2)

22sin sin(2)6

y B B π

=++取最大值时，求B ∠的大小

【总结升华】

举一反三：

【变式】在ABC ?中，三内角满足的方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-= 有两个相等的根。

（1） 求证：角B 不大于

3

π （2） 当角B 取最大值时，判断ABC ?的形状

例7. 在ABC ?中，试确定满足下列条件的三角形的形状。

（1）

cos cos cos a b c

A B C ==

； （2）cos cos a A b B =；

（3）()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =.

【总结升华】

举一反三：

【变式1】已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2

22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 【变式2】在ABC ?中，已知cos cos cos b B c C a A +=，试判断ABC ?的形状．

【变式3】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知→

→

BC BA ·＝2，cosB ＝3

1，b ＝3，求：(Ⅰ)a 和c 的值；(Ⅱ)cos(B －C)的值．

【变式4】已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （1）求边AB 的长； （2）若ABC △的面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数．

类型四、解三角形及其综合应用

例8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=

. （1）求sin sin C

A

的值； （2）若1

cos 4

B =，b=2，求△AB

C 的面积S.

【总结升华】

举一反三：

【变式1】在ABC ?中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件

222a bc c b =-+和

32

1

+=b c ，求A ∠和B tan 的值．

【变式2】．在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a, b, c,且(1)求角B 的大小;

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a, c 的值.

【变式3】（2016 四川高考）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C

a b c

+=

. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若2226

5

b c a bc +-=，求tan B .

【变式4】在ABC ?中,已知3AB AC BA BC =.

(1)求证:tan 3tan B A =;

(2)若cos C =

求A 的值.

【变式5】．△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a, b, c .已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.

(1)求cosA;

(2)若a=3,△ABC 的面积为求b, c .

类型六、 与范围有关的问题

例9.设在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ，b ，c 依次成等比数列，试求： （1）角B 的取值范围；

（2）设t ＝sinB ＋cosB ，求t 的取值范围； （3）设B

B B

B y cos sin 1cos sin ++=

，求y 的取值范围.

举一反三：

【变式1】△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a,b,c 成等比数列，且2

2

,a c ac bc -=-求：

（1）A 的大小； （2）sin b B

c

的值。

【变式2】在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；

（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.

【变式3】ABC ?中， 3

A π

=

，3BC =，则ABC ?的周长为（ ）

A.)33B π

++ B.)36

B π

++ C.6sin()36B π

+

+ D.6sin()36

B π

++

【变式4】．已知a ,b ,c 分别为ABC ?三个内角A ,B ,C 的对边,sin sin c C c A =-. (Ⅰ)求A ;

（Ⅱ）若a=2,求三角形面积的取值范围。

【变式5】、（2016年北京高考） 在?ABC 中，2

2

2

+=a c b . （1）求B ∠ 的大小；

（2cos cos A C + 的最大值.

【变式6】、（2016年山东高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

tan tan 2(tan tan ).cos cos A B

A B B A

+=

+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.

类型七、 解决与面积、周长有关的问题

例10. 在ABC △中，角A 、B 、C 分别是边a 、b 、c 的对角.已知,sin(

)sin(

)4

4

4

A b C c

B a =+-+=π

π

π

.

(1)求证:2

B C -=

π

；

(2)若a ABC △的面积.

归纳总结

【变式1】（2015 陕西高考）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量()

m a =与

()cos ,sin n A B =平行．

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若a =，b =2，求△ABC 的面积．

【变式2】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

cos 2cos 2cos A C c a

B b

--=

. （1）求sin sin C

A

的值； （2）若1

cos 4

B =，b=2，求△AB

C 的面积S.

【变式3】.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a, b, c .已知,,sin()sin()444

A b C c

B a π

ππ

=+-+=.

(1)求证:2

B C π

-=

(2)若求△ABC 的面积.

类型八、 解三角形的应用

例11. 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3海里的两个观测点. 现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B

点南偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里／小时，该救援船到达D 点需要多少时间？

举一反三：

【变式1】如图,甲船以每小时,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达

2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B 处,此时两船相距,问乙船每小时航行多少海

里?

【变式2】如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）

A ．a km

B km

C km

D ．2a km

类型九 、解三角图形

例12、如图，在ABC ?中，8,3

==

∠AB B π

，点D 在BC 边上，且7

1

cos 2=

∠=ADC CD ， （1）求BAD ∠sin ； （2）求AC BD ，的长。

例13、如图，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC 。

（1） 求CAD ∠cos 的值； （2） 若

147cos -

=∠BAD ，6

21sin =∠CBA ，求BC 的长。

例14、如图，在ABC ?中，

90=∠ABC ，3=

AB ，1=BC ，P 为ABC ?内一点， 90=∠BPC 。

（1）若2

1=PB ，求PA ；（2）若 150=∠APB ，求PBA ∠tan 。

举一反三：

【变式1】．如图ABC ?中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin ,33

BAC AB AD ∠===则BD 的长为

【变式2】如图4，在平面四边形ABCD 中，3

2,2,7,1,π=

∠==

=⊥ADC EA EC DE AB DA ,

3

π=

∠BEC

（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长

类型十 、三角函数与正余弦综合运用

例15已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，点P ，Q 分别为函数y=f （x ）图

象上相邻的最高点和最低点，且||=．

（1）求函数f （x ）的解析式；

（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知a=1，b=

f （）=，求角C 的大小．

举一反三： 【变式1】．（2016?重庆校级模拟）设函数f （x ）=sinx+cosx （x ∈R ）． （1）求函数f （x ）的最小正周期和最值； （2）若f （）=sinA ，其中A 是面积为的锐角△ABC 的内角，且AB=2，求边AC 和BC 的长．

【变式2】．（2016?成都模拟）已知函数f （x ）=cos 2

x ﹣sinxcosx ﹣sin 2

x ．

（Ⅰ）求函数f （x ）取得最大值时x 的集合；

（Ⅱ）设A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的三个内角，若cosB=，f （C ）=﹣，求sinA 的值．

【巩固练习】

一、选择题

1．已知关于x 的方程x 2sinA+2xsinB+sinC=0有两个相等的实根，则ΔABC 的三边a,b,c 满足关系式（ ）

A 、b=ac

B 、a=b=c

C 、c=ab

D 、b 2=ac

2. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2=ac 且c=2a ，则cosB 等于（ ）

A ．

14 B ．3

4

C D

3. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2

sin sin cos a A B b a +=，则

b

a

=（ ）

A ．

B ．

C D

4. 在△OAB 中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP AB ?=（ ） A ．6 B ．―6 C ．12 D ．―12

5. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶上测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是（ ）

A ．20(1m 3+

B ．20(1m 2

+ C ．20(1m + D ．30 m 6. ΔABC 中，1

lg lg lgsin lg 22

a c B -==-，Ｂ为锐角，则ΔABC 是（ ） Ａ、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰或直角三角形 D 、等腰直角三角形

7．在ΔABC 中，已知∠A=60?，b=1, ABC S ?=sin sin sin a b c

A B C

++++的值为（ ）

A 、

338 B 、3326 C 、393

2 D 、27 二、填空题

8．在△ABC 中，若b=5，4

B π

∠=

，tanA=2，则sinA=________；a=________.

9．在△ABC 中，若B=2A ，a ∶b=1，则A=________

10. 在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB=75°，∠CBA=60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米.

11.在△ABC 中，若∠C=60°则a b

b c c a

+=++________.

三、解答题

12. 在△ABC 中，已知内角A ＝

3

π

,边BC ＝B ＝x ，周长为y ．

(1)求函数y ＝()f x 的解析式和定义域； (2)求y 的最大值．

13. 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且.2

12ac b = (1)求证：4

3cos ≥

B ； (2)若1cos )cos(=+-B

C A ，求角B 的大小．

14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且4

cos 5

B =，b=2 （1）当5

3

a =

时，求角A 的度数； （2）求△ABC 面积的最大值。

15． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设2

2

2

2

2

()()4f x a x a b x c =---。 （1）(1)0f =且3

B C π

-=

，求角C 的大小；

f ，求角C的取值范围

（2）(2)0

16．（2016?重庆模拟）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；

（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．

17在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC=b+2c．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若向量在向量方向上的投影为，且sinC=，求b的值．

强化训练

1 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．

（Ⅰ）求函数y=g（x）的表达式；

（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，g（C）=0．若向量与

共线，求a，b的值．

2 已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1

（Ⅰ）求f（x）在区间[0，]上的最大值；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．

3（2016?洛阳一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0，c=．

（1）求角C的大小；

（2）求sinA?sinB的最大值．

4（2016?长宁区一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量

，，若∥．（1）求角A、B、C的值；

（2）若，求函数f（x）=sinAsinx+cosBcosx的最大值与最小值．

5（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I ）求角A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．

6（2016?吉林校级一模）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2

A=a ，

且c 2

=b 2

+

，则sinB= ．

7（2016?延边州模拟）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，＜C ＜，

=

，

a=3，sinB=，则b= ．

8（2016?湖南校级模拟）2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 米．

9（2016?辽宁一模）如图，在△ABC 中，C=，BC=4，点D 在边AC 上，AD=DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE=2

，

求cosA= ．

10（2016?惠州三模）已知平面四边形ABCD 为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 ．

11（2016?淄博校级模拟）已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a=2且（2+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，则△ABC 面积的最大值为 ．

12【浙江温州二外2016届10月阶段考16】（本小题满分15分）在ABC 中，三内角C B A ,,所对的边分

别是c b a ,,，且c a C b -=2cos 2． （Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）求C A sin sin 的取值范围．

13．【三明一中2016届（上）第一次月考20】（本小题满分12分）

已知△ABC 的内角为A 、B 、C ，其对边分别为a 、b 、c ，B 为锐角，向量m ＝(2sin B ，3)，n ＝(2cos 2

B

2

－1, cos 2B )，且m ⊥n ； （1）求角B 的大小； （2）如果b ＝2，12

5A π

=，求边长c ．

14. 【华中师大一附中2016届上学期高三期中检测19】(本小题满分12分)在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2c =，向量(,3),m c =(cos ,sin )n C B =，且m ∥n ． (1)求角C 的大小；

(2)若sin(),sin 2,sin()A B A B A +-成等差数列，求边a 的大小．

15. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三十月联考18】（本小题满分12分）

解三角形题型总结

解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、计算问题： 例1、（2013?北京）在△ ABC 中，a=3, b=5 , sinA=2，贝U sinB= ________ 3 a + b + c = sin A sin B sin C 例2、已知.'ABC中，.A =60 , 例3、在锐角△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB= 7b. 求角A的大小； 2、三角形形状问题 例3、在ABC中，已知a,b,c分别为角A, B, C的对边, a cos A 1）试确定-ABC形状。 b cosB 2）若—=c°s B，试确定=ABC形状。b cos A 4 ）在.ABC中，已知a2 ta nB=b2ta nA，试判断三角形的形状。 5）已知在-ABC中，bsinB=csinC，且sin2 A =sin2 B sin2 C ,试判断三角形的形状。 例4、（2016年上海）已知MBC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 __________ 类型二：余弦定理 1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在厶ABC中， 若a2b2c2，则角C是直角； 若a2b2 ::: c2，则角C是钝角； 若a2b2c2，则角C是锐角. 例1、在厶ABC中，若a=9,bT0,c=12,则厶ABC的形状是______________ ， 2、求角或者边 例2、（2016 年天津高考）在△ABC 中，若AB= 13 ,BC=3, Z C =120’ 则AC=. 例3、在△ ABC中，已知三边长a=3 , b=4 , c=—37 ，求三角形的最大内角.

例4、在厶ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC? 3、余弦公式直接应用 例5、：在也ABC中，若a2=b2+c2+bc ,求角A 例6、：(2013重庆理20)在厶ABC中，内角A B, C的对边分别是a，b，c, 且a2+ b2+、、2 ab= c2. (1)求C 例7、设厶ABC的内角A , B , C所对的边分别为 a , b , c .若(a- c)(a ? b ? c) =ab , 则角C二例8 (2016年北京高考) 在ABC中，a2c^b^ . 2ac (1)求/ B的大小； (2 )求、、.2 cosA - cosC 的最大值. 类型三：正弦、余弦定理基本应用 例1.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c ,若a = ＜：:'3 , 1 n sin B = —，C = 一，则b =. 2 6 例 2. (a c) J=1，贝q B等于。 ac 例3.【2015高考天津，理13】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 MBC 的面积为3、'15 , b—c =2,cos A =-1,则a 的值为. 4 1 例 4.在厶ABC中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求sinA=。 3 例5.【2015高考北京，理12】在厶ABC 中, c=6，则sin2A = sin C

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

高中解三角形题型大汇总

解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______

解三角形专题题型归纳

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角

解三角形题型总结原创

解三角形题型总结 ABC ?中的常见结论和定理： 一、 内角和定理及诱导公式： 1．因为A B C π++=， 所以sin()sin ,cos()cos , tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan A C B A C B A C B +=+=-+=-； sin()sin ,cos()cos ,tan()tan B C A B C A B C A +=+=-+=- 因为,22A B C π++= 所以sin cos 22A B C +=，cos sin 22 A B C +=，………… 2．大边对大角 3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.

四、面积公式： （1）12a S ah = （2）1()2 S r a b c =++（其中r 为三角形内切圆半径） （3）111sin sin sin 222 S ab C bc A ac B === 五、 常见三角形的基本类型及解法： （1）已知两角和一边（如已知,,A B 边c ） 解法：根据内角和求出角)(B A C +-=π； 根据正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===求出其余两边,a b （2）已知两边和夹角（如已知C b a ,,） 解法：根据余弦定理2 2 2 2cos c a b ab C =+-求出边c ； 根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据内角和定理求角)(C A B +-=π. （3）已知三边（如：c b a ,,） 解法：根据余弦定理的变形bc a c b A 2cos 2 22-+=求A ； 根据余弦定理的变形ac b c a B 2cos 2 22-+=求角B ； 根据内角和定理求角)(B A C +-=π （4）已知两边和其中一边对角（如：A b a ,,）（注意讨论解的情况） 解法1：若只求第三边，用余弦定理：222 2cos c a b ab C =+-； 解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R C c B b A a 2sin sin sin ===求B （可能出现一解，两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角)(B A C +-=π；. 先看一道例题： 例：在ABC ?中，已知0 30,32,6===B c b ，求角C 。（答案：045=C 或0135）

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《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)； ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b

的外接圆的半径，则有 a b c 2R ．sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ； ②化边为角： sin a， sin b， sin C c ； 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ； ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 7、三角形面积公式： S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理：在 C 中， a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论： cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2． 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和夹角，求其余的量. ②已知三边求角

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二．余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四．射影定理 五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六．图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六．解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一．正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中，解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??= ?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C += 解三角形有用的结论

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

高考中《解三角形》题型归纳

1 《解三角形》题型归纳 【题型归纳】 题型一正弦定理、余弦定理的直接应用 例1ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c +=，ABC ?面积为2，求b ． 【答案】（1）15 cos 17B =（2）2b =． 【解析】由题设及A B C π++=得2sin 8sin 2B B =，故sin 4(1cos )B B =-． 上式两边平方，整理得217cos 32cos 150B B -+=， 解得cos 1B =（舍去），15 cos 17B =. （2）由15cos 17B =得8sin 17B =，故1 4 sin 217ABC S ac B ac ?==． 又2ABC S ?=，则17 2ac =． 由余弦定理及6a c +=得22222cos ()2(1cos ) b a c ac B a c ac B =+-=+-+17 15 362(14217=-??+=． 所以2b =． 【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用 【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出 例2ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B =.【答案】π3【解析】1 π 2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B A C C A A C B B B =+=+=?=?= .

2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。 【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。 例3在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23 π，则S △ABC ＝________.【答案】34 【解析】因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34 .【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围 【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例1在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列 (1)若2b c ==，求ABC ?的面积 (2)若sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，试判断ABC ?的形状 【答案】(1)32(2)等边三角形 【解析】(1)由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C (1) 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π．(2) 得B ＝3π， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB (3)所以3 cos 44)32(22πa a -+=解得4=a 或2-=a (舍去)所以323 sin 2421sin 21=??==?πB ac s ABC (2)由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac (4) 由余弦定理及(3)，可得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝a 2＋c 2－ac 再由(4)，得a 2＋c 2－ac ＝ac ，即(a －c )2＝0。因此a ＝c 从而A ＝C (5) 由(2)(3)(5)，得A ＝B ＝ C ＝3 π

必修五解三角形题型归纳

一. 构成三角形个数问题 1在ABC中，已知a x,b 2,B 45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（ ） A. 2 x 2 2 B. x 2,2 C . 2 x 2 D. 0x2 2 ?如果满足ABC 60 , AC 12 , BC k的厶ABC恰有一个，那么k的取值范围是 3.在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A* CJ =S J =J = 45=B. a = 60 ；b -= 81； B = = 60°+J C” a —7 > b —5j八眇 D ?。二14 , b - 20, "4亍二. 求边长问题 4.在ABC 中，角A, B,C所对边a,b,c，若a 3,C1200,ABC的面积S 15血4 则c() A. 5 B .6 C . V39D7 5.在△ ABC 中，a1,B 450,S ABC 2，则b = 三. 求夹角冋题 6.在ABC中，ABC -,AB4V2, BC 3，则sin BAC( ) v'10V103^10<5 A. 10 B5 C . 10D5

7 .在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别a,b,C,S 为表示△ ABC 的面积，若 1 2 2 2 bcosA csinC, S (b c a )，则/ B=( 4 B . 60° C . 45° D . 30° 四. 求面积问题 &已知△ ABC 中，内角A , B, C 所对的边长分别为 a,b,c .若 a ZbcosAB -， c 1 ，则 △ ABC 的面积等于 ( ) g 6 4 2 9.锐角 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、 1 c ,已知 cos2C - 4 ([)求 sinC 的值； (□)当 a 2, 2si nA si nC 时，求 b 的长及 ABC 的面积. 10?如图，在四边形 ABCD 中，AB 3,BC 7.3,CD 14, BD 7, BAD 120 a cosB A. 90° (1 )求AD 边的长； (2)求ABC 的面积.

解三角形常见题型归纳

解三角形常见题型归纳 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。 题型之一：求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 1. 在ABC ?中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ?=u u u r u u u r ( ) A ．23- B ．32- C ．32 D ．2 3 【答案】D 2．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 3．（1）在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 4(2005年全国高考江苏卷) ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ．33sin 34+??? ? ? + πB B ．36sin 34+??? ? ? +πB C ．33sin 6+??? ? ? + πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．选(D)． 5 （2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC 中，已知6 6 cos ,364== B AB ，A C 边上的中线B D =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ． 解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且3 6221== AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 22 2 2 ?-+=， x x 6636223852??++ =，解得1=x ，3 7 -=x （舍去） 故BC =2，从而3 28 cos 2222= ?-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B ，

《解三角形》常见题型总结

《解三角形》常见题型总结 1、1正弦定理和余弦定理 1、1、1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知 A:B:C=1:2:3,求a :b :c、 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解： 【解题策略】 要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC 中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30，c=+，∴由正弦定理得：∴ a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150-A）、 ∴a+b=2(+)[sinA+sin(150-A)]=2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A)① 当75-A=0，即A=75时，a+b取得最大值=8+4；② ∵A=180-(C+B)=150-B,∴A＜150，∴0＜A＜150,∴-75＜75-A＜75， ∴cos75＜cos(75-A)≤1，∴＞ cos75==+、综合①②可得a+b的

取值范围为(+,8+4>考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，，、∴为等腰三角形或直角三角形。 【解题策略】 “在△ABC中，由得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。例4在△ABC 中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】 通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：、又∵B为锐角，∴B= 45、由由正弦定理，得,∵代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在△ABC中，求证、 【点拨】 观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为、证明：由正弦定理的变式得：同理 【解题策略】 在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化

高三第一轮复习解三角形题型总结

2018高三第一轮复习解三角形题型总结 题型一：正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==， 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-，则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b A ． B ． C D 5.ABC ?中，3 π = A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为（ ） A ． 33sin 34+??? ? ?+πB B ． 36sin 34+??? ??+πB C ．33sin 6+??? ??+πB D ．36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中，已知3,1,60===?ABC S b A o ，则 =++++C B A c b a sin sin sin

7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______ 8.（2017全国卷2文16）ABC ?的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 A c C a B b cos cos cos 2+=，则=B ________. 9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________． 题型二：三角形解的个数的判断 1. 在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 2. 在ABC ?中，若30,4A a b ∠===，则满足条件的ABC ? A ．不存在 B ．有一个 C ．有两个 D 不能确定 3.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b=2 ,∠A=30°

解三角形题型总结很全面

解三角形 要点一、正弦定理和余弦定理的概念 ①正弦定理公式： 2sin sin sin a b c R A B C ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） ②余弦定理公式： 第一形式： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 第二形式： 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-= +-= 要点二、三角形的面积公式 ① 111 222ABC a b c S a h b h c h ?=?=?=?； ②111 sin sin sin 222 ABC S bc A ab C ac B ?===； 要点三、利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论. 在ABC ?中，已知,a b 和A 时，解的情况主要有以下几类： ①若A 为锐角时：a bsin A a bsin A ()bsin A a b ()a b ()

一解 一解 b a A b <? 无解 一解锐角 要点四、三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：2 2 2 a b c +=， 互余关系：0 90A B +=，cos 0C =，sin 1C =； （2）等腰三角形 a b =，A B =； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角A 的余弦值的符号） （1）在ABC ?中，222 222090cos 02b c a A A b c a bc +-<?+>； （2）在ABC ?中，222 22290cos 02b c a A A b c a bc +-=?= =?+=； （3）在ABC ?中，222 22290cos 02b c a A A b c a bc +-?>?>?< （2）互补关系：0 sin(A+B)=sin(180)sinC C -=， 0cos(A+B) cos (180)cosC C =-=-， 0tan(A+B) tan(180)tan C C =-=-；

解三角形高考真题汇总

2017高考真题解三角形汇编 1.（2017北京高考题）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =3 7 a . （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积. 2．（2017全国卷1理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求sin B sin C ; （2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 3．（2017全国卷1文科）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =B A ． π 12 B ． π6 C ． π4 D ． π3 4.（2016全国卷2理科）ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知 2 sin()8sin 2 B A C +=． (1)求cos B (2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b 5.（2017全国卷2文科16）△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 6．（2017全国卷3理科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积． 7．（2017全国卷3文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知C =60°，b ，c =3，则A =_________。 8.（2017山东高考题理科）在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 C ?AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ， 则下列等式成立的是（ ） （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（2017山东高考题文科）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知 b =3,6AB AC ?=-u u u r u u u r ,S △ABC =3,求A 和a . 10.（2017天津高考题理科）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已

解三角形常用知识点归纳与题型总结-解三角形题型归纳总结

解三角形常用知识点归纳与题型总结 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； ②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ?≤c; a-b

高考数学题型全归纳解三角形考点归纳

【考题回放】 1．设,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ ） （A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ?中，已知C B A sin 2tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =?B A ② 2sin sin 0≤ +