北师大版全等三角形教(学)案

一、同步辅导：全等三角形

1、概念理解：

两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，而两个三角形全等的判定是几何证明的有力工具。

2、三角形全等的判定公理及推论有：

（1）“边角边”简称“SAS”

（2）“角边角”简称“ASA”

（3）“边边边”简称“SSS”

（4）“角角边”简称“AAS”

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3、全等三角形的性质：

全等三角形的对应角相等、对应边相等。

注意：

1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

二、例题分析：

例1，如图△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，说出对应角和另一组对应边。

解：∵AB和DE，AC和DF分别为对应边，

∴另一组对应边是BC和EF。

∴对应角为：∠A和∠D，∠B和∠E，∠ACB和∠DFE

例2，如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，写出两个全等三角形的对应角与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。

分析：由AB=AC，则AB和AC是对应边，可找AB的对角∠AEB，AC的对角∠ADC，则∠AEB和∠ADC为对应角。由∠A是这两个三角形的公共角，它与其自身对应，因而∠A的对边为BE、DC为对应边，于是剩下的∠B、∠C是对应角。AE 和AD是对应边。

解：对应边：AB和AC，BE和DC，AE和AD

对应角：∠A和∠A、∠B和∠C、∠AEB和∠ADC

∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE

又由∠B=∠C，∠DFB=∠EFC（对顶角相等）于是构成一对全等三角形为△BFD 和△CFE。

1、找全等三角形的对应边，对应角的方法是：

（1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。

（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。

（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。

（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。

2、利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素是寻找两个三角形全等的重要途径之一。

如图（一）中的AD，图（二）中的BC

都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC 就可推出BC=EF。图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。

3、三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点

只有掌握好全等三角形的各种判定方法，才能灵活地运用它们学好今后的知识。证明三角形全等有五种方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL为了判定两个三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。

①有两组对应角相等时；找

②有两组对应边相等时；找

③有一边，一邻角相等时；找

④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）

说明：由以上思路可知两个三角形的六个元素中、若只有一对对应元素相等，或有两对对应元素相等，则它们不一定全等。因此要得出两个三角形全等必须要有三对对应元素相等才有可能成立。若两个三角形中三对角对应相等，它们只是形状相同，而大小不一定相等，所以这两个三角形不一定全等。如下图（一）因此要判定三角形全等的三对对应元素中，至少有一对是边。还要注意一个三角形中的两边及其中一边所对的角对应相等，这两个三角形不一定全等。如图（二）中，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B但△ABC和△ABD明显的不全等。

注：全等三角形判定没有（AAA）和（SSA）

例3，如图，AD=AE，D、E在BC上，BD=CE，

∠1=∠2，求证：△ABD≌△ACE

分析：已知条件中已经给出了AD=AE，BD=CE，要证明△ABD≌△ACE，只需证明AD与BD，AE与EC的夹角相等，根据SAS，定理就可以得出结论。

证明：（1）

（2）在△ABD和△ACE中（注意书写时必须把表示对应顶点的字母写在对应位置上。）

（3）

（4）∴△ABD≌△ACE（SAS）

说明：全等三角形的论证，是研究图形性质的重要工具，是进一步学习平面几何知识的基础。

因为研究图形的性质时，往往要从研究图形中的线段相等关系或角的相等关系入手，发现和论证全等三角形正是研究这些关系的基本方法；另一方面，论证全等三角形又是训练推理论证的起始，是培养逻辑推理能力的关键的一环。

三角形全等证明的基本模式是：

题设△

1≌△

2

具体的可以分为四步基本格式。

（1）证明三角形全等需要有三个条件，三个条件中如有需要预先证明的，应预先证出。

（2）写出在哪两个三角形中证明全等。

（3）按顺序列出三个条件，用大括号合在一起，并写出推理的根据。

（4）写出结论。

例4，已知如图，AC与BD相交于O,OA=OC，

OB=OD，求证：∠OAB=∠OCD。

分析：从已知条件出发，可以证出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，由△AOD ≌△COB，可得∠1=∠2，∠3=∠4，AD=BC，由△AOB≌△COD可得∠5=∠6，∠7=∠8，AB=CD，这个思路可在下图列出：

对于简单的几何证明题，可以采用这种推理方法，这种方法是由已知推得甲，再由甲推得乙，再由乙推得丙……直至推得结论。这种方法是“由因导果”。如果从已知条件出发能推出的结果较多，要有目的地决定取舍，取与求证有联系的，舍去与求证无关的。

证明：在△AOB和△COD中

∵

∴△AOB≌△COD（SAS）

∴∠OAB=∠OCD（全等三角形的对应角相等）

例5，已知如图，AB=AC，∠1=∠2

AD⊥CD，AE⊥BE，求证：AD=AE

分析：AD、AE分别在△ADG和△AEH

中，∠1=∠2，可证出∠D=∠E但少一对边相等，因此此路不通。AD、AE

又分别在△ADC和△AEB中，知道∠D=∠E，AB=AC，又已知∠1=∠2，可以证出∠DAC=∠EAB，所以通过△ADC≌△AEB，得出AD=AE这个思路可用下图表示：

这种思考过程与例4所分析的思考过程恰好相反，它是从要证明的结论入手的，利用学过的公理，定理，定义等去推想：要证这个结论需要具备什么条件？如果这个条件（记作条件甲）已具备了，那么结论就成立，然后再去推想，如果需要条件甲成立，又需具备什么条件？这样一步步向上追溯，直到所需要的条件能由已知条件推得为止，这是“执果索因”的过程。

这是思考过程，找到思路后，在证明中仍要像以前一样从已知开始，一步步推出结论，书写的表达与这个思考过程正好相反。

证明：∵AD⊥DC，（已知）∴∠D=900（垂直定义）

∵AE⊥BE（已知）∴∠E=900（垂直定义）

又∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC（等式性质）

即∠DAC=∠EAB

在△ADC和△AEB中

∵

∴△ADC≌△AEB（AAS）

∴AD=AE（全等三角形的对应边相等）

例6，已知如图，AB=DC，AD=BC，O是DB的中点，过O点的直线分别与DA 和BC的延长线交于E、F，求证：∠E=∠F。

分析：欲证∠E=∠F有两条思路；一是证明DE//BF，则内错角相等；一是证明∠E和∠F所在的两个三角形全等。从题中给定的已知条件中∠E、∠F所在的三角形似乎不具备条件，于是考虑证明DE//BF。欲证两直线平行，常见的方法是考虑两直线被第三条直线所截得的同位角，内错角相等或同旁内角互补。此题图中DE与BF被EF、AB、DC所截成的角只有内错角，故只需证出一组内错角相等即可，据图给定的条件不难证明∠DAB=∠BCD，进一步可证原题。

证明：在△ABD和△CDB中

∵

∴△ABD≌△CDB（SSS）

∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）

∴DE//BF（内错角相等，两直线平行）

∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）

例7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．分析一：题目中的条件AB+BD=AC，使用起来不直观。若延长AB，在延长线

上取BM等于BD，则可以得到AB+BD=AM=AC，易于使用，这种方法叫“补短法”，通过补长线段，得到容易使用的相等线段。

解：延长AB到M，使BM=BD，连结DM，则AM=AB+BM=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADM≌△ADC，∴∠M=∠C 又∵BM=BD，则∠M=∠BDM，

∴∠ABC=2∠M=2∠C，即∠B:∠C=2:1

分析二：还可以在AC上截取AN=AB，就能将条件AB+BD=AC转化为NC=BD。这种方法叫做“截长法”，和第一种方法统称“截长补短法”，常用于线段之间的关系证明或者条件的利用。

另一解：如图2：在AC上截取AN=AB，由条件易知△ABD≌△AND，则DN=DB ∠AND=∠B，又AC=AB+BD=AN+NC ∴NC=BD=ND，∴∠C=∠NDC

∴∠B=∠AND=2∠C ∴∠B:∠C=2:1．

图（2）

注：此题中，使用了等腰三角形两底角相等的知识，在小学中大家已学过，在以后还要学习．

三、同步测试

选择题：A组：

1．在ΔABC和ΔDEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下面的条件后，还不能判定ΔABC≌ΔDEF的是（）

A、BC=EF

B、AC=DF

C、∠A=∠D

D、∠C=∠F

2．下列四组线段，能组成三角形的是（）

A、2、2、5

B、3、7、10

C、3、5、9

D、4、5、7 3．能判定两个等腰三角形全等的是（）

A、底角与顶角对应相等

B、底角与底边对应相等

C、两腰对应相等

D、底对应相等

4．如图，O是AC、BD的中点，如果每一对全等三角形为一组，那么，图中全等三角形的组数为（）

A、1

B、2

C、3

D、4

5．如图，BF⊥AC，CE⊥AB，且∠ABC=∠ACB，则可判定ΔBEC≌ΔCFB，其依据是（）

A、ASA公理或AAS

B、SSS公理

C、SAS公理

D、三个角相等。

选择题：B组：

1.在△ABC中，AB=AC，高BF、CE、AD交于一点O，如图,全等三角形的对

数是（）。

A、4

B、5

C、6

D、7

2. 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD证明△ABD≌△EBC

时，应用的方法是（）。

A、AAS

B、SAS

C、SSS

D、定义

3.如图，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10,又△A'B'C≌△ABC，则∠BCA'：∠BCB'等于（）

A、1：2

B、1：3

C、2：3

D、1：4

参考答案

A组： 1.B 2.D 3.B 4.D 5.A

B组： 1.D 2.A 3.D

讲解：

1.解：根据全等三角形的判定方法，有

△AOE≌△AOF，△EOB≌△FOC，

△BOD≌△COD，△AOB≌△AOC，

△ABD≌△ACD，△AEC≌△AFB，

△ECB≌△FBC。

故本题应选（D）。

2.排除（B）、（C）、（D）三种情况，本题应选（A）。

3.解：

∵∠A：∠B：∠C=3：5：10,

∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=180°×=30°，∠B=180°×=50°，∠C=180°×=100°，

设∠BCA'=x°，∠BCB'=y°，

∵△A'B'C≌△ABC，

∴∠B'CA'=∠BCA

∴∠BCA'+∠BCB'=∠BCA'+∠A'CA=100°

∴x+y=100,∠BCB'=∠A'CA=y°,

∵A、C、B'三点共线，

∴∠B'CB+∠BCA'+∠A'CA=180°,

∴x+2y=180

∴解得：

∴∠BCA'：∠BCB'=x：y=1：4。

四、中考解析：全等三角形

1．已知：如图，OA=OB，OC=OD，AD、BC相交于E，则图中全等三角形共有（）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对

考点：三角形全等的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“SSS”、“AAS”.

考题评析：要特别注意：不能用边边角和角角角做依据判定三角形全等.

答案：C

2.如图，已知AC=BD，要使得ΔABC≌ΔDCB，只需增加的一个条件是

________________。

考点：全等三角形的判定

评析：因图中BC是公共边，又知AC=DB所以根据三角形全等的判定方法可以再加AB=DC或∠ACB=∠DBC或AO=DO或BO=CO都可以判定△ABC≌△DCB。

答案：AB=DC或∠ACB=∠DBC或AO=DO或BO=CO

3.（北京市东城区）在ΔABC与ΔA′B′C′中，∠A=∠A′，CD和C′D′

分别为

AB边和A′B′边上的中线，再从以下三个条件：

①AB=A′B′ ②AC=A′C′ ③CD=C′D′

中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成________个正确的命题。

考点：全等三角形的判定及性质

评析：因△ABC和△A＇B＇C＇中∠A=∠A＇而三个条件AB=A＇B＇，AC=A′C＇，DC=D＇C＇中的两个作为条件，另一个结论根据全等三角形判定公理1，SAS 可知AB=A＇B＇，AC=A＇C＇作为条件DC=D＇C＇作为结论，可以构成唯一的一个正确的命题。

答案：1

4．如图，已知AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求证：△EAD≌△CAB。

考点：全等三角形的判定。

评析：思路，因该题中给了两条边对应相等，而又知，∴

，根据SAS可证△EAD≌△CAB。

证明：∵∠EAC=∠DAB，

∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD.

∴∠EAD=∠CAB.

又∵AE=AC，AD=AB，∴△EAD≌△CAB

(完整版)北师大版七年级数学全等三角形练习题

全等三角形练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三 角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°， 则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补 充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充 一个条件，不一定能．．．． 推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B.AC AD = C.ACB ADB ∠=∠ D.CAB DAB ∠=∠ 4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两 个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( ) (A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于E ，若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中 转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 E D C B A ④ ①② ③ C A D P B 图（四）

新北师大版本证明二全等三角形证明及题包括答案.docx

第 11 章全等三角形单元测试题 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1、下列说法中正确的是（） A、两个直角三角形全等 B、两个等腰三角形全等 C、两个等边三角形全等 D、两条直角边对应相等的直角三角形全等 2、（易错易混点）如图，已知 AB 那么添加下列一个条件后，仍无法判定 △ ABC ≌△ ADC AD， 的是（） A．CB CD B ．∠BAC∠DAC C．∠BCA∠ DCA D．∠B∠D90 3.如图所示 , 将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起 , 使AA’、BB’可以绕着点O自由旋转 , 就 做成了一个测量工件 , 则A’B’的长等于内槽宽AB, 那么判定△OAB≌△OA’B’的理由是 （） A. 边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边 4、如图，△ABC中，∠C=90o ，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且CD=6cm，则DE 的长为（） A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm 5、（易错易混点）下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角 是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其 中真命题的个数有 ( ) A 、3 个B、2个C、1个D、0个 6、（易错易混点）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完 全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（）去配。 A. ① B. ② C. ③ D. ①和②

7．下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③ 要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（） A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③ 8、如图，OP平分AOB ， PA OA ， PB OB ，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是 （） A．PA PB B．PO平分APB C．OA OB D．AB垂直平分OP 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 9、如图，若 A 110°， B 40°C1 ，且=． ，则 10、如图已知△ABD≌△ACE，且AB=8，BD=7，AD=6 则BC=________________. 11 、如图，已知AC=BD 12 ，那么△ ABC ，其判定根据是 _______，≌。 12、如图，已知，，要使≌，可补充的条件是（写出一个即可）． 13、如图，△ABC的周长为 32，且BD DC , AD BC 于D，△ACD的周长为24，那么AD的 长为． 14、如图，D，E 分别为△ ABC 的 AC， BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C落在 AB 边上的点 P 处．若，则 APD 等于CDE 48° 15、如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为 16. 已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角 形一共能作出个 . 三、用心做一做（17 题 10 分， 18 题 12 分， 19-21 题每题 10 分）

北师大版七年级下数学全等三角形的性质和判定

第9讲 全等三角形的性质和判定 【知识要点】 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形性质：(1)两全等三角形的对应边相等，对应角相等． (2)全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等. (3)全等三角形的面积相等． 3．全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS” (4) “角角边”或“AAS” (5) “斜边、直角边”或“HL” 【典型例题】 例1. 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在 要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法 是 _________。 A.带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【变式】判断题 1．两边和一角对应相等的两个三角形全等。 （ ） 2．两角和一边对应相等的两个三角形全等。 （ ） 3．两条直角边对应相等的两个三角形全等。 （ ） 4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等。 （ ） 5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等。 （ ） 6．两个等边三角形全等。 （ ） 7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） 8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等; （ ） 9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等; （ ） 10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． （ ） 例2. （长沙·中考题）已知: AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ， 求证：∠B=∠E 【变式】（红河·中考题）已知：OA=OB ，AC=BD ，∠A=∠B ，M 为CD 中点， 求证：OM 平分∠AOB A B C D E F A B C O D ② ① ③

北师大七年级下全等三角形全章复习基本题型

B O D C 图1 A 三角形全等条件分类复习专题 一、三角形全等的条件之SAS 边角边的判定方法 的两个三角形全等，简称边角边或SAS. 1.如下图，AB=AD，∠BAC=∠DAC，求证：△ABC≌△ADC 2.如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC 并延长到D，使CD＝CA。连接BC并延长到E，使CE＝CB。连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？ 课堂练习： 1.如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需要添加条件. 2. 如图：在△ABE和△ACF中，AB＝AC, BF＝CE.求证：⑴△ABE≌△ACF ⑵AF＝AE 课外延伸： 1．如图1，已知；AC =DB，要使ABC ?≌DCB ?，只需增加一个条件是_____ ____. 2.如图2，已知：在ABC ?和DEF ?中，如果AB＝DE，BC ＝EF，只要找出∠＝∠ 或______＝_____或 // ，就可证得ABC ?≌DEF ?. 3.如图3，已知AB、CD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，则在以下结论中：①AD＝BC；②AD∥BC；③∠A ＝∠C；④∠B＝∠D；⑤∠A＝∠B，正确结论的个数为（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.如图，AB＝AC，AD＝AE，试说明：∠B＝∠C. D B C A 图3 D F C E B A 图2 E D A

5.如图，AB＝DB，BC＝BE，∠1＝∠2，试说明：△ABE≌△DBC 6.如图，已知点E、F在BC上，且BE＝CF，AB＝CD，∠B=∠C，试说明AF＝DE 7.如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，试说明：BC＝ DE 8如图，E，F在BC上，BE＝CF，AB＝CD，AB∥CD 说明：（1）△ABF≌△DCE （2）AF∥DE 9.如图（16）AD∥BC，AD＝BC，AE＝CF.求证：（1）DE＝DF，（2）AB∥CD. 二、三角形全等的条件之ASA与AAS E C D A B 12 F （图16） E D C B A

北师大版中考数学全等三角形复习

全等三角形 一：知识梳理 1.全等三角形的判定方法 （1）三边：三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）两边一角（此角为两边夹角）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角 边”或“SAS”． （3）两角一边：①两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． ②两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA” （4）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“HL”． 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，且对应角平分线、 中线、高、中位线、周长、面积都相等． 二：基础巩固： 1如图，在△ABC中，AD⊥BC于 D，再添加一个条件_ _ __，就可确 定△ABD≌△ACD。 2.已知△ABC≌△DEF,，△DEF的周长32，DE=9，EF=12，则AC= 3.如图，若△ABC≌△DEF，∠E等于（） A．30° B．50° C．60° D、100° 4.在下列各组几何图形中，一定全等的是（） A．各有一个角是45°的两个等腰三角形；B．两个等边三角形 C．腰长相等的两个等腰直角三角形 D．各有一个角是40°腰长都是5cm的两个等腰三角形 5.两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等 6.如图，已知 AB=CD，AE⊥ BD于 E，CF⊥ BD于 F， AE=CF，则图中全等三角形有 （） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图 形是（） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 8.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？ 并任选其中一对给予证明． 9.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB 上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．

北师大全等三角形专题复习

全等三角形专题复习 一、知识要点 1．全等三角形及其相关概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做 对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边． 2．全等三角形的数学语言 如图1所示，三角形ABC 与三角形A′B′C′全等，记作△ABC ≌△A′B′C′，读作“三角形 ABC 全等于三角形A′B′C′”． 3．全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形 的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、 角平分线）相等． 4．全等三角形的判定方法 ①“边、角、边”（或SAS ）定理；②“角、边、角”（或ASA ）定理；③“角、角、边” （或AAS ）定理；④“边、边、边”（或SSS ）定理；⑤ “斜边、直角边”（或HL ）定理． 5．说明全等三角形的思路 (ASA)(AAS)????????????????????????????????????? 找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 6．应注意的问题 （1）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （2）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形 不一定全等． 二、 1.要牢固掌握判定三角形全等的方法 判定三角形全等主要有五种方法：（1）全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相 等的两个三角形全等；（2）三边对应相等的两个三角形全等（简记为：SSS ）；（3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为：ASA ）；（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为：AAS ）；（5）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为：SAS ）。若是Rt △，则除了上述五种方法外，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为：HL ）。在判定Rt △是否全等时，首先要用这种方法，若不能判定，再用一般三角形全等的判定方法（即上述五种）。从这些方法中不难发现，判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等， 且其中至少要有一组对应

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初中数学试卷 桑水出品 全等三角形 一、判断题： 1、如图, △ABC中AB＞AC, AD是角平分线, P为AD上任意一点. 则: AB-AC＞ ) PB-PC. ( 2、角平分线上的点到角两边的距离相等 ( ) 3、如果△ABC≌△A'B'C',D在BC上, D'在B'C'上,∠BAD＝∠B'A'D',那么一定有AD＝A'D' ( ) 4、已知: 如图分别以△ABC的每一条边, 在三角形外作等边三角形, △ABD、 ) △BCE、△ACF,则CD＝AE＝BF. ( 5、如图, 已知: △ABC中, D是BC的中点, DE∥AB,且交AC于E, DF∥AC,且交AB于F,则DE＝BF, DF＝CE. ( )

二、单选题： 6、若△ABC和△A'B'C'的三边对应比值为1 , 则不正确的结论是[ ] A．△ABC≌△A'B'C' B．三边对应相等 C．三对角对应相等D．△ABC与△A'B'C'不全等 7、若三角形中一角的平分线是它对边的中线 , 则这个三角形一定是______三角形．[ ] A.等腰 B.直角 C.等边 D.等腰直角 8、已知：如图 , △ABC是等边三角形 , D、E、F分别是三边上的中点 , 则和 △ABD全等的三角形有_______个（除去△ABD） [ ]A.3 B.4 C.5 D.6 9、下列条件：①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角与底角;④已知底边和底 边上的高, 能确定一个等腰三角形的是[ ] A.①和② B.③和④ C.②和④ D.①和④ 10、如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D为AB的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误的 是[ ]

北师大版数学七年级下全等三角形

初中数学试卷 全等三角形 一、判断题： 1、如图, △ABC中AB＞AC, AD是角平分线, P为AD上任意一 点. 则: AB-AC＞PB-PC. ( ) 2、角平分线上的点到角两边的距离相等 ( ) 3、如果△ABC≌△A'B'C',D在BC上, D'在B'C'上,∠BAD＝∠B'A'D',那么一定有AD＝A'D' ( ) 4、已知: 如图分别以△ABC的每一条边, 在三角形外作等边三角 形, △ABD、 △BCE、△ACF,则CD＝AE＝BF. ( ) 5、如图, 已知: △ABC中, D是BC的中点, DE∥AB,且交AC于E, DF∥AC,且交AB于F,则DE＝BF, DF＝CE. ( )

二、单选题： 6、若△ABC和△A'B'C'的三边对应比值为1 , 则不正确的结论是 [ ] A．△ABC≌△A'B'C' B．三边对应相等 C．三对角对应相等D．△ABC与△A'B'C'不全等 7、若三角形中一角的平分线是它对边的中线 , 则这个三角形一定是 ______三角形．[ ] A.等腰 B.直角 C.等边 D.等腰直角 8、已知：如图 , △ABC是等边三角形 , D、E、F分别是三边上的中点 , 则和 △ABD全等的三角形有_______个（除去△ABD） [ ]A.3 B.4 C.5 D.6 9、下列条件：①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角与底角;④已 知底边和底边上的高, 能确定一个等腰三角形的是[ ] A.①和② B.③和④ C.②和④ D.①和④ 10、如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D为AB的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误的是[ ]

新北师大版七年级数学下册第四章全等三角形

图1 A B C D 1 2 图 2 七年级下数学第五章《三角形》测试题 班级： 姓名： 组号 一、细心选一选：（每题3分，共30分） 本卷满分：共100分 1、在下列各组图形中，是全等的图形是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 2、如图1，⊿AOB ≌⊿COD ，A 和C ，B 和D 是对应顶点，若BD=8，AD=10，AB=5，则CD 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、5 D 、不能确定 3、如图2，已知∠1=∠2，要说明⊿ABD ≌⊿ACD ，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（ ） A 、∠ADB=∠ADC B 、∠B=∠ C C 、DB=DC D 、AB=AC 4、生活中，我们经常会看到如图3所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（ ） A 、稳定性 B 、全等性 C 、灵活性 D 、对称性 5、如图4所示，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，那么图中共有全等三角形（ ） A 、8对 B 、4对 C 、2对 D 、1对 6、下列语句：①面积相等的两个三角形全等； ②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同； ④边数相同的图形一定能互相重合。其中错误的说法有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 7、如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、任意三角形 8、下列说法正确的是（ ） A 、有一边和两角对应相等的两个三角形全等 B 、有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C 、三个角对应相等的两个三角形全等 D 、面积相等，且有一边相等的两个三角形全等 9、如图，AB=CD ，AD=BC ，则下列结论不正确的是（ ） A ．A B ∥CD B ．AD ∥B C C ．∠A=∠C D ．BD 平分∠ABC A D C B O 图4 图3

北师大版七年级下册_全等三角形证明经典题

七年级下册《全等三角形》证明专题练习 1、 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2、已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB = 3、已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，证21∠=∠ 4、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C B A C D F 2 1 E

5、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 6、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 7、已知：AB=6，AC=2，D 是BC 中线，求AD 的取值范围。 8. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 9、已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C A D B C C D B D C B A F E A

10、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 11、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证： AC-AB=2BE 12．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 13．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 14．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 15．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且∠C =2∠B,求证:AB=AC+CD P E D C B A D C B A

北师大版全等三角形教(学)案

一、同步辅导：全等三角形 1、概念理解： 两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，而两个三角形全等的判定是几何证明的有力工具。 2、三角形全等的判定公理及推论有： （1）“边角边”简称“SAS” （2）“角边角”简称“ASA” （3）“边边边”简称“SSS” （4）“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 3、全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 注意： 1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。 2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。 二、例题分析： 例1，如图△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，说出对应角和另一组对应边。 解：∵AB和DE，AC和DF分别为对应边， ∴另一组对应边是BC和EF。 ∴对应角为：∠A和∠D，∠B和∠E，∠ACB和∠DFE 例2，如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，写出两个全等三角形的对应角与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。

分析：由AB=AC，则AB和AC是对应边，可找AB的对角∠AEB，AC的对角∠ADC，则∠AEB和∠ADC为对应角。由∠A是这两个三角形的公共角，它与其自身对应，因而∠A的对边为BE、DC为对应边，于是剩下的∠B、∠C是对应角。AE 和AD是对应边。 解：对应边：AB和AC，BE和DC，AE和AD 对应角：∠A和∠A、∠B和∠C、∠AEB和∠ADC ∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE 又由∠B=∠C，∠DFB=∠EFC（对顶角相等）于是构成一对全等三角形为△BFD 和△CFE。 1、找全等三角形的对应边，对应角的方法是： （1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。 （2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。 （3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。 （4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。 2、利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素是寻找两个三角形全等的重要途径之一。 如图（一）中的AD，图（二）中的BC

(完整版)北师大版七年级下全等三角形专题训练

全等三角形复习 【复习巩固】 1.判断三角形全等的条件有： 2.角边角和角角边的区别： 3.判断三角形全等的一般思路： 【分组练习】 一.分别指出对应顶点，对应角，对应边。再完成 练习 1.如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能说明△ABC≌△DEF,这个条件是( ) A.∠A=∠D =EFC.∠ACB=∠F =DF 变式1：如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF． 变式2：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE． 求证：△ACD≌△CBE．

2.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( ) =BD B.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠D =AD 变式1：如图,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA.试说明:AC=BD. 变式2：如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补 充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是（只填一个）． 3．如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据 是（） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 变式1：如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是（）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 变式2：如图，∠1=∠2． （1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据 是； （2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是． 变式3：在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC 变式4：已知AB=AD给出下列条件：（1）AB=AC（2）∠CDA=∠BDA （3）∠CAD=∠BAD （4）∠B=∠D，若再添一个条 件后，能使△ABD≌△ACD的共有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是( ) A.∠A=∠C B.∠D=∠B ∥BC ∥BE 变式1：如图，已知AB∥CD，AE=CF，则下列条件中不一定能使△ABE ≌△CDF的是（）

【最新】北师大版数学七年级下册《全等三角形》单元测试含答案

全等三角形单元测试 一、认认真真选，沉着应战！ 1．下列命题中正确的是（ ） A ．全等三角形的高相等 B ．全等三角形的中线相等 C ．全等三角形的角平分线相等 D ．全等三角形对应角的平分线相等 2． 下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ） A ．已知两边和夹角 B ．已知两角和夹边 C ．已知两边和其中一边的对角 D ．已知三边 4．下列各组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是( ) A ．AB =D E ，BC =E F ，∠A =∠D B ．∠A =∠D ，∠ C =∠F ，AC =EF C ．AB =DE ，BC =EF ，△ABC 的周长= △DEF 的周长 D ．∠A =∠D ，∠B =∠ E ，∠C =∠F 5．如图，在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =3:5:10，又△MNC ≌△ABC ， 则∠BCM ：∠BCN 等于（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．1:4 6．如图， ∠AOB 和一条定长线段A ，在∠AOB 内找一点P ，使P 到OA 、OB 的距离都等于A ，做法如下：（1）作OB 的垂线NH ， 使NH =A ，H 为垂足．（2）过N 作NM ∥OB ．（3）作∠AOB 的平 分线OP ，与NM 交于P ．（4）点P 即为所求． 其中（3）的依据是（ ） A ．平行线之间的距离处处相等 B ．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C ．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D ．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 7． 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条 角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于（ ） A ．1︰1︰1 B ．1︰2︰3 C ．2︰3︰4 D ．3︰4︰5 8．如图，从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ， ③∠A ′CB ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件， 余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线B F 上 取两点C ，D ，使CD =BC ,再定出B F 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同 一条直线上，如图，可以得到EDC ABC ?，所以ED =AB ，因 此测得ED 的长就是AB 的长，判定EDC ABC ?的理由是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．HL A C B D F E A

北师大版全等三角形(学生版)

全等三角形 一、知识回顾 1、概念理解： 两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形，而两个三角形全等的判定是几何证明的有力工具。 2、三角形全等的判定公理及推论有： （1）“边角边”简称“SAS” （2）“角边角”简称“ASA” （3）“边边边”简称“SSS” （4）“角角边”简称“AAS” 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 3、全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 注意： 1）性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。 2）利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。 二、例题分析： 例1，如图△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是对应边，说出对应 角和另一组对应边。 例2，如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，写出两个全等三角形的对应角 与对应边，并问图中是否存在其它的全等三角形。 三、归纳总结： 1、找全等三角形的对应边，对应角的方法是： （1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。 （2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。

（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。 （4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。 2、利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素是寻找两个三角形全等的重要途径之一。 如图（一）中的AD，图（二）中的BC 都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。 3、三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点 只有掌握好全等三角形的各种判定方法，才能灵活地运用它们学好今后的知识。证明三角形全等有五种方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL为了判定两个三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。 ①有两组对应角相等时；找 ②有两组对应边相等时；找 ③有一边，一邻角相等时；找 ④有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS） 说明：由以上思路可知两个三角形的六个元素中、若只有一对对应元素相等，或有两对对应元素相等，则它们不一定全等。因此要得出两个三角形全等必须要有三对对应元素相等才有可能成立。若两个三角形中三对角对应相等，它们只是形状相同，而大小不一定相等，所以这两个三角形不一定全等。如下图（一）因此要判定三角形全等的三对对应元素中，至少有一对是边。还要注意一个三角形中的两边及其中一边所对的角对应相等，这两个三角形不一定全等。如图（二）中，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B但△ABC 和△ABD明显的不全等。 注：全等三角形判定没有（AAA）和（SSA）

新北师大版七年级下册全等三角形测试题

2014全等三角形测试题 一、选择题（每题3分共30分） 1．如图1所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（） A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等 C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD＝BC 2、如图2，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（）A、∠E=∠B B、ED=BC C、AB=EF D、AF=CD 3、如图3在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A、15°B、20°C、25°D、30° 4、如图4所示，在△ABC中，∠B=∠C，AD为△ABC的中线，那么下列结论错误的是（）A、△ABD≌△ACD B、AB=AC C、AD是△ACD的高 D、△ABC是等边三角形 图1 图2 图3 图4 5、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图 形是（）A、甲和乙B、乙和丙C、只有乙D、只有丙 6．如图5所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（） A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA 图5 图6 D A C B D A E

7．如图6所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD ＝CD ，BD ＝ED ，若∠ABC ＝54°，则∠E ＝（ ） A.25° B.27° C.30° D.45° 8．如图8，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A 、带①去 B 、带②去 C 、带③去 D 、带①②③去 9．图7将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则CBD ∠的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°, 图7 图8 10．如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ） A.相等 B.不相等 C.互余或相等 D.互补或相等 二．填空题（每题2分共12分） 11．____ 叫做全等三角形，全等三角形具有的性质 是 ． 12．已知，如图9，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点，那么，图中共有 对全等三角形． 图11 13．如图10，△ABC ≌△ADE ，则，AB = ，∠E = ∠ ．若∠BAE =120°，∠BAD =40°，则∠BAC = ． 14．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB =3，EF =4，则AC = ． 15.如图11，S △ABC =S △ABC ,则线段AD 是△ABC 的 。 16.等腰三角形两条边长为5cm 和7cm ，则周长为 。 O C B A C B A E D 图 9 图 10 A E C B A ′ E ′ D B A C D

北师大版数学[中考总复习：全等三角形--知识点整理及重点题型梳理]

北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：全等三角形—知识讲解 【考纲要求】 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三 角形全等. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、基本概念 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等. 要点诠释： 全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等. 3.全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 考点二、灵活运用定理 三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．

应用三角形全等的判别方法注意以下几点： 1. 条件充足时直接应用判定定理 要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 2. 条件不足，会增加条件用判定定理 要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案． 3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理 要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等． 常见的几种辅助线添加： ①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”； ②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等 变换中的“旋转”； ③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理； ④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 转折叠”； ⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目． 【典型例题】 类型一、全等三角形 1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE 上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ． 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题． 【答案与解析】 证明：

(完整word版)北师大版七年级下全等三角形专题训练

【复习巩固】 1. 判断三角形全等的条件有： 2. 角边角和角角边的区别： 3. 判断三角形全等的一般思路： 【分组练习】 一.分别指出对应顶点，对应角，对应边。再完成练习 1. 如图，在厶ABC 和厶DEF 中，/ B= / DEF,AB=DE,添加下列一个条 件后,仍然不能说明△ ABC ◎△ DEF,这个条件是（ ） A. / A= / D B.BC=EF C. / ACB= / F D.AC=DF 2. 如 图，已知/ ABC= / BAD,添加下列条件还不能判定△ ABC BAD 的是( ) A.AC=BD B. / CAB= / DBA C. / C= / D D.BC=AD 变式1 :如图,AC 与BD 相交于点 E,AD=BC, / DAB= / CBA.试说明：AC=BD. 变式2 :如图，在A ABC 和 ABAD 中, 使 A ABC ◎△ BAD .你补充的条件是 3 .如图，AB=AC , BD=CD ，则△ ABD ACD 的依据是（ ） 变式1 :如图，AD 平分/ I ilAIM J iAOVIl 全等三角形复习 变式1 :如图，点A 、C 、D 、B 四点共线, 且 AC=DB , / A= / B , / E= / F .求证：DE=CF . 变式2 :如图，点C 为AB 中点，CD=BE 求 证：△ACD CBE . ,CD // BE . E C A . SSS B . SAS C . AAS D . HL AAS

BAC , AB=AC ,那么判定厶ABD ACD 的理由是（） A. SSS B. SAS C. ASA D. 变式2:如图，/仁/ 2 . (1 )当BC=BD 时，△ABC ◎△ ABD 的依据是________ (2)当/ 3= / 4 时，△ABC ABD 的依据是________ 变式3 :在下列条件中，不能证明△ABD ◎△ ACD的是( ) A . BD=DC , AB=AC B . / ADB= / ADC , BD=DC C . / B= / C ,Z BAD= / CA D D. / B= / C , BD=DC 变式4 :已知AB=AD 给出下列条件：(1 ) AB=AC (2)Z CDA= / BDA

北师大初中数学中考总复习：全等三角形--知识讲解

中考总复习：全等三角形—知识讲解 【考纲要求】 1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三 角形全等. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、基本概念 1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等. 要点诠释： 全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等. 3.全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 考点二、灵活运用定理 三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点： 1. 条件充足时直接应用判定定理 要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等． 2. 条件不足，会增加条件用判定定理

北师大版八年级上册数学 全等三角形专题练习(word版

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． （1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程； （2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）． 【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到 MN=BM+NC． （2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵BD CD MBD ECD BM CE ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°， ∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， ∵MD DE MDN EDN DN DN ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC． （2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．