《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )

3.若

}

{n z 收敛，则

} {Re n z 与

}

{Im n z 都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D 内解析，且

0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )

7.若

)

(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C

0)(=?

C

dz z f .

( )

10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

1、 =-?=-1||0

0)(z z n

z z dz

__________.（n 为自然数）

2.

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.

4.设

11

)(2+=

z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.

5.幂级数

n

n nz

∞

=∑的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若ξ

=∞

→n n z lim ，则=

+++∞→n z z z n

n (i)

21______________.

8.=

)0,(Re n z

z e s ________，其中n 为自然数.

9. z

z sin 的孤立奇点为________ .

10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0

=→z f z z .

三.计算题（40分）：

1. 设

)2)(1(1

)(--=

z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.

2. .cos 1

1||?=z dz z

3. 设?-++=C d z z f λ

λλλ1

73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +

4. 求复数

11

+-=

z z w 的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =

-在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,

并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

《复变函数》考试试题（一）参考答案

一． 判断题

1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题

1. 2101i n n π=??≠?

； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 1

6. 整函数；

7. ξ；

8. 1

(1)!

n -； 9. 0； 10. ∞.

三．计算题.

1. 解 因为01,z << 所以01z <<

111()(1)(2)12(1)2

f z z z z z ==-

----0

01()22n

n n n z z ∞

∞===-∑∑.

2. 解 因为

2

2

2

12Re ()lim

lim 1cos sin z z z z s f z z z π

ππ

π

→

→=

+

===--, 2

2

2

12Re ()lim

lim 1cos sin z z z z s f z z z

πππ

π

→-

→-=-

-

===-. 所以

22

2

1

2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-=

=+=?. 3. 解 令2

()371?λλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,

()

()2()c f z dz i z z ?λπ?λ=

=-?.

所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i π?ππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 22222

2122(1)2(1)2

11111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b -+-+=

=-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re(

)11(1)z a z a b -+=-+++, 22

12Im()1(1)z b

z a b -=

+++. 四. 证明题.

1. 证明 设在D 内()f z C =. 令2

222(),

()f z u iv f z u v c =+=+=则.

两边分别对,x y 求偏导数, 得 0

(1)0

(2)

x x y y uu vv uu vv +=??

+=?

因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为

00

x x x x uu vv vu uv +=??

-=?. 消去x u 得, 22

()0x u v v +=. 1) 若2

2

0u v +=, 则 ()0f z = 为常数.

2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).

所以12()f z c ic =+为常数. 2. 证明()(1)f z z z =

-的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就

不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.

由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以

()(1)f z z z =-的幅角共增加

2

π

. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2

π, 故2(1)22i f e i π-==.

《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )

2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )

3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )

4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在. ( )

6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )

7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C

dz z f .

( )

8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )

10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21

)21(==n n

n f .

( )

二. 填空题. (20分)

1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z

2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i

z ________.

3.

=-?=-1||00)(z z n z z dz

_________.（n 为自然数）

4. 幂级数0

n n nz ∞

=∑的收敛半径为__________ .

5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.

6. 函数e z 的周期为__________.

7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设2

11

)(z

z f +=

，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.

10. ____)1,1

(Res 4

=-z

z . 三. 计算题. (40分)

1. 求函数

)2sin(3

z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z

在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z

=处的值.

3. 计算积分：?-=i

i z z I

d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）

的右半圆.

4. 求

dz

z z

z ?

=-2

2

)2

(sin π

.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（二）参考答案

一. 判断题.

1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题

1.1，2

π

-

， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 21

01

i n n π=??

≠?； 4. 1； 5. 1m -.

6. 2k i π，()k z ∈.

7. 0；

8. i ±；

9. R ； 10. 0. 三. 计算题

1. 解 3212163

3

00

(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞

∞==--==++∑∑

. 2. 解 令i z re θ

=. 则22

(),(0,1)k i

f z z re

k θπ

+=

==.

又因为在正实轴去正实值，所以0k =.

所以4

()i

f i e

π

=.

3. 单位圆的右半圆周为i z e θ

=, 2

2

π

π

θ-

≤≤

.

所以222

2

2i

i i i

z dz de e

i ππ

θ

θππ---

===?

?.

4. 解

dz z z

z ?

=-2

2

)2

(sin π

2

)(sin 2ππ=

'

=z z i 2cos 2π

π=

=z z

i =0.

四. 证明题.

1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以

,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.

比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 2. 即要证“任一 n 次方程 1

01100(0)n

n n n a z a z a z a a --++???++=≠ 有且只有 n 个

根”.

证明 令1

011()0n

n n n f z a z a z a z a --=++???++=, 取10max ,1n a a R a ??+???+??

>?

?????

, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n n

n n n z a R a R a a a R a R ?---≤+???++<+???+<.

()f z =.

由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++???++= 与 00n

a z = 有相

同个数的根. 而 00n

a z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <

内有n 个根.

《复变函数》考试试题（三）

一. 判断题. (20分).

1. cos z 与sin z 的周期均为πk

2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )

3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )

4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )

5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )

6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )

7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则

)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是

)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )

二. 填空题. (20分)

1. 设1

1

)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.

2. 函数e z 的周期为_________.

3. 若n n n i n n z )1

1(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.

4. =+z z 22cos sin ___________.

5. =-?=-1||00)

(z z n

z z dz

_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞

=0n n nx 的收敛半径为__________.

7. 设

1

1

)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.

8. 设1-=z

e ，则___=z .

9. 若0z 是

)(z f 的极点，则___)(lim 0

=→z f z z .

10. ____)0,(Res =n z

z

e .

三. 计算题. (40分)

1. 将函数12()z

f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.

2. 试求幂级数n

n n z n

n ∑+∞

=!的收敛半径.

3. 算下列积分：

?-C z z z z

e )9(d 22，其中C 是1||=z .

4. 求0282269

=--+-z z z z

在|z |<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它

在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||

时

n

z M z f |

||)(|≤，

证明

)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（三）参考答案

一. 判断题

1．× ２．×３．√ ４．√ ５．√6．√７． √ ８．√ ９．√ 10．√. 二.填空题.

1.{},z z i z C ≠±∈且;

2. 2()k i k z π∈;

3. 1ei -+;

4. 1;

5. 21

01i n n π=??≠?

;

6. 1;

7. i ±;

8. (21)z k i π=+;

9. ∞; 10. 1

(1)!

n -.

三. 计算题.

1. 解 1

2

22

20

11(1)2!!n z

n z z e z z z n -+∞

==+++???=∑.

2. 解 1

1

!(1)11

l i m

l i m l i m ()l i m (1)(1)!n n n n n n n n n n c n n n e c n n n n +→∞→∞→∞→∞+++=?==+=+. 所以收敛半径为e .

3. 解 令 22()(9)

z

e f z z z =-, 则 2

001Re ()99z z z e s f z z ====--. 故原式022Re ()9z i i s f z ππ===-

.

4. 解 令 962

()22f z z z z =-+-, ()8z z ?=-.

则在:C 1z =上()()f z z ?与均解析, 且()6()8f z z ?≤<=, 故由儒歇定理有 (,)(,)1N f C N f C ??+=+=. 即在 1z < 内, 方程只有一个根.

四. 证明题.

1. 证明 证明 设在D 内()f z C =. 令2

222(),

()f z u iv f z u v c =+=+=则.

两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0

(2)

x x y y uu vv uu vv +=??

+=?

因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为

00

x x x x uu vv vu uv +=??

-=?. 消去x u 得, 22

()0x u v v +=. 1) 22

0u v +=, 则 ()0f z = 为常数.

2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数.

2. 证明 取 r R >, 则对一切正整数 k n > 时, ()

1!()!(0)2n

k k k

z r

k f z k Mr f dz z r π

+=≤

≤?

. 于是由r 的任意性知对一切k n >均有()

(0)0k f =.

故0

()n

n n

k f z c z

==∑, 即()f z 是一个至多n 次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（四）

一、判断题（24分）

1. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（ ）

2. 若函数()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件.（ ）

3. 如果0z 是()f z 的可去奇点，则0

lim ()z z f z →一定存在且等于零.（ ）

4. 若函数()f z 是区域D 内的单叶函数，则()0()f z z D '≠?∈.（ ）

5. 若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ）

6. 若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于

常数.（ ）

7. 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1

()

f z 的m 阶极点.（ ） 二、填空题（20分）

1. 若11

sin

(1)1n n z i n n =++-，则lim n z =___________. 2. 设2()1

z

f z z =+，则()f z 的定义域为____________________________.

3. 函数z

e 的周期为______________. 4.

22sin cos z z +=_______________.

5. 幂级数

2

20

n n n z +∞

=∑的收敛半径为________________.

6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.

7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________.

8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.

9. 方程8

3

3380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________.

10. Re (,0)z

n e s z

=_________________.

三、计算题（30分）

1、 求2

2

1122i i +-????+ ? ?????

.

2、 设2371

()C f z d z

λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+.

3、设2()z

e f z z

=，求Re ((),0)s f z .

4、求函数

(1)(1)

z

z z -+在12z <<内的罗朗展式.

5、求复数1

1

z w z -=

+的实部与虚部. 6、利用留数定理计算积分：20

cos dx

a x

π

+?

，(1)a >.

四、证明题（20分）

1、方程763

3

249610z z z z ++++=在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，()f z 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数.

3、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1

()

f z 的m 阶极点. 五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{}

:1,Im 0z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{}

:1w w <

《复变函数》考试试题（四）参考答案

一、判断题：1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 二、填空题：1. ei 2. 1z ≠± 3. 2i π 4. 1 5. 1 6. 1m -阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 1

(1)!

n -

三、计算题： 1. 解：22

11(

)()0.22

i i i i +-+=-= 2. 解：123,i +=<

1()

()2C f f z d i z

λλπλ∴=

-? 2371.C d z

λλλλ++=-? 因此 2

()2

(371)

f i λπλλ=++ 故2

()2(371)f z i z z π=++

1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.

3. 解：0222111

!,2

n

z n z e n z z z z ∞

===+++∑

因此Re ((),0) 1.s f z = 4. 解：

1211

1(1)(2)12(1)12

z z

z z z z z z --=+=-

------ 由于12z <<，从而1

1,12

z

z

<<. 因此在12z <<内

有

1000

111()()[()()].(1)(2)22n n n n n n n z

z z z z z z z ∞∞∞

+====--=-+--

∑∑∑

5．解：设z x iy =+, 则2222

11(1)211(1)z x iy x y yi

w z z iy x y --++-+===+++++. 2222

22

12Re ,Im .(1)(1)x y y

w w x y x y +-∴=

=

++++

6.解：设i z e θ

=，则11,cos ()2dz d z iz z

θθ=

=+， 220

11221cos 21

2z z d dz idz

a iz z az a z z

π

θθ===?=+++++?

?? 1a > ，故奇点为201z a a =--

02220

124()4cos 211Re z z d f z a a a s π

θπ

ππθ==?=?=

+--?

.

四、证明题：

1. 证明：设7

6

3

2

()24,()961,f z z g z z z z ==+++ 则在1z =上，()24,

()961117,f z g z =≤+++= 即有()()f z g z >.

根据儒歇定理知在1z <内()f z 与()()f z g z +在单位圆内有相同个数的零点，而在1z <内()f z 的零点个数为7，故7632

249610z z z z ++++=在单位圆内的根的个数为7.

2.证明：设2

2

()f z u v c =+≡，则

220,220.

x x y y u u v v u u v v ?+?=?+?=

已知()f z 在区域D 内解析，从而有,x y y x u v u v ==-

将此代入上上述两式得

0,0.

x y y x uu vu uu vu -=+=

因此有 0,0,x y u u == 于是有0,0x y v v ==. 即有 1212,,()u c v c f z c ic ≡≡=+

故()f z 在区域D 恒为常数.

3.证明：由于0z 是()f z 的m 阶零点，从而可设 0()()()m

f z z z

g z =-， 其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠，

于是

0111

()()()

m f z z z g z =?- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ，在1D 内恒有()0g z ≠，因此

1

()

g z 在内1D 解析，故0z 为

1

()

f z 的m 阶极点. 五、计算题

解：根据线性变换的保对称点性知i 关于实轴的对称点i -应该变到0w =关于圆周的对称点w =∞，故可设z i

w k z i

-=+

《复变函数》考试试题（五）

一、判断题（20分）

1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 连续.（ ）

2、若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析.（ ）

3、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0

lim ()z z f z →一定不存在.（ ）

4、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D '≠?∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（ ）

5、若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ）

6、若函数()f z 是单连通区域D 内的每一点均可导，则它在D 内有任意阶导数.（ ）

7、若函数()f z 在区域D 内解析且()0f z '=，则()f z 在D 内恒为常数.（ ） 1. 存在一个在零点解析的函数()f z 使1(

)01f n =+且11(),1,2,22f n n n

== .（ ） 2. 如果函数()f z 在{}

:1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=，则()1(1)f z z ≤≤.（ ）

3. sin z 是一个有界函数.（ ） 二、填空题（20分） 1、若21

(1)1n n n z i n n

+=

++-，则lim n z =___________. 2、设()ln f z z =，则()f z 的定义域为____________________________. 3、函数sin z 的周期为______________. 4、若lim n n z ξ→∞

=，则12lim

n

n z z z n

→∞+++= _______________.

5、幂级数

5

n n nz +∞

=∑的收敛半径为________________.

6、函数2

1

()1f z z =

+的幂级数展开式为______________________________. 7、若C 是单位圆周，n 是自然数，则

01

()n C dz z z =-?______________.

8、函数()f z z =的不解析点之集为__________.

9、方程5

3

2

15480z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10、若2

1

()1f z z =

+，则()f z 的孤立奇点有_________________. 三、计算题（30分）

1、求

11

31sin 2(1)(4)

z z z dz

e zdz i z z π+==+

--?

? 2、设2371

()C f z d z λλλλ++=-?，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+.

3、设2()1

z

e f z z =-，求Re ((),)s f z ∞.

4、求函数

210

(1)(2)

z z z +--在2z <<+∞内的罗朗展式.

5、求复数1

1

z w z -=

+的实部与虚部. 四、证明题（20分）

1、方程7

6

3

155610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内连续，则二元函数(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续.

1、 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1

()

f z 的m 阶极点. 一、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z 平面上的区域4:0arg 5z z π??

<<

????

保形映射为w 平面的单位圆盘{}:1w w <.

《复变函数》考试试题（五）参考答案

一、判断题：1.√ 2. × 3. √ 4. × 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 9. √ 10.× 二、填空题：1. 1ei -+ 2. 0z ≠∞， 3. 2π 4. ξ 5. 1

6. 2k=0()k iz ∞

∑ 7. 0,12,1

n i n π?≠??=?? 8. 9. 5 10. 1z ≠± 三、计算题： 1. 解：由于1

sin z e z +在1z ≤解析，

所以

11

sin 0z z e zdz +==?

而331

111(4)2(1)(4)2(1)3

z z dz

dz z i z z i z ππ==-==----??

因此

11

311

sin 2(1)(4)3

z z z dz e zdz i z z π+==+

=---?

?. 2. 解：123,i +=<

1()

()2C f f z d i z

λλπλ∴=

-?

2371

.C d z

λλλλ++=-?

因此 2

()2(371)

f i λπλλ=++ 故2

()2(371)f z i z z π=++

1(1)2(67)2(136)2(613)i f i i z i i i πππ+'+=+=+=-+.

3. 解：211

()()1211z z e e f z z z z ==---+

1

R e ((),1)

,

R e ((),1),

2

2

e

e s

f z s f z -=-=-

因此 11Re ((),)().222

e e e e

s f z ---∞=--=

4.解：

222

21011111211111121

12(1)(2)1211z z z z z z z z z z z

+++=-+=-?+?------ 由于2z <<+∞，从而

21

2

1,1z

z

<< 因此在2z <<+∞内有

2(1)1

22

2

000101111112

21()()()[2(1112)11

]

(1)(2)n n n n n n n n z z z z z z z z z z

z

∞∞∞++===++=-?+?=?+---∑∑∑ 5．解：设z x iy =+, 则2222

11(1)211(1)z x iy x y yi

w z z iy x y --++-+===+++++. 2222

22

12Re ,Im .(1)(1)x y y

w w x y x y +-∴=

=

++++

6．解：设ix

z e =, 则ix

dz ie dx izdx ==

11sin ()2x z i z =

- 2220012sin 22sin dx dx

x x ππ=++?? 221111224141

z z iz dz

dz iz z iz z iz ===?=+-+-?? 在1z <内21

41

z iz +-只有(32)z i =-一个一级极点

Re [(),(32)]23

i s f z i -=-

因此 20

22sin 233

dx i i x π

π

π-=?=

+?

. 四、证明：

1. 证明：设7653

()15,()561,f z z g z z z z ==++- 则在1z =上，()15,

()13,f z g z =≤ 即有()()f z g z >.

根据儒歇定理知在1z <内()f z 与()()f z g z +在单位圆内有相同个数的零点，而在1z <内()f z 的零点个数为7，故7

6

5

3

155610z z z z +++-=在单位圆内的根的个数为7 2. 证明：因为()(,)(,)f z u x y iv x y =+，在D 内连续, 所以00(,)x y D ?∈,

0,0.εδ?>?>

当00,x x y y δδ-<-<时有

000000(,)(,)(,)(,)[(,)(,)]f x y f x y u x y u x y i v x y v x y -=-+-

1

2

22

0000{[(,)(,)][(,)(,)]},u x y u x y v x y v x y ε=-+-< 从而有00(,)(,),u x y u x y ε-< 00(,)(,).v x y v x y ε-<

即与在连续，由00(,)x y D ∈的任意性知(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续 3.证明：由于0z 是()f z 的m 阶零点，从而可设 0()()()m

f z z z

g z =-， 其中()g z 在0z 的某邻域内解析且0()0g z ≠，

于是

0111

()()()

m

f z z z

g z =?- 由0()0g z ≠可知存在0z 的某邻域1D ，在1D 内恒有()0g z ≠，因此

1

()

g z 在内1D 解析，故0z 为

1

()

f z 的m 阶极点. 五、解：1.设54

z ξ=，则ξ将区域4

{:0arg }5

z z π<<

保形映射为区域{:0arg }z ξπ<< 2.设i i

w e

i

θ

ξξ-=+, 则w 将上半平面保形变换为单位圆1w <. 因此所求的单叶函数为

《复变函数》考试试题（六）

一、判断题（40分）：

1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个邻域内可导.（ ）

2、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0

lim ()z z f z →一定不存在.（ ）

3、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内连续，则(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续.（ ）

4、cos z 与sin z 在复平面内有界.（ ）

5、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点.（ ）

6、若()f z 在0z 处满足柯西-黎曼条件，则()f z 在0z 解析.（ ）

7、若0

lim ()z z f z →存在且有限，则0z 是函数的可去奇点.（ ）

8、若()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有

()0C

f x dz =?

.（ ）

9、若函数()f z 是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（ ） 10、若函数()f z 在区域D 内解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（ ）

二、填空题（20分）：

1、函数z

e 的周期为_________________.

2、幂级数

n

n nz

+∞

=∑的和函数为_________________.

3、设2

1

()1

f z z =

+，则()f z 的定义域为_________________. 4、

n

n nz

+∞

=∑的收敛半径为_________________.

5、Re (,0)z

n e s z

=_________________.

三、计算题（40分）： 1、

2

.(9)()

z

z

dz z z i -+?

2、求2Re (,).1iz

e s i z -+

3、11.22n

n

i i +-????+ ? ?????

4、设2

2

(,)ln().u x y x y =+ 求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足

(1)ln 2f i +=。其中z D ∈（D 为复平面内的区域）.

5、求4

510z z -+=，在1z <内根的个数.

《复变函数》考试试题（六）参考答案

一、判断题（40分）：

1.√

2. √

3.√

4. ×

5. √

6. ×

7. √

8. √

9. √ 10. √ 二、填空题（20分）： 1. 2i π 2.

2

(1)

z

z - 3. z i ≠± 4. 1 5. 1(1)!n - 三、计算题（40分） 1. 解：2

()9z

f z z

=

-在2z ≤上解析，由cauchy 积分公式，有 222229(9)()z z z z dz dz z z i z i ==-==-++??2295

z i

z i z π

π=-?=

-

2. 解：设2

()1iz e f z z =+，有

2

Re (,)22i e i

s f i e i --==-

3. 解：11(cos sin )(cos sin )444422n n

n n i i i i ππππ+-????

+=++- ? ?????

cos sin cos sin 2cos

44444

n n n n n i i πππππ

=++-= 4. 解：

222u x x x y ?=?+，22

2u y

y x y

?=?+ (,)

(0,0)

(,)x y y x v x y u dx u dy c =-++?

(,)

2222

(0,0)

22x y y x

dx dy c x y x y

-=++++?

220

2y

x dy c x y =

++?

2a r c t a n y

c x

=+

(1)(1,1)(1,1)ln 2(2arctan1)ln 2f i u iv i c +=+=++=

故2

c π

=-

，(,)2arctan

2

y v x y x π

=- 5. 解：令()5f x z =-，4

()1g z z =+ 则()f x ，()g z 在1z <内均解析，且当1z =时

44()511()f z z z g z =>+≥+=

由Rouche 定理知4

510z z -+=根的个数与50z -=根的个数相同.

故4

510z z -+=在1z <内仅有一个根.

《复变函数》考试试题（七）

一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分）

1．设复数111z x iy =+及222z x iy =+，若12x x =或12y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。（ ）

2．函数()Re f z z =在复平面上处处可微。 （ ）

3．22

sin cos 1z z +=且sin 1,cos 1z z ≤≤。 （ ）

4．设函数()f z 是有界区域D 内的非常数的解析函数，且在闭域D D D =+?上连续，则存在0M >，使得对任意的z D ∈，有()f z M <。 （ ） 5．若函数()f z 是非常的整函数，则()f z 必是有界函数。（ ） 二、填空题。（每题2分）

复变函数试题2

第一部分 选择题 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1． 复数i 25 8-2516z =的辐角为（ ） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ） A ． 圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 3．复数)5 ,-isin 5-3(cos z π π=的三角表示式为（ ） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则（ ） A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ） A ．4π － B ． 1,0,k ,4 2k ±=ππ－ C ．4 π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03 argz 0<<

复变函数总结

第一章 复数的运算与复平面上的拓扑 1.复数的定义 一对有序实数（x,y ）构成复数z x iy =+,其中()()Re ,Im x z y z ==.21i =-， X 称为复数的实部，y 称为复数的虚部。 复数的表示方法 1） 模： z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值 ()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与 arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

4）若 12 1122,i i z z e z z e θθ==, 则 () 121212i z z z z e θθ+=； ()121122 i z z e z z θθ-= 5.无穷远点得扩充与扩充复平面 复平面对内任一点z , 用直线将z 与N 相连, 与球面相交于P 点, 则球面上除N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N 点本身可代表无穷远点, 记作∞.这样的球面称作复球面 这样的球面称作复球面. 扩充复平面---引进一个“理想点”: 无穷远点 ∞ 复平面的开集与闭集 复平面中领域，内点，外点，边界点，聚点，闭集等概念 复数序列的极限和复数域的完备性 复数的极限，，柯西收敛定理，魏尔斯特拉斯定理，聚点定理等从实数域里的推广，可以结合实数域中的形式来理解。 第二章 复变量函数 1.复变量函数的定义 1）复变函数的反演变换（了解） 2）复变函数性质 反函数 有界性 周期性， 3）极限与连续性 极限： 连续性 2.复变量函数的形式偏导 1）复初等函数 ). ( ),( , , , , . z f w z w iv u w z G iy x z G =+=+=记作复变函数简称的函数是复变数那末称复变数之对应与就有一个或几个复数每一个复数中的对于集合按这个法则个确定的法则存在如果有一的集合是一个复数设. )( )(,)0(0 )( ,0 , , 0 )( 0000时的极限趋向于当为那末称有时使得当相应地必有一正数对于任意给定的存在如果有一确定的数内的去心邻域定义在设函数z z z f A A z f z z A z z z z f w ερδδεδερ<-≤<<-<><-<= . )( , )( . )( ),()(lim 000 内连续在我们说内处处连续在区域如果处连续在那末我们就说如果D z f D z f z z f z f z f z z =→

中南大学复变函数考试试卷(A)及答案

中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3． 下列命题中，不正确的是（ ）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（ ）。

()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点； 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=?

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π ，
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为
A=z0 ，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时，
不论对 c 的分发即?k 的取法如何，Sn 有唯一的极限，则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时，f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲

10-11-1复变函数考试题A 2

2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:

二、 填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1

复变函数学习指导书

复变函数复习提纲 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2 1i =-. 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数试题汇总

复变函数试题汇总

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《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿．

复变函数测试试题库

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《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

《复变函数》总结

复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） .2 argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg ππ πππ<<-???? ?????=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏

b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加） c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π) e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln) 能够区分： 的计算。 f.三角函数和双曲函数： 只需记住： 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到 11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz iz iz iz ---=+=???????=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos

重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有

向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k ?1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为： ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f (?k )n k ?1 ?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 （1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则 ∑2= ∑Z n k ?1（k ?1）(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

复变函数测试题及答案-精品

第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）

(完整版)复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结

第六章留数理论及其应用 §1.留数 1.（定理6.1 柯西留数定理）： ∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k) n k=1 C 2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点， f(z)= φ(z) (z?a)n , 其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则 Res(f(z),a)=φ(n?1)(a) (n?1)! 3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点， φ(z)=(z?a)f(z),则 Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点 φ(z)=(z?a)2f(z)则 Res(f(z),a)=φ′(a) 5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式 6.无穷远点的留数： Res(f(z),∞)= 1 2πi ∫f(z)dz Γ? =?c?1 即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1 z 这一项系数的反号 7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。 注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。 8.计算留数的另一公式：

Res (f (z ),∞)=?Res (f (1t )1t 2,0) §2.用留数定理计算实积分 一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ 注：注意偶函数 二.∫P(x)Q(x)dx +∞?∞型积分 1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上 lim R→+∞zf (z )=λ 则 lim R→+∞∫f(z)dz S R =i(θ2?θ1)λ 2.（定理6.7）设f (z )=P (z )Q (z )为有理分式，其中 P (z )=c 0z m +c 1z m?1+?+c m (c 0≠0) Q (z )=b 0z n +b 1z n?1+?+b n (b 0≠0) 为互质多项式，且符合条件： （1）n-m ≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有 ∫ f (x )dx =2πi ∑Res(f (z ),a k )Ima k >0 +∞ ?∞ 注：lim R→R+∞ ∫f(x)dx +R ?R 可记为P.V.∫f(x)dx +∞?∞ 三. ∫P(x)Q(x)e imx dx +∞?∞ 型积分 3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周ΓR :z =Re iθ(0≤θ≤π，R 充分大)上连续，且 lim R→+∞g (z )=0 在ΓR 上一致成立。则 lim R→+∞ ∫g(z)e imz dz ΓR =0 4.（定理6.8）：设g (z )=P (z )Q (z )，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：

《复变函数》考试试题

伊犁师范学院数学系考试试题 课程：复变函数 专业：数学与应用数学 年级： 考试形式：闭卷 编号：一 命题教师： 一、 判断题（4x10=40分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。（ ） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。 三、计算题（8x5=40分）：

复变函数考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. = )0,(Re n z z e s ，其中n 为自然数.

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点 （一）复数的概念 1.复数的概念：z = x ? iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2.复数的表示 1）模：z =y/x2+y2； 2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。 3）arg z与arctan y之间的关系如下： x y 当x 0, argz=arctan工； x [ y y - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, x y y :: 0,arg z = arctan 「愿 L x 4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号 5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。 （二）复数的运算 仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y2 2.乘除法: 1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则 ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ； 乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy ?- 丫2为 -- = --------- = ----------------------- = -------------- T i -------------- Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f 2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则 3.乘幂与方根e i "'2 ； 土評匀） Z2 Z2

1）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。 2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U 阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿 （三）复变函数 1?复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2?复初等函数 1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。 注：e z是以2二i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3）对数函数：Lnz=lnz i（argz 2^：）（k=0, _1,_2[|[）（多值函数）； 主值：In z = ln z +iargz。（单值函数） * 1 Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且Inz z 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：a b= e bLna（a = 0）；z b= e bLnz（z = 0） 注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且z b二bz b‘。 iz -iz iz -iz e -e e e sin z cosz 4）三角函数：sin z ,cos z ,t gz , ctgz = 2i 2 cosz si nz sin z,cos z 在z 平面内解析，且sin z 二cosz, cosz =—si nz 注：有界性sin z兰1, cosz兰1不再成立；（与实函数不同） z -z z - z e -e e +e 4）双曲函数shz ,chz二 2 2 shz奇函数，chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析，且shz 二chz, chz = shz。 （四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数

(完整版)复变函数试题库

《复变函数论》试题库 梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数， 那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两 个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数与积分变换重要知 识点归纳 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1 ）模：z = 2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3）()arg z 与arctan y x 之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x =； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??