八年级数学上册 第一章勾股定理练习题 北师大版

八年级数学第一章《勾股定理》练习题

一．选择题（12×3′=36′）

1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、a=1.5，b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3．若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比为（ ）

A 、2∶3∶4

B 、3∶4∶6

C 、5∶12∶13

D 、4∶6∶7 4．Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121

B 、120

C 、132

D 、不能确定

5．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ） A 、60∶13 B 、5∶12 C 、12∶13 D 、60∶169 6．如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2n B 、n+1 C 、n 2－1 D 、n 2+1 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、32 9．三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( )

A. 等边三角形;

B. 钝角三角形;

C. 直角三角形;

D. 锐角三角形.

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元 B 、225a 元 C 、150a 元

D 、300a 元

11．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、6cm 2 B 、8cm 2

C 、10cm 2

D 、12cm 2

12．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里

B 、30海里

C 、35海里

D 、40海里

二．填空题（8×3′=24′）

13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。

14．在由小方格组成的网格中，用数格子的方法判断出给定的钝角三角形和锐角三角形的三边不满足两边平方和等于第三边的平方，由此可想到________________________________________________。

15．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

16．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已

150°

20m

30m

第10题图 第11题图

北

南 A

东

第12题图

知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

17．已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形.

18．已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于 cm

19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 2。

20．在一棵树的1020米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高

_________________________米。

三．解答题（共60分）

21．（7分）小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2

，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

22．（7分）如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？

C

O

A B

D E

第18题图 A 第20题图 A

D

E

B

C

第22题图

23．（7分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

24．（7分）已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

25．（8分）已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5,BD=2.5,求AC 的长.

26．（8分）如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b.

A B

C

D

第24题图

C

D

A

B

第25题图

利用这个图试说明勾股定理?

27．（8分）已知，△ABC 中，AB=17cm ，BC=16cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，试说明△ABC 是等腰三角形。

28．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。

C

第26题图

A

B

P

C

第28题图

北师大版八年级数学(上册)第一章勾股定理测试题

勾股定理知识总结 :勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2= c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用: （1 ）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3 ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 :勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a +b = c ,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意： （1 ）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c; （2 ）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2= a2+b2，则△ ABC是以/C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ ABC是以/C为钝角的钝角三角形；若c2

2019-2020北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题有答案

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于（） A．30 B．25 C．20 D．15 2．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（） A．B．C．D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144，则AB 的长度为（） A．13 B．169 C．12 D．5 4．如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是（）

A．4πB．8πC．12πD．16π 5．下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（） A．1，2，3 B．4，6，8 C．6，8，10 D．13，14，15 6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（） A．a＝32，b＝42，c＝52B．a＝9，b＝12，c＝15 C．∠A：∠B：∠C＝5：2：3 D．∠C﹣∠B＝∠A 7．下列各组数据中，能做为直角三角形三边长的是（） A．1、2、3 B．3、5、7 C．32、42、52D．5、12、13 8．下列各组数据中，不是勾股数的是（） A．3，4，5 B．5，7，9 C．8，15，17 D．7，24，25 9．如图，学校有一块长方形草地，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）米路，却踩伤了花草． A．1 B．2 C．5 D．12 10．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）

八年级北师版数学上册第一第二章勾股定理和实数全部习题和知识要点

第一章 勾股定理 1.探索勾股定理 课时1 名师导航2预习指南 知识要点 勾股定理 如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么22b a +2c =，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的作用 勾股定理是直角三角形的重要性质之一，它把直角三角形的“形”的特征转化为两直角边的平方和等于斜边的平方的“数”的关系。其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边，求第三边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；（3）证明含平方关系的问题等。有时还要构造直角三角形，以便利用勾股定理。 经典例析 例：已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝ ，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，CD ⊥AB 于D ，求CD 的长. ∴. 5 12= CD 点评：此题关键在于用好勾股定理以及利用等面积法求高线。 1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c=_______；（2）若a=9，c=41，?则b=_____． 2（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ． 3.直角三角形的两直角边长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的高为__． 4．如图所示，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，?一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢至少飞了_______m ． 5．一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边的长是（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12 6．若直角三角形的两直角边各扩大1倍，则斜边扩大（ ） A ．112 倍 B ．1倍 C ．2倍 D ．4倍 7．如图，字母A 代表的正方形面积是100，字母B 代表的正方形面积是64，则字母C 代表的正方形边长是

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

第一章 勾股定理 1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a 2＋b 2＝c 2. A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 2.勾股定理定义的应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例. 在Rt △ABC 中，∠C=90° （1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。 3.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等 式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简 可证 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 4.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 5.勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

北师大版勾股定理练习题及答案

北师大版勾股定理练习题及答案 一、填空题： 1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为_________________． 2．．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______． 3．△ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=___________． 4．将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷 子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h的取值范围是_____________． 5．如图2所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5图米，梯1 子滑动后停在DE上的位置上，如图3，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了________米． 二、选择题： 6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是． A．a= b=41 c=40B．a=b=5C=52 C．a:b:c=3:4:D．a=11b=12c=1 图 图

3 7．若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是． A．1B．4C．14或D．以上都不对 8．002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直 角边为b，那么2的值为． A．1B．1 C．25D．16图 4 09．如图5，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90，则四边形ABCD的面积 是． 51 D．无法确定 /10．如图6，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，B C/交AD于E，AD=8， AB=4，则DE的长为． A．3B．C．D．6 三、解答题： 011．在Rt?ABC中，∠C=90．

课时3：2013北师大版广东肇庆试卷(选勾股定理)

课时3：2013北师大版广东肇庆试卷（选勾股定理） 一、选择题 1．一个三角形的三边长分别为15cm ，20cm ，25cm ，则这个三角形最长边上的高为（ ） （A ）12cm （B ）10cm （C ）12.5cm （D ）10.5cm 2．Rt ?ABC 的两边长分别为3和4，若一个正方形的边长是?ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ） （A ）25 （B ）7 （C ）12 （D ）25或7 3．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ） （A ）2m （B ）2.5cm （C ）2.25m （D ）3m 4．一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm ，如果梯子顶端沿墙下滑40cm ，那么梯足将向外滑动（ ） （A ）150cm （B ）90cm （C ）80cm （D ）40cm 二、填空题 5．如图1，某宾馆在重新装修后，准备在大厅 的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平 方米售价20元，主楼梯宽2米。则购地毯至少 需要 元． 三、解答题 6．一个零件的形状如图3所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？

7．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米／时，如图5，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪问的距离变为50米。这辆小汽车超速了吗? 8．学校校内有一块如图6所示的三角形空地ABC ，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元? 20、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长。 （图6） B A D E

北师大版八年级数学勾股定理练习及答案

图6 北师大版八年级数学第一章勾股定理测试题(1) 一、填空题（每小题5分，共25分）： 1．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边上的高为． 2．．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是． 3．△中，10，16，边上的中线6，则． 4．将一根长24 的筷子，置于底面直径为5，高为12的圆柱形水杯中（如图1），设筷子露在杯子外面的长度是为 ，则h 的取值范围是． 5．如图2所示，一个梯子长2.5米，顶端A 靠墙上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在上的位置上，如图3，测得的长0.5米，则梯子顶端A 下落了米． 二、选择题（每小题5分，共25分）： 6．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）． A ．9 41 40 B ．5 5 2 C ．3:4:5 D ．11 12 15 7．若△中，13，15，高12，则的长是（ ）． A ．14 B ．4 C ．14或4 D ．以上都不对 8． 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形 （如图4所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a +的值为（ ）． A ．13 B ．19 C ．25 D ．169 9． 如图5，四边形中，3，4，12，13，且∠900 ，则四边形的面积是（ ）． A ．84 B ．30 C ．2 51 D ．无法确定 10．如图6，已知矩形沿着直线折叠，使点C 落在处，B 交于E ，8，4，则的长为（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 三、解答题（此大题满分50分）： 11．（7分）在ABC Rt ?中，∠900 ． 图1 图2 图3 图4 图5

北师大版勾股定理复习学案

E C D B A 勾股定理 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。 勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是 三角形。 （且∠ =90°） 2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。 常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。（记忆 11～30二十个数的平方值） 3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。 题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。 例1、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,第三边得长为________ 例2、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，求△ABC 的周长为_________ 课堂训练 1.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 2、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 。 3、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________， 面积是_________。 4..如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置 上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？ 题型二 勾股定理逆定理的应用 如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如c ）； ② 验证2 c 与2 2b a +是否具有相等关系 ③ 若2 c =2 2b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形； 若2c ≠2 2b a +，则△ABC 不是直角三角形。 例1、如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ． 例2、如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且CF=4 1 CD ． 求证：△AEF 是直角三角形．

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理测试题(含答案)

八年级上北师大版第一章勾股定理测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中，不能构成直角三角形的是 （ ）. （A ）9，12，15 （B ）12，16，20 （C ）16，30，32 （D ）9，40，41 2. 如图1，直角三角形ABC 的周长为24，且AB ：BC=5：3，则AC= （ ）. （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 3. 已知：如图2，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中△ABE 的面 积为 （ ）. （A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）2 9 4. 如图3，在△ABC 中，AD ⊥BC 与D ，AB=17，BD=15，DC=6，则AC 的长为（ ）. （A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 5. 若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ）. （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）直角三角形 6. 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）. （A ）6 （B ）8.5 （C ）1320 （D ）13 60 7. 高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为 （ ）. （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 8. 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再 沿边长爬行一周需 （ ）. （A ）6秒 （B ）5秒 （C ）4秒 （D ）3秒 9. 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个 大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a 、b ，那么2 )(b a + 的值为 （ ）. （A ）49 （B ）25 （C ）13 （D ）1 10. 如图5所示，在长方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且BE=12，BF=16，则由点E 到F 的最短距离为 （ ）. （A ）20 （B ）24 （C ）28 （D ）32 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 写出两组直角三角形的三边长 .（要求都是勾股数） 12. 如图6（1）、（2）中，（1）正方形A 的面积为 .

新北师大版八上数学第一章勾股定理教案

第一章 勾股定理 第1节 探索勾股定理 教学目标 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。 重点、难点 重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。 难点：勾股定理的发现。 教学过程：3个课时 第一课时 认识勾股定理 一、导入新课 人类向太空发射“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。它是智能生物从自然界发现的通用数学知识。 二、问题 从电线杆离地面8米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6米，那么需要多长的钢索？ 三、做一做：P2 观察下图，并回答问题： （1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。 （2）如图，直角三角形三边的平分别是什么多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴交流。 （3）如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 四、勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+（a 、b 表示直角边，c 表示斜边） 五、解决开始提出的问题

六、例：1、如图，强大台风使一旗杆在距离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆原先高度是多少？ 2、变式：旗杆高24米，旗杆被风吹断后顶部距底部12米，求旗杆在什么位置折断？ 七、练习：P3，1，2，P4，1，2，3 八、作业：P4， 4 附： 1、小明从A点沿北偏东30°方向走了4m，到在B点，再沿南偏东60°方向走了3m到达C点，则A与C相距多少？ 2、如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AD⊥BC，AD=12，求AC的长。 A B C D

北师大版八年级上册第一章勾股定理 专题复习学案

第一章《勾股定理》专项练习 专题一：勾股定理 考点分析： 勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析 例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件 平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算 两圆孔中心A和B的距离为______mm． （2）如图2，直线l上有三个正方形a b c ，，，若 的面积分别为5和11，则b的面积为（） A．4 B．6 C．16 D．55 分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可． 解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm） （2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C． 点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决． 例2．如图3，正方形网格的每一个小正 方形的边长都是1，试求 122424454 A E A A E C A E C ++ ∠∠∠的度数． 解：连 32 A E． 32122222 A A A A A E A E == ，， 322122 90 A A E A A E ∠=∠=， 322122 Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS）． 322122 A E A A E A ∴∠=∠． 由勾股定理，得： 4532 C E C E ===， 4532 A E A E ===， 图2 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 5 E 2 E 1 1 1 1 4 C 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 5 E 2 E 1 1 1 1 4 C 3 C 2 C 图3

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理单元测试卷含答案解析

2018年秋八年级上学期第一章勾股定理单元测试卷 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号一二三总分 得分 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（） A．6 B．12 C．24 D．243 2．（4分）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．64 3．（4分）如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 （）

A ． B ． C ． D ． 4．（4分）下列各组数中，是勾股数的为（ ） A ．1，2，3 B ．4，5，6 C ．3，4，5 D ．7，8，9 5．（4分）如图，小明将一张长为20cm ，宽为15cm 的长方形纸（AE ＞DE ）剪去了一角，量得AB=3cm ，CD=4cm ，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ） A ．5cm B ．12cm C ．16cm D ．20cm 6．（4分）如图，长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升3cm 至D 点，则橡皮筋被拉长了（ ） A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 7．（4分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ） A ．π+13 B ．23 C ．2 432 π+ D ．213π+ 8．（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．若AC=3，AB=5，则CE 的长为（ ）

北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

第一章 勾股定理 知识点一：勾股定理定义 画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32 +42 与52 的关系，52 +122 和132 的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2 +b 2 ＝c 2 ） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。 知识点二：验证勾股定理 知识点三：勾股定理证明（等面积法） 例1。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2 ＋b 2 =c 2 。 证明： 例2。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2 ＋b 2 =c 2 。 证明： 知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90° (1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a 知识点五：勾股定理逆定理 如果三角形的三边长为c b a ,,，满足2 2 2 c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形． b b b B

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ） ②计算2 c 与22 a b +，并验证是否相等。 若2 c =22 a b +，则△ABC 是直角三角形。 若2c ≠22 a b +，则△ABC 不是直角三角形。 1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5 2.三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 3.已知0)10(862 =-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数 （1）满足2 2 2 c b a =+的三个正整数，称为勾股数． （2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41． 1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）. A.3,5,4 B. 5,12,13 C.2,3,4 D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ） A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶7 知识点七：确定最短路线 1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？ 2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 . 知识点八：逆定理判断垂直 1．在△ABC 中，已知AB 2 －BC 2 ＝CA 2 ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形； B ．直角三角形； C ．钝角三角形； D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上答案都不对 知识点九：勾股定理应用题 1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ A B C D A ' B ' C D 'A B C

新北师大版八年级数学第一章《勾股定理》单元测试卷

2017-2018北师大版八年级上册数学评价检测试卷 第一章 勾股定理 班级 姓名 座号 成绩 一、选择题 1．以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（ ） （A ）4cm ，8cm ，7cm （B ） 2cm ，2cm ，2cm （C ） 2cm ，2cm ，4cm （D ）13cm ，12 cm ，5 cm 2．一个三角形的三边长分别为15cm ，20cm ，25cm ，则这个三角形最长边上的高为（ ） （A ）12cm （B ）10cm （C ）12.5cm （D ）10.5cm 3．Rt ?ABC 的两边长分别为3和4，若一个正方形的边长是?ABC 的第三边，则这个正方形的面积是（ ） （A ）25 （B ）7 （C ）12 （D ）25或7 4．有长度为9cm ，12cm ，15cm ，36cm ，39cm 的五根木棒，可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）以上结论都不对 6．在△ABC 中，AB =12cm ， AC =9cm ，BC =15cm ，下列关系成立的是（ ） （A ）B C A ∠+∠>∠ （B ）B C A ∠+∠=∠ （C ）B C A ∠+∠<∠ （D ）以上都不对 7．小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（ ） （A ）2m （B ）2.5cm （C ）2.25m （D ）3m 8．若一个三角形三边满足ab c b a 2)(2 2=-+，则这个三角形是（ ） （A ）直角三角形 （B ）等腰直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上结论都不对 9．一架250cm 的梯子斜靠在墙上，这时梯足与墙的终端距离为70cm ，如果梯子顶端沿墙下滑40cm ，那么梯足将向外滑动（ ） （A ）150cm （B ）90cm （C ）80cm （D ）40cm 10．三角形三边长分别为12+n 、n n 222 +、1222 ++n n （n 为自然数），则此三角形是

北师大版七年级数学勾股定理知识点

勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理的内容及由来 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见证明方法如下： c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 方法一： 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三： 这1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 勾股定理知识点总结 .勾股定理的适用范 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

围 .勾股定理的应用.勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． 勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222 a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22 a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222 a b c +<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 a b c +>，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a，b，c及222 a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222 a c b +=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 常见.勾股数及其规律①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222 a b c +=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数： 22 1,2,1 n n n -+（2, n≥n为正整数）； 22 21,22,221 n n n n n ++++（n为正整数） 2222 ,2, m n mn m n -+（, m n >m，n为正整数） 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90 C ∠=?，则22 c a b =+，22 b c a =-，22 a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题

北师大版勾股定理的应用

勾股定理的应用 知识梳理: 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 题型一、关于路线最短问题 例1、有这样一个有趣的问题：如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A相对的B点的食物，需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少（ 的值取3） 注：这个问题最终的解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形，从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题。像这种，将空间问题转化为平面问题的方法，对发展我们的空间观念是很有好处的。 牛刀小试： 1、一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗蚂蚁要爬行的最短行程是多少 B 12 8 A 8 题型二、测量实际距离（求线段长度） 例2、在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。今一只小鸟在其中一棵

树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少 小试牛刀： .2.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 课堂巩固： 1、有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对的两条母线。在AA 1上有 一个蜘蛛Q ，QA =3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm 。（π 3） 2. 如图是一个长方体长4、宽3、高12，则图 中阴影部分的三角形的周长为__________ 3. 如图，一架米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将向外移多少米 第2题 12 A B 1 A 1 B Q P A B C D

勾股定理综合测试(北师版)(含答案)

勾股定理综合测试（北师版） 试卷简介:本套试卷主要围绕勾股定理的内容以及在实际生活的应用展开，考查学生对于勾股定理以及勾股定理逆定理的理解，包括最短路径问题、等面积法等。 一、单选题(共14道，每道7分) 1.如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2),其中正确的结论有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解题思路： ①∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE， ∵在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE，结论①正确； ②∵△BAD≌△CAE， ∴∠ADB=∠AEC， ∵∠AEC+∠ADE=90°， ∴∠ADB+∠ADE=90°， 即BD⊥CE，结论②正确； ③∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD+∠DBC=45°， ∵∠ABD=∠ACE ∴∠ACE+∠DBC=45°，结论③正确； ④∵BD⊥CE， ∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：，

∵△ADE为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 而，结论④错误， 综上，正确的个数为3个． 故选C 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定 2.如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,则小鸟至少飞行( ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 答案：B 解题思路： 如图，AB=10，CD=4，BD=8. 过C点作CE⊥AB于E，连接AC. ∴EB=4，EC=8，AE=AB-EB=10-4=6， 在Rt△AEC中， 故选B 试题难度：三颗星知识点：勾股定理 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )

北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)

北师大版八年级数学上 勾股定理练习题 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ） A 、2k B 、k+1 C 、k 2－1 D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A 2d （B d （C ）2d （D ）d 8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ： 7 9．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ） A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对