1第一章 三角函数知识点
1、角的定义:
???
????正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角。
第一象限角的集合为22,2k k k π
απαπ??
<<+
∈Z ???
?
第二象限角的集合为22,2k k k π
απαππ??
+
<<+∈Z ???
?
第三象限角的集合为322,2k k k παππαπ??
+<<+
∈Z ???
?
第四象限角的集合为3222,2k k k παπαππ??
+
<<+∈Z ????
终边在x 轴上的角的集合为
{},k k ααπ=∈Z
终边在y 轴上的角的集合为,2k k π
α
απ??
=+
∈Z ???
?
终边在坐标轴上的角的集合为,2k k πα
α??=
∈Z ???
?
3、与角α终边相同的角的集合为{}2,k k ββπα=+∈Z
4、已知α是第几象限角,确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n
α
终边所落在的区域。 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r
α=
。 7、弧度制与角度制的换算公式:180********.3180π
ππ??
===≈ ???
,, 8、若扇形的圆心角为()α
α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,
211
22
S lr r α==。
9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y 离是
()
0r r =>,则sin y
r
α=
,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠。
10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,
第三象限正切为正,第四象限余弦为正。
11、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT 。(如图) 12、同角三角函数的基本关系:
()222222(1)sin cos 1 sin 1cos ,cos 1sin αααααα+==-=-
sin sin tan sin tan cos ,cos cos tan ααααααααα?
?=== ??
?(2)
13、三角函数的诱导公式:
三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作
锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限
三角函数值等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符
号;即:函数名改变,符号看象限
14、(1)函数sin y x =的图象上所有点向左(右)平移?个单位长度,得到函数()sin y x ?=+的图象;再将函数
()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
ω
倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ω?=+的图
象;再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数
()sin y A x ω?=+的图象。
(2)函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
ω
倍(纵坐标不变),得到函数sin y x ω=的图象;
再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移
?
ω
个单位长度,得到函数()sin y x ω?=+的图象;再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y A x ω?=+的图象。
(3)函数()()sin 0,0y A x A ω?ω=+>>的性质: ①振幅:A ;②周期:2T π
ω
=
;③频率:12f T ω
π
=
=
;④相位:x ω?+;⑤初相:?。 (4)函数()si n y A x B ω?=++,当1x x =时,取得最小值为min y ;当2x x =时,取得最大值为max y ,则
()m a x m i n 12A y y =
-,()max min 12B y y =+,()21122
T
x x x x =-<。 15
R R
,2x x k k ππ??
≠+∈Z ????
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标:借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义,根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号,掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标:能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标:培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点:理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 2、教学难点:从函数角度理解三角函数。 3、教学关键:利用数形结合的思想。 三、教学形式:讲练结合法 四、课时计划:2节课 五、教具:圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数,知道他们都是以锐角为自变量,以比值 为函数值的函数,你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗? 设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,那么它 的终边在第一象限,在α的终边上任取一点P (a,b ),它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义,我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===,引入单位圆概念。 (二)新课 1、设α是以任意角,它的终边与单位圆交于P (x,y ),那么: (1) y 叫做α的正弦,记作αsin , 即y αsin =; (2) x 叫做α的余弦,记作αcos ,即x αcos =; (3) x y 叫做α的正切,记作αtan ,即x y αtan =)0(≠x . 注:用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值,纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义,得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现:第一象限全为正,第二象限只有正弦为正,第三象限只有正切为正,第四象限只有余弦为正。总结出一条法则:一全正,二正弦,三正切,四余弦。 注:这有利于培养学生观察和思考的能力,以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出:1cos sin 22=+αα,根据三角函数定义,当)(2z k k ∈+≠π πα时,有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中,作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-,所以
三角函数 一、基本内容串讲 本章主干知识:三角函数的定义、图象、性质及应用,函数()?ω+=x A y sin 的图象,三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。 1.任意角和弧度制 从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴非负半轴重合)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成α+k ·3600 (k ∈Z )的形式,特例,终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800 ,k ∈Z},终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900 +k ·18000 ,k ∈Z},终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900,k ∈Z}。另外,角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限的角。 弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式=|α|R ,扇形面积公式||R 2 1R 2 1S 2α== ,其中α为 弧所对圆心角的弧度数。 2.任意角的三角函数 利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记22y x |OP |r +==,则r y sin =α,r x cos = α,x y tan = α。 3.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:22sin cos 1αα+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = 4.三角函数的诱导公式 利用三角函数定义,可以得到诱导公式:即πα2 k +与α之间函数值的关系(k ∈Z ), 其规律是“奇变偶不变,符号看象限”。 5.三角函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R },2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π
高中数学必修4知识点汇总 第一章:三角函数 1、任意角①正角:按逆时针方向旋转形成的角 ②负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限 对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制),半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S 则αr l =,l r C +=2,221 21r lr S α== 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离 是() 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1.下列说法中,正确的是( ) A .第二象限的角是钝角 B .第三象限的角必大于第二象限的角 C .-831°是第二象限角 D .-95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角 2.若点(a,9)在函数y =3x 的图象上,则tan a π 6的值为( ) A .0 B.3 3 C .1 D. 3 3.若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则θ 2的终边在( ) A .第一、三象限 B .第二、四象限 C .第一、三象限或x 轴上 D .第二、四象限或x 轴上 4.如果函数f (x )=sin(πx +θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ,且当x =2时取得最大值,那么( ) A .T =2,θ=π 2 B .T =1,θ=π C .T =2,θ=π D .T =1,θ=π 2 5.若sin ? ???? π2-x =-32,且π 7.将函数y =sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到y =sin ? ?? ?? x -π6的图象,则φ=( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8.若tan θ=2,则2sin θ-cos θ sin θ+2cos θ的值为( ) A .0 B .1 C.34 D.54 9.函数f (x )=tan x 1+cos x 的奇偶性是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .既不是奇函数也不是偶函数 10.函数f (x )=x -cos x 在(0,+∞)内( ) A .没有零点 B .有且仅有一个零点 C .有且仅有两个零点 D .有无穷多个零点 必修四第一章三角函数测试题 班别 姓名 分数 一、选择题 1.已知cos α=1 2 ,α∈(370°,520°),则α等于 ( ) A .390° B .420° C .450° D .480° 2.若sin x ·tan x <0,则角x 的终边位于 ( ) A .第一、二象限 B .第二、三象限 C .第二、四象限 D .第三、四象限 3.函数y =tan x 2 是 ( ) A .周期为2π的奇函数 B .周期为π 2的奇函数C .周期为π的偶函数D .周期为2π的偶函数 4.已知函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图,那么ω等于 ( ) A .1 B .2 C.12 D.13 5.函数f (x )=cos(3x +φ)的图象关于原点成中心对称,则φ等于 ( ) A .-π2 B .2k π-π 2 (k ∈Z ) C .k π(k ∈Z ) D .k π+π 2(k ∈Z ) 6.若sin θ+cos θsin θ-cos θ =2,则sin θcos θ的值是 ( ) A .-310 B.310 C .±310 D.34 7.将函数y =sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 ( ) A .y =sin ? ???2x -π10 B .y =sin ????2x -π5 C .y =sin ????12x -π10 D .y =sin ??? ?12x -π 20 8.在同一平面直角坐标系中,函数y =cos ????x 2+3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y =1 2的交点个数是 ( ) A .0 B .1 C .2 D .4 9.已知集合M =???? ??x |x =k π2+π4,k ∈Z ,N ={x |x =k π4+π 2,k ∈Z }.则 ( ) A .M =N B .M N C .N M D .M ∩N =? 高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α, 即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即 tan (0)y x x α=≠。 (二)设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 高一数学同步测试(1)—角的概念·弧度制 一、选择题(每小题5分,共60分,请将所选答案填在括号内) 1.已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是( ) A .B=A ∩C B .B ∪C=C C .A ?C D .A=B=C 2.下列各组角中,终边相同的角是 ( ) A . π2 k 与)(2Z k k ∈+ π π B .)(3k 3Z k k ∈± ππ π与 C .ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈ D .)(6 6Z k k k ∈± + π πππ与 3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是 ( ) A .2 B . 1 sin 2 C .1sin 2 D .2sin 4.设α角的终边上一点P 的坐标是)5 sin ,5(cos π π ,则α等于 ( ) A . 5 π B .5 cot π C .)(10 32Z k k ∈+ππ D .)(5 92Z k k ∈- ππ 5.将分针拨慢10分钟,则分钟转过的弧度数是 ( ) A . 3 π B .- 3 π C . 6 π D .-6 π 6.设角α和β的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A .)(2 Z k ∈-= βπ α B .)()2 1 2(Z k k ∈-+ =βπα C .)(2Z k ∈-=βπα D .)()12(Z k k ∈-+=βπα 7.集合A={}, 32 2|{},2|Z n n Z n n ∈±=?∈= ππααπαα, B={}, 2 1 |{},3 2|Z n n Z n n ∈+=?∈=ππββπ ββ, 则A 、B 之间关系为 ( ) A .A B ? B .B A ? C .B ?A D .A ?B 8.某扇形的面积为12 cm ,它的周长为4cm ,那么该扇形圆心角的度数为 ( ) A .2° B .2 C .4° D .4 9.下列说法正确的是 ( ) A .1弧度角的大小与圆的半径无关 B .大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 ≠ ≠ ≠ 《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角:{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角: {}090αα<< 小于90的角:{}90αα< 5、若α为第二象限角,那么 2 α 为第几象限角? ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表: 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号 口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全s t c ”) 高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落 在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈?+=,360| αββ} 4、弧度制: (1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. (2)度数与弧度数的换算:π2360o =,π= 180 rad ,1 rad '185730.57)180 ( =≈=π 注:角度与弧度的相互转化:设一个角的角度为o n ,弧度为α; ①角度化为弧度: 180180ππ n n n o o o = ? =,②弧度化为角度:o o 180180?? ? ??=?=παπαα (3)若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数),半径为r ,则: 弧长公式: ①,180 (用度表示的)π n l = ② (用弧度表示的)r l ||α=; 扇形面积:①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇(用弧度表示的) 5、三角函数: (1)定义①:设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点 是(),x y ,它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>, 则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠ 定义②:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦,记作cos α,即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时, x y 叫做α的正切,记作tan α, 即tan α=x y . (2)三角函数值在各象限的符号:口诀:全正,S 正,T 正,C 正。 口诀:第一象限全为正; 二正三切四余弦. (3)特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O 2020年暑假数学课外辅导(必修4) 第一章 三角函数 一、基本内容串讲 本章主干知识:三角函数的定义、图象、性质及应用,函数()?ω+=x A y sin 的图象,三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。 1.任意角和弧度制 从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴非负半轴重合)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边α相同的角,都可以表示成α+k ·3600 (k ∈Z )的形式,特例,终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800,k ∈Z},终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900+k ·18000,k ∈Z},终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900,k ∈Z}。另外,角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限的角。 弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式=|α|R ,扇形面积公式||R 2 1R 2 1S 2α==λ,其中α为 弧所对圆心角的弧度数。 2.任意角的三角函数 利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ,y)是角α终边上任一点(与原点不重合),记22y x |OP |r +==,则r y sin = α,r x cos =α, x y tan = α。 3.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:22sin cos 1αα+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = 4.三角函数的诱导公式 利用三角函数定义,可以得到诱导公式:即πα2 k +与α之间函数值的关系(k ∈Z ), 其规律是“奇变偶不变,符号看象限”。 5.三角函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义 R R },2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π 三角函数 公式大全 姓名: 1、两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3π+a)·tan(3 π-a) 4、半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2 cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 5、和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 6、积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数(初等函数二) ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{ } 360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{ } 360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{ } 180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{ } 18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{ } 90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{ } 360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 2 1122 S lr r α= = . 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是( ) 0r r =>, 则sin y r α= ,cos x r α= ,()tan 0y x x α= ≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:sin α=M P ,cos α=O M ,tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系:()2 2 1sin cos 1αα+= 高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角,与角终边相同的 角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制,弧度与角度的换算, 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==, 二:任意角的三角函数定义:任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(x,y),它与原点的距离是 22r x y =+(r>0),那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。 三:同角三角函数的关系式与诱导公式: 1.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系: sin tan cos α αα = 3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x 2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为: 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换:相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换:sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换:sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定,ω有周期确定,φ有特殊点确定。 基础练习: 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ,该圆心角是1弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4、函数 y =的定义域是_____ __ 5、. 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ) (A)向左平移个6π单位 (B )向右平移个6π单位(C )向左平移个3π单位 (D )向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,cosα)在第三象限,则角α的终边在 9、下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) A .sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D .sin()23 π =+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是( ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P(-4,3),求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值 任意角 一、知识概述 1、角的分类:正角、负角、零角. 2、象限角:(1)象限角. (2)非象限角(也称象限间角、轴线角). 3、终边相同的角的集合:所有与角终边相同的角,连同α角自身在内,都可以写成α+k·360°(k∈Z)的形式;反之,所有形如α+k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同. 4、准确区分几种角 锐角:0°<α<90°; 0°~90°:0°≤α<90°; 第一象限角:. 5、弧度角:弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角(1 rad). 1 rad=,1°=rad. 6、弧长公式:l=αR. 7、扇形面积公式:. 二、例题讲解 例1、写出下列终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式的元素写出来: (1)60°;(2)-21°;(3)363°14′. 解: (1), S中满足的元素是 (2), S中满足的元素是 (3), S中满足的元素是 例2、写出终边在y轴上的角的集合. 解析: ∴. 注: 终边在x轴非负半轴:. 终边在x轴上:. 终边在y=x上:. 终边在坐标轴上:. 变式:角α与β的终边关于x轴对称,则β=_______. 答案:. 角α与β的终边关于y轴对称,则β=_______. 答案: 任意角的三角函数 一、知识概述 1、定义:在直角坐标系中,设α是一个任意角,α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tan α=. 注:①对于确定的角α,其终边上取点,令, 则. ②α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置. 2、公式一:, , ,其中. 3、三角函数线 角α的终边与单位圆交于P点,过P作PM⊥x轴于M,则sinα=MP(正弦线),cosα=OM(余弦线).过A作单位圆的切线,则α的终边或其反向延长线交此切线于点T,则tanα=AT(正切线). 新人教版高中数学必修4知识点总结经典 新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<+∈Z o o o 第二象限角的集合为 {}36090 360180,k k k α?++∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k α α?+<+∈Z o o o o 第四象限角的集合为 {}360270 360360,k k k αα?+<+∈Z o o o o 区域角怎么表示: 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z o 终边在y 轴上的角的集合为 {}18090,k k αα=?+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z o 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z o 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=o ,1180 π=o ,180157.3 π??=≈ ??? o o . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、三角函数概念:(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的 正弦,记做sin α,即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切, 记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。 数学必修四三角函数公式盘点与归纳 1、诱导公式: sin(2kπ+α)=sinα, cos(2kπ+α)=cosα sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα sin(2π-α)=-sinα, cos(2π-α)=cosα sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα sin(+α)=cosα, cos(+α)=-sinα sin(-α)=cosα, cos(-α)=sinα 2、同角三角函数基本关系: sin2α+cos2α=1, =tanα, tanα×cotα=1, 1+tan2α=, 1+cot2α= cosα=, sinα= 3、两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ, cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ tan(α+β)=, tan(α-β)=, 4、二倍角的三角函数: sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α =1-2sin2α =2cos2α-1, tan2α=, sin=, cos=, tan= = = 5、万能公式: sin2α=, cos2α= 6、合一变式: asinα+bcosα =sin(α+γ)(tanγ=)7、其他公式: sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)],sinα+sinβ=2sin cos, sinα-sinβ=2cos sin, cosα+cosβ=2cos cos, cosα-cosβ=2sin cos 文小编收集文档之必修四第一章三角函数测试题' 班别 姓名 分数 一、选择题 1.已知cos α=1 2 ,α∈(370°,520°),则α等于( ) A .390° B .420° C .450° D .480° 2.若sinx·tanx<0,则角x 的终边位于( ) A .第一、二象限 B .第二、三象限 C .第二、四象限 D .第三、四象限 3.函数y =tan x 2 是( ) A .周期为2π的奇函数 B .周期为π 2的奇函数C .周期为π的 偶函数D .周期为2π的偶函数 4.已知函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图,那么ω等于( ) 1 3 D. 122C..B 1.A 5.函数f(x)=cos(3x +φ)的图象关于原点成中心对称,则φ等于( ) Z) ∈k (π 2 +πk .D Z)∈k (πk .C Z)∈k (π2-πk 2.B π2.-A 6.若sinθ+cosθ sinθ-cosθ =2,则sin θcos θ的值是( ) 3 4 D.3 10±.C 3 10B.3 10.- A 7.将函数y =sinx 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位 长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A .y =sin ? ????2x -π10 B .y =sin ? ????2x -π5 C .y =sin ? ?? ? ? 12x -π10D .y =sin ? ?? ?? 12x -π20 8.在同一平面直角坐标系中,函数y =cos ? ?? ?? x 2+3π2(x ∈[0,2π]) 的图象和直线y =1 2 的交点个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .4 9.已知集合M =?????? x|x =kπ2+π4,k∈Z ,N ={x|x =kπ4+π2, k ∈Z}.则( ) A .M =N B .M NC .N MD .M ∩N =? 10.设a =sin 5π 7,b =cos 2π7,c =tan 2π 7 ,则( ) A .a 必修四《三角函数》所有知识点、公式(必须会背) 1.终边相同的角: 与角α有相同终边的角的集合为:_______________________________. 2.象限角的集合 (1)第一象限角的集合:_______________________________________ (2)第二象限角的集合:_______________________________________ (3)第三象限角的集合:_______________________________________ (4)第四象限角的集合:_______________________________________ 3.轴线角的集合 (1)终边在x 轴上的角的集合:__________________________ (2)终边在y 轴上的角的集合:__________________________ (3)终边在坐标轴上的角的集合:________________________ 4.角度制与弧度制相互换算 360°=_________rad 180°=_________rad 1°=_________rad 1 rad =_________°≈ _________° 5.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式: 角α的弧度数的绝对值||α=______________ (l 为弧长,r 为半径) 弧长公式:l =_______ 扇形面积公式:S =________=________.扇形的周长:c = 6.任意角三角函数的的定义:1.定义:以角α顶点为原点O , 始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系.在角α的终边上任取不同于原点O 的一点(),P x y ,设P 点与原点O 的距 离为r ()0r >,则||PO r ==则角α的三个三角函 数依次为: sin α=________,cos α=________,tan α=________ 8.三角函数值符号的判断: 当α为第________象限角时,sin 0α>;当α为第_________象限角时,sin 0α<; 当α为第________象限角时,cos 0α>;当α为第_________象限角时,cos 0α<; 当α为第________象限角时,tan 0α>;当α为第_________象限角时,tan 0α<. 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 6、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 7、若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT . 11、角三角函数的基本关 系必修四第一章三角函数测试题(含答案)
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2020年暑假数学课外辅导(必修4)第一章 三角函数人教版必修四
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人教版 高中数学必修4 三角函数知识点
高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题
人教版高中数学必修4三角函数
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数学必修四三角函数公式总结与归纳
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