必修四第一章 三角函数解题技巧
必修四第一章 三角函数解题技巧
1 例说弧度制中的扇形问题
与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l ＝|α|r 和扇形面积公式S ＝
1
2|α|r 2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解．下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题． 例1 已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积．
例2 扇形的半径为R ，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？
例3 已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
针对练习：
1．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S 最大？最大值是多少？ 2．在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积． 3．已知扇形AOB 的周长是6 cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．
2 任意角三角函数问题错解辨析
任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考． 一、概念不清
例1 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．
二、观察代替推理
例2 当α∈(0，π
2)时，求证：sin α＜tan α.
三、估算能力差
例3 若θ∈????0，π
2，则sin θ＋cos θ的一个可能的值是( ) A.2
3
B.2
7π C.4－22
D ．1
3 同角三角函数关系巧应用
同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用． 一、知一求二型
例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.
二、妙用“1”
例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝3
2.
三、齐次式型求值 例3 已知tan α＝2，求值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.
4 单调不“单调”，应用很“奇妙”
三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助． 一、信心体验——比较大小 例1 比较cos 5π14，sin 2π7，－cos 8π
7
的大小．
二、重拳出击——求解最值
例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π
4]上的最小值和最大值．
三、触类旁通——解不等式 例3 若0≤α<2π，sin α>3
3
cos α，求α的取值范围．
5 善用数学思想——巧解题
一、数形结合思想
例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．
二、分类讨论思想
例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
三、函数与方程的思想
例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π
3)的最大值是________．
四、转化与化归思想
例4 比较下列每组数的大小． (1)tan 1，tan 2，tan 3； (2)tan(－13 π4)与tan(－17 π
5
)．
6 三角函数的性质总盘点
三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会． 一、定义域 例1 函数y ＝ cos x －1
2
的定义域为________．
二、值域与最值
例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π
3]的值域是________．
三、单调性
例3 已知函数f (x )＝sin(π
3
－2x )，求：
(1)函数f (x )的单调递减区间；
(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间．
四、周期性与对称性
例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π
3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方
程是( ) A ．x ＝π
12
B ．x ＝π6
C ．x ＝5π
12
D ．x ＝π
3
五、奇偶性
例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ
3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( )
A.π2
B.2π3
C.3π2
D.5π3
7 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题
正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题． 一、确定函数的值域
例1 定义运算a ※b 为a ※b ＝?
????
a ，a ≤
b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值
域为( ) A ．[－1,1]
B.?
???－
22，1 C.?
???－1，
22 D.?
??
?
－1，－
22
二、确定零点个数
例2 函数f (x )＝????12x
－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．
三、确定参数的值
例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ????π6＝f ????π3，且f (x )在区间????π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝_________________________________________________.
四、判断函数单调性
例4 设函数f (x )＝???
?sin ????x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间????2π3，4π3上是增函数 B ．在区间????3π4，13π
12上是增函数 C ．在区间????－π8，π4上是减函数 D ．在区间????π3，5π
6上是减函数
五、确定参数范围
例5 当0≤x ≤1时，不等式sin πx
2
≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．
六、研究方程的实根
例6 已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π
12
]有两解，求a 的取值范围．
8 三角函数学习中的“小技巧、大突破”
从近几年高考数学试卷统计情况看，三角函数是高考的六大板块之一，每年考一道大题和一道小题，而一道大题里面往往又隐含了若干个小问题．所以，高中生应该注意三角函数知识
里面的容易被忽略的一些小问题、小技巧． 一、“已知三角函数值求角”问题
在学习过程中学生们通常存在这么几个困惑：1、给出一个三角函数值可能对应着多个或无数个角，不知道该先求哪个角？2、不能准确的写出已知要求的那个范围的角．下面以四个例题说明： 例1 已知sin x ＝
22且x ∈[－π2，π
2]，求x 的取值集合． 例2 已知sin x ＝－22且x ∈[－π2，π
2]，求x 的取值集合． 例3 已知sin x ＝－2
2
且x ∈[0,2π]，求x 的取值集合． 例4 已知sin x ＝－2
2
，求x 的取值集合．
二、“利用三角函数的单调性比较大小”问题
在教学中通常要求学生把三角函数化成同名且自变量落在一个单调区间内即可，但是学生在实际操作过程中容易混淆单调区间，不如我们把此问题中的自变量利用诱导公式负角化为正角，正角统一都化为锐角，这样就更简洁、明朗了，因为正弦、余弦、正切函数都在区间(0，π
2
)内的单调性依次为：单调递增、单调递减、单调递增。 典例 比较tan ????－134π与tan ????－17
5π的大小．
必修四第一章 三角函数解题技巧
1 例说弧度制中的扇形问题
与扇形有关的问题是弧度制中的难点，我们可以应用弧长公式l ＝|α|r 和扇形面积公式S ＝
1
2
|α|r 2解决一些实际问题，这类问题既充分体现了弧度制在运算上的优越性，又能帮助我们加深对弧度制概念的理解．下面通过几例帮助同学们分析、归纳弧度制下的扇形问题． 例1 已知扇形的圆心为60°，所在圆的半径为10，求扇形的弧长及扇形中该弧所在的弓形面积．
解析 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝60°＝π3，r ＝10，所以l ＝αr ＝10π3，所以S 弓＝S 扇
－S △＝12lr －12r 2sin α＝50???
?π3－3
2.
评注 本题利用扇形面积求弓形面积，解题时要根据具体问题进行分割，再求解． 例2 扇形的半径为R ，其圆心角α(0＜α≤π)为多大时，扇形内切圆面积最大，其最大值是多少？
解 如图，设内切圆半径为r .
则(R －r )sin α
2＝r ，所以r ＝R sin
α
21＋sin
α
2
，
则内切圆的面积S ＝πr 2
＝π? ????R sin α21＋sin α22
＝πR 2
? ??
??
sin α
21＋sin α22
.
因为sin
α2
1＋sin α2＝1
1＋
1sin
α
2
，且0＜α2≤π2，所以当α2＝π2，即α＝π时，S max ＝πR 2
4
.
评注 解决扇形问题要注意三角形一些性质的应用，建立相等关系，进而求解．
例3 已知扇形的周长为30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，所以l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－????r －1522＋2254cm 2，所以当半径r ＝15
2cm 时，扇形面积最大，为2254cm 2.这时α＝l
r
＝2.
评注 本题是利用扇形面积公式建立二次函数，进而求二次函数的最值．此题是扇形周长一定时，求扇形的面积的最大值，利用此法也可以求当扇形的面积一定其周长的最小值问题． 针对练习：
1．扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使扇形面积S 最大？最大值是多少？ 2．在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，弧AB 的长为l ，求此扇形内切圆的面积． 3．已知扇形AOB 的周长是6 cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积． 答案 1.θ＝2时，扇形面积最大，最大值为C 216
2．S ＝πr 2＝12－82πl 2
3．2cm 2
2 任意角三角函数问题错解辨析
任意角三角函数是三角函数的基础，在学习这部分内容时，有的同学经常因为概念不清、考虑不周、观察代替推理等原因而错解题目，下面就解题中容易出现的错误进行分类讲解，供同学们参考． 一、概念不清
例1 已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．
错解 在角α的终边所在直线y ＝2x 上取一点P (1,2)，则r ＝12＋22＝ 5. 所以sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－25＋－15
＝35
5.
剖析 错解未弄清直线与角的终边的区别，误认为在角α的终边所在直线上取一点与角α的终边上任取一点都可以确定角α的三角函数值，由任意角三角函数的定义知这是错误的． 正解 在直线y ＝2x 第一象限部分取一点P (1,2)，则r ＝12＋22＝ 5. 所以sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－25＋－15＝35
5.
在直线y ＝2x 第三象限部分取一点P (－1，－2)， 则r ＝(－1)2＋(－2)2＝ 5.
所以sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－25＋－15＝－35
5.
综上，sin α＋cos α的值为355或－35
5.
二、观察代替推理
例2 当α∈(0，π
2
)时，求证：sin α＜tan α.
错解 如图，设角α的始边与x 轴非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T ，则MP ＝sin α.记A P 的长为l ，则l ＝α·OP ＝α，AT ＝tan α.观察可得MP ＜l ＜AT ，所以sin α＜α＜tan α.
剖析 证明过程中，通过观察得到的结论，缺乏理论根据，这是不允许的．
正解 设角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与角α的终边交于点T ，则MP ＝sin α.记A P 的长为l ，则l ＝α·OP ＝α，AT ＝tan α. 因为S △OAP ＜S 扇形 OAP ＜S △OAT ， 所以12OA ·MP ＜12OA ·l ＜12OA ·AT .
所以MP ＜l ＜AT ，即sin α＜α＜tan α. 三、估算能力差
例3 若θ∈????0，π
2，则sin θ＋cos θ的一个可能的值是( ) A.2
3
B.27π
C.4－22
D ．1
错解 因为θ∈????0，π2， 所以0＜sin θ＜1,0＜cos θ＜1. 因此选A.
剖析 由于方法不当，估算能力差，没有正确估算出sin θ＋cos θ的范围，造成错误。 正解 如图所示，设P (x ，y )是角θ终边上任意一点，且|OP |＝r ，则sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝x ＋y
r
.
因为θ∈???
?0，π
2， 所以x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞r . 故sin θ＋cos θ＞1.
而四个选项中只有C 符合要求． 故选C.
以上例举了三种常见的错误，并给出正确解法．同学们在解题时要认真审题，缜密思考，避免犯类似的错误．
3 同角三角函数关系巧应用
同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系巧应用． 一、知一求二型
例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_________________________________.
解析 由sin α＝25
5
，
且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±5
5，
因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，
所以tan α＝sin αcos α＝－2.
答案 －2
点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论． 二、妙用“1”
例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.
证明 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，
所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3,1＝(sin 2x ＋cos 2x )2， 所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x
＝(sin 2x ＋cos 2x )3－sin 6x －cos 6x (sin 2x ＋cos 2x )2－sin 4x －cos 4x ＝3sin 4x ·cos 2x ＋3cos 4x ·sin 2x 2sin 2x cos 2x
＝3(sin 2x ＋cos 2x )2＝32.
即原命题得证．
点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解． 三、齐次式型求值
例3 已知tan α＝2，求值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.
解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α， 得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)2sin 2
α－3cos 2
α＝2sin 2α－3cos 2α
sin 2α＋cos 2α
，
因为cos 2 α≠0，分子分母同除以cos 2α， 得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1
点评 这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题．解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N *)．这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解．
4 单调不“单调”，应用很“奇妙”
三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以方便地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，希望能对同学们的学习有所帮助． 一、信心体验——比较大小 例1 比较cos 5π14，sin 2π7，－cos 8π
7
的大小． 解 因为sin
2π7＝cos(π2－2π7)＝cos 3π14，－cos 8π7
＝ cos π7，又0<π7<3π14<5π14<π2，而y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，所以cos π7>cos 3π14>cos 5π
14，
即－cos
8π7>sin 2π7>cos 5π
14
. 点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：①将不同名的三角函数化为同名三角函数；②用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；③由单调性得出各值的大小关系． 二、重拳出击——求解最值
例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π
4
]上的最小值和最大值．
解 因为当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
即k π－π8≤x ≤k π＋3π
8(k ∈Z )时，
函数f (x )＝2sin(2x －π
4)单调递增；
当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π
2
(k ∈Z )，
即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π
8
(k ∈Z )时，函数单调递减，
所以f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π
4]上为减函数．
又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π
4
)＝－1.
故函数f (x )在区间[π8，3π
4
]上的最大值为2，最小值为－1.
点评 求三角函数的最值是一类重要的三角问题，也是高考中经常出现的考点，解题过程中要注意将ωx ＋φ看作一个整体．利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础知识的综合运用．
三、触类旁通——解不等式 例3 若0≤α<2π，sin α>
3
3
cos α，求α的取值范围． 解 当α＝π2时，不等式成立，当α＝3π2时，不等式不成立．当α∈[0，π2)∪(3π
2，2π]时，cos α>0，
则原不等式可化为tan α>
33，根据正切函数的单调性得，π6<α<π2；同理可得，当α∈(π2，3π
2
)时，π2<α<7π6.综上，α的取值范围是(π6，7π
6
)．
点评 利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解．
5 善用数学思想——巧解题
一、数形结合思想
例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________． 解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0,2π)的图象如图：
由图知，x ∈(π4，5π
4)．
答案 (π4，5π
4
)
点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用函数的图象使问题变得更简单． 二、分类讨论思想
例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，
r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |. 当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－3
5，
cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4；
当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝3
5，
cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4，
综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3
4；
或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3
4
.
点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类讨论．(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要讨论． 三、函数与方程的思想
例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π
3)的最大值是________．
解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1 ＝(cos x ＋
32)2－7
4
， 设cos x ＝t ，因为π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤3
2，又
函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上单调递增，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54
. 答案 5
4
点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值． 四、转化与化归思想
例4 比较下列每组数的大小． (1)tan 1，tan 2，tan 3； (2)tan(－13 π4)与tan(－17 π
5
)．
解 (1)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又因为π2<2<π，所以－π
2<2－π<0.
因为π2<3<π，所以－π
2<3－π<0.
显然－π2<2－π<3－π<1<π2，
而y ＝tan x 在(－π2，π
2)内是增函数，
所以tan(2－π) (2)tan(－13 π4)＝－tan π4，tan(－17 π5)＝－tan 2π 5 . 因为0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，所以tan π4 5， 即tan(－13π4)>tan(－17π 5 )． 点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小．另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想． 6 三角函数的性质总盘点 三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够灵活地运用性质，必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们用心体会． 一、定义域 例1 函数y ＝ cos x －1 2 的定义域为________． 解析 由题意得cos x ≥1 2， 所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π 3 ，k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π 3 ]，k ∈Z . 答案 [2k π－π3，2k π＋π 3 ]，k ∈Z 点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解． 二、值域与最值 例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π 3]的值域是________． 解析 因为0 3π， 由f (x )＝cos x 的图象如图可知： cos 23π≤cos(x ＋π3) 2. 故函数的值域是[－12，12)． 答案 [－12，1 2 ) 点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值． 三、单调性 例3 已知函数f (x )＝sin(π 3－2x )，求： (1)函数f (x )的单调递减区间； (2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π 3)，所以原函数的递减区间即为函数y ＝sin(2x －π 3 )的递增区间． (1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π 2，k ∈Z ， 解得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12，k ∈Z . 所以f (x )＝sin(π 3－2x )的递减区间为 [k π－ π12，k π＋5π 12 ]，k ∈Z . (2)在减区间[k π－π12，k π＋5π 12 ]，k ∈Z 中， 令k ＝－1,0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[－π，－7π 12]，[－ π 12 ，0]． 点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看做一个整体，根据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；如果要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间． 四、周期性与对称性 例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π 3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方 程是( ) A ．x ＝π 12 B ．x ＝π 6 C ．x ＝5π 12 D ．x ＝π 3 解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin(2x －π 3)， 由2x －π3＝π 2 ＋k π，k ∈Z ， 解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π 2，k ∈Z ， 所以x ＝5π 12为f (x )的一条对称轴，选C. 答案 C 点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决．同样地，求解对称中心也有两种方法． 五、奇偶性 例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3 解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称； 由x ＋φ3＝π2＋k π可得函数的对称轴方程是x ＝3π2＋3k π－φ，k ∈Z ，令3π2＋3k π－φ＝0， 解得φ＝3π 2＋3k π，k ∈Z ， 又φ∈[0,2π)，故φ＝3π 2. 答案 C 点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数?函数图象关于y 轴对称；奇函数?函数图象关于原点对称． 7 数形结合百般好，形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题 正弦、余弦函数的图象是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能根据问题的题设特点灵活构造图象，往往能直观、准确、快速解题． 一、确定函数的值域 例1 定义运算a ※b 为a ※b ＝? ???? a ，a ≤ b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值 域为( ) A ．[－1,1] B.? ?? ?－ 22，1 C.? ?? ? －1， 22 D.? ?? ? －1，－ 22 解析 根据题设中的新定义，得f (x )＝? ???? sin x ，sin x ≤cos x ， cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的 图象，如图可知函数f (x )的值域为? ?? ? －1， 22. 答案 C 点评 有关三角函数的值域的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解． 二、确定零点个数 例2 函数f (x )＝????12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________． 解析 在同一直角坐标系内，画出y ＝????12x 及y ＝sin x 的图象，由图象可观察出交点个数为2. 答案 2 点评 有关三角函数的交点个数的确定，常常作出函数的图象，借助于图象直观、准确求解． 三、确定参数的值 例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ????π6＝f ????π3，且f (x )在区间????π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________________________. 解析 ∵f (x )＝sin ????ωx ＋π3(ω>0)且f ????π6＝f ????π 3， 又f (x )在区间???? π6，π3内只有最小值、无最大值， 画出函数大致图象，如图所示， ∴f (x )在π6＋ π 32＝π 4处取得最小值． ∴π4ω＋π3＝2k π－π 2(k ∈Z )． ∴ω＝8k －10 3(k ∈Z )． ∵ω>0， ∴当k ＝1时，ω＝8－103＝14 3 ； 当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间????π6，π3内已存在最大值．故ω＝143. 答案 14 3 点评 本题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质的理解与应用，求解本题应注意两点：一是f (x )在π 4处取得最小值；二是在区间????π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以帮助解题． 四、判断函数单调性 例4 设函数f (x )＝??? ?sin ????x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间????2π3，4π3上是增函数 B ．在区间????3π4，13π12上是增函数 C ．在区间??? ?－π8，π 4上是减函数 D ．在区间???? π3，5π6上是减函数 解析 作出函数y ＝??? ?sin ????x ＋π3的图象如图所示． 由图象可知B 正确． 答案 B 点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图象，利用数形结合思想求解． 五、确定参数范围 例5 当0≤x ≤1时，不等式sin πx 2 ≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 解析 作出函数y ＝sin πx 2 ，y ＝kx 的函数图象，如图所示． 当k ≤0时，显然成立； 当0 πx 2 ≥kx 在x ∈[0,1]上成立． 综上所述，k ≤1. 答案 k ≤1 点评 数形结合时，函数图象要根据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算判断．本题讨论y ＝kx 与y ＝sin πx 2 的图象关系时，不要忘记k ≤0的情况． 六、研究方程的实根 例6 已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π 12]有两解，求a 的取值范围． 规范解答 构造函数y ＝2sin(2x ＋π 3 )及y ＝a ＋1， 用五点作图法作出函数y ＝2sin(2x ＋π3)在[－π6，13π 12 ]上的图象如图． 三角函数 一、基本内容串讲 本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()?ω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。 1．任意角和弧度制 从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600 （k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800 ，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900 +k ·18000 ，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 2 1R 2 1S 2α== ，其中α为 弧所对圆心角的弧度数。 2．任意角的三角函数 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin =α，r x cos = α，x y tan = α。 3．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = 4．三角函数的诱导公式 利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2 k +与α之间函数值的关系（k ∈Z ）， 其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。 5．三角函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 R R },2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π 三角函数经典解题方法与考点题型(教师) 1．最小正周期的确定。 例1 求函数y =s in (2co s|x |)的最小正周期。 【解】 首先，T =2π是函数的周期（事实上，因为co s(-x )=co s x ，所以cos |x |=co s x ）；其次，当且仅当x =k π+ 2 π 时，y =0（因为|2co s x |≤2<π）, 所以若最小正周期为T 0，则T 0=m π, m ∈N +，又s in (2co s0)=s in 2≠s in (2co s π)，所以T 0=2π。 过手练习 1.下列函数中，周期为 2π 的是 （ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 2.()cos 6f x x πω?? =- ?? ? 的最小正周期为 5 π ，其中0ω>，则ω= 3.（04全国）函数|2 sin |x y =的最小正周期是（ ）. 4.（1）（04北京）函数x x x f cos sin )(=的最小正周期是 . （2）（04江苏）函数)(1cos 22R x x y ∈+=的最小正周期为（ ）. 5.(09年广东文)函数1)4 (cos 22 -- =π x y 是 ( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 2 π的奇函数 D. 最小正周期为2π 的偶函数 6.（浙江卷2）函数的最小正周期是 . 2．三角最值问题。 例2 已知函数y =s inx +x 2cos 1+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令s inx =??? ??≤≤=+ππ θθ4304 sin 2cos 1,cos 22 x , 则有y =).4 sin(2sin 2cos 2π θθθ+ =+ 因为 ππ 4304≤≤，所以ππ θπ≤+≤4 2， 所以)4 sin(0π θ+≤≤1， 所以当πθ43=，即x =2k π-2 π (k ∈Z )时，y m in =0， 当4 π θ= ，即x =2k π+ 2 π (k ∈Z )时，y m ax =2. 2 (sin cos )1y x x =++ 三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???- 用锐角三角函数概念解题的常见方法 1．锐角三角函数 （1）锐角三角函数的定义 我们规定： sinA=a c ，cosA= b c ，tanA= a b ，cotA= b a ． 锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角 函数． （2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三 角函数值求角度 对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可 以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题． ①已知角求三角函数值； ②已知三角函数值求锐角． 2 直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 3．锐角三角函数的性质 （1）0 （2）tan α·cot α=1或tan α=1 cot α ； （3）tan α= sin cos αα，cot α=cos sin α α ． （4）sin α=cos （90°-α），tan α=cot （90°-α）． 有关锐角三角函数的问题，常用下面几种方法： 一、设参数 例1. 在ABC ?中，?=∠90C ，如果125 tan = A ，那么sin B 的值等于（ ） 5 12.12 5. 13 12. 13 5. D C B A 解析：如图1，要求sinB 的值，就是求 AB AC 的值，而已知的12 5 tan =A ，也就是12 5 =AC BC 可设k AC k BC 125==， 则k k k AB 13)12()5(22=+= 13 12 1312sin == ∴k k B ，选B 二、巧代换 例2. 已知3tan =α，求 α αα αcos sin 5cos 2sin +-的值。 解析：已知是正切值，而所求的是有关正弦、余弦的值，我们可以利用关系式 3cos sin tan == α α α，作代换ααcos 3sin =，代入即可达到约分的目的，也可以把所求的分式的分子、分母都除以αcos 。 图1 必修四第一章三角函数测试题 班别 姓名 分数 一、选择题 1．已知cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于 ( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于 ( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．函数y ＝tan x 2 是 ( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于 ( ) A ．1 B ．2 C.12 D.13 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于 ( ) A ．－π2 B ．2k π－π 2 (k ∈Z ) C ．k π(k ∈Z ) D ．k π＋π 2(k ∈Z ) 6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ的值是 ( ) A ．－310 B.310 C ．±310 D.34 7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) A ．y ＝sin ? ???2x －π10 B ．y ＝sin ????2x －π5 C ．y ＝sin ????12x －π10 D ．y ＝sin ??? ?12x －π 20 8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ????x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝1 2的交点个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 9．已知集合M ＝???? ??x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π 2，k ∈Z }．则 ( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N M D ．M ∩N ＝? 2018高考数学解题技巧 解答题模板2：三角函数 高考中三角函数解答题是历年高考必考内容之一，成为6道解答题中的第一题，难度一般比较小，三角函数中，以公式多而著称．解题方法也较灵活，但并不是无法可寻，当然有它的规律性，近几年的高考中总能体现出其规律性．而对三角函数的考查解法，归纳起来主要有以下六种方法：能够做好这道题也成了决定高考成败的关键，从近几年高考来看，三角函数解答题有如下几种题型 二、典型例题 弦切互化 例1．已知2tan =θ，求（1） θ θθ θsin cos sin cos -+； 解：（1）2232 121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+ = -+θθθ θθθ θθθθ； 函数的定义域问题 例2、求函数1sin 2+=x y 的定义域。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -≥x ①在一周期?? ????-23,2ππ上符合①的角为??? ???-67,6ππ,由此可 得到函数的定义域为????? ? +-672,62ππππk k ()Z k ∈ 说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>=a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 例3、求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+=x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααc o s s i n 21c o s s i n 2c o s s i n )c o s (s i n 2 22±=±+=±故知道)c o s (s i n αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3 cos sin -= -求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33( cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 4 3133]313)33[(332=?=?+= 2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： 由于tg θ+ctg θ=θ θθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2= 12+n C ．n m 2 2= D ．22m n = 关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。 2020年暑假数学课外辅导(必修4) 第一章 三角函数 一、基本内容串讲 本章主干知识：三角函数的定义、图象、性质及应用，函数()?ω+=x A y sin 的图象，三角函数模型在解决具有周期变化规律问题中的应用。 1．任意角和弧度制 从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合）。为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成α+k ·3600 （k ∈Z ）的形式，特例，终边在x 轴上的角的集合为{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角的集合为{α|α=900+k ·18000，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k ·900，k ∈Z}。另外，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角。 弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 2 1R 2 1S 2α==λ，其中α为 弧所对圆心角的弧度数。 2．任意角的三角函数 利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角函数。设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin = α，r x cos =α， x y tan = α。 3．同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系：22sin cos 1αα+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = 4．三角函数的诱导公式 利用三角函数定义，可以得到诱导公式：即πα2 k +与α之间函数值的关系（k ∈Z ）， 其规律是“奇变偶不变，符号看象限”。 5．三角函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义 R R },2 |{Z k k x x ∈+ ≠π π 锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1． (四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度 已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值． 龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/d114879797.html, 高中数学三角函数解题方法与技巧分析 作者：王元蕾 来源：《文理导航》2017年第29期 【摘要】在高中学习期间，三角函数是相对独立又颇为重要的一块内容。分析历年来的高考试题可以发现，全国卷中涉及的三角函数的内容一般为选择题（或填空题）和一道大题。选择题的型多变，不易解答。而大题一般出现在第一道大题的位置上，较为简单。另外，数理不分家，三角函数在高中物理的叠加场大题中也发挥着关键作用。总之，加强对于高中数学三角函数内容的学习，十分必要。在本文中，我将介绍自己在高中学习过程中，对三角函数这块内容的理解以及一些解题方法、答题技巧。 【关键词】三角函数；答题技巧；高考 引言 三角函数，顾名思义，与角度和函数有关，数学上对函数的定义为：给定一个数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B，也就是B=f（A），因此，角度也就是函数定义中A了。据专家、老师以及我的分析，在全国卷中，三角函数题属于低档题，而且三 角函数知识属于高中阶段的工具性知识，因此必须熟练掌握。下面我根据个人经验，从三个方面介绍三角函数的答题技巧。 1.解题时要注意灵活运用基础知识 如例2：如右图所示，在三角形ABC中，已知：tan∠B=3/4，sin∠ADC=4/5，AD长度为5米。求：AB的长度。 解析：由sina/cosa=tana、tan∠B=3/4两个条件可以得出，sina=3/4cosa，再由 sina+cosa=1，联立方程组，再观察图一三角形，可以判断正弦值为正数，可以计算出 sin∠B=3/5。又因为知道sin∠ADC=4/5，则sin∠ADB=sin（180°-∠ADC）=sin∠ADC=4/5。由正弦定理得AD/sin∠B=AB/sin∠ADB，代入数值，解得AB的长度为20/3米。 2.解题时要注重题目的隐含条件 我们都知道三角函数隶属于函数，笔者根据高一学函数时总结的经验可以发现，三角函数题（特别是给出图的题，对图中标注的条件观察不仔细而导致题做不出来）有时候会含有隐含条件，例如：奇偶性、极值、锐角三角形等。 如例3：在銳角三角形ABC中，如果tan∠B=2+√3，sin∠C=√3 /2。求∠A的余弦值。 锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳 出 锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 、 化简或求值 例1 (1) 已知tan 2cot 1，且 是锐角，求乙tan 2 cot 2 2的值。 (2) 化简 a sin bcos ? acos bsin ?。 分析 （1）由已知可以求出tan 的值，化简?、tan 2 cot 2 2可用 1 tan cot ； （2）先把平方展开，再利用sin 2 cos 2 1化简 解（1）由tan 2cot 1得tan 2 2 tan ，解关于tan 的方程得 tan 2或 tan 1。又是锐角，二 tan 2。二、tan 2 cot 2 2 = 1 2 2 2，「 tan cot 2 = tan cot (2) a sin bcos ? acos bsin 2 -2 ? 2 2 cos b sin cos = a 、已知三角函数值，求角 求C 的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cosA 和sin B 的 值，进而求出 代B 的值，然后就可求出 C 的值。 \ tan 2 2tan cot cot 2 = ： (tan cot )2 tan cot 由tan 得cot a 2 sin 2 2ab sin cos b 2 cos 2 + a 2 cos 2 2ab cos sin b 2s in 2 2 2 a sin 2 b 2 tan 说明 在化简或求值问题中，经常用到 cot 1 等。 “ 1” 的代换, 即 sin 2 2 cos J 2 例2在厶ABC 中，若cosA — 2 .3 2 sin B 0 A, B 均为锐角， 文小编收集文档之必修四第一章三角函数测试题' 班别 姓名 分数 一、选择题 1．已知cos α＝1 2 ，α∈(370°，520°)，则α等于( ) A ．390° B ．420° C ．450° D ．480° 2．若sinx·tanx<0，则角x 的终边位于( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限 3．函数y ＝tan x 2 是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π 2的奇函数C ．周期为π的 偶函数D ．周期为2π的偶函数 4．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( ) 1 3 D. 122C.．B 1．A 5．函数f(x)＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( ) Z) ∈k (π 2 ＋πk ．D Z)∈k (πk ．C Z)∈k (π2－πk 2．B π2．－A 6．若sinθ＋cosθ sinθ－cosθ ＝2，则sin θcos θ的值是( ) 3 4 D.3 10±．C 3 10B.3 10．－ A 7．将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动π 10 个单位 长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin ? ????2x －π10 B ．y ＝sin ? ????2x －π5 C ．y ＝sin ? ?? ? ? 12x －π10D ．y ＝sin ? ?? ?? 12x －π20 8．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ? ?? ?? x 2＋3π2(x ∈[0,2π]) 的图象和直线y ＝1 2 的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 9．已知集合M ＝?????? x|x ＝kπ2＋π4，k∈Z ，N ＝{x|x ＝kπ4＋π2， k ∈Z}．则( ) A ．M ＝N B ．M NC ．N MD ．M ∩N ＝? 10．设a ＝sin 5π 7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π 7 ，则( ) A ．a 209 二○一九年一月（下旬） 高 考 ·考试研究· 高中数学三角函数的解题技巧 山东省济宁市实验中学 薛丁方 摘 要：三角函数是高中数学学习中的主要内容，不仅在高中阶段的数学学习中具有重要地位，而且据了解，历年高考数学题中约15%的考察内容与三角函数有关。想要掌握三角函数的解题技巧，首先需要对三角函数概念、性质、公式具备足够的了解，奠定抓实基础，进而在三角函数的解题过程中总结规律，掌握灵活多变的解题方法，做到活学活用，以此提升三角函数的学习质量。本文在三角函数学习的过程中总结了以下几点经验，以供参考与批评。 关键词：高中数学；三角函数；解题技巧 一、掌握基本概念、性质定理，打好基础 三角函数的内容较为复杂，其中涉及到大量的公式与定理，而每一个三角函数公式的使用条件与定理的使用范围受到题目内容的限制，若是在三角函数学习中没有充分的掌握三角函数的概念、公式、性质，理解程度不够，记忆量不足，缺乏知识的灵活运用能力，就会在三角函数解题过程中盲目性解答，出现错用、错套等问题。基于此，笔者认为提升高中生三角函数解题能力，掌握解题技巧的关键在于打好基础。 1.概念与性质的学习是学生三角函数学习中的基础，只有真正吃透三角函数概念，掌握三角函数的性质，才能具有三角函数概念的灵活运用能力，在三角函数的解题过程中灵活应对,周期性与图像性质是我们在高中阶段三角函数学习中的常见性质，在解题中学生应具备三角函数性质的正确判断能力，通过对其性质的判断降低解题难度。如该题目为三角函数周期性类型，学生在该类问题解答中实现利用角度转换的方式，减少解题过程中的计算难度，利用该问题的类型得出解集，利用周期性三角函数在某一特定区间内的奇偶性和单调性，建立图像，利用其特性，迅速找出问题解决的方法。 2.需要重点学习三角函数公式，公式的学习效果以及应用能力的提升，可以让高中生的三角函数解题更加快速、准确。但是，高中阶段的三角函数公式涉及的内容角度，在强行记忆与三角函数有关的公式下，虽然记忆量增加，众多公式也进入的脑袋里，但是，在面对实际问题解答中如何灵活运用，成为了高中生三角函数学习过程中的又一难题。因为用一类型的三角函数公式具有一定的相似度，很多同学会容易记混、错用，因此，我们可以使用口诀记忆的方式，如“一全正，二正弦，三正切，四余弦”、“函数名不变，符号看象限”等，快速记忆，同时需要通过实际的联系，掌握不同公式之间的差异，区分其具体用法，通过总结与分析，掌握不同公式的应该规律。 二、三角函数解题技巧探究 1.利用转化法，灵活多变，解答问题 在充分了解三角函数概念、性质、定理的基础上，需要我们具有清晰的解题思路，掌握科学、简便的解题方法，以求在有限的时间内快速解答出正确的答案。转化法是我们在高中阶段三角函数学习中常用的一种方法，通过转化法在解题中的应用，可以将原本看似复杂的问题转化为简单易懂的形式，在求解，降低了三角函数问题的解答难度。举例说明： 例1已知sinα+cosα=m2，tgα+ctgα=n，求m 2与n 的关系． 此题看似较为复杂，但只要对tgα+ctgα进行适当转换，并找出sinα+cosα与sinαcosα的关系，就可以快 速解出答案．由于tgα+ctgα=1/sinαcosα，根据题目已知条件，可以得出sinαcosα=1/n，又由于sinαcosα=［(sinα+cosα)2－1］/2=m 2－1/2，因此，可以推导出m2与n 的关系式，即m 2=2/n+1． 2.利用托底法简化表达式 上述中的例题属于容易转化的类型，而在面对不易转化的题目类型时，可以采取托底法简化求解，还是结合一道例题进行具体说明． 例2已知tgα=3，求解sinα－3cosα2sinα+cosα的值． 在该题中，只有把求解表达式化简为包含tgα的形式，才能利用已知条件进行求解．根据求解表达式特点，可以将其分子和分母同时除以cosα，将其转化为tgα－3/2tgα+1，代入已知条件后，可以快速求解出， sinα－3cosα/2sinα+cosα=0．3.总结方法规律 首先，在练习的过程中应选择具有典型特征的题型，盲目性的练习不仅不会提升解题能力，还会增加学习负担。其次，针对性练习，每一种三角函数题型都有其自身的一套解题方法，学生可以采取逐个类型练习的方法，从中总结方法与规律，掌握该类型的解题技巧，再次面对此类型题的时候，就能够轻松应对。三角函数的解题方法分为很多种，除了上述提到的转化法、简化法外，还包括排除法、特殊值法、数形结合法等。通过平时练习中的总结经验、积累和归纳，有助于提升解题速度与准确率。 结语：结合上文可知，三角函数的知识内容繁杂，涉及到的公式较多，对于高中生而言具有一定的学习难度。想要掌握三角函数的解题技巧，要一步一步脚印，扎实基础，吃透三角函数的概念，充分了解不同类型公式的使用条件，具有公式的灵活运用能力，能够根据题目的类型及时判断解题方法，通过对条件以及表达式的转化、简化，梳理清晰的解题思路，避免错误理解题目内容、错用公式，总结规律与经验，以此提升高中生的三角函数解题能力，掌握符合自身学习特点的三角函数解题技巧。 参考文献 [1]例析三角函数求值题的解题技巧[J].彭万雷.华夏教师.2016(12) [2]分析高中数学三角函数解题常见误区及正确解题方案[J].宗位勇.数学大世界(下旬).2016(07) __________________________________________________ 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?< __________________________________________________ 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 211 22 S lr r α==． 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?． 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。 解析：已知 显然有： 由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0 所以，cosθ＝－b/a ③ 将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2 ∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜ 点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。 （2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。 解析：设θ＋15°＝α，则 原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα ＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα ＝0 点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。 【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝ 证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） 所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C(必修4)第一章三角函数
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