数学建模方法详解
数学建模方法详解--三种最常用算法
一、层次分析法
层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用．
(一) 层次分析法的基本原理
层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．
1．递阶层次结构原理
一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次．
2．测度原理
决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．3．排序原理
层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题．
(二) 层次分析法的基本步骤
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量
为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度．
假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1 对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比，全
部
比较结果可用成对比较阵
()
1
,0,ij ij ji n n
ij
A a a a a ?=>=
表示，A 称为正互反矩阵． 一般地，如果一个正互反阵A 满足：
,ij jk ik a a a ?= ,,1,2,
,i j k n = （1）
则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质： ①A 的秩为1，A 的唯一非零特征根为n ；
②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量．
如果得到的成对比较阵是一致阵，自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量（即分量之和为1）表示诸因素n C C ,,1 对上层因素O 的权重，这个向量称为权向量．如果成对比较阵A 不是一致阵，但在不一致的容许范围内，用对应于A 最大特征根(记作λ)的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w 满足：
Aw w λ= （2）
直观地看，因为矩阵A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素ij a ，所以当ij a 离一致性的要求不远时,A 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大．（2）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法．
2． 比较尺度
当比较两个可能具有不同性质的因素i C 和j C 对于一个上层因素O 的影响时，采用Saaty 等人提出的91-尺度，即ij a 的取值范围是9,,2,1 及其互反数91,,21,1 ．
3． 一致性检验
成对比较阵通常不是一致阵，但是为了能用它的对应于特征根λ的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内．
若已经给出n 阶一致阵的特征根是n ，则n 阶正互反阵A 的最大特征根n λ≥，而当n λ=时A 是一致阵．所以λ比n 大得越多，
A 的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大．因而可以用n λ-数值的大小衡量A 的不一致程度．Saaty
将
1
n
CI n λ-=
- (3)
定义为一致性指标．0CI =时A 为一致阵；CI 越大A 的不一致程度越严重．注意到A 的n 个特征根之和恰好等于n ，所以CI 相当于除λ外其余1n -个特征根的平均值．
为了确定A 的不一致程度的容许范围，需要找到衡量A 的一致性指标CI 的标准，又引入所谓随机一致性指标RI ，计算RI 的过程是：对于固定的n ，随机地构造正互反阵A '，然后计算A '的一致性指标CI ．
表1 随机一致性指标RI 的数值
表中1,2n =时0RI =，是因为2,1阶的正互反
阵总是一致阵．
对于3n ≥的成对比较阵A ，将它的一致
性指标CI 与同阶（指n 相同）的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ，当
0.1CI
CR RI
=
< (4) 时认为A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量．
对于A 利用(3)，(4)式和表1进行检验称为一致性检验．当检验不通过时，要重新进行成对比较，或对已有的A 进行修正． 4． 组合权向量
由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量，计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量．一般地，若共有s 层，则第k 层对第一层（设只有1个因素）的组合权向量满足：
()()()1,3,4
,k k k w W w k s -== （5）
其中()k
W 是以第k 层对第1k -层的权向量为列向量组成的矩阵．于是最下层对最上层的组合权向量为:
()()()
()()132s s s w W W W w -= （6）
5． 组合一致性检验
在应用层次分析法作重大决策时，除了对每个成对比较阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据．
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RI 0 0 0．58 0．90 1．12 1．24 1．32 1．41 1．45 1．49 1．51
组合一致性检验可逐层进行．如第p 层的一致性指标为()()
p n p CI CI ,,1 (n 是第1-p 层因素的数目)，随机一致性指标为
()()
1,
,p p n
RI RI ，定义 ()()
()()
11,,P p p p n CI CI CI w -??=?? ()()()()11,,p p p p n RI RI RI w
-??=?
? 则第p 层的组合一致性比率为:
()
()
(),3,4,,p p p CI CR
p s RI
== (7)
第p 层通过组合一致性检验的条件为()0.1p
CR <．
定义最下层(第s 层)对第一层的组合一致性比率为：
()2
*s
P p CR CR ==∑ (8)
对于重大项目，仅当*CR 适当地小时，才认为整个层次的比较判断通过一致性检验．
层次分析法的基本步骤归纳如下:
(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次．同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立．最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有1个或几个层次，通常称为准则或指标层，当准则过多时（比如多于9个）应进一步分解出子准则层．
(2) 构造成对比较阵从层次结构模型的第2层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和9
1 比较尺度构造成对比较阵，直到最下层．
(3)计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验．若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，重新构造成对比较阵．
(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量，并酌情作组合一致性检验．若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵．
(三) 层次分析法的优点
1．系统性层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具．
2．实用性层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广．同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性．3．简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握．
(四) 层次分析法的局限性
层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括．
第一，它只能从原有的方案中选优，不能生成新方案；
第二，它的比较、判断直到结果都是粗糙的，不适于精度要求很高的问题；
第三，从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受．当然，采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径． (五) 层次分析法的若干问题
层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展，下面从应用的角度讨论几个问题． 1． 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质
成对比较阵是正互反阵．层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验．这里人们碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就为一致阵．下面两个定理可以回答这些问题． 定理1 对于正矩阵A （A 的所有元素为正数） 1）A 的最大特征根是正单根λ；
2）λ对应正特征向量w （ω的所有分量为正数）；
3）w I
A I I A k k k =T ∞→lim ，其中()T
=1,1,1 I ，w 是对应λ的归一化特征向量．
定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根n λ≥；当n λ=时A 是一致阵．
定理2和前面所述的一致阵的性质表明,n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根n λ=．
2． 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法
众所周知，用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高时．另一方面，因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它精确计算是不必要的，下面介绍几种简单的方法．
(1) 幂法 步骤如下：
a ．任取n 维归一化初始向量()0w
b ．计算()()1,0,1,2,k k w Aw k +==
c ．()
1k w
+归一化,即令()
()()
∑=+++=n
i k i
k k w
w
1111~~ω
d ．对于预先给定的精度ε,当 ()()()1||1,2,,k k i i i n ωωε+-<=时,(
)
1k w +即为所求的特征向量；否则返回b
e. 计算最大特征根()
()1
11k n i k i i
n ωλω+==∑
这是求最大特征根对应特征向量的迭代法,()0w 可任选或取下面方法得到的结果． (2) 和法 步骤如下：
a. 将A 的每一列向量归一化得1
n
ij ij ij
i a a
ω==∑
b ．对ij ω按行求和得1n
i ij j ωω==∑
c ．将i ω归一化()*121
,,,n
i i
n i w ωωωωωωT
===∑即为近似特征向量．
d. 计算()11n i
i i
Aw n λω==∑，作为最大特征根的近似值．
这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值，作为A 的特征向量．
(3) 根法 步骤与和法基本相同，只是将步骤b 改为对ij ω按行求积并开n 次方，即11n
n i ij j ωω=??= ???
∏．根法是将和法中求列向量的算
术平均值改为求几何平均值．
3． 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量
当成对比较阵A 是一致阵时,ij a 与权向量()T
=n w ωω,,1 的关系满i
ij j
a ωω=
,那么当A 不是一致阵时，权向量w 的选择应使得ij a 与
i
j
ωω相差尽量小．这样,如果从拟合的角度看确定w 可以化为如下的最小二乘问题： ()2
1,,11min i n
n
i
ij i n i j j a ωω
ω===??
- ? ??
?
∑∑ (9) 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同．因为(9)式将导致求解关于i ω的非线性方程组，计算复杂，且不能保证得到全局最优解,没有实用价值．
如果改为对数最小二乘问题：
()2
1,,11min ln ln i n
n i
ij i n i j j a ωω
ω===??
- ? ??
?
∑∑ (10) 则化为求解关于ln i ω的线性方程组．可以验证，如此解得的i ω恰是前面根法计算的结果．
特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出．
4．成对比较阵残缺时的处理
专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果，于是成对比较阵出现残缺．应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢？
一般地，由残缺阵()ij
A a
=构造修正阵()ij
A a
=的方法是令
,,
0,,
1,
ij ij
ij ij
i i
a a i j
a a i j
m m i i j
θ
θ
θ
≠≠
?
?
==≠
?
?
+=
?为第行的个数,
(11)
θ表示残缺．已经证明，可以接受的残缺阵A的充分必要条件是A为不可约矩阵．
(六) 层次分析法的广泛应用
层次分析法在正式提出来之后，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用．从处理问题的类型看，主要是决策、评价、分析、预测等方面．这个方法在20世纪80年代初引入我国，很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受，得到了成功的应用．
层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]
举例假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择：肉、面包、蔬菜．这三类食品所含的营养成分及单价如表所示
表2肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价
食品维生素A/(IU/g) 维生素B/(mg/g) 热量/(kJ/g) 单价/（元/g）
肉面包蔬菜0.3527
25
0.0021
0.0006
0.0020
11.93
11.51
1.04
0.0275
0.006
0.0.007
该人体重为55kg，每天对各类营养的最低需求为：
维生素A 7500国际单位 (IU)
维生素B 1.6338mg
热量 R 8548.5kJ
考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小？
用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素．具体的求解过程如下：①建立层次结构
② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵
表3 比较判断矩阵
W
D E
D 1
3 E
31
1
max 2λ=，10CI =，100.1CR =<，主特征向量()0.75,0.25W T
=
故第二层元素排序总权重为()10.75,0.25W T
=
每日需求W
营养D 蔬菜
支出E
维生素B 肉 价格F
面包 维生素A 热量R
表4 比较判断矩阵
D A
B
R
A 1 1 2 B
1
1
2
R 5.0
5.0
1
111
max 1113,0,0,0.58CI CR RI λ==== ，主特征向量()0.4,0.4,0.2W T
= 故相对权重()210.4,0.4,0.2,0P T
=
③ 第三层组合一致性检验问题
因为()()211
1211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ====,212200.1CR CR CI RI =+=<
故第三层所有判断矩阵通过一致性检验，从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出E 的总权重为：
()()221221
120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W T
===
求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时，用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵，可以用原始的营养成分及单价的数据得到．注意到单价对人们来说希望最小，因此应取各单价的倒数，然后归一化．其他营养成分的数据直接进行归一化计算，可得表5
表5 各营养成分数据的归一化 食品
维生素A
维生素B
热量R
单价F
肉 0.0139 0.4468
0.4872 0.1051 面包 0.0000 0.1277 0.4702 0.4819 蔬菜
0.9861
0.4255
0.0426
0.4310
则最终的第四层各元素的综合权重向量为：()3320.2376,0.2293,0.5331W P W T
==，结果表明，按这个人的偏好，肉、面包和蔬菜的比例取0.2376:0.2293:0.5331较为合适．引入参数变量，令10.2376x k =，20.2293x k =，30.5331x k =，代入()1LP
123min 0.02750.0060.007f x x x =++
13123
1231230.352725.07500
0.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0
x x x x x s t LP x x x x x x +≥??++≥??
++≥??≥?
则得
k f 0116.0min =
()13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50
k k s t LP k k ≥??≥??
≥??≥?
容易求得1418.1k =，故得最优解()*336.9350,325.1650,755.9767x T
=；最优值 *16.4497f =，即肉336.94g ，面325.17g ，蔬菜
755.98g ，每日的食品费用为16.45元．
总之，对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题，用层次分析法来处理比较适用．
二、模糊数学法
模糊数学是1965年美国控制论专家 L．A．Zadeh创立的．模糊数学作为一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面．在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果．
(一) 模糊数学的研究内容
第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系；
第二，研究模糊语言和模糊逻辑，并能作出正确的识别和判断；
第三，研究模糊数学的应用．
(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性
1．数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6]．而模糊数学作为一种新的理论，本身就有其巨大的应用背景，国内外每年都有大量的相关论文发表，解决了许多实际问题．目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题，而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中，就其理论本身所具有的实用性的特点而言，模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题．
2．数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符．对实际问题有这样一种分类方式：白色问题、灰色问题和黑色问题．毫无疑问，引进新的方法对解决这些问题大有裨益．在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的．在这种情况下，用模糊的模型也许更符合实际．
3．数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神．用新理论、新方法解题应该受到鼓励．近年来，用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖，这也说明了评审者对新方法的重视．我们相信，模糊数学方法应该很好，同样能够写
出优秀的论文．
(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度
在模糊统计综合评判中，如何利用综合评判结果向量()12,,
,m b b b b =
,其中， 01j b <<，m 为可能出现的评
语个数，提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断，目前通用的判别原则是最大隶属原则[7]
．在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题，在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用，然而这个原则并不是普遍适用的． 最大隶属原则有效度的测量
1． 有效度指标的导出
在模糊综合评判中，当11
max 1,1n
j j j n
j b b ≤≤===∑时，最大隶属原则最有效；而在()1max 01,j j n
b c c ≤≤=<< 1
n
j j b nc ==∑时，
最大隶属原则完全失效，且1max j j n b ≤≤越大（相对于1
n
j j b
=∑而言），最大隶属原则也越有效．由此可认为，最大隶属原则的有效性
与1max j j n
b ≤≤在1
n
j
j b
=∑中的比重有关，于是令：
11
max n
j
j
j n
j b b
β≤≤==∑ (12)
显然，当11
max 1,1n
j j j n j b b ≤≤===∑时，则1β=为β的最大值，当()1max 01j j n
b c c ≤≤=<<, 1
n
j j b nc ==∑时，有1n β=为β的最小值，即得到β的取值范围为:11n β≤≤．由于在最大隶属原则完全失效时，1n β=而不为0，所以不宜直接用β值来判断最大隶属原则的有效性．为此设：
()
()11
111n n n n βββ--'==
-- (13)
则β'可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性．而最大隶属原则的有效性还与j n j b ≤≤1sec （j n
j b ≤≤1sec 的含义是向量b 各分量中第
二大的分量）的大小有很大关系，于是我们定义：
11
sec n
j
j
j n
j b b
γ≤≤==∑ (14)
可见： 当()1,1,0,0,,0b =时，γ取得最大值12．
当()0,1,0,0,
,0b =时，γ取得最小值0．
即γ的取值范围为012γ≤≤，设()0
2120
γγγ-'=
=-．一般地，β'值越大最大隶属原则有效程度越高；而γ'值越大，最大隶属原则
的有效程度越低．因此，可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标：
()1
12121n n n n βββαγγγ'--??=
==
?'--??
(15) 使用α指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性．
2. α指标的使用
从α指标的计算公式看出α与γ成反比，与β成正比．由β与γ的取值范围，可以讨论α的取值范围： 当γ取最大值，β取最小值时，α将取得最小值0；
当γ取最小值，β取最大值时，α将取得最大值：因为 0
lim γα→=+∞，所以可定义0γ=时，α=+∞．即：0α≤<+∞．
由以上讨论，可得如下结论：当α=+∞ 时，可认定施行最大隶属原则完全有效；当1α≤<+∞时，可认为施行最大隶属原则非常有效；当0.51α≤<时，可认为施行最大隶属原则比较有效，其有效程度即为α值；当00.5α<<时可认为施行最大隶属原则是最低效的；而当0α=时，可认定施行最大隶属原则完全无效．有了测量最大隶属原则有效度的指标，不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级，而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度，即有多大把握认定被评对象属于某个等级． 讨论
a ． 在很多情况下，可根据β值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算α值．根据α与β之间的关系，当
0.7β≥，且4n >时，一定存在1α>．通常评价等级数取4和9之间，所以4n >这一条件往往可以忽略，只要0.7β≥就可免算α值，直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的．
b ． 如果对()12,,
,m b b b b =进行归一化处理而得到b '，则可直接根据b '进行最大隶属原则的有效度测量．
(四) 模糊数学在数学建模中的应用
模糊数学有诸多分支，应用广泛．如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等．这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用． 举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]
问题的提出 最小费用流问题的一般提法是：设(),,,D V A c ω=是一个带出发点s v 和收点t v 的容量-费用网络，对于任意
(),i
j
v v A ∈，ij
c
表示弧(),i j v v 上的容量，ij ω表示弧(),i j v v 上通过单位流量的费用，0v 是给定的非负数，问怎样制定运输方案使得
从s v 到t v 恰好运输流值为0v 的流且总费用最小？如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度，问运输方案应当怎样制定？
模型和解法 问题可以归结为：怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案？
(1)从s v 到t v 运送的流的值恰好为0v ；(2)总运输费用最小;(3)在容量ij c 大的弧(),i j v v 上适当多运输．如果仅考虑条件(1)和(2)，易写出其数学模型为：
()()()()()()(){}(),0,,0
,,,,min
()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ij
v v A
sj js v v A v v A tj jt v v A
v v A ij ji i s t v v A v v A ij ij
f f f v f f v M s t f f v V v v f c ω∈∈∈∈∈∈∈?-=??
-=-???
?-=∈??≤≤??∑
∑∑∑∑∑∑
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
第二讲数学建模的基本方法和步骤
第二讲 数学建模的基本方法与步骤 数学建模面临的实际问题就是多种多样的,建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同,所得模型的类型也不同,我们不能指望归纳出若干条准则,适用于一切实际问题的数学建模方法。下面所谓基本方法不就是针对具体问题而就是从方法论的意义上讲的。(注:用最初等的方法解决,越受人尊重) 一 数学建模的基本方法 一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析与测试分析两种。 ????????????? 机理分析： 是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。 建模方法测试分析： 将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清 楚），通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最 好的模型。 面对于一个实际问题用哪一种方法建模,主要取决于人们对研究对象的了解程度与建模目的。如果掌握了一些内部机理的知识,模型也要求具有反映内部特征的物理意义,建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部机理规律基本上不清楚,模型也不需要反映内部特征,那么可以用测试分析。对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型的参数。 二 数学建模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,通常与问题性质与建模的目的等有关。下面给出建模的一般步骤,如图1、2所示。 ⑴ 模型准备:了解实际背景,明确建模目的,搜索必要信息,弄清对象的主要特征,形成一个比较清晰的“问题”(即问题的提出)。情况明才能方法对,在这个阶段要深入调查研究,虚心向实际工作者请教,尽量掌握第一手资料。
⑵模型假设:根据对象的特征与建模目的,抓住问题的本质,忽略次要因素,作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这就是非常重要与困难的一步。假设不合理或太简单,会导致错误的或无用的模型;假设作得过分详细,试图把复杂对象的众多因素都考虑进去,会使您很难或无法继续下一步的工作。常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷,要不段积累经验,并注意培养与充分发挥对事物的洞察力与判断力。 ⑶模型的建立:根据假设,用数学的语言、符号描述对象的内在规律,得到一个数学结构。这里除了需要一些相关的专门知识外,还常常需要较为广阔的应用数学方面的知识,要善于发挥想象力,注意使用类比法,分析对象与熟悉的其她对象的共性,借用已有的数学模型。建模时还应遵循的一个原则就是尽量采用简单数学工具,因为您的模型总希望更多的人了解与使用,而不就是只供少数专家欣赏。 ⑷模型求解:使用各种数学方法、数学软件与计算机技术对模型求解。 ⑸模型分析:对求解结果进行数学上的分析,如对结果进行误差分析,分析模型对数据的稳定性或灵敏性等。 ⑹模型检验:把求解与分析结果翻译回到实际问题,与实际现象、数据进行比较,检验模型的合理性与适用性。如果结果与实际不符,问题常常出现在模型假设上,应该修改或补充假设,重新建模。这一步对于模型就是否真的有用就是非常关键的,要以严肃认真的态度对待。 ⑺模型应用:这与问题的性质、建模的目的以及最终结果有关,一般不属于本书讨论的范围。 应该指出,并不就是所有问题的建模都要经过这些步骤,有时各步骤之间的界限也不那么分明,建模时不要拘泥于形式上的按部就班。 三数学建模的全过程 数学建模的全过程可分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型,再从数学模型回到现实对象的循环,如图1、3所示。 表述就是根据建模目的与信息将实际问题“翻译”成数学问题,即将现实问题“翻译”成抽象的数学问题,属于归纳法。数学模型的求解选择适当的数学方
数学建模知识及常用方法
数学建模知识——之新手上路 一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有 8 个头和 22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解 x=5,y=3，即该笼子中有鸡 5 只，有兔 3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤： 1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外） 2）用字母表示要求的未知量 3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚） 4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性这就是数学建模的一般步骤三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一篇论文。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个
数学建模常用模型方法总结精品
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
数学建模常用方法
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
第1章 数学建模与误差分析
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有
数学建模方法模型
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
《数值分析与数学建模》
2007-2008学年第一学期《数值分析与数学建模》课程考核题目 说明： 本次考核题目共有五个部分，请从每一部分中任选一题作答。选择时请注意：每题难度不同分值也有所不同。 完成时间：2007－2008学年第二学期开学第一周前三个工作日，过期无效。 答卷提交方式：手写稿或打印稿请直接交到5号楼202室；电子稿可以发送Email 至 tzl99@https://www.sodocs.net/doc/778804774.html, 。 要求： （1）标清题号； （2）列出关键的数学模型及模型中各参数的含义； （3）可利用Matalb 软件中相关库函数直接求解，请注明你所用到的关键函数及其作用； （4）也可以在建立模型之后，自行选择数值分析课程中介绍的合适算法并利用Matlab 软件编程实现；如此，你将获得额外加分； （5）对得到的结果加以适当评价，以及对问题本身提出相应的思考与改进，也将获得额外加分； （6）鼓励相互讨论，不允许相互抄袭；雷同（绝大部分相同）答卷按无效答卷处理，不予记录成绩；若某些题目解答完全相同，则该题不得分。 第一部分 说明： Ex1、Ex2每题10分；Ex3~Ex6每题15分 Ex1：以定期存储为基础的储蓄账户的累积值可由“定期年金方程”确定， ]1)1[(-+= n i i P A ； 在这个方程中，A 是账户中的数额，P 是定期存储的数额，i 是n 个存储期间的每期利率。一个工程师想在20年内退休时储蓄账户上的数额达到750000美元，而为了达到这个目标他每个月能存1500美元。为实现他的储蓄值目标，最小利率应是多少？假定利息是月复利的。 Ex2：在固定的时期内需付抵押贷款的数额问题和下面的称为“普通年金方程”的公式有关， ]) 1(1[n i i P A -+-= 在这个方程中，A 是抵押贷款的数额，P 是每期付款的数额，i 是n 个付款期的每期利率。假设需要30年房屋按揭贷款135000美元，又假设借款人每月至多能付1000美元房款。借款人能付得起的最大利率是多少？ Ex3：病人用的药在血流中产生的浓度由ml mg e t A t c t 3 ) (-=给出（注射了A 单位药物后的t 小时以后血液中药物的浓度）。病人能够承受的药物最大安全浓度是1 ml mg 。 （1）分别利用微积分知识以及Matlab 软件描绘出浓度随时间变化的图形； （2）应该注射多大的量来达到最大的安全浓度？什么时候达到这个最大的安全浓度？ （3）在浓度下降到0.25ml mg 后，要给病人注射这种药的附加的药量。确定何时应进行第二次注射，精确到分钟； （4）假设连续注射的浓度是可加的，又假设开始注射的75％的药量仍在第二次注射中起作用。什么时候可以进行第三次注射？
数学建模中常见的十大模型
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
数学建模方法和步骤
数学建模的主要步骤: 第一、模型准备 首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征. 第二、模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化. 第三、模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天.不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值. 第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重. 第五、模型分析 对模型解答进行数学上的分析."横看成岭侧成峰,远近高低各不?quot;,能否对模型结果作出细致精当的分析,决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析. 数学建模采用的主要方法有： （一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模 型. 1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法. 2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法. 3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用. 4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬时变化率”的表达式. 5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律. （二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型 1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. 2、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. 3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.
数学建模的基本步骤
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
数学建模方法详解--三十四种常用算法
数学建模方法详解--三十四种常用算法 目录 一、主成分分析法 (2) 二、因子分析法 (5) 三、聚类分析 (9) 四、最小二乘法与多项式拟合 (16) 五、回归分析（略） (22) 六、概率分布方法（略） (22) 七、插值与拟合（略） (22) 八、方差分析法 (23) 九、逼近理想点排序法 (28) 十、动态加权法 (29) 十一、灰色关联分析法 (31) 十二、灰色预测法 (33) 十三、模糊综合评价 (35) 十四、隶属函数的刻画（略） (37) 十五、时间序列分析法 (38) 十六、蒙特卡罗(MC)仿真模型 (42) 十七、BP神经网络方法 (44) 十八、数据包络分析法（DEA） (51) 十九、多因素方差分析法（）基于SPSS） (54) 二十、拉格朗日插值 (70) 二十一、回归分析（略） (75) 二十二、概率分布方法（略） (75) 二十三、插值与拟合（略） (75) 二十四、隶属函数的刻画（参考《数学建模及其方法应用》） (75) 二十五、0-1整数规划模型（参看书籍） (75) 二十六、Board评价法（略） (75) 二十七、纳什均衡（参看书籍） (75) 二十八、微分方程方法与差分方程方法（参看书籍） (75) 二十九、莱斯利离散人口模型（参看数据） (75) 三十、一次指数平滑预测法（主要是软件的使用） (75) 三十一、二次曲线回归方程（主要是软件的使用） (75) 三十二、成本-效用分析（略） (75) 三十三、逐步回归法（主要是软件的使用） (75) 三十四、双因子方差分析（略） (75)
一、主成分分析法 一）、主成分分析法介绍： 主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法。旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 二）、主成分分析法的基本思想： 在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 三）、主成分分析法的数学模型： 其中：
数学建模十种常用算法
数学建模有下面十种常用算法, 可供参考： 1.蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问 题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法） 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数 据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多 数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4.图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算 法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算 法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些 问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7.网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很 多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8.一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计 算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9.数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分 析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10.图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中 也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）
数学建模各种分析报告方法
现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,