数学期望理论及其应用

目录

1.摘要 (2)

2.数学期望理论简述 (3)

3.数学期望理论的应用 (5)

3.1在证明等式和不等式中的应用 (5)

3.2在投资理财问题中的应用 (7)

3.3在天气预测问题中的应用 (8)

3.4在求职决策问题中的应用 (8)

3.5在委托代理问题中的应用 (9)

3.6在法律纠纷问题中的应用 (10)

4.结论 (11)

5. 参考文献 (12)

6. 致谢 (12)

数学期望理论及其应用

摘要：数学期望是概率统计中一个重要的数字特征，在理论研究和实际问题解决方面有着广泛的应用.本文通过列举一些理论上和现今实际生活中相关的问题，同时利用数学期望的相关理论进行解决，从而达到理论联系实际的目的. 关键词：概率统计；数学期望；决策

The Mathematic Expectation Theory and its Application Abstract:The mathematic expectation is an important digital characteristic in the probability statistics, which has the widespread application in the fundamental research and the actual problem solution aspect. This article through enumerates some theoretically the question which is related with the nowadays practical life, simultaneously carries on the solution using mathematic expectation's correlation theories, thus achieves the apply theory to reality the goal.

Key words:Probability statistics；Mathematic expectation；Decision-making

一、 数学期望理论简述

数学期望是概率论发展早期就形成的一个数字特征,也是其他诸如方差、高阶矩等数字特征的基础.它反映的是随机变量的平均取值，而随机变量又分为离散型随机变量和连续型随机变量，下面先简单介绍这两种随机变量的数学期望定义及相关性质.

1. 离散型随机变量的数学期望

1.1一维离散型随机变量的数学期望

设X 是离散型随机变量，它的概率函数是

,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k

如果 1

k k k |x |p ∞=∑收敛，则定义X 的数学期望为

∑∞==1)(k k

k p x X E

可以看出，离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.

1.2二维离散型随机变量的数学期望

若(ξ,η)是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为

i j ij p(ξ=a ,η=b )=p ,i,j =1,2,...

又),(y x g 是实变量x,y 的单值函数,如果

11i

j ij i j |g(a ,b )|p ∞∞==<∞∑∑

则定义二维随机变量(ξ,η)的数学期望为

11(,)i j ij

i j Eg g(a ,b )p ξη∞∞===∑∑

上述是二维离散型随机变量的数学期望，对一般的n 维随变量可以进行推广也有相应的定理成立，在这里就不再多述了.

2. 连续型随机变量的数学期望

2.1一维连续型随机变量的数学期望

设x 是连续型随机变量，其密度函数为)(x f .如果|x |f(x)dx ∞

-∞⎰ 收敛，定义连续随机变量x 的数学期望为

()E X x f(x)dx ∞

-∞=⎰ 可以看出，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分. …

2.2二维（n 维）连续型随机变量的数学期望

若(ξ,η)是一个二维连续型随机变量，其密度函数为(,)p x y ，又(,)f x y 是二

元函数，则随机变量ζ=(ξ,η)数学期望为

E ζ=Ef(ξ,η)f(x,y)p(x,y)dxdy ∞∞

-∞-∞=

⎰⎰

这里也要求上述积分绝对收敛.

如同1.2中所述，上述仅对二维的情况进行了叙述，对于n 维的情况也同样可以推广得到相应的结论，在这里也不再多述.

3. 随机变量函数的数学期望

设已知随机变量x 的分布， 那么x 的某个函数g(X)的数学期望基本公式如下：

设x 是一个随机变量，g(X)Y =，则

k=1

,X ,X k k g(x )p E(Y)=E[g(X)]g(x)f(x)dx ∞

∞-∞

⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰离散

连续 其中，当x 是离散时, x 的概率函数为()(), 1, 2,

k K K P x P x x P k ====；

当x 是连续时x 的密度函数为f(x).

4. 条件数学期望

设随机变量X 在Y=yj 条件下的条件分布列为i j P ，又 ∞<∑∞=j i i i p x

1

则称

i=1i

i j x p ∞∑

为X 在Y=yj 条件下的数学期望，简称条件期望，记为j E(X Y =y ).

5. 数学期望的性质

对于随机变量的数学期望有如下几点性质，这些性质在解决一些问题或是证明相关定理中有重要应用.

(1)若a ξb ≤≤,则ξE 存在,且有b E a ≤≤ξ.特别,若C 是一个常数,则EC=C .

(2)对于一二维离散型随机变量(ξ,η),若ξE ,ηE 存在,则对任意的实数

),(,,2121ηξk k E k k 存在且

ξξηξE k E k k k E 2121)(+=+

(3)又若ξ,η是相互独立的,则ξηE 存在且

ηξξηE E E ⋅=)(

以上是对数学期望基本定义和性质的一个简述，其中关于定理和相关性质的

证明参见文献[1].对这些理论知识的叙述是为了方便在后文例举问题中的应用，当然在整个概率统计中关于数学期望的定理和性质远不止这些，但在这里没有必要进行全面而详细的论述。下面重点来叙述数学期望在理论研究和实际生活中的广泛应用.

二、 数学期望应用例举

(一) 数学期望在证明等式或不等式中的应用

在数学分析中常常要证明一些等式或不等式，常用的方法是利用归纳法或中值定理等.在这里本文将根据等式和不等式的特点，构造相应的概率模型或引进适当的随机变量，利用随机变量的数学期望来证明等式或不等式.

例1 证明下列等式：

11

2n k n n k kC

n -==∑， （1） 2

11(1)2n k n n k k C n n -==+∑， （2）

分析：上面两个等式通常可以用排列组合的相关知识来进行证明，但从等式的形式可以看出，它们和概率论中二项分布公式有些相近，所以在这里我们可以先构造一个二项分布模型，利用数学期望，用概率方法来证明.

证明：先构造概率模型：

假设某型号的高射炮向某一目标单独射击n 次，其每次射中目标的概率是p ，以ξ表示其射中目标的次数，则ξ服从二项分布，有

()(1),0,1,2,...,k k n k n p k C p p k n ξ-==-=

0(1)n

k k n k n k E kC p p ξ-==-∑

设

1,1,2,...,0,i i n ξ⎧==⎨⎩

。第i 次射击击中目标；第i 次射击未击中目标 12...n ξξξξ=+++ ，,1,2,...,i E p i n ξ==

因而1n i k E E np ξξ===∑，即1(1)n

k k n k n

k kC p p np -=-=∑ 令12p =，得11

2n k n n k kC n -==∑，（1）式得证. 因为

22[][D() D()(1)E E np p ξ=(ξ)]+ξξ=-

于是

22()(1)E np np p ξ=+-

又因为

2

20(1)n

k k n k n k E k C p p ξ-==-∑ 所以

2

20(1)()(1)n k k n k n k k C p p np np p -=-=+-∑ 取12

p =，则有 2201(1)22n

n k n k n n k C =+⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 故

2

20(1)2n k n n k k C n n -==+∑

因此（2）式得证.

从以上的证明过程可以看出，在构造出适当的概率模型之后，可以利用数学期望，用概率方法进行证明.在证明（1）式过程中主要利用离散型随机变量数学期望的基本定义，再结合二项分布随机变量的数学期望公式E np ξ=得出最后等式；而（2）式的证明主要是利用了数学期望的性质（3），进行简单变换、推导，从而证明结论.

例2 对于可积函数()g x ，（()0g x >），试证明2()()()b b a a

dx g x dx b a g x ≥-⎰⎰. 分析：这个不等式的证明在数学分析中可以利用中值定理来证明，但也可以引入适当的随机变量，用概率方法来证明，在证明过程中需要应用下面概率论中的一个定理，该定理的证明可参见文献[2].

定理：设ξ为(),,F p Ω上的随机变量，若()f x 为定义在某区间I 上的连续的下凸函数，则有([])[()]f E E f ξξ≤.若()f x 为I 上的上凸函数，则有

([])[()]f E E f ξξ≥.

证明：令[,]U a b ξ⊂，()y g x =为严格正函数，则()g ηξ=为正随机变量。考

察(0,)+∞上的连续下凸函数1()f x x

=，对该函数运用上述定理，有11()()E E ηη≤，从而1()()1E E ηη

≥. 而

11()()()()E g x p x dx g x dx g x dx b a b a η∞∞∞-∞-∞-∞

===--⎰⎰⎰， 111111()()()()E p x dx dx dx g x g x b a b a g x η∞∞∞

-∞-∞

-∞===--⎰⎰⎰. 故 111()1()g x dx dx b a b a g x ∞∞-∞-∞

≥--⎰⎰ 也即

21()()()g x dx dx b a g x ∞∞-∞-∞≥-⎰⎰ 结论得证.

一般的在数学分析的证明当中，最常用的方法是利用中值定理，但在某些情况下，比如说所给函数的条件比较有限，利用中值定理方法也可能不能很好或方便的解决，这个时候就需要其他的方法.而该题证明的主要思路是引进随机变量，从而构造随机变量函数结合上述定理，利用连续型随机变量数学期望的定义便可直接得出结论。因而，利用数学期望理论来解决此类问题有些时候会显得更加的方便和简洁，特别是在所给函数条件相对有限的情况下，此例所示的方法可供参考.

(二) 数学期望在实际生活中的应用

数学期望理论在实际生活中的应用主要体现在它是代表随机变量取值的平均值，因而可以利用其来进行决策-优化，从而帮助主体采取最优化的决策来达到最优的结果.下面将例举相关几个方面的例子来说明数学期望在实际生活中的广泛应用.

1. 投资理财问题

投资理财的目的是利用手中闲散货币进行货币再生，即所谓的“钱生钱”.在现实生活中投资有很多种方式，如债券，股票，期货，保险，存入银行，房地产等等，这些都属于投资理财问题。在现今全球金融危机的新形势下如何有效的使货币增殖，某些方面可以利用数学期望来进行分析说明.

假设某公司现有闲散资金50万元欲进行投资增殖，通过市场调查发现可有如下两种途径，购买A 股票和投资B 房地产.由于金融危机的影响，若经济形势渐好，则A 股会增值40%；反之，若经济形势继续恶化，则A 股会降值30%，同时经济学家预言今后经济形势好转的概率为0.6。若投资B 房地产成功，则会获利35%，但若失败则会降值25%，同时投资房地产与市场清晰系数MCI(Market Clearance Index)有关.

在这里先说明一下市场清晰系数MCI.MCI 是交易投资者对市场目前以及未来一段时期趋势的认知程度.一般的，不论交易者通过何种理论、何种方法，以及经验，只要能够完全辨别清楚市场目前的状态，以及能够准确判断在将来一段期间内的走势，便可以定义MCI=1；反之，如果完全不能辨别清楚市场目前的状态，以及不能够判断在一段期间内的走势，便定义MCI=0；显然01MCI <<.由此可见，MCI 可以看作是交易者对市场目前状态判断准确程度的概率值，因而对于投资者可以知道投资的期望收益.

那么该公司应如何投资，才能收益最大？

现在我们利用数学期望来进行分析：由已知条件可计算该公司购买A 股票的期望收益15040%0.65030%0.46E =⨯⨯-⨯⨯=万元，投资B 房地产的期望收益为25035%5025%(1)3012.5E MCI MCI MCI =⨯⨯-⨯⨯-=-万元.

现令

12613012.5

E E MCI ==- 有

0.6MCI ≈

所以，

若00.6MCI <<,有12E E >，即当市场系数小于0.6时，该公司应该购买A 股票；

若0.61MCI <<，有12E E <，即当市场系数大于0.6时，该公司应该投资B

房地产；

若0.6MCI =，有12E E =,即当市场系数等于0.6时，该公司可以选择任意一种方案.

投资理财是一种决策问题，因为每种方案都存在一定的风险，不同的方案是获利还是亏损是随机的，因而可以利用概率论中数学期望理论来进行分析，选择最大期望收益的方案.在现实的经济生活中，类似这样的投资决策问题都可以利用数学期望理论来说明.

2. 天气预测问题

自然生活中的天气状况是随机变化的，天气预报是根据气象观(探)测资料，应用天气学、动力学、统计学的原理和方法，对某区域或某地点未来一定时段的天气状况作出定性或定量的预测.在一些重大的工程或计划中，人们往往要考虑天气状况，而在某些方面天气甚至起到决定性的作用.怎样根据天气预测来决定重要事项或计划是否执行也是人们值得思考的问题，下文中例将很好的说明这一点.

2008年9月25日，我国自行研制的神舟七号载人飞船顺利升空，并首次完成宇航员出舱活动任务，为我国的航天事业又增添了辉煌的一笔.我国航天水平一直居于世界先进行列，运载火箭升空的成功率高达98%以上.这其中不可或缺的是众多科研人员对天气的把握，因为天气是运载火箭升空成功与否的一个关键因素，其必须满足：（1）无降水（2）地面风速小于每秒8米（3）水平能见度大于20公里（4）发射前8小时至发射后1小时，场区30公里至40公里范围内无雷电活动（5）船箭发射所经过空域3公里至18公里高空最大风速小于每秒70米.同时必须当这些条件的综合准确性系数达到90以上时，运载火箭才可发射，否则必须等待适合天气，择日发射.根据天气预测以及相关科研人员的统计调查

980.96960.94970.95990.98950.9492.5885

E ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 在9月25日发射运载火箭可行性系数较高，符合发射必须要求.

现实生活中诸如此类重大工程或事项必须要考虑天气状况的有很多，比如抗震救灾、奥运会开幕式，还有商场举行露天促销活动等等，这些都对天气有所要求，需要根据各种天气状况出现的概率进行期望统计分析，做出最佳的决策.

3. 求职决策问题

如今大学毕业生面对严峻的就业问题，大学生在求职应聘决策时应该首先分析各种相关因素，进而采取有利于自己获得比较满意的职位。下文中的例子将说明当同时面对多家应聘单位时，应该如何进行选择.

现在毕业生张某有三家欲面试单位，按时间顺序这三家单位分别记为A,B,C,从应聘简章上得知每家单位均提供不同的三种职位：优越，中等以及一般，每家

面试之后双方立即决定提供、接受或拒绝某种职位，同时签订合同.在应聘之前，张某根据自己在大学期间的学习成绩和能力以及综合素质水平预测自己获得优越、中等和一般这三种职位的可能性分别是0.2，0.3，0.4，另外有0.1的可能性是没有获得任何职位.若张某从经济收入的角度出发，应该如何对各家单位提供的职位做出最佳的选择？

分析：因为按照时间，张某面试的第一家单位是A，而在A单位面试选择三种职位时必须要考虑B、C两家单位的工资待遇，同样的在B单位面试时也要考虑C单位的工资待遇.那么现在我们先从C单位来考虑.

从单位各工资职位待遇不难计算出C单位的期望工资待遇为：

340000.230000.325000.42700

E=⨯+⨯+⨯=元再考虑B单位，由于B单位一般职位待遇只有2500元，低于C单位的平均待遇，因此在B单位面试时张某应只接受优越和中等两种职位，否则去C单位.这样决策时，B单位的期望工资待遇为：

239000.229500.327000.53015

E=⨯+⨯+⨯=元最后考虑A单位，因为A单位只有优越职位的工资待遇超过3015元，因此张某在A面试时只接受该单位的优越职位，否则去B单位.

在这样的分析之下，张某在面试时的整体思路应该是：先去A单位面试，若A提供优越职位就接受，否则去B单位；若B单位提供优越或中等职位，则接受，否则去C单位；无论C单位提供何种职位都应接受.

那么在这一思路下，张某的期望工资待遇为：

135000.230150.83112

E=⨯+⨯=元

从这个例子可以看出，往往在面对多家公司面试时，我们应该要考虑各家不同职位的不同工资待遇，进行期望分析得出期望工资并与各公司单位提供的各职位工资进行对比，寻出最佳的面试决策，从而获得称心的职位.对于只有单一面试单位也可以按照此例中的期望分析方法进行决策，决定接受哪种职位或不接受。因而，应用期望分析不仅可以提高就业几率，同时还可以提高工资的期望值.

4.委托代理问题

在经济生活中，委托代理是十分普遍的，例如股东和经理、老板和员工、总厂家和代理商等等，在此我们不妨以总厂家和代理商之间的这种委托代理关系为例.一般而言，厂家希望在支付给代理一定报酬的同时确保代理能够恪尽职守地完成任务，从而达到最大利润；而代理商则希望在获得一定薪酬的同时尽量少工作。那么，为了确保双方利益的平衡，应该采取怎样的策略呢？我们可以用双方利益的数学期望来进行分析.

一方面，如果不考虑外部因素的影响，厂家的利润会随着代理商的努力程度而增加；另一方面，如果代理商的努力程度一定，厂家的利润也会受到外界因素的影响，可以简单的综合为运气好和运气差两种情况.假设这两方面的影响概括如下：

努力完成任务，而在其他情况下不能确定，代理商可能会不尽全力.从另一方面来讲，代理商也是为了获取薪酬，努力积极工作则会增加其成本.简单起见，记代理商努力工作的劳动成本为10万元，不努力工作的成本为0万元。因此，对于厂家来说，最有利的结果是代理商努力工作，因为此时厂家的期望利润为

1200.5400.530

E=⨯+⨯=万元，而代理商不努力工作时厂家的期望利润为

2100.5200.515

E=⨯+⨯=万元.那么如何能保证代理商能够努力工作呢？我们可以考虑不同的报酬形式：第一，固定报酬12万元。第二，对代理商的努力作出奖励。假设计划如下：若利润不超过20万，报酬为0万元；若利润达到40万元，报酬为24万元.第三，分享利润。假设计划如下：当利润少于18万元时，工资为0万元；当利润高于18万元时，超过的部分作为代理商的奖励.

在这三种情况下，我们分别来考虑厂家和代理商的利润。

第一种情况下，代理商无论努力与否，所获薪酬均只有12万元，并且如果努力工作还要减去成本10万元，因此代理商不可能努力工作。同时，对于厂家来说，净利润只有(100.5200.5)123

⨯+⨯-=万元，而代理商努力工作时厂家的期望利润有(200.5100.5)1218

⨯+⨯-=万元。因此，固定工资必然会导致代理商的工作效率低下，厂家的期望利润也很低.

第二种情况下，对代理商而言，当努力工作时，期望收入为00.5240.512

⨯+⨯=万元，减去劳动成本10万元，净利润为2万元。而如果不努力工作，厂家的期望利润只有15万元，代理商工资只能为0万元，所以代理商一定会努力工作.在这种情况下，厂家的期望利润为(200)0.5(4024)0.518

-⨯+-⨯=万元，较之第一种情况大为增加.

第三种情况，对代理商而言，当努力工作时，期望收益为(2018)0.5(4018)0.512

-⨯+-⨯=万元，减去劳动成本10万元，净收益为2万元。而不努力工作时期望收益为00.5(2018)0.51

⨯+-⨯=万元，没有劳动成本的付出，净收益为1万元.而对于厂家，期望收益总可以达到18万元，较之第一种也是非常有利的.

因而在这种委托代理关系中，委托方可以将自己的利益纳入到代理方的利益当中，利用数学期望来选择最佳的报酬方案，以解决双方的矛盾.

5.法律纠纷问题

在民事纠纷案件中，受害人如果将案件提交法院诉讼，其不仅要考虑胜诉的可能性，还应该考虑承担诉讼公费的问题.如果对案件进行理性的思考，一般的人往往会选择私下解决而不通过法院.

我们现在以一个民事纠纷为案例来说明，其中包含着数学期望的应用。

某施工单位A在施工工程中由于某种原因致使居民B受伤，使居民B遭受了20万元的经济损失.若将次案件提交诉讼，则诉讼费共需要0.8万元，并按所付责任的比例双方共同承担.而根据案件发生的情形以及外部因素的影响，法院最后的判决可能有三种情况：

（1）施工单位A承担事故100%责任，要向受害人B支付20万元的赔偿费，并支付诉讼费0.8万元；

（2）施工单位A承担70%的责任，要向受害人B支付14万元的赔偿费，并支付诉讼费0.56万元，另外0.24万元诉讼费由受害人支付；

（3）施工单位A承担50%的责任，要向受害人B支付10万元的赔偿费，并支付诉讼费0.4万元，另外0.4万元诉讼费由受害人支付.

居民B估计法院（1）、（2）、（3）三种判决的可能性分别为0.2，0.6，0.7，如果施工单位A想私下和解而免于诉讼，至少应向受害人B赔偿多少数额的赔偿费，才能使受害居民B从经济利益上考虑而选择私下和解？

分析与求解：若受害人B仅从经济利益考虑，那么施工单位A对受害人B的赔偿数额必须大于法院最后判决所定赔偿数额，并且要考虑诉讼费.

首先从受害人B的角度，我们不妨先看一下受害人通过法院诉讼所获的期望赔偿。设受害人B上诉可获赔偿为ξ（万元），则ξ的分布列为：

1200.2(140.24)0.6(100.4)0.214.176

E=⨯+-⨯+-⨯=万元从施工单位A的角度，我们可以看一下A的期望赔偿支付额。设A通过上诉途径应该支付给B的赔偿额为η（万元），有η的分布列：

2(200.8)0.2(140.56)0.6(100.4)0.214.976

E=+⨯++⨯++⨯=万元由上述分析和求解不难看出，若B从经济利益角度考虑，施工单位A应至少赔偿受害人14.176万元，B才有可能决定和A私下和解；但若从A的角度来看，私下和解赔偿给受害人B的数额应该不超过14.976万元，否则，私下和解对于施工单位A便失去了一定的意义.

在现实生活中像这样的民事纠纷案件很多，且几乎都要涉及经济赔偿的问题.从以上的分析可以看出，一般的人会选择私下和解而不提交法院，因为这对双方都有利。当然本文在此并不是说任何案件都最好私下和解，大部分的案件还是必须要经过法律程序的，此处只作为一个民事纠纷案例来说明数学期望在法律纠纷问题中的应用.

三、结语

本文主要谈论数学期望在理论和实际中的广泛应用，其整体结构顺序是由数学期望理论向实际问题解决的逐步转变.

从上述所示个例可以看出，数学期望理论的应用相当的广泛，不论是从理论证明和求解还是在实际生活中，都起到十分重要的工具作用.除上述具体实例以外，期望理论还可应用于解决抽奖，彩票，通信，乘车或电梯上下站的选择，医学，农业决策，产品生产决策以及保险理赔等众多问题，鉴于篇幅本文不再累举.

一般可以这样认为，当涉及概率统计和决策时，往往会利用到数学期望理论，因为我们很难去探究一些随机变量的变量分布，例如在经济决策性问题当中，而转用概率统计中的数学期望这一特征数字可使问题简化.但数学期望只是代表随

机变量的平均取值，在实际问题中往往也用到要结合概率统计中其他数字特征才能更好的解决问题；只有将理论适当的应用，才能真正做到理论联系实际.

参考文献

[1] 魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京，高等教育出版社,2008,4.

[2] 周概容.概率论与数理统计[M].北京,高等教育出版社,2004.

[3] 斯日古楞.数学期望的应用[J].内蒙古大学报自然科学版,2000,3.

[4] 段丽凌.浅析数学期望在经济生活中的应用[J].商场现代化,2008,4.

[5] 陈卫东.离散型随机变量的数学期望在法律、医学和经济等问题中的应用

[J].广东广播电视大学学报，2005,12.

[6] 孙丽群,崔淮玲.数学期望在投资决策中的应用[J].数学通讯,2004.

[7] V.I.Rybakov.On conditional mathematical expectations for functions

integrable in the pettis sense[J].UDC 519.2,2006.

致谢: 本文在选题，修改及其完稿的整个过程中，都是在李玉洁老师、赵玉华老师等的细心指导下完成的，在此对他们表示感谢！另外，在本文撰写过程中, 得到张润生、付钦玉等同学的帮助，在此向他们表示谢意！

吴庆安

2010年8月30日

数学期望在生活中的应用原文

一、数学期望的定义及性质 （一）数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。 （二）数学期望的常用性质 1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）； 2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。 对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。 对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。

数学期望理论及其应用

目录 1.摘要 (2) 2.数学期望理论简述 (3) 3.数学期望理论的应用 (5) 3.1在证明等式和不等式中的应用 (5) 3.2在投资理财问题中的应用 (7) 3.3在天气预测问题中的应用 (8) 3.4在求职决策问题中的应用 (8) 3.5在委托代理问题中的应用 (9) 3.6在法律纠纷问题中的应用 (10) 4.结论 (11) 5. 参考文献 (12) 6. 致谢 (12)

数学期望理论及其应用 摘要：数学期望是概率统计中一个重要的数字特征，在理论研究和实际问题解决方面有着广泛的应用.本文通过列举一些理论上和现今实际生活中相关的问题，同时利用数学期望的相关理论进行解决，从而达到理论联系实际的目的. 关键词：概率统计；数学期望；决策 The Mathematic Expectation Theory and its Application Abstract:The mathematic expectation is an important digital characteristic in the probability statistics, which has the widespread application in the fundamental research and the actual problem solution aspect. This article through enumerates some theoretically the question which is related with the nowadays practical life, simultaneously carries on the solution using mathematic expectation's correlation theories, thus achieves the apply theory to reality the goal. Key words:Probability statistics；Mathematic expectation；Decision-making

数学期望的原理及应用

数学期望的原理及应用 1. 原理 数学期望是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量的平均值。在概率论中，随机变量是指在一个随机实验中，可以随机地取不同值的变量。数学期望可以看作是随机变量的平均取值，它是对随机变量可能取值的加权平均。 数学期望的计算公式为: $$E(X) = \\sum_{i=1}^{n} X_i \\cdot P(X_i)$$ 其中，X i是随机变量的某个取值，P(X i)是X i对应的概率。 数学期望的求解步骤如下： 1.确定随机变量的全部可能取值； 2.计算每个取值的概率； 3.计算每个取值与其对应概率的乘积； 4.将上述乘积相加即得到数学期望。 2. 应用 数学期望在各个领域都有广泛的应用，以下是数学期望在一些具体问题中的应 用案例： 2.1 统计学 在统计学中，数学期望是一个重要的统计指标，用于衡量一个随机变量的中心 位置。例如，在对一个随机样本的分析过程中，可以通过计算样本的数学期望来了解样本的平均水平。数学期望还被广泛应用于估计总体的参数，例如通过样本的平均值来估计总体的均值。 2.2 金融学 在金融学中，数学期望在投资组合的管理中发挥重要作用。通过计算各个投资 标的的数学期望，可以评估投资标的的预期收益。基于这些数学期望，投资者可以根据自己的风险偏好进行资产配置，以达到最优的投资组合。 2.3 工程学 在工程学中，数学期望可以应用于各种实际问题的分析。例如，在电力系统中，可以通过计算电力负荷的数学期望来确定电力系统的设计容量。在工程项目的成本估算中，也可以通过计算工程成本的数学期望来进行成本控制和决策。

2.4 计算机科学 在计算机科学中，数学期望被广泛用于分析算法的性能。通过计算算法的平均运行时间的数学期望，可以评估算法的效率和性能。数学期望还被用于建模和优化网络传输的时延和吞吐量。 3. 总结 数学期望作为概率论中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。它是随机变量的平均取值，描述了随机变量的中心位置。通过计算随机变量的数学期望，可以用于统计分析、金融投资、工程项目和计算机科学等领域的问题解决。熟练掌握数学期望的原理和应用，有助于提升问题分析和决策能力。

数学期望的计算方法及其应用

数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)(1 i n i i x p x ∑=

学期望不存在[]2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。 （1） 二点分布： X ~??? ? ??-p p 101 ，则()p X E = （2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1)(= （4） 泊松分布：)(~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布： ),,(~M N n h X ,有N M n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确 分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望. 解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中 6,4,3N M n ===, 设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则 )32,3(~B Y ,23 2 3)(=?==np Y E 1.3 性质法

数学期望的应用

数学期望的应用 期望在字典里的解释是：对人或事物的未来有所等待和希望。 天下每个父母都希望自己儿子能成龙，女儿能成凤，所以他们在子女的课外培养上不惜血本，可效果总事与愿违。每个赌徒都希望能在赌场中打捞一笔，结果两老本也陪个精光，甚至背上一身债，这是为什么呢？政府在出台政策时，往往是有多个方案可以选择，是选哪一个最好呢？ 面对这些问题是，往往可以用数学期望解答。 数学定义： 如果X是在机率空间(Ω, P)中的一个随机变量，那么它的期望值E(X) 的定义是： E(X)=∫ΩXdp 在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。 “奥数”是之前不久网上很热门的一个话题。奥数对于一般孩子来说“又怪又难”，奥数生父母陪送陪读赔高学费，却仍然不乏热捧者。由于择校机制的实质性存在，广州小升初、初升高、高升大，奥数都或明或暗搭上了升学快车，因此奥数“捷径”就这样捆住了渴望读名校的父母子女，养肥了大大小小的培训机构。正是因为重点中学亲

“奥数”远“普通”班级的“依附性”，促使家长不惜巨资把孩子送进奥数班级“陷阱”；又因为奥数班级“拔苗助长”，致使一些学生听不懂、做晕头，更多的学生在厌倦、在逃避、在荒废时光。奥数教育，除了打造极少数“精英”学生外，制造了广大学生的一片悲哀。 家长在考虑是否送子女去奥数班时可以用数学期望算一下奥数对子女的帮助。 设读奥数的总效益为E，奥数对儿女有正面影响的概率为P1，正面效应为E1，有负面影响的概率为P2,负面效益为E2。 则E=P1*E1-P2*E2 由于P1很小，或接近于零。所以读奥数所获得的效益期望通常为负值。 本人认为，除非发现子女在数学方面有天赋，否则不要送子女去读奥数班，因为事实总父母和子女的愿望相背。 金融危机笼罩着世界，许多国家都陷入了困境，企业纷纷破产，许许多多百姓丢掉了他们的饭碗。为了改变这一局面，各国政府都出台了一连串的政策来刺激经济。政府在出台每个政策前，往往有很多方案选择，这些方案都是政府人员和各个行业专家精心研究而提出来通过利用现有的行政资源和市场资源刺激经济复苏。 这些政策有积极的一面，也有消极的一面，而且要付出相应的机会成本，也就是使用更好方案的机会。因此，政府通过计算，衡量每一套方案的效果，并选择最佳方案。这个过程就可以利用数学期望的计算方法。

数学期望及其应用

数学期望及其应用 在经济学和决策科学中，期望效用理论是一种基本的理论基础，用于解释个体在不确定条件下如何进行决策。该理论认为，个体在做出决策时，会根据对结果的期望效用值来权衡各种可能的结果。本文将详细探讨期望效用理论及其检验研究，旨在提供一个全面的概述。 期望效用理论可以简单定义为：个体对未来不确定结果的偏好，是基于其对结果的可能性和效用值的预期。在决策分析中，它被广泛应用于评估风险和不确定条件下的决策结果。该理论有两个基本假设：一致性假设和独立性假设。一致性假设指个体会按照预期的效用值来选择决策；独立性假设则指个体的选择不受无关因素影响。 在期望效用理论的应用中，通常涉及到的定理有：风险厌恶定理、风险中性定理和确定性效应定理。这些定理揭示了个体在面对风险和不确定性时的行为特征。 对于期望效用理论的检验，研究者们采用了多种方法，包括实证检验、历史文献回顾等。实证检验主要是通过实验或调查收集数据，然后运用统计方法来验证理论是否符合实际观察的结果。历史文献回顾则是通过对已有研究进行梳理，分析期望效用理论在不同领域的应用效果。

在实证检验方面，研究者们通常会设计一些实验或调查来收集数据，以验证期望效用理论的有效性。例如，通过让被试者在不同的奖励和风险条件下进行决策，然后分析他们的选择是否符合期望效用理论的预测。 历史文献回顾表明，期望效用理论在经济学、金融学、心理学、社会学等多个领域都有广泛的应用。如在经济学中，期望效用理论被用于研究消费者和生产者的行为决策；在金融学中，该理论被用于解释投资者的风险偏好和资产配置；在心理学中，期望效用理论被用于分析人类的判断和决策过程；在社会学中，该理论被用于研究社会偏见和歧视现象。 期望效用理论在实践中的应用非常广泛。例如，在经济领域，基于期望效用理论的决策模型被用于预测消费者的购买行为和企业的最优 定价策略；在金融领域，该理论被用于设计风险对冲策略和资产定价模型；在医疗领域，基于期望效用理论的决策分析被用于制定疾病治疗方案和评估医疗政策的效果。 期望效用理论在各个领域的实践应用都表明，它能够有效地描述和分析个体在不确定条件下的决策过程。然而，尽管期望效用理论具有广泛的应用和实证支持，但其本身仍存在一些限制和挑战。例如，该理

条件数学期望及其应用

条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matri* and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical. Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重〔一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积〕后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为},,{21 p p .又事件A 有0)(>A P ，这时 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 则称 A i i i p x A X E |]|[∑=． 为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望〔简称条件期望〕． 定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)(>A P ，且X 在条件A 之下的条件分布密度函数为)|(A x f ．假设⎰∞ ∞-∞

论数学期望在实际生活中的运用

论数学期望在实际生活中的运用 数学期望代表着概念意义下的统计平均值，客观有效地反映了随机变量的取值分布。作为概率论与数理统计中的重要概念之一，数学期望如今已经成为经济统计、投资分析等领域的重要参数，为更深入的判断与决策提供了准确的理论依据。本文梳理了数学期望的基本概念与计算方法，并进一步探讨期望在实际生活中的具体运用。 1 数学期望的基本概念 1.1 离散型与连续型随机变量 生活中存在许多自然现象，当某种现象的结果具有不确定性和随机性，但结果的取值范围是已知的時候，我们称该现象的结果为随机变量。例如，某一时刻经过某路口的出租车数量、未来某一天的平均温度均是随机变量，它们都无法预知，但结果的区间范围确是可以确定的。 需要注意的是，根据随机变量取值的分布规律，一般把随机变量分为两种类型：离散型随机变量与连续型随机变量。当变量的取值在一定区间内是有限的，这个变量即是离散型随机变量；当取值在一定区间内是无限的，这个变量即是连续型随机变量。正如上文所列举的例子，某一时刻经过某路口的出租车数量便是“可数”的，是离散型的随机变量；而未来某一天的平均温度虽然 1/ 6

也可以确定取值范围，但在特定的范围内的取值是“不可数”的，因而是连续型的随机变量。 1.2 数学期望的计算方法 类似于加权平均的方法，数学期望即是随机变量的所有可能取值与其对应的概率乘积之和，概率即是每项结果的“权重”。离散型与连续型随机变量的计算方式有所不同。 对于离散型随机变量X来说： X的分布律为： P{X=xk}=pk，k=1，2，3… 若级数收敛，则随机变量X的数学期望E（X）即为。 对于连续型随机变量Y来说： Y的概率密度函数为： f（y），y∈（-∞，+∞） 若级数收敛，则随机变量Y的数学期望E（Y）即为。 2 数学期望在实际生活中的运用 2.1 生产决策问题 在生产经营过程中，由于无法提前预知其他厂商的生产情况，因而对于产量的抉择是较为盲目的。当市场供给过多时，产品价格会下降进而侵蚀利润，同时商品积压也会增加库存成本。实际上，企业的财务管理人员可以通过历史数据、市场信息，利用数学期望原理进行合理估算，制定出理论上的最佳生产策略。 2/ 6

数学期望及其应用

数学期望及其应用 信息上的例谈数学期望这篇文章，对数学期望的相关性质以及应用做了进一步的探讨. 1.数学期望的定义 由于随机变量分为离散随机变量和连续随机变量，所以在定义数学期望式分两种情况. 1.1 离散随机变量的数学期望 设离散随机变量X的分布列为： 这里例题所求运用了期望的定理1，对随机变量所得函数进行了期望计算. 3.2 数学期望在实际生活中的应用 3.2.1 数学期望在商店进货问题中应用 例2 设某商店销售某种商品，该商品每周的需求量ξ是一个服从区间[100，300] 上的均匀分布的随机变量.正常情况下，每销售一单位商品可获利500元.若供大于求，则削价处理，每处理一单位剩余商品亏损100元；若供不应求，可以外部调剂供应，此时一单位商品获利300元.问该商店进货量应该为多少，可使平均每周的利润达到最大？ y实际上为变量，对y求导得0，得到y=23.33.又因为E L ″ 1/ 3

y=-150.所以当y=23.33时，利润的数学期望E L 取得最大值. 3.2.2 数学期望在法律纠纷中的应用 在民事纠纷案件中，受害人如果将案件提交法院诉讼，其不仅需要考虑诉讼胜利的可能性，还应该考虑承担诉讼的费用问题.如果对案件进行理性思考，一般人往往会选择私下解决而不通过法院.现在以一个民事纠纷案件来说明. 例3 某施工单位A在施工过程中由于某种原因致使居民B 受伤，使居民受伤并使其遭受了20万元的经济损失.若将该案件提交诉讼，则诉讼费共需要0.8万元，并按所负责任的比例双方共同承担.而根据案件发生的情形以及外部因素的影响，法院最后的判决可能有三种情况： （1）施工单位A承担事故100 % 责任，要向受害人B支付20万元的赔偿费，并支付诉讼费0.8万元； （2）施工单位A承担70 % 的责任，要向受害人B支付14万元的赔偿费，并支付诉讼费0.56万元，另外0.24万元诉讼费由受害人支付； （3）施工单位A承担50 % 的责任，要向受害人B支付10万元的赔偿费，并支付诉讼费0.4万元，另外0.4万元诉讼费由受害人支付. 居民B估计法院三种判决的可能性分别为0.2，0.6，02，如 2/ 3

数学期望的原理及应用

数学期望的原理及应用 数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。 数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。数学期望的计算公式可以表示为： E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn) 其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。 对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。数学期望的计算公式可以表示为： E(X) = ∫x*f(x)dx 数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：

1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。 2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。 3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。 4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。 5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。 6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。 总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。无论是在风险评估、决策制定、

浅谈数学期望在生活中的应用

浅谈数学期望在生活中的应用 浅谈数学期望在生活中的应用 一、数学期望的定义 引例某射手在一次射击比赛中共发射了10发子弹,其中有一发中7环,有二发中8环,有三发中9环,有4发中10环,求该射手在此次射击比赛中每发子弹击中的平均环数. 解平均环数 这里的平均环数并不是这10发子弹击中的4个值的简单平均,而是以取这些值的次数与射击总次数的比值为权重的加权平均.在某种程度上说,这个加权平均可以用来衡量该射手的射击水平. 二、数学期望的应用 1.数学期望在疾病普查中的应用 在一个人数为N的人群中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,如果将每个人的血分别检验,则共需检验N次,为了能减少工作量,一位统计学家提出一种方法:按k个人一组进行分组,把同组k个人的血样混合检验,如果这混合血样呈阴性反应,就说明此k个人的血都呈阴性反应,此k个人都无此疾病,因而这k个人只需要检验一次就够了,相当于每个人检验1/k次,检验的工作量明显的减少了.如这混合血样呈阳性反应,就说明此k个人中至少有一个人的血呈阳性反应,则在对这k个人的血样分别进行检验,因而这k个人的血要检验1+k次,相当于每个人检验 1+1/k 次,此时增加了检验次数,假设该疾病的发病率为р且得此病相互独立,试问此种方法能否减少平均检验次数? 分析看能否减少平均检验次数,可以求出每个人检验次数的数学期望,根据数学期望大小再判断. 解设以k个人为一组时,组内每个人检验次数为x,则x是一个随机变量,其分布规律为所以每人平均检验次数为 . 由此可知,只要选择k使

就可减少验血次数,而且也可以通过不同的发病率р计算出最佳分组人数,此外,也得知:发病率越小,分组检验的效益越大.在二战期间,美国对新兵验血就是使用这种方法来减少工作量的. 2.数学期望在揭开赌场骗局中的应用 在我国南方流行一种称为“捉水鸡”的押宝,其规则如下:由庄家摸出一只棋子放在密闭的盒中,这只棋子可以是红的或黑的将、士、象、车、马、炮之一.赌客把钱押在一块写有上述12个字(六个红字,六个黑字)的台面的某一个字上,押定后,庄家揭开盒子露出原来的棋子,凡押中者(字和颜色都对)以一比十得奖金,不中者其押金归庄家,此押宝赌博对谁有利? 分析这道题的思想简单,与0-1分布一样. 解不妨设一个赌徒押了10元,而收回奖金X元,若押中, X=100;若不中,X=0.X的概率分布列为因此数学期望元. 由于支付10元,和期望收入8.33元不等.因此这是不公平的赌博,明显对庄家有利,事实上,当赌徒进入赌场,他面临的都是这种不公平的赌博,否则赌场的巨额开支业主的高额利润从何而来. 3.数学期望在通信中的应用 设无线电台发出的呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2,信号每隔5秒钟拍发一次,直到收到对方的回答为止.若发出信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间,求在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数. 分析明显,此题是考查几何分布数学期望的求法,但是又隐藏陷阱“若发出信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间”,意味随机变量X最小取值为4. 解设双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号次数为X,则X～Ge(0.2).因为有16秒相隔时间,X的最小拍发次数为4. 于是X的分布列为 P(X=K)=0.2×0.8k-4,k=4,5,... X的期望为 因此在双方建立联系之前已经拍发的呼唤信号的平均次数为8次. 这个例题虽是很简单的一个求数学期望的问题,但是“若发出的信号到收到对方回答信号之间至少要经过16秒时间”这个 条件极易被忽略.

数学期望的实质和应用

数学期望的实质和應用 数学期望是随机变量的重要的数字特征之一﹐作為一種常用的分析預測工具﹐在生產﹑銷售各行業以及人民日常生活中﹐起著不可替代的作用。辯証思想告訴我們﹐理論應用的基礎是認清理論的實質﹐因此﹐為了充分發揮數學期望的顯著功效﹐我們首先必須摸透它的”筋脈”。本文以二項分布為引子﹐討論隨機變量的實質及其應用。 1. 實質 二項分布﹕設),(~P n B X ﹐則n k P P C K X P k n k k n ,,2,1,0,)1()( =-==-。 二項分布性質﹕（証明省略） 1) 當(n+1)P 不是整數時﹐k n k k n k P P C 使P P n K --=+=)1(,)1(達到最大值。 2) 當(n+1)P 是整數時﹐1)1(&)1(-+=+=P n K P n K 對應的概率同時達到最大值。 二項分布的數學期望﹕ 根據離散型隨機變量數學期望的定義﹐可以求得二項分布的數學期望﹕ np p p np P P K k n n n n np P P K k n n n n K P P KC X E n n k k n k n k k n k n k k n k k n =-+=-------=-----=-= -=----=-=-∑ ∑∑1 ) 1()1(1 0)]1([) 1()! 1()] 2()1[()2)(1() 1(!)] 1([)2)(1() 1()( 也就是二项分布的数学期望为 np ，随机变量的数学期望其实质是﹕ 离散型随机变量X 的一切可能取值为k x x x ,,,21 ﹐相对应的概率是 k p p p ,,,21 ﹐即 ,3,2,1,}{===k p x X P k k ﹐很明显，k x 出现的概率k p 越大﹐X 取到k x 的可能性也越大，那么这个值k x 也越具有资格期望X 的取值。也就是说X 依 k p p p ,,,21 来反映k x x x ,,,21 这组数据，令k x 出现的概率为k p ，自然，应以k p 为 权，对k x x x ,,,21 进行平均，这就是X 有代表性的值﹐∑=n k k k p x 1 就是这个值．因而称该值为随机变量X 的数学期望，简称为期望或期望值。 二项分布作为离散型随机变量的典型，又由二項分布的性質可知﹕ 1)1(&)1(-+=+=p n K p n K 時的概率最大k n k k n k P P C P --=) 1(。 一般地说， 当n 较大，p 较小时，np 是整数，即np p n =+)1(或者 np p np p n ≈+=+)1(。所以﹐二项分布的期望值就是概率达到最大值时，其

数学期望在实际生活中的应用

摘要 在现代快速发展的社会中，数学期望作为一门重要的数学学科，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，体现出数学期望在实际生活中颇有价值的应用。通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”. 所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。 关键词：数学期望随机变量性质实际应用

Abstract In the rapid development of modern society， the mathematical expectation as an important mathematical subject， it is one of the important digital features of random variables, is also one of the basic characteristics of random variables. Through several examples, in this paper，the mathematical expectation in the practical application of life including economic decision—making， lottery tickets, job, health， sports， etc。 In some instances, manifests the mathematical expectation valuable application in real life. Through discuss the application of mathematical expectation in real life to play let everybody understand the knowledge and practice closely linked human rich background，personal experience ”mathematics really useful"。So—called mathematical expectation is to actually ask for random variables of the probability weighted average of the weight, and mean value in actual application of this concept is our one of the most commonly used indicators, used in the forecast， it is very scientific. Key words: Mathematical Expectation； Stochastic Variable； quality； Practical Application

数学期望的计算及应用

数学期望的计算及应用 数学与应用数学111 第四小组 引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞ == 1 )(k k k p x X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式 ∑∞ ==1 )())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将 介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。 下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法 ] 1[ 如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用 )(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值，这种方法就叫做变量 分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。 例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的) 分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。

数学期望及其应用

本科生毕业论文 题目: 数学期望的计算方法与实际应用专业代码: 070101

原创性声明 本人重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期

指导教师签名: 日期 目录 1.引言1 2.数学期望的定义及其性质2 2.1数学期望的定义2 2.2数学期望的基本性质3 2.3数学期望的计算方法3 3 数学期望在实际生活中的应用8 3.1在医学疾病普查中的应用8 3.2数学期望在体育比赛中应用9 3.3数学期望在经济问题中的应用11 3.3.1 免费抽奖问题11 3.3.2 保险公司获利问题13 3.3.3 决定生产批量问题13 3.3.4 机器故障问题14 3.3.5 最佳进货量问题15 3.3.6 求职决策问题16 4 结论17

参考文献18 致19 摘要 数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。 本文从数学期望的涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。 关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用