高中数学常用公式及定理
高中数学常用公式及定理
1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数
学成绩将会起到很大的作用。
2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。
1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.
2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.
3.包含关系
A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理
()()card A B cardA cardB card A B =+-
()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.
5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非
空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M <
等价于“0)()(21 2211k k a b k +<-<”或“0)(2=k f 且22122k a b k k <-<+” 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2- =处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； 若[]q p a b x ,2?-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =； 若[]q p a b x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布 依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设2()f x x px q =++，则 （1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为()0f m <或2402()0 p q p m f m ?-≥? ?->??≥?? . （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2 ()0 ()0402 f m f n p q p m n >??>???-≥? ?<- ()0()02f m f n p m n ??=? >???<- ()02 f n f m p m n ? ?=?>? ??<- n <或240 2()0 p q p n f n ?-≥??- (1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∈. (2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∈. (3)4 2 ()0(0)f x ax bx c a =++>>恒成立的充要条件是020b a c ?-≤???>?或20240 b a b a c ?->?? ?- . 12.真值表 13.常见结论的否定形式 14.四种命题的相互关系 互 否 若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 ?，则p是q充分条件. （1）充分条件：若p q （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数；如 果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+； 若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+，并且()y f x =关于x a =对称. 20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数 2b a x += ;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x -=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2 (a 对称；若)()(a x f x f +-=,则函 数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=++ +的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x m +=对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-= 24.两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； 若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系：a b f b a f =?=-)()(1. 27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k y -=-，并不是1()y f kx b -=+，而 函数1()y f kx b -=+是])([1 b x f k y -=的反函数. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,具有性质：'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，具有性质：()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， () (0)1,lim 1x g x f x →==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期a =T ； （2）()()f x a f x +=-或)0)(()(1)(≠= +x f x f a x f 或1 ()() f x a f x +=- (()0)f x ≠,则)(x f 的周期a 2T =； (3)1 (),(()1)1() f x a f x f x += ≠-，则)(x f 的周期a 3T =； (4)) ()(1) ()()(212121x f x f x f x f x x f -+= +且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<， 则)(x f 的周期a 4T =； (5)()()()f x a f x f x a +=--，则)(x f 的周期a 6T =. 30.分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N * >∈，且1n >）；(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N *>∈，且1n >）. 31．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =； 当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?- 32．有理指数幂的运算性质 (1)(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈；(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈；(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈ 33.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. 34.对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m = (0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a M M N N =-;(3)log log ()n a a M n M n R =∈. 36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ，记ac b 42-=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ， 且0a ，且0≥?.【对于0=a 的情形，需要单独检验.】 37.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1 )x y N p =+. 38.数列的通项公式n a 与前n 项的和n S 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=?=?-≥? . 39.等差数列的通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 其前n 项和n S 公式为：1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 40.等比数列的通项公式：1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈； 其前n 项的和公式为：11 (1),11,1n n a q q S q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1 n n a a q q q S na q -?≠? -=??=?. 41.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为 1(1),1 (),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=??=+--?≠?-? 【用待定系数法来求】 ； 42．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<；(2) 若(0,)2x π ∈ ，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 43.同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θcos sin ，tan 1cot θθ?=. 44.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 2 12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数， 212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+?-?+=??-? 为偶数为奇数 45.和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . sin cos a b αα+ =)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决 定,tan b a ?= ). 46.二倍角公式 sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； 22tan tan 21tan α αα = -. 47. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππ θθθθθθ=-=-+； 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33 ππ θθθθθθ=-=-+；32 3tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33 θθππ θθθθθ-==-+-. 48.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+及函数cos()y x ω?=+的周期2T πω =； 函数tan()y x ω?=+的周期T πω =. 49.正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ?的外接圆半径）. 50.余弦定理 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-. 51.面积定理 （1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===；(3)OAB S ?=52.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+2 2 2 C A B π+?=-222()C A B π?=-+. 53. 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=?=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=?=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=?=+∈∈. 特别地,有 sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=?=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=?=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=?=+∈. 54.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 55.向量的数量积的运算律：（三个向量的数量积不满足结合律） (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 56.平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2． 不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 57．向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ∥b 12210x y x y ?-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a · b =|a ||b |cos θ． 58. a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 59.平面向量的坐标运算 (1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 60.两向量的夹角公式 cos θ= (a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). 61.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB AB AB =?=11(,)x y ，B 22(,)x y ). 62.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则 a ∥ b ?b =λa 12210x y x y ?-=；a ⊥b ?a ·b=012120x x y y ?+=. 63.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则 12 1211x x x y y y λλλλ +?=??+?+?=?+? ?12 1OP OP OP λλ+= +?12 (1)OP tOP t OP =+- （11t λ =+）. 64.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是 123123 ( ,)33 x x x y y y G ++++. 65.点的平移公式 '' '' x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-???? '' OP OP PP ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 66.“按向量平移”的几个结论 （1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为 ()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析 式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为 (,)0 f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 67. 三角形四“心”向量形式的充要条件，设O 为ABC ?所在平面上一点，则 （1）O 为ABC ?的外心2 2 2 OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=. （3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=.(,,a b c 为角,,A B C 所对边长) 68.常用不等式： （1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈ ?2 a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 69.已知y x ,都是正数，则有 （1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24 1 s . 70.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2ax bx c ++同号， 则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或. 71.含有绝对值的不等式 当a>0时，有2 2x a x a a x a ?>?>或x a <-. 72.无理不等式 （1 ()0()0()()f x g x f x g x ≥??>?≥??>? ；（2 2()0 ()0()()0()0()[()] f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥??>?≥?? ?或； （3 2()0()()0 ()[()]f x g x g x f x g x ≥???? . 73.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()() ()()f x g x a a f x g x >?>；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>?； (2)当01a <<时,()() ()()f x g x a a f x g x >?<；()0 log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >??>?>?? 74.斜率公式：21 21 y y k x x -= -（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 75.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4) 截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 76.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠；②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 2、B 2 、C 2都不为零, ①111122 2 2 ||A B C l l A B C ?=≠；②1212120l l A A B B ⊥?+=； 77.夹角公式：21 21 tan | |1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π. 78. 1l 到2l 的角公式：21 21 tan 1k k k k α-= +.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2 π. 79．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其 中k 是待定的系数；经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系 方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与 直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(C λ≠)，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是 0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 80.点到直线的距离： d = (点00(,)P x y ，直线l ：0Ax By C ++=). 81. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域 设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域； 当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域； 当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 82. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+??=+? . （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=【圆的直径的端点是11(,)A x y 、 22(,)B x y 】. 83. 圆系方程 (1)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数． (2)过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方 程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数． 84.点与圆的位置关系，点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种： 若d = d r >?点P 在圆外；d r =?点P 在圆上；d r 85.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0相离r d ；0=???=相切r d ；0>???<相交r d . 其中2 2 B A C Bb Aa d +++= . 86.两圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ；条公切线外切321??+=r r d ; 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ；条公切线内切121??-=r r d ； 无公切线内含??-<<210r r d . 87.圆的切线方程 (1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()() 022 D x x E y y x x y y F ++++ ++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()() 022 D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦 方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=． ①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=； ②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =± 88.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=? . 89.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式：10PF a ex =+，20PF a ex =-. 90．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部22 00221x y a b ?+>. 91. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b +=. （3）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=. 92.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式：10||PF a ex =+，20||PF a ex =-. 93.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22 220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22 22 b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上； 0<λ，焦点在y 轴上）. 94. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b -= （3）双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=. 95. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02 p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++ =21212 2. 96.抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =. 97.二次函数2 2 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是241 4ac b y a --=. 98.抛物线的内外部 (1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ?>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ?>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ?>>. (4)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ?>->. 96. 抛物线的切线方程 （1）抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 97.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数) (2)共焦点的有对称中心的圆锥曲线系方程22 2 21x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <； 当22min{,}k a b >时,表示椭圆；当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线. 98.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = 1212||AB x x y y =-=-A ),(),,(2211y x B y x ， 【α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率】. 99.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2,2)0F x x y y --=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 2222 2()2() (,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++- -=++. 100.“四线”一方程 对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用 002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02 y y +代y 即得方程 0000000222 x y xy x x y y Ax x B Cy y D E F ++++?++?+?+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦 中点方程均可由此方程得到. 101．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面两直线无交点；（2）转化为两条直线同时与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 102．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 103．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定两平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 104．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为该线与另一线的射影垂直； （4）转化为该线与形成射影的斜线垂直. 105．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 106．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 107.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 108.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 109.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a =λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 110.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p xa yb =+． 推论：空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 111.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=）， 则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ?平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面． C A B 、、、 D 四点共面?AD 与AB 、AC 共面?AD x AB y AC =+? (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ?平面ABC ）. 112.空间向量基本定理 如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ． 推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数 x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++. 113.射影公式 已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在 l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 114.向量的直角坐标运算 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 115.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 116．空间的线线平行或垂直 设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r ，则 a b r r P ?(0)a b b λ=≠r r r r ?12 121 2x x y y z z λλλ=?? =??=?；a b ⊥r r ?0a b ?=r r ?1212120x x y y z z ++=. 117.夹角公式 设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉 . 推论 222222********* 3123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 118．异面直线所成角 cos |cos ,|a b θ=<>r r =|| |||| a b a b ?= ?r r r r （其中θ（090θ<≤o o ）为异面直线a b , 所成角，,a b r r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 119.直线AB 与平面所成角sin |||| AB m arc AB m β?=(m 为平面α的法向量). 120.二面角l αβ--的平面角cos |||| m n arc m n θ?=或cos |||| m n arc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向 量） 121.三余弦定理 设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 122.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d =||AB AB AB =?=123.异面直线间的距离 || || CD n d n ?= (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 124.点B 到平面α的距离 || || AB n d n ?= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 125.异面直线上两点距离公式：d =（'E AA F ?--为二面角的大小）. (两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 126.三个向量和的平方公式：222 2 ()222a b c a b c a b b c c a ++=+++?+?+? 127. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为 123θθθ、、,则有2222 123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=222123sin sin sin 2θθθ?++=. 128. 面积射影定理：' cos S S θ =. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 129.的半径是R ，则其体积343 V R π=,其表面积24S R π=． 130.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直 径是正方体的面对角线长, (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a ,外接球的半径 数据库原理与应用重点知识提纲 第一章数据库系统概述 (1)数据库、数据库管理系统、数据库应用系统的概念。 (2)数据描述与数据模型。 (3)理解层次模型、网状模型、关系模型的特点与优点。 (4)关系模型的基本概念：关系、元组、属性、属性值、值域、分量、关系的状态、关系模式、关系的键（候选键，主键、外键）与属性（主属性，非主属性）等。 (5)数据库内部体系结构中的三级模式结构。概念模式，外模式，内模式。 (6)数据库系统内部体系结构中的两级映像。 术语： 关系模式：是一种用于描述二维表格结构的表示方式，由关系模式和与该关系模式名相关联的属性名表组成。其形式为：关系模式名（属性名1，属性名2，…，属性名n）。 关系模型：是一种用二维表格结构表示数据及数据之间联系的数据模型。 候选键：如果一个属性集能唯一地标识一个关系中的元组而又不含有多余属性，则称该属性值为该关系的候选键。 主键：是指当某个关系模式有多个候选键时，被用户选用的那个候选键。 外键：如果关系模式R1中的某属性集是另一个关系模式R2的主键，则该属性在关系模式R1中称为外键。 概念模式：是对数据库中全部数据的整体逻辑结构的描述，体现了全局、整体的数据观点，所以称为数据库的整体逻辑结构。 外模式：是表达用户使用观点和用到的那部分数据的逻辑描述，体现了应用程序员对数据库的数据观点。 内模式：是数据库在物理结构和物理存储方面的描述，规定了数据的内部记录类型、记录建起技术、文件的组织方式和数据控制方面的细节等。 简述： 1．简述数据库与文件系统的区别。学习指导P7 2．关系的主键有哪些特性？（唯一性、非冗余性，有效性） 3．将数据库系统的体系结构设计成三级的意义是什么？ 第二章关系运算 (1)了解笛卡尔积、关系的数学定义。 (2)理解基于传统集合理论的关系运算：并、交、差、广义笛卡尔积。 (3)理解关系代数特有的关系运算：投影、选择、商、联接、自然连接。 (4)掌握使用基本关系运算表示4种非基本关系运算的方法。 (5)掌握关系代数运算在关系数据库查询操作中的应用。 术语： 关系的目或度：关系中的属性个数。 关系的基数：关系中元组的个数。 笛卡儿积运算：设关系R和S的目数分别为r和s，R和S的笛卡儿积是一个r+s 目的元组集合，每个元组的前r个分量来自R中的的一个元组，后s个分量来自S中的一个元组。 投影运算：投影运算是按照j1, 选择运算：从关系R中挑选出满足公式F的那些元组。 概率论与数理统计总复习 第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算 互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。 对立事件：A B =ΩU 且AB =Φ 即A B B ==Ω- 差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件 切记： ()A B AB A AB A B B -==-=-U 2. 概率的性质 单 调 性 ： 若 B A ?，则 )()()(A P B P A B P -=- 加法定理：)()()() (AB P B P A P B A P -+=Y )()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=Y Y )()()(ABC P CA P BC P +-- 例1 设 ,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ??=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。 解：()()()P A C P A P AC -=- ()()P A P C =- （AC C =Q ） 故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-= 由此 ()()()P AB C P AB P ABC -= - ()()P AB P C =- （ABC C =Q ） 0.50.30.2=-= 注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质 计算。 3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式 全概率公式 1()()(/)n i i i P A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式（求事后概率） 例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。 解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球 ∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中 故 ; )/()()(A B P A P AB P =()(/) (/)() i i i P B P A B P B A P A = 2 ()()(|) k k k P B P A P B A ==∑201102 244224012222 666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002 334242012222 666631 (|)(|)(|)151515 C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4 ()0.16 25 P B == 高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。 (3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 一、随机事件与概率 二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率： 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()( 一般正态分布的概率计算公式 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2, j i i j g x y P Y y p i === =∑ ， 连续型： ①分布函数法， ②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=?=单调 h(y)是g(x)的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2, i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p ≤≤= ∑∑ 边缘分布律：()i i ij j p P X x p ?===∑ ()j j ij i p P Y y p ?===∑ 条件分布律：(),1,2, ij i j j p P X x Y y i p ?====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ? === = 联合密度函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：?? ∞-∞ -= x y dudv v u f y x F ),(),( 性质：2(,) (,)1, (,),F x y F f x y x y ?+∞+∞==??((,))(,)G P x y G f x y dxdy ∈=?? ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：?? ∞-+∞ ∞ -= x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：? +∞ ∞ -= dv v x f x f X ),()( ? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()() ()(' x f x F =? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=) ,(y x f 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ( )()(σ μ -Φ=<=≤a a X P a X P ) ( 1)()(σ μ -Φ-=>=≥a a X P a X P ) ( )( )(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P 数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =． 第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 第1章数据概述 一．选择题 1．下列关于数据库管理系统的说法，错误的是C A．数据库管理系统与操作系统有关，操作系统的类型决定了能够运行的数据库管理系统的类型 B．数据库管理系统对数据库文件的访问必须经过操作系统实现才能实现 C．数据库应用程序可以不经过数据库管理系统而直接读取数据库文件 D．数据库管理系统对用户隐藏了数据库文件的存放位置和文件名 2．下列关于用文件管理数据的说法，错误的是D A．用文件管理数据，难以提供应用程序对数据的独立性 B．当存储数据的文件名发生变化时，必须修改访问数据文件的应用程序 C．用文件存储数据的方式难以实现数据访问的安全控制 D．将相关的数据存储在一个文件中，有利于用户对数据进行分类，因此也可以加快用户操作数据的效率 3．下列说法中，不属于数据库管理系统特征的是C A．提供了应用程序和数据的独立性 B．所有的数据作为一个整体考虑，因此是相互关联的数据的集合 C．用户访问数据时，需要知道存储数据的文件的物理信息 D．能够保证数据库数据的可靠性，即使在存储数据的硬盘出现故障时，也能防止数据丢失 5．在数据库系统中，数据库管理系统和操作系统之间的关系是D A．相互调用 B．数据库管理系统调用操作系统 C．操作系统调用数据库管理系统 D．并发运行 6．数据库系统的物理独立性是指D A．不会因为数据的变化而影响应用程序 B．不会因为数据存储结构的变化而影响应用程序 C．不会因为数据存储策略的变化而影响数据的存储结构 D．不会因为数据逻辑结构的变化而影响应用程序 7．数据库管理系统是数据库系统的核心，它负责有效地组织、存储和管理数据，它位于用户和操作系统之间，属于A A．系统软件B．工具软件 C．应用软件D．数据软件 8．数据库系统是由若干部分组成的。下列不属于数据库系统组成部分的是B A．数据库B．操作系统 C．应用程序D．数据库管理系统 9．下列关于客户/服务器结构和文件服务器结构的描述，错误的是D A．客户/服务器结构将数据库存储在服务器端，文件服务器结构将数据存储在客户端 B．客户/服务器结构返回给客户端的是处理后的结果数据，文件服务器结构返回给客户端的是包含客户所需数据的文件 C．客户/服务器结构比文件服务器结构的网络开销小 D．客户/服务器结构可以提供数据共享功能，而用文件服务器结构存储的数据不能共享 目录未找到目录项。 一数据库基础知识（第1、2章） 一、有关概念 1．数据 2．数据库（DB） 3．数据库管理系统（DBMS） Access 桌面DBMS VFP SQL Server Oracle 客户机/服务器型DBMS MySQL DB2 4．数据库系统（DBS） 数据库（DB） 数据库管理系统（DBMS） 开发工具 应用系统 二、数据管理技术的发展 1．数据管理的三个阶段 概念模型 一、模型的三个世界 1．现实世界 2．信息世界：即根据需求分析画概念模型（即E-R图），E-R图与DBMS无关。 3．机器世界：将E-R图转换为某一种数据模型，数据模型与DBMS相关。 注意：信息世界又称概念模型，机器世界又称数据模型 二、实体及属性 1．实体：客观存在并可相互区别的事物。 2．属性： 3．关键词（码、key）：能唯一标识每个实体又不含多余属性的属性组合。 一个表的码可以有多个，但主码只能有一个。 例：借书表（学号，姓名，书号，书名，作者，定价，借期，还期） 规定：学生一次可以借多本书，同一种书只能借一本，但可以多次续借。 4．实体型：即二维表的结构 例student(no，name，sex，age，dept) 5．实体集：即整个二维表 三、实体间的联系： 1．两实体集间实体之间的联系 1：1联系 1：n联系 m：n联系 2．同一实体集内实体之间的联系 1：1联系 1：n联系 m：n联系 四、概念模型（常用E-R图表示） 属性： 联系： 说明：①E-R图作为用户与开发人员的中间语言。 ②E-R图可以等价转换为层次、网状、关系模型。 举例： 学校有若干个系，每个系有若干班级和教研室，每个教研室有若干教员，其中有的教授和副教授每人各带若干研究生。每个班有若干学生，每个学生选修若干课程，每门课程有若干学生选修。用E-R图画出概念模型。 第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F = 高中数学公式及定理Newly compiled on November 23, 2020 1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 数据库原理及应用 课后答案 第一章 选择题 1、A。 从数据库管理系统的角度看，数据库系统的结构通常分为三级模式的总体结构，在这种模式下，形成了二级映像，实现了数据的独立性。其中三级模式结构指的是外模式、模式和内模式，二级映像指的是外模式/模式映像、模式/内模式映像。对于外模式/模式映像，当模式改变时，相应的外模式/模式映像作相应的改变，以使外模式保持不变，而应用程序是依据数据的外模式来编写的，外模式不变，应用程序就没必要修改，这保证了数据与程序的逻辑独立性。对于模式/内模式映像，当数据库的存储结构变了，模式/内模式映像会作相应的改变，以使模式保持不变，而模式不变，与模式没有直接联系的应用程序也不会改变，这保证了数据与程序的物理独立性。 数据逻辑独立性指的就是当模式改变时，外模式和应用程序不需要改变，所以选项A正确。C选项的内模式改变，模式不变指的是数据的物理独立性，所以C选项不正确，B选项中前后两句与C选项相比顺序不符，所以B选项不正确。D选项中，应为“模式和应用程序不变”，不应为“外模式”，所以D选项不正确。 2、B。 DB指的是数据库（DataBase），DBMS指的是数据库管理系统（DataBase Management System），DBS指的是数据库系统（DataBase System），DBA指的是数据库管理员（Database Administrator），Data指的是数据。 由书中概念易得DBS（数据库系统）包括DBMS（数据库管理系统），DBMS管理和控制DB（数据库），而DB载入、存储、重组与恢复Data（数据）。所以B选项正确。 3、C。 数据库系统的特点有：⑴、实现数据共享；⑵、减少数据冗余度；⑶、保持数据的一致性； ⑷、数据的独立性；⑸、安全保密性；⑹、并发控制；⑺、故障恢复 由以上可得C选项错误，应改为数据冗余度“低”。 4、C。 DB是长期储存在计算机内、有组织的、可共享的大量数据集合；DBS是实现有组织地、动态地存储大量关联数据，方便多用户访问计算机软件、硬件和数据资源组成的系统；DBMS 是把用户对数据的操作转化为对系统存储文件的操作，有效地实现数据库三级（外模式、模式和内模式）之间的转化；MIS指的是管理信息系统（Management Information System），是一个以人为主导，利用计算机硬件、软件及其他办公设备进行信息的收集、传递、存贮、加工、维护和使用的系统。由以上概念可知，位于用户和数据库之间的一层数据管理软件是DBMS。所以C选项正确。 5、C。 书中图1.6明确指出模式/内模式映像把概念数据库与物理数据库联系起来，所以C选项正确。 6、C。 数据库有这样三层关系，第一层和第三层不能直接发生关系，所以D选项不正确，内模式与外模式没有直接关系，应改为“模式与应用程序不变”。 目录 1.1.1 四个基本概念 (1) 数据(Data) (1) 数据库(Database,简称DB) (1) 长期储存在计算机内、有组织的、可共享的大量数据的集合、 (1) 基本特征 (1) 数据库管理系统(DBMS) (1) 数据定义功能 (1) 数据组织、存储和管理 (1) 数据操纵功能 (2) 数据库的事务管理和运行管理 (2) 数据库的建立和维护功能(实用程序) (2) 其它功能 (2) 数据库系统(DBS) (2) 1.1.2 数据管理技术的产生和发展 (3) 数据管理 (3) 数据管理技术的发展过程 (3) 人工管理特点 (3) 文件系统特点 (4) 1.1.3 数据库系统的特点 (4) 数据结构化 (4) 整体结构化 (4) 数据库中实现的是数据的真正结构化 (4) 数据的共享性高，冗余度低，易扩充、数据独立性高 (5) 数据独立性高 (5) 物理独立性 (5) 逻辑独立性 (5) 数据独立性是由DBMS的二级映像功能来保证的 (5) 数据由DBMS统一管理和控制 (5) 1.2.1 两大类数据模型：概念模型、逻辑模型和物理模型 (6) 1.2.2 数据模型的组成要素：数据结构、数据操作、数据的完整性约束条件. 7 数据的完整性约束条件: (7) 关系数据模型的优缺点 (8) 1.3.1 数据库系统模式的概念 (8) 型(Type)：对某一类数据的结构和属性的说明 (8) 值(Value)：是型的一个具体赋值 (8) 模式（Schema） (8) 实例（Instance） (8) 1.3.2 数据库系统的三级模式结构 (9) 外模式[External Schema]（也称子模式或用户模式）， (9) 模式[Schema]（也称逻辑模式） (9) 内模式[Internal Schema]（也称存储模式） (9) 1.3.3 数据库的二级映像功能与数据独立性 (9) 外模式/模式映像：保证数据的逻辑独立性 (10) 模式/内模式映象：保证数据的物理独立性 (10) 1.4 数据库系统的组成 (10) 数据库管理员(DBA)职责： (10) 概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 高中数学公式及定理标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 14.锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 数据库原理及应用 数据库技术简介 数据库技术产生于六十年代末，是数据管理的最新技术，是计算机科学的重要分支。 数据库技术是信息系统的核心和基础，它的出现极大地促进了计算机应用向各行各业的渗透。 数据库的建设规模、数据库信息量的大小和使用频度已成为衡量一个国家信息化程度的重要标志。 第一章绪论 1.1 数据库系统概述 1.1.1 四个基本概念 数据(Data) 数据库（Database）数据库管理系统(DBMS) 数据库系统(DBS) 一、数据 数据(Data)的定义 数据是信息的具体表现形式 描述事物的符号记录 数据的表现形式——数字文字图形图像声音等 各类数据必须数字化后才能加工处理。 数据与其语义是不可分的 例如：93是一个数据 语义1：学生某门课的成绩 语义2：某人的体重 语义3：计算机系2007级学生人数 例如：学生档案中的一条记录：（李明男1982 江苏计算机系2000） 二、数据库(续) 数据库的定义 数据库(Database,简称DB)是长期储存在计算机内、有组织的、可共享的大量数据的集合。 三、数据库管理系统 什么是DBMS 数据库管理系统（Database Management System，简称DBMS）是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件。 DBMS的用途 组织和存储好大量的数据，并提供方便、高效地检索数据和维护数据的手段。 DBMS的主要功能: 数据定义功能 数据组织 存储和管理 数据操纵功能 数据库的事务管理和运行管理 数据库的建立和维护功能 其它功能 四、数据库系统 什么是数据库系统 数据库系统（Database System，简称DBS）是指在计算机系统中引入数据库后的系统。 数据库系统的构成 数据库 数据库管理系统（及其开发工具） 应用系统 数据库管理员（DBA） 1.1.2 数据管理技术的产生和发展 数据管理：是指对数据的分类、组织、编码、存储、查询和维护等活动，是数据处理的中心环节。 数据处理：是指对数据进行收集、组织、存储、加工、抽取和传播等一系列活动的总和。其目的是从大量的、原始数据中抽取、推导出对人们有价值的信息。 数据管理技术的发展动力：应用需求的推动、计算机软/硬件的发展 数据管理技术的发展过程 人工管理阶段(40年代中--50年代中) 文件系统阶段(50年代末--60年代中) 数据库系统阶段(60年代末--现在) 一、人工管理 时期 40年代中--50年代中 产生的背景 应用需求科学计算 硬件水平纸带、卡片、磁带 软件水平没有操作系统 处理方式批处理 特点：数据不保存、数据由程序各自管理（逻辑结构、存储结构、存取方法、输入方式等） 数据不共享：一组数据只能对应一个程序 数据不具独立性：数据的结构发生变化后（物理或逻辑上），应用程序必须做相应的修改。 应用程序与数据的对应关系(人工管理阶段) .. 二、文件系统 时期 第1章数据库系统概述 1.数据库的概念 1）数据库是存储在计算机存储设备上的: 数据库是存在于计算机存储设备上的一个或多个(数据库)文件组成的统一体，是可感知的数据库形体。 2）数据库是按一定的组织方式存储在一起的：数据库中的数据是 以结构化的形式存储的，这种结构化形式实质上就是数据库的数据模型，是不可感知的数据库形体。 3）数据库是相关的数据集合：数据库中的数据既有某特定应用领域涉及的各种基本数据，也有反映这些数据之间联系的数据，也是不可感知的数据库形体之一。 DBMS的概念 数据库管理系统（DBMS）是建立、管理和维护数据库的软件系统，是一种 位于应用软件和操作系统之间，实现数据库管理功能的系统软件。 2.DBMS的主要功能 定义、操纵、控制、维护数据库并有通信功能 3.数据库应用系统概念成 以计算机为开发和应用平台， 以OS、DBMS、某种程序语言和实用程序等为软件环境， 以某一应用领域的数据管理需求为应用背景， 采用数据库设计技术建立的一个可实际运行的， 按照数据库方法存储和维护数据的， 并为用户提供数据支持和管理功能的应用软件系统。 4.三个世界对数据的描述 现实世界是存在于人们头脑之外的客观世界。可狭义地将现实世界看作为各个事物、各个现象、各个单位的实际情况。 计算机世界——数据世界对数据和信息的处理 信息世界是现实世界在人们头脑中的反映和解释，是现实世界的概念化。 5.数据模型的概念及组成 数据模型是现实世界中的各种事物及各事物之间的联系用数据及数据间的联系来表示的一种方法。一个数据库的数据模型实际上给出了在计算机系统上进行描述和动态模拟现实世界信息结构及其变化的方法。 是一组面向计算机的概念集合， 由数据结构 、数据操作 、数据约束三部分组成 6.层次模型、是一种用树型（层次）结构来组织数据的数据模型。 树中的每个结点代表一种记录类型。 网状模型（1）至少有一个结点多于一个双亲结点； （2）至少有一个结点无双亲结点。 概率论公式！ 一、随机事件与概率 二、随机变量及其分布 三、多维随机变量及其分布 联合分布函数：对任意的n个实数，，，n个事件同时发生的概率 ，，，，。 联合分布函数，性质： 单调性：对x，y单调非减。 有界性：，，，，， 右连续性：对每个变量右连续。 非负性：对任意，，有，，，，，。 二维离散随机变量：只取有限个或可列个数对。 联合分布列：，，i，j=1,2… 联合分布列性质： 非负性、正则性。 联合密度函数：，，使，，，，。 联合密度函数性质： 非负性、正则性、， X的边际分布：，，。 Y的边际分布：，，。 二维指数分布： ， ，， ，其他 ，是参数 其边际分布是一维指数分布。 边际分布列： 二维离散随机变量对单个变量求和： ，，， 边际密度函数： ，，，=，为X的边际密度函数。 ，，，=，为Y的边际密度函数。 相互独立：多维随机变量的分布函数为，，，边际分布为，对任意n个实数，，： ，， 称，，相互独立。 可分离：，=，，，，。①相互独立②非零区域可分解为两个一维区间乘积。 多维离散随机变量函数：，，为n维离散随机变量，则，，为一维离散随机变量。可加性：同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布。 泊松分布的可加性：，，则. 二项分布的可加性：，，，，则，。 连续场合的卷积公式：X和Y独立，密度函数分别为和，则Z=X+Y的密度函数为： 正态分布的可加性：，，则。 变量变换法：即数分中求二重积分的变量变换法： 的联合密度函数是，，若， ， 有连续偏导数，且存在唯一反函数 ， ， ，其 雅可比行列式，， ，，二维随机变量 ， ， ，则的联合密度函数是：，，，， 增补变量法：若，，则可令或。多维随机变量特征数： 数学期望：，的数学期望为，，，在离散场合，，，在连续场合 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota数据库原理及应用重点知识提纲
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