不定积分的例题分析及解法[1]
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不定积分的例题分析及解法
这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ?=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?υud 转化成?du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如
dx x
x ?
sin ；dx e
x
?-2
；dx x
?
ln 1；?
-x
k dx 2
2
sin 1（其中10< 这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。 一、疑难分析 （一）关于原函数与不定积分概念的几点说明 （1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数 )(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上 的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。 （2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分?dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即 ? +=C x F dx x f )()(。 （3）原函数)(x F 与不定积分?dx x f )(是个体与全体的关系，)(x F 只是)(x f 的某个原函数，而 ?dx x f )(是)(x f 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的 不定积分，例如3,2 1,122 2 -+ +x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2 才是x 2的 不定积分（其中C 是任意常数）。 （4）)(x f 的不定积分?dx x f )(中隐含着积分常数C ，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数C 。 （5）原函数存在的条件：如果函数)(x f 是某区间上连续，则在此区间上)(x f 的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分 dx e x dx dx x x x ? ? ?-2 ,ln ,sin 都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。 （二）换元积分法的几点说明 换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。 （1）第一换元积分法（凑微分法）：令)(x u u = 若已知?+=C x F dx x f )()(，则有 [][]C x F dx x x f +='?)()()(??? 其中)(x ?是可微函数，C 是任意常数。 应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式）。 （1）a b ax d a b x d dx )((1)(+=+=、)0≠，a b 为常数 具体应用为 ??++= +)()(1)(b ax d b ax a dx b ax m m =???????+++++?+C b ax a C m b ax a m ln 11 )(11 )1()1(-=-≠m m （2） )(1 11 b x d a d x x a a ++= + )()1(11 b ax d a a a ++= + a (、 b 、a 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。例如： x d dx x x x d dx x dx xdx 21), (3 2, 2 12 == = （3）)ln (1ln 1b x a d a x d dx x += =b a ,(为常数，)0≠a （4）,0(ln )(,>= =a a a d dx a de dx e x x x x 且)1≠a ； （5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-= （6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7） )(arctan 112 x d dx x =+ （8） )(arcsin 112 x d dx x =- 在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求 ? +dx x x f 2 11) (arctan 时，应将 dx x dx 2 1+凑成x d arctan ；求 dx x x arc f ? +2 11) cot ( 时，应将 dx x 2 11+凑成x darc cot -；而求dx x x ? +2 12时，211 x +就不能照搬上述两种凑法，应将xdx 2凑成2dx ，即)1(222x d dx xdx +==。 （2）第二换元法积分法：令)(t x ?=，常用于被积函数含2 2 x a ±或2 2 a x -等形式。 常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示： （3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。 （三）关于积分形式不变性 在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理： 如果?+=C x F dx x f )()(，那么有?+=C u F du u f )()(，其中)(x u ?=是x 的可微函数。这个定理说明： （1）积分变量x 无论是自变量，还是中国变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。 （2）根据这个定理，基本积分表中的x 既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数），因此基本积分表中的公式应用范围就扩大了，例如基本积分公式 C x dx x +=?ln 1 现在就可以看作是 ()()()C d +=?ln 1 其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的凑微分法的由来，即如果被积函数 ? dx x f )(能够写成 []dx x x g )()(??'??的形式，且已知 ?+=C u F du u g )()(，则有 []dx x x g dx x f )()()(??'= ? ? [])()(x d x g ???= []C x F +=)(? 同学们在应用积分不变性时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致．．的，否则将出现错误。 （四）分部积分法 设)(),(x x u u υυ==是可微函数，且)()(x x u υ?'或)()(x x u υ'?有原函数，则有分部积分公式： ??'?-?='?dx x u x x x u dx x x u )()()()()()(υυυ 或 ??-=du u ud υυυ 当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成?'dx u υ或?υud 的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分部积分公式?'-du u υυ，或?'-dx u u υυ，再计算?'dx u υ，即得到积分结果。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做u 和υ'的原则是：①根据υ'容易求出υ；②?'dx u υ要比原积分?'dx u υ容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其u 和υ'的选择规律，一归纳如表5-2。 表5-2 说明（1）表5-2中，)(x p x 表示n 次多项式。 （2）表5-2中的x e x x x arcsin ,,cos ,sin 等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数类型，例x sin ，表示对所有正弦函数)sin(b ax +均适用，而x e 表示对所有b ax e +均适用，其它几个函数也如此。 （3）III 类积分中，也可选择x e u x sin ,='=υ（或x cos ），无论怎么样选择，都得到递推循环形式， 再通过移项、整理才能得到积分结果。 （五）有理函数的积分 有理函数可分为如下三种类型： （1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是最易计算的类型。 （2）有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最简分式的代数和： k k q px x B Ax q px x B Ax a x A a x A ) (, , ) (, 2 2 ++++++-- 其中k q p ,,为常数，1,042 ≠<-k q p 。 因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。 （3）有理假分式（分子次数不低于分母次数）；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2） 综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分，而前者是易于求得的， 后者可通过凑微分法求出的结果。 二、例题分析 例1 为下列各题选择正确答案： （1）（ ）是函数x x f 21)(= 的原函数 A ．x x F 2ln )(= B ．2 21)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F 3ln 2 1)(= （2）若)(x f 满足?+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ ） A ．x 2sin 4 B ．x 2cos 2 C ．x 2sin 4- D ．x 2cos 2- （3）下列等式中（ ）是正确的 A ．?=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='?)()( C ．C x f dx x f +='?)()( D ．?+-- =-'C x f dx x f x )1(2 1)1(2 2 （4）若?+=C x F dx x f )()(，则?=dx x xf )(cos sin （ ） A ．C x F +-)(cos B ．C x F +)(cos C ．C x f +-)(sin D ．C x F +)(sin （5）下列函数中，（ ）不是x 2s i n 的原函数。 A ．x 2cos 2 1- B ．x 2cos - C ．x 2 sin D ．x 2 cos - 解（1）根据原函数的概念，验证所给函数)(x F 是否满足x x F 21)(='。由于 A 中x x x x 21122)2(ln ≠==' B 中x x x 2141)21(3 2 ≠='- C 中[]x x x 2121)2ln(≠+=' + D 中x x x 213321 )3ln 21 (=?= ' 故正确选项为D 。 （2）根据不定积分的性质可知 ?='+='=x C x dx x x f 2cos 2)2(sin ))(()( x x x f 2sin 4)2cos 2()(-='=' 于是 故正确选择为C （3）根据不定积分的性质可凑微分的原则知 ? +='C u f du u f )()( 其中u 是变量或可微函数，据此可知： A 中应为?+='C x f dx x f )()(（缺C ） B 中应为 C e f dx e e f x x x +='?)()(（缺x e ） C 中应为? +='C x f dx x x f )(2)(（不应没有x 2） D 中应为?? --'- =-')1()1(21 )1(2 22 x d x f dx x f x C x f +-= )1(2 12 正确选项应为D （4）设,cos x u =则xdx du sin -=，于是 ??+-=+-=- = C x F C u F du u f dx x xf )(cos )()()(cos sin 正确选项应为D （5）根据原函数定义，对所给答案一一求导可知x 2cos -不是x 2sin 的原函数，故正确选项B 。 例2 给出下列各题的正确答案： （1）=-? x d x 211 ； （2）?=)(ln ln x xd ； （3）若)0()(>+=x x x x f ，则?='dx x f )(2 ； （4）通过点)4 , 1(π 斜率为 2 11x +的曲线方程为 ； 解（1）设x u 21-=，则du dx 2 1- =，于是 )2 1(1 211 du u dx x - ?= -?? C x C u +-- =+- =21ln 2 1ln 2 1 应填C x +-- 21ln 2 1 （2）设x u ln =，则 ??+= += =C x C u udu x xd 2 2 ln 2 12 1)(ln ln 应填 C x +2 ln 2 1 （3）由于x x f 211)(+ ='，故,211)(2x x f + ='因此 ? ?++=+ = 'C x x dx x dx x f ln 2 1)211()(2 应填C x x ++ ln 2 1 注意：C x f dx x f +≠'?)()(22 （4）设曲线方程为)(x f y =，则,11)(2 x x f += '于是 C x dx x x f +=+= ?arctan 11 )(2 通过点)4 , 1(π ，则有 C +=1arctan 4 π ，即0=C ，故所求曲线方程为.arctan x y = 例3 求下列不定积分： （1）?-dx e x x 5； （2）?+dx x 2)4( （3）?+++-dx x x x x x x )sin 23 ( 3 ； （4）? ++dx x x x ) 1(212 2 2. 分析 题目所给的不定积分，都不能直接利用基本积分表中的公式计算，但稍作变形后，再利用不定各分的运算性质，便可得出结果。 解 （1）??= -dx e dx e x x x )5(5 根据积分公式 ?+= C a a dx a x x ln 1 在此,5e a = 故 原积分C e C e e x x +-=+= )5(5ln 11)5(5 ln 1 （2）由于168)4(2 ++=+x x x ，根据不定积分的运算性质，有 ??++= +dx x x dx x )168 ()4(2 ?? ?++= dx dx x xdx 168 C x x x ++? +=163282123 2 C x x x x +++ = 163 162 12 （3）dx x x x x x x )sin 23 ( 3 +++-? dx x x x x x )sin 231(2 ++ + -= ? ?? ? ? ?+++ - = xdx dx x dx x dx x dx x sin 21312 C x nx x x x x +-++- = cos 2312 3 2313 （4）由于 2 2 2 2 2 22 2 2111) 1()1() 1(21x x x x x x x x x ++ = +++= ++，所以 ?? ++ = ++dx x x x x dx x )111( ) 1()21(2 2 2 2 2 C x x dx x dx x ++-=++ = ??arctan 111 1 2 2 小结：（1）从上面的例子中可以看出，许多不定积分往往不能直接得用基本积分表进行计算，而要先 对被积函数作适当变形，使之化成积分表中所列形式的积分后，进而才能计算出结果，一般说来。所采用的恒等变形手段主要有：分式拆项、三解公式恒等变形等，要求读者熟悉这些手段。 （2）将一个不定积分拆成几个不定积分的代数和后，求每一项的不定积分时，不必将每项不定积分中的积分常数一一写上，而只需在最后积分结果中统一加上一个积分常数C 即可。 （3）检验积分结果正确与否时，只需将所得结果求导（或微分）即可，若其导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）时，则说明所得积分结果是正确的，否则是错误的。 例4 求下列不定积分 （1）?dx x 2 sin 2 （2）? +-dx e e x x 1 1 2 （3）dx x x ? 2 2 sin cos 2cos （4）?-dx x x 2)53( 解 （1）由于2 cos 12 sin 2 x x -= ，所以 C x x dx x dx x +- = - = ??sin 2 12 1)cos 2 12 1( 2 sin 2 （2）由于 11 ) 1)(1(1 1 2-=+-+= +-x x x x x x e e e e e e ，所以 ? ???-= -= +-dx dx e dx e e e x x x x 1)1(1 1 2 C x e x +-= （3）由于x x 22sin cos 2cos -=所以 x x x x x x x x 2 2 2 22 22 2 cos 1sin 1sin cos sin cos sin cos 2cos - = -= 故 原积分??+--=- = C x x dx dx x tan cot cos 1 sin 1 2 2 （4） ??+??-= -dx dx x x x x x x )55323 ()53(222 ? +?-=dx x x x )251529( C x x x +?+ ?- ?= 2525 ln 11515 ln 299 ln 1 例5 计算下列不定积分 （1）?+dx x )1sin(π （2）? +dx e e x x 21 （3）? dx x x 21 cos （4）? dx x x ln 1 分析 观察这些积分中的被积函数，发现它们都不符合基本积分表中的公式表式，即使进迁适当的 变形也化不成表中公式的形式，因此需采取新的方法——换元积分法求解。 解 （1）观察题目发现，此被积表达式与基本各分表中公式 ?+-=C x x d x c o s s i n （*） 类似，但又不完全一致，那么能否套用公式（*）直接得到 C x dx x ++-=+?)1(cos )1sin(ππ 呢？经检验积发结果知，这样做是错误的，原因是公式（*）中的被积函数x sin 已换为 )1sin(+x π， 而积分变量的微分依然是dx ，没有相庆地换为)1(+x d π。正确的做法是先设中间变量1+=x u π，然后使被积表达式化成公式（*）的形式再求解。 设1+=x u π，则π π 1 - = u x ，du dx π 1 = ，于是 ???= ? =+udu du u dx x sin 1 1 sin )1sin(π π π C u +- =cos 1 π 再将1+=x u π代回，得 原积分C x ++- =)1cos(1 ππ 注：本题也可不写中间变量u ，而用凑微分法来解：根据)1(1 += x d dx ππ 有 ??+? += +)1(1 )1sin()1sin(x d x dx x ππ ππ ?++= )1()1s i n (1 x d x πππ C x ++- =)1cos(1 ππ （2）设x e u =，则dx e du x =，于是 ??+=+=+= +C e C u u du dx e e x x x arctan arctan 112 2 本题也可采用凑微分法求解：由于x de dx e =2，想到公式 ?+=+C x x dx arctan 12 于是有 ??+=+= +C e e de dx e e x x x x x arctan ) (112 2 （3）设x u 1= ，则u x 1= ，du u du 2 1- =，于是 ??? -=-=udu du u u u dx x x cos )1()1(cos 1 cos 22 2 C x C u +-=+-=1 s i n s i n 如果熟悉凑微分式子 :),1 ()1 (12 算如下则可用凑微分法直接计x d x d dx x -=- = ??? +-=-=?? ????-= C x x d x x d x dx x x 1sin )1(1cos )1(1cos 1 cos 2 （4）设x u ln =，则dx x du 1=，于是 ???+== ? = C u du u dx x x dx x x ln 1 1ln 1ln 1 或者用凑微分法计算：因为 x d dx x ln 1=所以 ??+== C x x d x dx x x ln ln ln ln 1ln 4 用第一换元积分法（凑微分法）计算不定积分时，要根据被积函数的形式来决定如何来设置中间变量或凑微分，一般常见的符合凑微分形式的不定积分类型可参阅疑难解析中的（二）。 例6 计算下列不定积分： （1）dx x e x ? （2）? +dx x 2 941 （3）dx x x 323-? （4）?+dx x x 2 1 解 （1）设x t = ，则,2,2tdt dx t x ==于是 C e C e dt e tdt t e dx x e x t t x +=+='= ?= ?? ? 2222 或凑微分法计算：由 x d x d dx x 2)2(1==，得 C e x d e dx x e x x x +==? ?22 （2）观察题目，不易直接看出如何进行换元，不妨将积函数先做变形 ? ? ???? += += +222 2 2 )23(121) 3(21941x x x 联想到积分公式? +=+C x dx x arctan 112 ，于是有 ??? ?+==+= +du u u x dx x dx x 3 2 11412 3) 2 3( 11 4 1941 22 2 换元 C x x u C u +== += )23 arctan(612 3arctan 6 1还原 熟练掌握凑微分形式后，可以省去换元步聚，直接求出结果。 （3）由332 3,3 1x dx dx x -= 可以看成是于关3 x 的函数，所以 ? ? ?-= -3 3 3 2 3 133dx x dx x x ? --- =)3(33 13 3 x d x C x +-? -=23 3 )3(3 2)3 1( C x +-- =23 3 )3(9 2 （4）C x x x d x dx dx x x ++=++=+=+???)1ln(2 11)1(21121 1222 22 2 进行换元积分（或凑微分）运算时，有时由于中间变量设置的不同，所得的积分结果形式有可能不同， 但实质是等价的；有时被积函数不易看出如何换元，则应先做适当变形。请看下面例子。 例7 计算下列不定积分 （1）? +dx x nx 211 （2）? -dx x x 2 21 （3）dx x x x x ?-?4 93 2 （4）?-dx xe x 2 3 （5）? -+x x e e dx 解 （1）由于 ,ln 1x d dx x =所以 ??? ++= +=+)ln 21()ln 21(2 1ln )ln 21(ln 21x d x x d x dx x x C x ++= 2 )ln 21(4 1 或 原积分???+=+=x xd x d x d x ln ln 2ln ln )ln 21( C x x ++=2 ln ln 想一想，这两个计算结果是否相同？为什么？ （2）由于 2 2 2 )1(1)21(12--= +--= -x x x x x 联想到? -=+=-),1(,arcsin 112 x d dx C x dx x 故 ? ? ---= -)1() 1(11212 2 x d x dx x x C x +-=)1arcsin( （3）将分子、分母同除以x 9，得 x x x x x 22) 3 2(1) 32(4932-=-? 设x t )3 2(=，则,1 3 2ln 1,3 2ln ln dt t dx x t = =于是 ??? -=-?dt t t t dx x x x x 1 32ln 114 9 3 22 ?-?-= dt t 2 113 ln 2ln 1 dt t t ?-+ +? -=)1111( 2 1 3ln 2ln 1 C t t +--+-= )1ln 1(ln ) 3ln 2(ln 21 C t t +-+-=11ln ) 3ln 2(ln 21 C x x +-+-= ) 3 2(1) 32(1ln ) 3ln 2(ln 21 C x x x x +-+-= 2 323ln ) 3ln 2(ln 21 （4）由于)3(6 12 12 2 x d dx xdx --==，所以 C e x d e dx xe x x x +- =--= ---??2 2 2 32 336 1)3()61 ( （5） C e e de e e e dx e e e dx x x x x x x x x x +=+= += +???--arctan 1 ) (2 例8 计算下列不定积分 （1）?xdx x 5sin 3sin （2）?xdx 6cos （3）?xdx x 23cos sin （4）? dx x x cos sin 1 分析 这些积分中的被积函数都是三角函数，一般说来，三角函数的积分比较复杂，不易直接看出 求解方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何去变形，则需从实践中总结经验，变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式。 解 （1）观察被积函数知，须先对被积函数作积化和差变形后，再凑微分去求解。 ????-= -= xdx xdx dx x x xdx x 8cos 2 12cos 2 1)8cos 2(cos 2 1 5sin 3sin C x x C x x +-=+?-?= 8s i n 16 12sin 418sin 81212sin 2121 （2）利用公式2 2cos 1cos 2x x += ，将被积函数降次，于是 dx x xdx 3 6 )2 2cos 1( cos ??+= ?+++=dx x x x )2cos 2cos 32cos 31(8 13 2 ??+ ++=x d x x d x x x 2c o s 8 12c o s 832s i n 163813 2 ??+ +++= x xd dx x x x 2sin cos 16 1)4cos 1(1632sin 163812 ?-+ + + + =x d x x x x x 2sin )2sin 1(16 14sin 64 31632sin 16 3812 C x x x x x +- +++=2sin 48 12sin 1614sin 6432sin 1631653 C x x x x +-++ = 2sin 48 14sin 64 32sin 4 116 53 （3）???=xdx x x xdx x sin cos sin cos sin 2223 ?--= )c o s (c o s )c o s 1(2 2x d x x ??+-=x xd x xd cos cos cos cos 4 2 C x x ++- =5 3 cos 5 1cos 31 （4）由于 ,cos tan 1 cos sin 1 2x x x x = 而 ),(tan cos 1 2 x d dx x = 所以 ? ?+==C x x d x dx x x tan ln )(tan tan 1 cos sin 1 例9 计算下列不定积分 （1）? -dx x dx 2 3 2 )1( （2）? -9 2 2 x x dx （3）?+dx x x 21 2 3)1( 分析 这几个不定积分的被积表达式中都含有222222,,a x a x x a -+-类的式子，要用三角代换来求解。各自的代换式是 （1）含2 2x a -：设t a x sin =，则tdt a dx cos =； （2）含2 2a x -：设t a x sec =，则tdt t a dx tan sec ?=； （3）含2 2a x +：设t a x tan =，则tdt a dx 2 sec =； 解 （1）因被积表达式含有2 1x -，故设)2 2 (sin π π < <- =t t x ，则tdt dx cos =， t t x 3 23 223 2cos )sin 1()1(=-=- 于是 dt t dt t t x dx ??? = = -2 3 2 3 2 cos 1 cos cos )1( 由,sin t x =可知2 1cos x t -=，2 1cos sin tan x x t t t -= = ，所以 C x x x dx +-= -? 2 2 3 2 1)1( （2）为了去掉根式 92 -x 设)2 0(sec 3π < <=t t x ，则 tdt t dx tan sec 3= t x tan 31sec 392 2=-=- 于是 dt t t t t x x dx ????= -tan 3sec 9tan sec 39 2 2 2 ??+= = = C t t d t dt t sin 9 1cos 9 1sec 1 9 1 由,sec 3t x =得x t 3cos =，x x t t 9cos 1sin 2 2 -= -=，所以 C x x x x dx +-= -?999 2 2 2 （3）为了去掉212 )1(x +，设)2 2 (tan π π < <- =t t x ，则tdt dx 2 sec = t t x sec )tan 1()1(21 2 2 12 =+=+ 于是 ? ???= ??= +t d t t t d t t t dx x x 3 32 321 2 3sec tan sec sec tan )1( ? ?--= ? = t t d t dt t t 6 2 3 3 3 cos ) cos ()cos 1(cos 1 cos sin t d t t c o s )c o s 1 c o s 1 (4 6 ?+- = C t t +-= --3 5 cos 3 1cos 5 1 由,tan t x =可知,1cos 1, 11cos 2 2 x t x t +=+= 于是 ?++- += +C x x dx x x 23 2 25 2 21 2 3 )1(3 1)1(5 1)1( 小结 从上面例子看出,进行三角换元后，得到的积分结果一般都是关于t 的三角函数式，用x 还原t 时，虽然可以引进三角函数式或反三角函数的运算，但较麻烦，为了直观起见，往往用“三角形法”进行还原计算，如图5-1的常用的三种三角代换类型简图，根据简图，则很容易计算出其它的三角函数式。 例如图5-1（2），设,tan t a x =则可设直角三角形角t 的对边长为x ，邻边长为a ，故斜长为2 2x a +，从图中看出2 2 2 2 cos ,sin x a a t x a x t += += 。 例10 计算? ++5 8162 x x dx 分析 对于被积函数含有 c bx ax ++2 的积分,一般不能做代换C bx ax t ++= 2 ，而应将 C bx ax ++2 配平方，然后作变量代换，归结为含2 2 x a ±、2 2 a x -的积分后再用第二换元法求解。 解 由于4)14(58162 2 ++=++x x x 设14+=x t ，则,4 1,414141dt dx t t x = - - = 于是 ? ? ? += += ++4 4 14 4 1 5 8162 2 2 t dt t dt x x dx 根据材料上的补充公式（8），再将14+=x t 代回，所以 原积分C t t +++ = 4ln 412 C x x x ++++ +=581614ln 412 对于被积函数含有根式或其它较为特殊的情形，也可以采用第二换元积分法计算。 例11 计算下列不定积分： （1）?-dx x x 2 （2）?-dx x x 1023)31( （3）? ++) 1(x x dx 解 （1）被积函数是无理函数，又不能凑微分计算，因此选择根式代换，使之有理化。 设2-= x t ，则,2,22tdt dx t x =+=于是 ???+= -tdt t t dx x x 2)2(22 ?+=dt t t )2(224 ?++=C t t )3 251(23 5 C x x +-+ -= 23 25 )2(3 4)2(5 2 （2）被积函数是有理多项式，如若展开102)31(x -去计算，将是很麻烦的，不妨设2 31x t -=，于是 dt dx t x 3 1),1(3 12 2 - =-= ，再考虑到2 23 2 1dx x dx x = ，所以 ? ? ?-= -2 10 2210 232 1)31()31(dx x x dx x x ?- ??-= )31(2 1)1(3 110 dt t t C t t +- - =)12 1 11 1(18112 11 C x x +-+ -- =12 211 2) 31(216 1)31(1981 （3）方法一：设x t = ，则2t x =，tdt dx 2=，于是 ? ?? +=+= +2 2 12) 1(2) 1(t dt t t tdt x x dx C t +=a r c t a n 2 C x t +=a r c t a n 2 方法二：凑微分法 由于 2 )(11),(2)2(1x x x d x d dx x +=+==，所以 C x ac x x d x x dx +=+= +?? tan 2) ( 12) 1(2 小结 利用第二换元积分法计算不定积分时，要特别注意被积函数的特点，针对这些特点，选择适当的代换，常见的第二换元积分法求解的类型请见疑难解析中的有关内容。 例12 计算下列不定积分 （1）?xdx x 2cos （2）?dx e x x 2 （3）?+xdx x ln )1(2 （4）?xdx x arctan 2 分析 计算形如?'dx u υ的积分时，如果不能用换元积分法求解，则可考虑用分部积分法求解，具体步骤是： （1）凑微分：从被积函数中选择恰当的部分作为dx υ'，凑微分υυd dx ='，这样积分就变成?υud 的形式： （2）代公式：??-=du u ud υυυ，并计算出微分dx u du '=； （3）计算积分?'dx u υ 这些积分都不能用换元积分法计算，故考虑用分部积分法，u 和υ'的选择参见表5-2 解 （1）设,2cos ,x x u ='=υ故 )2sin 2 1( 2cos x d xdx dx d =='=υυ 代入分疗积分公式，有 )2s i n 2 1( 2c o s x xd xdx x ? ? = ?-= x d x x x 2s i n 21 2s i n 21 C x x x ++ = 2cos 4 12sin 2 1 如果设x x u ='=υ,2cos ，会出现什么情形呢？事实上，由 υυd x d xdx dx ===')2 ( 2 故 ??=)2(2cos 2 x xd ud υ ? - = x d x x x 2c o s 2 2c o s 22 2 ?+ = xdx x x x 2sin 2cos 2 2 2 显然积分?xdx x 2sin 2比原积分?xdx x 2cos 中的x 次数更高了，即更难计算了，因此这种选择是不恰当的。 （2）设,2x u =x e ='υ，则 x x de dx e dx d =='=υυ 于是 ???-== 222 2 dx e e x de x dx e x x x x x ?-=dx xe e x x x 22 虽然，?dx xe x 还不能直接积分，还须再做一次分部积分，这时设x e x u ='=υ,，于是 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-== ??? 因此 ?+--=C e xe e x dx e x x x x x )(22 2 C e xe e x x x x ++-=222 （3）设1,ln 2 +='=x x u υ，则 )3 ( )1(3 2 x x d dx x dx d +=+='=υυ 于是 )3 ( ln ln )1(3 2 x x xd xdx x += +?? x d x x x x x ln )3 ( ln )3 ( 3 3 ?+-+= 不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则： 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分 解题思路：反复运用换元，将arcsinx 换成sinx的形式，将arccox 换成cosx的形式，最终简化题目的难度！ 解题过程：第一步换元：将arccosx=t (xε[0,1]，tε[0,π/2])，从而得出cost=x.将∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost) d(cost)。接下来怎么解呢？ 先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx) 从而简化题目的难度！那么你是否会产生一个想法，上面那条题目是否可以转化呢！ 于是∫t* arcsin(cost)* d(cost)= ∫ td(arcsin(cost)cost+sint)= t(arcsin(cost)cost+sint)- ∫(arcsin(cost)cost+sint)dt 从而求∫ arcsin(cost)cost dt 第二步换元：将arcsin(cost)=p ,从而 sinp=cost,t=arccos(sinp).最终∫arcsin(cost)cost dt=∫psinp d(arccos(sinp))= ∫p sinp *(-1/√ 1-(sinp)^2)*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp)*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp dp=pcosp-sinp+c 第三步：总结出答案，表示成x的形式。 ∫arcsin(cost)cost dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost+c ∫(arcsin(cost)cost+sint)dt= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-cost-cost+c= arcsin(cost)(√ 1-cos^t)-2cost+c ∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2)-2x+c 这条题目很难，但是换元转化的思想很重要！！！ 淮师 3/25/2010 定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =． 常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+? 6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??; 不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分） 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。 1 换元积分法 换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1.当出现 22x a ±，22a x -形式时，一般使用t a x sin ?=，t a x sec ?=， t a x tan ?=三种代换形式。 C x a x x a dx C t t t t a x x a dx +++=+++==+? ??222 22 2 ln tan sec ln sec tan 2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t 代去根号。 C x x x C t t t tdt t t tdt t x t dx x ++-=++-=--==???sin 2cos 2sin 2cos 2) cos cos (2sin 2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号， c x dt t dt t t dt t t t dt t t t t x x x dx +- =--=--=--=??? ? ??-?-? = --? ????66 12 12 5 12 6 212 12arcsin 6 1 11 6 1 111 11 1 11 1 3.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。 使用万能代换2 tan x t =， 第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为 计算题（共 200 小题） 1、 ??+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设 2、 ?'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设 3、 .d x x ?求 4、 .)( .0,sin ,0)(2的不定积分求 设x f x x x x x f ? ??>≤= 5、 已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-1 6、 .d x x ?求 7、 ? -233d x x 求 8、 .,d 2是常数其中求 a x x a ? 9、 .0,,d >?a a x e a x x 是常数其中求 10、 .d tan csc 22x x x ??求 11、 ? ?x x x d cot sec 22求 12、 ?+22d x x 求 13、 ? +82d 2x x 求 14、 ?-9d 2x x 求 15、 ? -.63d 2x x 求 16、 ?+232d x x 求 17、 .d 2432x x x x ?-求 18、 x x x d ??求 19、 .d )1(23 x x x ?+求 20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求 b a x x b x a ?+ 21、 ?x x d cot 2求 22、 .d 11)(3x x x ?++求 23、 .d x x x x ?求 24、 ?+.d )arccos (arcsin x x x 求 25、 [].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ?+++求 26、 ??.d 2 sin 22x x 求 27、 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration. 0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10< 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ? 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？ 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2x dx -=?一、选择题、填空题： 、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin(ln )______x dx =?、 2 224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e xf x dx x c dx f x --===+==+==+=??????、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κ??=+==-====???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]()()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+????、下列各式中正确的是： (ln ) 14(),_______11 () ()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+?、设则： 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<不定积分练习题及答案
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