高等数学微积分复习题
第五章 一元函数积分学 1．基本要求
（1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。
（3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次
线性微分方程的通解公式。
（4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析
（1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布
尼茨公式；定积分的应用。
（2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。
重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。
3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ?
解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1
sin 3sin 3(3)3x x x =
，故有 '111
sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333
xdx x x dx xd x x u
u C ===-+???
1
3cos33
u x x C =-+
例2：求不定积分
(0)a >
解：为了消去根式，利用三解恒等式2
2
sin cos 1t t +=，可令sin ()2
2
x a t t π
π
=-
<<
，则
cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分
化为
2221cos 2cos cos cos 2
t
a t a tdt a tdt a dt +=?==???
2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2
(sin cos )2
a t t t C =++ 由于sin ()2
2
x a t t π
π
=-
<<
，所以sin x
t a
=
，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写
出cos t ==
邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ?
分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为'
1u =）
解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-.
于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++????
。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：
sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???
例4：求微分方程
21dy
y dx
-=的通解。 解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得
12dy dx y =+，两端积分得：12dy dx y =+??，得11
ln 212y x C +=+ 从而
122111ln 21222
C x e y x C y e +=+=±-。
因为122C e ±仍然是常数，把它记做C ，故原方程的通解为212
x
y Ce =-其中C 为任意常数
例5：求微分方程
22
dy y x dx x
+=的通解 解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为()()(())p x dx p x dx
y e Q x e dx C -?
?=+?
在本题中22
(),()P x Q x x x
=
=，由通解公式知 2
2
()()2(())()dx dx p x dx
p x dx
x
x y e Q x e dx C e x e dx C --???
?
=+=+??
= 52ln 22ln 4
2211()()()5
x
x
x e
x e
dx C x dx C C x x -+=+=+??
即原方程的通解为：2
25
C x y x =+
例6：求定积分
1
20
x dx ?
分析：设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()F x 是在[,]a b 上的一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=?
，这就是牛顿-莱布尼茨公式。
解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为33
x 是2
x 的一个原函数，所以原式有
3331
2
01101
03333x x dx ==-=?
例7：求定积分
8
0?
分析：在应用定积分换元时应注意两点：
（1） 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用()x t ?=把原来的变量换成了新
变量t ，积分限也必须也必须换成新变量t 的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。
（2） 求出换元后的原函数()t φ后，不必像计算不定积分那样将它还原成x 的函数，只需
将新变量的上、下限带入相减即可。
解 t =，即3x t =，于是2
3dx t dt =，并且当x=0时，
t=0；当x=8时，t=2，因此由换元公式有
228
22
0003(1)1311t t dt dt t t -+==++??? =2
220
001
13
(1)3[(1)(1)]11
t dt t dt d t t t -+
=-++++?
??
=2
223[()ln(1)]3ln 3002
t t t -++=
例8：计算定积分
1
x xe dx -?
分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的．因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样．
解 令u x =，x
dv e dx -=，则,x du dx v e -==-．故由分部积分公式得
1
111000
1()()()0x
x
x x xe dx x e e dx e e d x -----=---=---???11210x e e e --=--=- 例９ 求反常积分
x xe dx +∞
-?
分析： 设()f x 在[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞上连续，定义反常积分 ()lim ()b
a a
b f x dx f x dx +∞
→+∞=??
()lim
()b
b
a
a f x dx f x dx -∞→-∞=?
?
()()()f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+?
?
?
若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散． 解 因为
00
0()()[()]0b
b
b b x x x
x
b x b xe dx xd e xe e dx be e d x ------=-=--=-+-?
???
1
()10b
x
b b b be e
e
--+=-+=- ， 所以
1lim
lim (1)b
x
x b
b b b xe dx xe dx e +∞
--→+∞→+∞
+==-
?
?
1
1lim 1b b b e →+∞+=-=
这里．极限1lim
b b b e →+∞+是∞
∞
型未定式，由洛必达法则易知其极限为０
例１０ 计算由抛物线2
y x =与2
y x =，0,1x x ==所围阴影图形的面积
分析：设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，并且()()([,])f x g x x a b ≥∈，则由曲线
()y f x =与()y g x =以及,x a x b ==所围成的图形面积Ａ为[()()]b
a
A f x g x dx =-?
解 联立两抛物线方程2
2
y x x y ?=?=?，得交点(0,0),(1,1)O B ，并且由图形可知当[0,1]x ∈时均有2
()()f x x x g x =>=，则所求图形面积为31
2
3201211
()[]033
3A x x dx x x ==-=?
第六章 多元函数微积分 1．基本要求
（1）了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义，知道求二元函数的定义域。 （2）了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。 （3）了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法。 2．本章重点难点分析
（3） 本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的
计算方法。
（4） 本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。 3．本章典型例题分析
例1. 求函数(x y) cos sin(x y)z 2
+=的一阶偏导数. 解: 把y 看成常数, 对x 求导.
)]2sin()[cos()]sin([)cos(2)cos(xy xy y y xy xy xy y x
z
-=?-?+=??
例2. 设,y
x
xy z +
=求dz 解：根据全微分公式，先求两个偏导数
y
y x z 1
+=??；
2y
x
x y z -=??。 所以.)()1(2dy y
x
x dx y y dy y z dx x z dz -++=??+??=
例3. 计算二重积分
??D
xyd σ，其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域．
解 区域D 如图所示，可以将它看成一个x -型区域， 即 ()}1,21|,{x y x y x D ≤≤≤≤=．所以
????=x
D
xydy dx xyd 1
21
σ
??
=??? ??-=?===2132
1
1
2
89212
12
1dx x x dx
y x x
y y
例4. 计算二重积分??D
xyd σ，其中D 是有抛物线x y
=2
及2-=x y 所围成的有界闭
区域．
解：如图，区域D 可以看成是y －型区域，它表示为
()}2,21|,{2+≤≤≤≤-=y x y y y x D ，所以
8
45
2
2
12
12
21
2
2
2
=
?==?????-+-+dy x
y xydx dy xyd y y y y
D
σ． 一、选择题 1、=-?
)d(e x
x （ ）．
（A ）c x x
+-e
（B ）c x x x ++--e e
（C ）c x x
+--e
（D ）c x x
x +---e e
2、若)(x f 是)(x g 的原函数，则（ ）. （A ）?+=C x g dx x f )()( （B ）?+=C x f dx x g
)()(
（C ）?+='C x f dx x g )()( （D ）?+='C x g dx x f )()(
3、若
?
+=c e x dx x f x 22)(，则=)(x f （ ）.
（A ）x
xe 22 （B ）x
e x 222 （C ）x
xe
2 （D ）)1(22x xe x
+
4、?
=xdx 2sin （ ）. （A ）c x +2cos 21 （B ）c x +2sin （C ）c x +-2cos （D ）c x +-2cos 2
1
5、
=?-])(arctan [02x
dt t dx
d （ ）
。 （A ）2arctant 2
11t
+ （B ）2)(arctan x - （C ） 2)(arctan x （D ）2
)(arctan t - 二、填空：
1、已知)(x f 的一个原函数为x
-e
，则)(x f = ．
2、若)(x f '存在且连续，则='?
])(d [x f ． 3、若
c x F x x f +=?)(
d )(，则x f x x
)d e (e
--?= .
4、
?
=-dx x
x 2
)1( .
5、?=-dx ctgx x x )(csc csc .
6、
?+dx x x x
sin cos 2cos ＝ .
7、xdx e x sin cos ?
＝ .
8、已知)(x f 在),(∞+-∞上连续，且2)0(=f ，且设?
=
2
sin )()(x x
dt t f x F ，则
(0)F '= .
9、20
3
sin lim
x
x t dt x
→=?
.
10、设2
(2)4,
()1f f x dx ==?，则
2
0()xf x dx '=?
.
11、
?
=-2
1dx x
.
12、0cos 2
=-'+'''x y y y x 的阶数是 .
13、0=+'''xy y y 的阶数是 . 四、求不定积分 （1）
()
?++10
2
4sec 2
dx x x x
（2）?40
2tan π
xdx
（3）()
?++dx x x x 2
2211
3 （4）()?-dx x 52sin
（5）?
-dx x x 22
（6）
?-210
2
411dx x
（7）
()dx x
x e
?
1
3ln （8）()?
-dx x x 2
21arcsin
（9）
?
20
3cos sin π
xdx x （10）dx x x x ?
+--3
22
22
（11）
?+8
0311
dx x （12）?
+2
322)
(a x dx
(13)
?
-2
2
4dx x （14）?20
cos π
xdx x
(15) dx x x ?arctan 2
（16）
dx e x x ?
1
2
( 17) dx x e x ?
sin （18）
()
?+-2
1
2
132dx x x
(19)
?
--1
1
45x
dx （20）
()?e
dx x 1
2
ln （21）求由曲线2x y =，直线x y x y 2,==所围成的图形的面积. （22）求由曲线2x y =与直线2+-=x y ，0=x 围成的平面图形面积. （23）3
3
xy y x z -=, 求
x ??z ，y
z
??. （24）x y z arctan
=，求x ??z ，y
z ??. （25）)(ln 2
xy x z =, 求dz . （26）xy
x z e =,
求dz .
（27）
D
ydxdy ??
，其中Ｄ是由直线,1,01y x y x y y ==-==及及所围成的平面区域.
（28）dxdy x y x D
??-+)(22,其中D 由直线x y y ==,2与x y 2=所围成. （29）
dxdy xy D
??
2
其中D 由抛物线2x y =和直线x y =所围成. （30）解微分方程：
0sin cos =+x y x dx
dy
. （31）解微分方程：0)1()1(=++-dy x dx y .
（32）某厂生产某种商品q 千件的边际成本为36)(+='q q C （万元/千件），其固定成本是9800（万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低（2）最低平均成本是多少 （33）已知某产品的边际成本为q q C 4)(='（万元/百台），边际收入为q q R 1260)(-='（万元/百台）。如果该产品的固定成本为10万元，求：（1）产量为多少时总利润)(q L 最大（2）从最大利润产量的基础上再增产200台，总利润会发生什么变化
高等数学微积分总结
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++
高等数学微积分复习题
第五章 一元函数积分学 1．基本要求 （1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。 （3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 （4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析 （1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式；定积分的应用。 （2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。 重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写
考研高等数学知识点总结
高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π
高等数学教材word版(免费下载)
目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑵ 、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
高等数学微积分公式
一、001011 01lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞ ?=??+++?=??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0 s in lim 1x x x →= （2）()1 lim 1x x x e →+= （3 ）lim )1n a o →∞ >= （4 ）lim 1n →∞ = （5）lim a rc ta n 2 x x π →∞ = （6）lim ta n 2 x a rc x π →-∞ =- （7）lim arc co t 0x x →∞ = （8）lim arc co t x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()u v u v u v '''=+ 2u u v u v v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()s in c o s x x '= ⑷()c o s s in x x '=- ⑸()2 ta n s e c x x '= ⑹()2 c o t c s c x x '=- ⑺()s e c s e c ta n x x x '=? ⑻()c s c c s c c o t x x x '=-? ⑼() x x e e ' = ⑽() ln x x a a a ' = ⑾()1ln x x '= ⑿() 1lo g ln x a x a ' = ⒀( )a rc s in x '= ⒁( )a rc c o s x '=- ⒂()2 1 a rc ta n 1x x '= + ⒃()2 1a rc c o t 1x x '=- +⒄()1x '= ⒅ ( 1' =
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ????? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1 d x x dx μ μμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2 tan sec d x xdx = ⑹()2 cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-?
高等数学公式定理(全)
·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sin β·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sin β·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tan β·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α +t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2 α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2 sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
地大高等数学一试卷及答案
《高等数学一》试卷 一． 填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．22lim x x x x x →∞+=- ; 2．02sin lim x x x →= ; 3．1 lim(1)x x x →∞ -= ; 4． '= ; 5．(2)x x d e += ; 6．已知0'()1f x =, 则000 ()() lim x f x x f x x x ?→+?--?=? ; 7．函数 0()2d x F x t ?= ? ?的单调增区间为 ; 8． 2 1d 1x x =+? ; 9．d x x = d(35ln )x -; 10．微分方程 0y y ''-=的通解是 . 二． 单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．函数()ln(1)arcsin f x x x =+的定义域是（ ）。 A ．（-1 , 1 ] B ．[ -1 , 1 ] C ．（-1 , 2 ] D ．[-1 , 2 ] 2．当0x →时，()tan sin f x x x =-是x 的（ ）。 A ．低阶无穷小 B ．等阶无穷小 C ．同阶但不等阶无穷小 D ．高阶无穷小 3．设()2,0sin ,0 x a x f x x x ?+≥=?
高等数学积分表
积分表 一、含有ax b +的积分 1. 1 ln dx ax b C ax b a =+++? 2.11 ()()(1) ax b dx ax b C a μ μμ++= +++? (1)μ≠- 3. 21(ln )x dx ax b b ax b C ax b a =+-+++? 4.222311()2()ln 2x dx ax b b ax b b ax b C ax b a ?? =+-++++??+?? ? 5. 1ln ()dx ax b C x ax b b x +=-++? 6. 22 1ln ()dx a ax b C x ax b bx b x +=-+++? 7. 22 1(ln )()x b dx ax b C ax b a ax b =+++++? 8.22 2 31(2ln )()x b dx ax b b ax b C ax b a ax b =+-+-+++? 9. 22 11ln ()()dx ax b C x ax b b ax b b x +=-+++? 10. C = 11.2 2(3215ax b C a =-? 12.2223 2(15128105x a x abx b C a =-+? 13. 22 (23ax b C a =- 14. 2222 3 2(34815a x abx b C a =-+ 15.(0) (0) C b C b ?+>=<
16. 2 a b =- 17.b = 18. 2 a =+ 三、含有22 x a ±的积分 19. 22 1 arctan dx x C x a a a =+ + ? 20. 2222212221 23 ()2(1)()2(1)() n n n dx x n dx x a n a x a n a x a -- - =+ +-+-+ ?? 21. 22 1 ln 2 dx x a C x a a x a - =+ -+ ? 四、含有2(0) ax b a +>的积分 22. 2 (0) (0) C b dx ax b C b ? +> = + +< ? 23.2 2 1 ln 2 x dx ax b C ax b a =++ + ? 24. 2 22 x x b dx dx ax b a a ax b =- ++ ?? 25. 2 22 1 ln ()2 dx x C x ax b b ax b =+ ++ ? 26. 222 1 () dx a dx x ax b bx b ax b =-- ++ ?? 27. 2 32222 1 ln ()22 ax b dx a C x ax b b x bx + =-+ + ? 28. 2222 1 ()2()2 dx x dx ax b b ax b b ax b =+ +++ ?? 五、含有2(0) ax bx c a ++>的积分
高等数学微积分期末试卷及答案
大一高等数学微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 33 0002 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 4 lim(cos )x x x →求极限
高数微积分公式大全
高数微积分公式大全(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1 ln d x dx x =
高等数学公式+补充三角函数公式
此文档分为两部分：高等数学公式（13页）和补充的三角函数公式（7页）。 声明：源材料来自网络，自己稍加整理。 第一部分：高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分：2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学不定积分总结
第5章 不定积分 一、不定积分的概念和性质 若()()F x f x '=，则()d ()f x x F x C =+?， C 为积分常数不可丢！ 性质1()d ()f x x f x ' ??=???或 d ()d ()d f x x f x x =?或()d ()d f x x f x dx ??=??? 性质2()d ()F x x F x C '=+?或d ()()F x F x C =+? 性质3[()()]d f x g x x αβ±?()d ()d f x x g x x α β=±?? 或[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x += +??? ；()d ()d kf x x k f x x =??. 二、基本积分公式或直接积分法 基本积分公式 d k x =?k x C +d x x μ=?111x C μμ+++(μ为常数且1μ≠-) 1d x x =?ln x C + e d x x =?e x C +d x a x =?ln x a C a + cos d x x =?sin x C +sin d x x =?cos x C -+ 2d cos x x =?2sec d x x =?tan x C +2d sin x x =?2csc d x x =?cot x C -+ sec tan d x x x =?sec x C +csc cot d x x x =?csc x C -+ 2d 1x x =+?arctan x C +（arccot x C -+）=arcsin x C +（arccos x C -+） 直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。 三、换元积分法： 1.第一类换元法（凑微分法） ()()()d (())()d (())d () ()d [()]u x u x g x x f x x x f x x f u u F u C ??????=='====+????. 注 (1)常见凑微分： 2111(), (),2), (ln ||) 2dx d ax c xdx d x c d c dx d x c a x =+=+==+ 21(tan )(cot (arcsin )(cos )1+dx d arc x d arc x d x d arc x x ==-==-
高等数学微积分公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ