奥数知识点汇总(初一)
奥数知识点汇总（初一）
第一章 整数
一、整数的几种表示方法：
选择适当的方法表示一个整数，是解决整数问题的基本方法之一。 它是解决整数问题的前提。1、整数的多项式表示法：
任何一个十进制的正整数N 都可表示为：
1
2
12101010
1010n
n n n N a a a a a --=?+?++?+?+ ，
这里n a 、1n a -、……2a 、1a 、0a 各取于0——9这十个数字中的任何一个。如果N 是一个
n+1位正整数，则n a ≠0。为了方便，也可将N 简记作110
N n n a a a a =
- ——————————————
。
这种表示法称为整数的多项式表示法。整数最左边的一位数字n a 叫做整数N 的首位数字，最右边的一位数字0a 叫做整数N 的末位数字。
2、整数的质因数连乘积表示法：
（1）算术基本定理——每一个大于1的整数都能分解成质因数的乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排在一起（相同因数的积写成幂的形式），那么这种分解方法是唯一的。
这就是说，任何一个整数N （N ＞1），都能唯一地表示成下面的形式：
1212n n N p p p α
αα=
其中1α，2α，……n α为自然数，12,,,n p p p 为质数，并且1p ＜2p ＜……＜n p 。这种表示法称为整数的质因数连乘积表示法，又称为整数N 的标准分解式。 （2）约数个数定理——一个整数N （N ＞1），如果它的标准分解式为
1212n n N p p p α
αα= ,那么它的约数个数为（1＋1
α
）（1＋2α）……（1＋n α）。
另外，如果一个正整数N 的约数个数是奇数，那么这个正整数N 是完全平方数。
3、整数的带余式表示法：
如果整数a 除以正整数m 所得的商是q ，余数是r ，那么a ＝mq+r ，其中q 、r 都为整数，并且0?r ?m －1。这种表示法称为整数的带余式表示法。
如果整数a 、b 分别除以正整数m 所得得余数都是r ，即a=mp+r ，b ＝mq+r(p 、q 为整数)，那么称a ，b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)。容易推知对于模m 而言，与a 同余的一切整数可以表示为mt+r (t 为整数)，这里r ＝0，1，……，m －1。把所有这样的整数作为一类，称为以m 为模的一个同余类。
一般地，对于模m 而言，应当有m 个同余类存在，可分别表示为： mt,mt+1,mt+2,……，mt+(m －1)（t 为整数）。
任何一个整数必定属于并且也仅属于其中一个同余类。这样一切整数就可以按照模m
进行同余分类，把无数个整数分成有限个同余类，为我们解决问题带来方便。特别地，按模2分类，就得奇数与偶数两类；例如按模3分类，就有三个同余类：
3t,3t+1,3t+2（t为整数）。
有时将3t+2写成3t－1。
二、数的整除特性：
任意两个整数相加、减、乘的结果都是整数，但两个整数相除，它们的商就不一定是整数了，也就是说，整数对加、减、乘的运算是封闭的，而对于除法并不是封闭的。这样就出现了整除与余数的两个概念。
1、整除的定义：
对于整数a、b（b≠0），如果a除以b得到的商是一个整数q，即a÷b＝q或a=bq，则称a能被b整除，或称b能整除a，记作b a，此时a叫做b的倍数，b是a的因数；如果b 不能整除a，记作ba
2、数的整除的若干性质：
根据整除的定义，有如下性质：
（1）如果a b，a c，m，n为整数，那么()
.
a m
b nc
（2）如果a b，b c，那么a c。
（3）如果a bc，且a、b互质，那么a c。
（4）如果a b，c b，且a，c互质，那么ac b。
（5）n个连续整数的连乘积，一定能被1×2×3……×n整除。
3、数的整除特征：
（1）能被2（或5）整除的数的特征：个位数字能被2（或5）整除。
（2）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
（3）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
（4）能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之后能被3（或9）整除。
（5）能被11整除的数的特征：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除。（6）能被7、11、13整除的数的特征：奇位千进位数段之和与偶位千进位数段之和的差能被7、11、13整除。
例如，判别34425391能否被7、11、13整除，先从后往前分节，得34，425，391。奇位千进位数段之和为34+391=425，偶位前进位数段之和为425，两者之差为425－425＝0。因为0能被7、11、13整除，所以34425391能被7、11、13整除。
上述性质与特征是解决整除问题的重要理论依据。解决整除问题常用的方法有：利用数的整除特征，凑连续整数乘积法，整数的多项式表示法，按同余分类整数表示法、考虑余数法、奇偶性分析法等等。
4、质数与合数：
一个大于1的正整数a，如果只有1和a这两个约数，那么a叫做质数，也叫做素数；
如果除了1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合数。这样，自然数按约数的个数可分为0、1、质数和合数四类。
在关于质数与合数的问题中，除了广泛运用它们的定义外，还要运用如下关于质数与合数的性质：
（1） 质数有无穷多个，最小的质数是2，不存在最大的质数。 （2） 除2以外的全体偶数是合数，除2以外的全体质数是奇数。 （3）
任何大于1的自然数都可以分解成质因数的乘积，即N=12
12n n
p p p α
αα （N 为
大于1的自然数，12,,n p p p 为质数，12,,n ααα 为正整数）。如果不考虑这些质因数的顺序，这种分解方法是唯一的。
质数与合数问题是数论中的另一个基本问题，解决的常用方法有质数分析法、分解质因数法、余数法、因式分解法等等。
5、最大公约数与最小公倍数：
若12,,n a a a 是不全为零的整数，并且12,,n d a d a d a ，则d 叫做12,,n a a a 的公约数。公约数中最大的数叫做这n 个数的最大公约数，记作（12,,n a a a ）＝d 。
若12,,n a a a 都是正整数，且（12,,n a a a ）＝1，则称12,,n a a a 这n 个数互质或互素。互质的数不一定都是质数，但几个不同的质数一定互质。
若12,,n a a a 和m 均为正整数，且12,,n a m a m a m ，则称m 是12,,n a a a 的公倍数。公倍数中最小的数叫做这n 个数的最小公倍数，记作[]12,,n a a a m = 。
有关最大公约数和最小公倍数的性质如下： (1) 如果b a ，那么（a,b ）=b,[a,b]＝a 。 (2) 如果（a,b ）=d,那么（ka,kb ）=kd ，(
,)1a b
d d
=（k 为正整数）。 (3) 如果[a,b]=m,那么[ka,kb]=km, ,a b m c c c ??=????，(,)1m m
a b =（k 为正整数，c 为a,b 的公约
数）。
(4) 如果（a,b ）=1，那么（a,bc ）=(a,c) (5) 如果（a,b ）=d,[a,b]=m ，则ab=md,或者m=
ab d
，ab d m
=
。
6、整数问题：
整数有三种表示方法：多项式表示法、质因数表示法与带余式表示法。要会灵活运用整数各种表示法解题。
解决整数问题，余数法、反证法、奇偶性分析、抽屉原理是常用方法。
7、奇数与偶数：
在整数中，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。通常把奇数记为2n+1，把偶数记为2n，这里n为整数。要注意0也是偶数。
一切整数分成两大部分：奇数和偶数。一个奇数和一个偶数不会相等，这种数的奇偶性是整数最基本的性质。
奇数与偶数有以下一些重要性质：
（1）奇数加奇数，其和是偶数；奇数加偶数，其和是奇数；偶数加偶数，其和是偶数。
一般地奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和总是偶数。（2）奇数减奇数，其差是偶数；奇数减偶数或偶数减奇数，其差都是奇数；偶数减偶数，其差是偶数。
（3）奇数乘奇数，其积是奇数；奇数乘偶数，其积是偶数；偶数乘偶数，其积是偶数。
一般地，N个奇数的积是奇数；几个整数相乘，如果其中有偶数，那么乘积是偶数。（4）如果一个偶数被奇数整除，则其商是偶数；如果一个奇数能被一个奇数整除，则其商是奇数。
对于奇数、偶数的上述四条性质，通常称为奇偶性原理。在解决一些有关整数问题时，灵活而巧妙地运用这些性质，再加上正确的推理分析，在解题中会收到较好的效果。
第二章整式
1、有理数及其运算技巧：
在自然数、正分数的基础上引入负数后，数集就扩大到了有理数范围。也就是说，整
数和分数统称为有理数。有理数通常可表示成分数n
m
形式，这里m,n都是整数，且m≠0。
四则运算对有理数是封闭的，即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不为零）结果的和、差、积、商仍为有理数。
有理数可以作以下两种分类：
正整数
整数零
负整数
有理数正有限小数
正分数正无限循环小数
分数负分数负有限小数
负无限循环小数
正整数
正有理数正分数
零
有理数
负有理数负整数
负分数
有理数可以比较大小，任意两个有理数之间都有无穷府哦个有理数，有理数的巧算是一种基本的运算技巧。巧算的关键是从整体上观察算式和其中每个数的特点，寻求一定的规律，以简化计算工作量。常用方法有：1、分组计算（凑整法、应用运算定律、应用添（去）
括号）；2、拆项法【
111(1)1
n n n
n =
-
++；
1111()()
n n k k n n k
=
-++；11
1
1
(
)(1)(2)
2(1)
(1)(2)n n n n n n n =
-
+++++；1111
()()()n a n b a b n a n b
=------】
；3、换元计算；4、倒写相加或叫反序求和法；5、错位相减法；6、探索规律法；7、应用幂的性质；7、逆向思维法。
2、乘法公式：
一般常用的乘法公式有： （1）22()()a b a b a b +-=-； （2）222()2a b a ab b ±=±+； （3）33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）33223()33a b a a b ab b -=-+-； （5）2233()()a b a ab b a b +-+=+； （6）2233()()a b a ab b a b -++=-；
（7）2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++
在熟练掌握上述基本公式的基础上，将这些公式变形逆用可得下面的重要公式： （1）222()2a b a b ab +=+-，或者222
()2a b a b ab +=-+； （2）22
()()4a b a b ab +--=；
（3）333222
3()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---； （4）3322
()()a b a b a ab b +=+-+； （5）3322
()()a b a b a ab b -=-++； （6）2
2
2
2221
()()()2a b c ab bc ac a b b c c a ??++---=
-+-+-?
?
3、整式的运算与求值：
整式的运算就是将一个整式通过恒等变形变换成另一个与之恒等的式子。它包括代数式的化简、求代数式的值等。在初中数学竞赛中，代数式的运算与求值是两个基本内容，其方法灵活多变，技巧性强。所以进行整式的运算与求值除了掌握一些基本方法外，还应掌握一些典型的技巧和特殊的方法。常用方法有：（1）、观察找规律；（2）、整体代入法；（3）、
拆添项法；（4）、套用公式法等等。
4、整式的恒等变形：
恒等式分为两类：一般恒等式和条件恒等式。例如222
()2
a b a ab b
+=++，不论a、b 取任何实数，等式总能成立，称这类等式为一般恒等式。又如，当a+b＝0时，220
a b
-=，这个等式对任意a、b的值并不成立，仅当满足a+b＝0时才成立，称这类等式为条件恒等式。在初中数学竞赛中，恒等变形是重要的基本内容之一。所谓恒等变形是指在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式。恒等变形方法灵活多变，技巧性也很强。常用方法和技巧有：（1）配方法；（2）换元法；（3）代入法；（4）差、商比较法（作差法、作商法）；（5）消元法；
5、有理数的表示法及其应用：
有限小数或无限循环小数叫做有理数。有理数总可以表示成既约分数p
q
（其p、q是没
有公因数的整数，且q≠0）。例如，1
2
＝0.5，
2
0.6
3
= ，……。
第三章一次方程与一次不等式
一元一次方程的一般表达式：ax=b(a、b均为常数)
当a≠0时，方程ax=b有唯一的解x=b
a
；
当a=0,b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程的解为任何实数；
当a=0,b≠0时，方程ax=b无解。
一元一次不等式有四种类型，即
,,,
ax b ax b ax b ax b
?≥?≤。
这里a≠0,且a、b均为常数。
不等式的基本性质：
（1）a＞b,b＞c?a＞c;
(2)a＞b?a+c＞b+c;
(3)a＞b?a-c＞b-c;
(4)a＞b,c＞0?ac＞bc;
(5)a＞b,c＜0?ac＜bc.
比较两数的大小，常用求差法：
a-b＞0?a＞b;
a-b=0?a=b
a-b＜0?a＜b。
1、含字母系数的一次方程：
如果方程中的已知数用字母表示，那么这样的方程就叫做含字母系数的方程，或称为
含参变量的一次方程。在解这种方程时要考虑到字母系数的取值范围，因此应注意对其解的各种情况加以讨论。含字母系数的一元一次方程，经过移项、合并同类项等同解变形后，总可以化为ax=b的一般形式。再按上述解题格式解题即可。
2、一次不定方程：
如果一个方程中的未知数的个数多于方程的个数，那么称这种方程为不定方程。不定方程是数论中的一个重要内容，判断不定方程有无整数解和求正整数解的个数是数学竞赛捉拿嘎两类常见的问题。
（1）二元一次不定方程的解法：
形如ax+by=c（ab≠0）的方程叫做二元一次不定方程。这里我们只研究系数a、b、c 为整数的情形。
关于二元一次不定方程的整数解，有下面两个定理：
定理1：若不定方程ax+by=c(ab≠0)中，a、b有公因数d,而常数c却无公因数d，则此不定方程无整数解。
定理2：若x=
x，是二元一次不定方程ax+by=c(a,b互质)的一组整数解，则此方程的
y=
y
全部整数解为x=
x－bt,（t为任意整数）
y=
y＋at
（2）多元一次不定方程的解法：
多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程来求解。
3、含字母系数的一次不等式：
一元一次不等式像一次方程一样，经过移项，合并同类项，化简整理后，通常写成ax ＞b这样的一种基本形式。由不等式的性质知：
（1）当a＞0时，不等式的解为x
b
a 。
（2）当a＜0时，不等式的解为x＜b a .
（3）当a=0时，若b?0，不等式无解；若b＜0,不等式的解为任意实数。
对于一般由两个不等式组成的不等式组，可分别解出每一个不等式，而两个不等式的解总可归纳成如下四种情况（设a＜b＝。
情形1：x＞a,不等式组的解集为x＞b.
x＞b,
情形2：x＜a，不等式组的解集为x＜a。
x＜b
情形3：x＞a,不等式组的解集为a＜x＜b
x＜b,
情形4：x＜a,原不等式组无解。
x＞b,
4、含绝对值的一次方程和一次不等式：
带有绝对值符号的方程和不等式，可以利用绝对值的定义脱去绝对值符号而化为普通的方程和不等式进行求解，关键时不要忽视去绝对值符号的条件。一般常利用分类讨论法。在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间不重复、不遗漏。常用方法有：
（1） 零点分段法；
（2） 逐层去绝对值法。
5、应用问题：
列方程解应用题，一般有审题、设出未知数、列方程、解方程、检验、作出结论等步骤。 常见题型：（1）水电费问题；（2）顺流、逆流问题；（3）钟表问题；（4）扶梯问题；（5）追击相遇问题（如环形跑道问题）；（6）浓度问题；（7）工程问题；（8）面积、体积问题；
第四章 简单几何图
计数问题时数学竞赛中的热门课题。对于简单的几何图形的计数常用的有枚举法、分类计数法和分步计数法。
先将要计数的所有对象一一列举出来，最后计算总数，这种方法称为枚举法。 如果完成一件事有n 类方法，在第一类方法中有1m 种不同方法，在第二类方法中有2
m 种不同方法，……，在第n 类方法中有n m 种不同方法，那么完成这件事共有
12n m m m +++ 种不同的方法。这种方法称为分类计数法。
如果完成一件事需分k 个步骤，依次完成各步后，整件事也就完成了。若完成其中各步的方法分别有1n ，2n ，……k n 种，那么完成这件事共有12k n n n ??? 种不同的方法。这种方法称为分类计数法。
1、线段、角：
（1）一条直线上有n 个分点，则以这n 个点为端点的线段共有(1)2
n n -条。当这n 个点不
共线时，此算式也成立。
（2）一般地，如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)，那么这n+1个点把这条线段一共分成
(1)
2
n n +条线段。
（3）平面上四个点,可确定1条或4条或6条直线。 （4）一条直线上任取n 个互不重合的点，共有2n 条射线。 （5）射线上任取n 个互不重合的点，共有n 条射线. (6) 线段上任取n 个互不重合的点，共有
(2)(1)
2
n n ++条线段。
（7）平面上有n （n ?2）条互不重合的直线，那么最多有(1)2
n n -个交点；
（8）平面上有n （n ?3）条互不重合的直线，由交点组成的线段的条数最多有(1)2
n n -条
线段。
（9）平面上有n 条互不重合的直线，可以把平面最多分成(1)12
n n ++＝
2
2
2
n n ++部分。
2、垂线、平行线：
平面内两条不同直线有两种位置关系：相交与平行。
两条不同直线，若它们有一个公共点，我么说它们相交，这个公共点叫做它们的交点。两条不同直线不能有两个或更多的公共点。
相交关系中最重要的是垂直。与垂直相关的知识：
（1）过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； （2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。关于平行线最重要的是平行公理，经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。
设两条直线被第三条直线所截，则有：
同位角相等?两直线平行； 内错角相等?两直线平行； 同旁内角互补?两直线平行。
3、趣味角的求和：
“ 三角形的内角和等于180°”是一个非常重要的性质，它是解决许多角度求和问题的基础。解决一类有趣的角度求和问题：折多边形的顶角求和。如下图：
O
D
C
B
A
E
4、两点间线段最短：
两点间线段最短是一个很重要的结论，在现实生活中它的应用也十分广泛。它有一个直接的推论是：三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。由此可解决许多几何中的趣题。
解决几何中有关最短与最小的问题，常用到轴对称这一几何工具。
对于平面上两个图形，如果将其中一个图形沿某条直线L 折叠，可使这两个图形叠合在一起，我么就说这两个图形关于直线L 对称，叫直线L 为对称轴。两个图形上互相重合的点，叫做关于对称轴的对称点。
两个对称图形具有下面的性质：
（1） 对称点的连线段被对称轴垂直平分； （2） 对称图形是全等形；
（3） 对称轴上的点到两个对称点的距离相等。 5、图形计数：
常用的方法有：枚举法；分类计数法；分步计数法、树形图、染色法等。在计数中要做到不重复、不遗漏。
第五章 趣味数学问题 1、简单的计数问题：
计数就是数一数或算一算某类确定对象的个数，比如：某一给定的几何图形中有多少个正方形；某次篮球单循环赛多少场。解答这些问题需要掌握一定的计数方法。如枚举法、分类法、加法原理和乘法原理、染色法等数学方法。
2、观察、归纳与猜想：
观察、归纳与猜想是数学竞赛中常用的方法之一，当我们碰到一些较为复杂的问题，涉及到相当多乃至无穷多的情形时，常常通过对若干简单的、特殊的情况进行分析观察，从中发现一般规律或作出某一种猜想，探索出解决问题的途径，再通过对作出的结论的证明，最后得出命题的正确性，这种研究问题的方法叫做归纳法。
3、最大与最小：
在日常生活中经常碰到一些在一定条件下求最大值和最小值问题，从一个地方到另一个地方，如何走可以使所走的路程尽可能地短，车费最省；一件工程如何安排工期最短；发运货物如何调运才能使费用最少？这类问题有很强的实际应用价值。在各类数学竞赛中也常出现这种最大值和最小值问题。如“将军饮马”问题用的是“对称原理”。
另若两个数的和为定值，则当两数相等时，乘积最大；（2
(
)2
a b ab +≤，当且仅当a=b
时等号成立）。这种情况可以推广为：如果12n a a a ++ 为定值，则当12n a a a === 时，
12,,,n a a a 的乘积最大。
在周长相等的长方形中，正方形的面积最大；在周长相等边数也相等的多边形中，正多边形的面积最大；周长相等的正多边形中，边数愈多的正多边形面积最大，当边数无限地增多时，多边形愈来愈接近圆。因此，在周长一定的条件下，有
正三角形面积＜正方形面积＜正五边形面积＜……＜圆面积。
再如：把14分拆成若干个自然数的和，如何分拆可以使这些自然数的乘积最大？ 本例是自然数分拆的典型例子，本例的解法可推出一般的结论。
解：考虑到以下几步：
步1：分拆成的自然数中不应含有1，因为1与任何数的乘积仍为原数，而将1加到其他任一个加数上，将使乘积更大。
步2：分拆的加数不应超过4，否则可以将这个加数拆成两个大于1的加数，从而使乘积更大；
步3：分拆出的数中如果有4，可以用2＋2代替；
步4：分拆的加数中2至多只有2个，否则，可用两个3替换3个2，因为3×3＞2×2×2，替换后乘积更大。
通过以上分析可以知道，应将14拆成若干个2与3的和，2至多出现两次，此时这些加数的乘积最大。将14拆写成14＝3＋3＋3＋3＋2，即将14分拆成4个3与1个2的和时，这些加数的乘积最大，最大值为4
32162?=。
常用的方法还有“抽屉原理“。
4、逻辑推理问题：
有些数学问题几乎不涉及几何图形性质，也不涉及数量关系，而只涉及一些相互关联的条件，运用有关逻辑知识解答，这类问题称为逻辑推理问题。解答这类问题时，常常运用枚举法、筛选法、假设法等推理论证的方法，在推理过程中还经常以列图表为手段，帮助我们分析推理。在解题叙述中要层次分明，概念清晰，结构严谨，遵循逻辑的基本规律。下面介绍解逻辑推理问题的几种常规方法。
（1）枚举法：
枚举法就是把所有出现的情况都列举出来，然后进行推理验证，得出结论。
（2）假设法：
假设法是逻辑推理问题中最常见的方法之一，假设法是先假设一个前提条件正确，以此为起点，利用已知条件进行推理，如果导致矛盾，说明假设的前提条件不正确，再重新提出一个假设，直至得到符合条件要求的结论为止。
（3）图解法：
所谓图解法就是根据题目条件，借助于一个图形来进行分析，从而使问题得到解决。
（4）列表法：
如果将问题中的信息（条件）反映在一张纵横交叉的表上，便可清晰地反映出条件与条件，条件与结论之间的联系，从而使问题获解。这就是所谓的列表法。
5、抽屉原理：
我们知道，把三个苹果放到两个抽屉中，总有一个抽屉例至少放了2个苹果。更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两个或更多的苹果放进同一个抽屉。
抽屉原理1——如果把n+k（k?1）个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。
抽屉原理2——如果把mn+k(k?1)个物体放进n个抽屉里，则至少有一个抽屉里要放进m+1个或更多个物体。
应用抽屉原理解题的关键是根据题目的要求合理、巧妙地构造抽屉。
6、存在性问题：
存在性问题是研究具有性质的数学对象是否存在的问题，结论常以“存在”、“不存在”、“至少存在一个”或“存在且唯一”等形式出现。在数学竞赛中会出现存在性问题，形式不一、变化多样，因此解题时必须根据题目的具体情况，选取不同的解题手段和解题方法。常用方法有：利用奇偶性性质解题；利用反证法；构造抽屉，利用余数性质；使用规律
（111
1(1)
n n n n
=+
++
，或
111
(1)1
n n n n
=-
++
）
小升初奥数知识点总结
1.小升初奥数知识点（年龄问题的三大特征） 年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。 年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。 例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍 ⑴父子年龄的差是多少？54 –18 = 36（岁） ⑵几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？7 - 1 = 6 ⑶几年前儿子多少岁？36÷6 = 6（岁） ⑷几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍？18 –6 = 12 (年) 答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。 2、小升初奥数知识点（归一问题特点） 归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。
由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。 3、小升初奥数知识点（植树问题总结） 植树问题基本类型： 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式：棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长 关键问题： 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 4、小升初奥数知识点（鸡兔同笼问题） 鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式：
小学奥数知识点归纳和总结
小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：
两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
(完整版)汇总小学阶段奥数知识点
2011年小学奥数（知识点梳理） 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、 计算 1． 四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷ 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若 111 a b c >>，则c>b>a.。形如：312123m m m n n n >>，则312123n n n m m m <<。
5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ①()2 1321+=++n n n Λ ②()()6 121212 22++=+++n n n n Λ ③()21n a n n n n =+=+ ④() ()4 121212 22 3 3 3 +=++=+++n n n n ΛΛ ⑤131171001???=?=abc abc abcabc ⑥()()b a b a b a -+=-2 2 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 2 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇±奇=偶 奇×奇=奇 奇±偶=奇 奇×偶=偶 偶±偶=偶 偶×偶=偶 2． 位值原则 形如：abc =100a+10b+c ① 如果c|a 、c|b ，那么c|(a ±b)。 ② 如果bc|a ，那么b|a ，c|a 。 ③ 如果b|a ，c|a ，且（b,c ）=1,那么bc|a 。 ④ 如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤ a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。 5． 带余除法 一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,那么一定有另外两个整数q 和r ，0≤r ＜b,使得a=b ×q+r 当r=0时，我们称a 能被b 整除。
小升初奥数知识点梳理
一、 计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴ 运算顺序 练习： 1、 2、 3、 4、 5、 6、(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87) ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 练习： 1、（559 －0.8＋249 ）×（7.6÷45 ＋225 ×1.25） 2、 47 ×231213 ＋16×17 ＋17 ×413 ⑶带分数与假分数的互化 练习: 1、(435 ×3.62+4.6×61350 )÷23 2、(12 +1112 )÷21 9 ÷(2-0.25) ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 练习： 1、99.6＋99.8＋99.9＋100+100.1 2、 1250×0.037＋0.125×160＋12.5×2.7 ⑵基准数思想 练习：
1、1991+1995+2000+1989+2011+2005+1998+1993 2、888+999+777+666 3、1796+1797+1798 ⑶裂项与拆分 练习： 1、 1 10 =11 2020 +=()() 11 +=()() 11 +=()() 11 +=()() 11 + 2、在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。 3、 4、 11111 1223344556 ++++= ????? 5、11111111 612203042567290 +++++++= 6、 111 123234789 +++ ?????? L ⑷提取公因数 练习： 1、1240×3.4＋1.24×2300＋12.4×430 2、4.65×32－2.5×46.5－70×0.465 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 练习： 1、 8.376÷3.2÷2.5 2、 7.68÷2.5÷0.4 ④同级运算移项的性质
小学阶段奥数知识点汇总
小学阶段奥数知识点汇总 1.、小升初奥数知识点（年龄问题的三大特征） ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 2、小升初奥数知识点（植树问题总结） 基本类型： 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 3、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 4、奥数知识点（盈亏问题） 盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型：①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 5、小升初奥数知识点（牛吃草问题） 牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
小升初奥数知识点汇总
小升初奥数知识点讲解汇总 1、年龄问题的三大特征 年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。 年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的;②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 解题规律：抓住年龄差是个不变的数(常数)，而倍数却是每年都在变化的这个关键。 例：父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍? ⑴ 父子年龄的差是多少? 54 – 18 = 36(岁) ⑵ 几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍? 7 - 1 = 6 ⑶ 几年前儿子多少岁? 36÷6 = 6(岁) ⑷ 几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍? 18 – 6 = 12 (年) 答：12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。 2、归一问题特点 归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量;复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。 由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。 3、植树问题总结 植树问题 基本类型： 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式： 棵数=段数+1
小学奥数数论专题知识总结
数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差
小学奥数知识点汇总基础知识点
小学奥数知识点汇总 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
最全小学奥数知识要点
最全小学奥数知识要点归纳 同学们:小学奥数可以分为计算、计数、数论、几何、应用题、行程、组合七大板块，其中必须掌握的三十六个知识点. 以下是小学奥数知识清单： 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题 基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；
5、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6、盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 第二部分（知识点7-11） 7、牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式：
〖精品〗小升初奥数知识点汇总-小学奥数知识点总结
小升初数学（奥数）知识点汇总 一、质数、倍数、倍数、约数、整除问题 1、质数（素数） ①只有1和它本身两个约数的整数称为质数； ② 100以内质数共25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97； ③最小的偶合数是4，最小的奇合数是9；④ 0、1既不是质数也不是合数。 ⑤每一个合数分解质因数形式是唯一的。 ⑥公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。 2、倍数、约数性质 ①一个数最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数； ② “0”没有约数和倍数，一般认为“1”只有约数“1”； ③假如几个数都是某一个数的倍数，那么这几个数的组合也是某个数的倍数。例如：26、39是13的倍数，则2639也是13的倍数。 ④一般的数字的约数的个数都是偶数个，但是平方数的约数个数是奇数个。例如：“9”有3个约数（1、3、9），“16”有5个约数（1、二、4、8、16）。⑤约数和倍数必须强调出是哪个数字的约数和倍数。 ⑥一个数既是它本身的倍数又是它本身的约数。 ⑦一个数如果有偶约数，则这个数必为偶数。 3、整除性质 ①能被“2”整除的数的特点：末尾数字是“0、2、4、6、8”； ②能被“3（9）”整除的数的特点：各位上数字和能被“3（9）”整除； ③能被“4（25）”整除的数的特点：末尾两位能被“4（25）”整除； ④能被“5”整除的数的特点：末尾数字是“0或5”；
⑤能被“8（125）”整除的数的特点：这个数末三位能被“8（125）”整除； ⑥能被“7、11、13”整除的数的特点：这个数从右向左每三位分成一节，用奇数节的和减去偶数节的和，所得到的差能被“7、11、13”整除。如果求余数时，则奇数节和小于偶数节和时，需要将奇数节和加上若干个“7、11、13”，再相减。 ⑦能被“11”整除的数的另一个特点：这个数奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。例如：“122518”分析：奇数位数字和1+2+1=4，偶数位数字和2+5+8=15，差为11，说明这个数可以被 11整除。如果求余数时，则奇数位数字和小于偶数位数字和时，需要将奇数位和加上若干个“11”，再相减。 二、公约数、公倍数 1、最大公约数：公有质因数的乘积。通常用“（）”表示。 2、最小公倍数：公有质因数和独有公因数的连乘积。用“[ ]”表示。 3、两个自然数的最小公约数和最大公倍数的乘积=两个自然数的乘积 4、如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。 5、如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。 6、两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。 ▲7、根据互质数的意义，相邻的自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 8、解题思路和方法 （1）求公约数和公倍数一般采用短除法。
小学奥数30个经典知识点汇编大全知识分享
小学奥数知识点汇编大全（含30个经典知识模块） 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数
棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7．牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
小学四年级奥数知识点
小学四年级奥数知识点 标蓝：基础 小学四年级奥数知识点 1. 常用特殊数的乘积 25X 4= 100 125X 8= 1000 625X 16= 10000 25X 8= 200 125 X 4= 500 125X 3=小学四年级奥数知识点3= 1001 37X 3=111 2. 加减法运算性质： 同级运算时,如果交换数的位置,应注意符号搬家。加、去括号时要注意以下几点：括号前面是加号,去掉括号不变号；加号后面添括号,括号里面不变号；括号前面是减号, 去掉括号要变号；减号后面添括号,括号里面要变号。 100+（21+58）=100+21+ 58 100-（21+58）=100-21- 58 3. 乘除法运算性质 乘法中性质：（ 1 ）乘法交换律（2）乘法结合律（3）乘法分配律（4）乘法性质（5）积的变化规律：一扩一缩法。 除法中性质：当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律。积的变化规律：同扩同缩法。同级运算时, 如果有交换数的位置,应该注意符号搬家。加、去括号时注意以下几点：括号前面是乘号, 去掉或加上括号不变号；括号前面是除号, 去掉或加上括号要变号。 100X（4X 5）=100X4X5 100-（4- 5）=100- 4-5 4. 最大最小 1、解答最大最小的问题,可以进行枚举比较。在有限的情况下, 通过计算, 将所有情况的结果列举出来, 然后比较出最大值或最小值。 2、运用规律。（1）两个数的和一定, 则它们的差越接近,乘积越大；当它们相等（差为0）时, 乘积最大。 3、考虑极端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。 5. 比较大小 估算最常用的技巧是“放大缩小” , 即先对某个数或算式进行适当的“放大”或
人教版小学数学知识点大全
小学数基础知识点大全一 正整数： 用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫做正整数。相邻的两个正数整数之间相差1。0： 0是一个数，是一个自然数，也是一个整数，但不是正整数或负整数。 0既可以表示“没有”，也可以作为某些数量的界限，如0o C等。 0是一个偶数。0不能作除数，不能作分母，也不能作比的后项。 负整数： 像－l、－2、－3、－4、－5……这样的数就叫做负整数。相邻的两个负整数之间也是相差1。整数：像…，－3，－2，－1，0，1，2，3，…这样的数统称整数。 整数包括负整数、0和正整数。 整数的个数是无限的。自然数是整数的一部分。 自然数：用来表示物体个数的0、l、2、3、4、5、6、7……叫做自然数。自然数包括0和正整数。 正数：正数包括正整数、正分数、正小数、正百分数等。 负数：负数包括负整数、负分数、负小数、负百分数等。负数可以表示相反意义的量。 数对：用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。 数的读法和写法： 读、写者都要从高位到低位，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个0。不管读和写都要进行分级。如534007000602读作：五千三百四十亿零七百万零六百零二 分数：表示把“单位1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。表示其 中一份的数叫做分数单位。例如：7 12的分数单位是1 12 ，它有7个这样的分数单位。 真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数小于1。
假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：一个整数(零除外)和一个真分数组合在一起的数，叫做带分数。带分数也是假分数的另一种表示形式，相互之间可以互化。 分数的基本性质： 一个分数的分子、分母同时乘上或除以相同的数(零除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 小数：小数是分数的一种特殊形式。但是不能说小数就是分数。 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。 纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数。例如0.3g、0.24g g 混循环小数：循环节不是从小数部分的第一位开始循环的循环小数，叫混循环小数。例如0.25g、 g g 0.423 有限小数：小数的小数部分的位数是有限的，这样的小数叫做有限小数。 无限小数：小数的小数部分的位数是无限的，这样的小数叫做无限小数。循环小数都是无限小数，无限小数不一定都是循环小数。例如，圆周率 也是无限小数，它是无限不循环小数。小数的基本性质： 小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，这叫做小数的基本性质。小数的基本性质与分数的基本性质是一致的。 小学数基础知识点大全二 减法：被减数－减数＝差。减法是加法的逆运算。 乘法：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。因数×因数＝积 除法：被除数÷除数＝商。除法是乘法的逆运算。 加、减法的运算定律： 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：a＋b＋c＝a＋(b＋c) 减法的运算定律：a－b－c＝a－(b＋c)
小升初数学总复习资料大全
小升初数学总复习资料归纳 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工 作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体（V:体积 a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab 4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5、三角形（s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高） 面积=底×高 s=ah 7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高） 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8、圆形（S：面积 C：周长л d=直径 r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数
小学奥数知识总结手册
小学（数学）奥数知识总结手册 目录 1、和差倍问题 2、年龄问题的三个基本特征： 3、归一问题的基本特点： 4、鸡兔同笼问题 5、植树问题 6、盈亏问题 7、牛吃草问题 8、周期循环与数表规律 9、平均数 9、抽屉原理 10、定义新运算 11、加法乘法原理和几何计数 12、数列求和 13、二进制及其应用 14、质数与合数 15、约数与倍数 16、余数及其应用 17、余数、同余与周期 18、数的整除 19、分数与百分数的应用 20、分数拆分 21、分数大小的比较 22、完全平方数 23、比和比例 24、综合行程 25、工程问题 26、逻辑推理 27、立体图形 28、几何面积 29、时钟问题—快慢表问题
30、时钟问题—钟面追及 31、浓度与配比 32、经济问题 33、简单方程 34、不定方程 35、循环小数 1、和差倍问题 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 5、植树问题 6、盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。
【小学数学】小学奥数所有知识点大汇总(最全)
1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差 ;求这两个数。 方法① ：（和－差）÷2= 较小数 ;和 -较小数 =较大数 方法② ：（和+ 差）÷2=较大数 ;和- 较大数 =较小数 例如：两个数的和是 15;差是 5; 求这两个数。方法：（15-5）÷2=5 （; 15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数 +1）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -1 倍数（较小数） = 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为 50;大数是小数的 4 倍 ;求这两个数。 方法： 50÷（ 4+1） =10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系 ;求这两个数。 方法：差÷（倍数 -1 ）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -倍数（较小数） =几倍数（较大数） 例如：两个数的差为 80;大数是小数的 5 倍 ;求这两个数。 方法： 80÷（ 5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的 ; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 ;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的 ; 两人年龄的倍数关系是变化的量 ; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 =大小年龄差÷倍数差 -小年龄 ; 几年前年龄 =小年龄 -大小年龄差÷倍数差． 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量 ;一般是那个“单一量”题;目一般用“照这样的速度”??等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植 树 两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数 =段数 +1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数 =全长÷株距 ; 株距 =全长÷棵数 ; 3 、直线两端都不植树：棵数 =段数-1= 全长÷株距 -1 ; 株距=全长÷（棵数 +1 ） （二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题 棵数 =总距离÷棵距; 总距离 =棵数×棵距;
人教版小升初数学总复习知识点归纳上课讲义
小升初数学总复习资料 一、基本概念 第一章数和数的运算 一概念 （一）整数 1 整数的意义 自然数和0都是整数。 2 自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b 就叫做a的因数（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 能被2整除的数叫做偶数。