高考数学总复习真题分类专题09 三角函数
高考数学总复习真题分类
专题09 三角函数
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=
在[,]-ππ的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】由22
sin()()sin ()()cos()()cos x x x x
f x f x x x x x -+----=
==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，
排除A ．又22π
1π42π2()1,π2π()2
f +
+==>2
π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数
②f (x )在区间（
2
π，π）单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④
D ．①③
【答案】C
2
sin cos ++x x
x x
【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．
当
ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π??
π ???
单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--
2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．
当[](
)
2,2x k k k *
∈ππ+π∈N
时，()2sin f x x =；当[](
)
2,22x k k k *
∈π+ππ+π∈N
时，
()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．
综上所述，①④正确，故选C ．
【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2
π为周期且在区间(
4
π，
2
π)单调递增的是
A ．f (x )=|cos2x |
B ．f (x )=|sin2x |
C ．f (x )=cos|x |
D ．f (x )=sin|x |
【答案】A
【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；
作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π
)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2
π
)单调递减，排除B ，
故选A ．
图1
图2
图3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数.
4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，
2
π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=
A ．
15
B 5
5
C ．
3
3
D ．
25
5
【答案】B
【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，2
4sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ??∴?=∈∴> ???
Q ，sin 0,
α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5
αα∴==，又sin 0α>，5
sin α∴=
选B ．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④
【答案】D
【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5
个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；
②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；
④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5
x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以π
π5k x ω
-
=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，
所以当k =5时，
π5π52πx ω
-=
≤，当k =6时，π
6π52πx ω
-
=>，解得1229510
ω≤<，
故④正确.
③函数()f x =sin （5x ωπ+
）的增区间为：πππ
2π2π252
k x k ω-+<+<+，732π2π1010k k x ωω
????
-+ ? ?????
<<.
取k =0，
当125ω=
时，单调递增区间为71
ππ248x -
<<， 当2910ω=时，单调递增区间为73
ππ2929
x -
<<， 综上可得，()f x 在π0,
10?
?
??
?
单调递增.故③正确. 所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.
【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且24g π??
= ???38f π??= ???
A ．2-
B ．2-
C 2
D ．2
【答案】C
【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ??==∴∈∴=Z 0?=； 又12π()sin
,2π,122
g x A x T ωω=∴==∴2ω=，
又π()24
g =
2A =，
∴()2sin 2f x x =，3π
(
) 2.8
f =故选C. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()
g x ，再根据函数性
质逐步得出,,A ω?的值即可.
7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1
sin 3
α=，则cos2α=
A ．89
B ．
79 C ．79
-
D ．89
-
【答案】B
【解析】221
7cos 212sin 12()39
αα=-=-?=. 故选B.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 8．【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[]
,a a -是减函数，则a 的最大值是
A ．π
4 B ．
π2
C ．3π4
D ．π
【答案】A
【解析】因为()πcos sin 2cos 4f x x x x ?
?=-=
+ ??
?，
所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π
2π2π()44
k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ??
-?-∴-<-≥-≤∴<≤????
，从而a 的最大值为π4，
故选A.
【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.函数
()sin (0,0)y A x B A =++>>ω?ω的性质：
(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T =
π
ω
(3)由 ()π
π2
x k k +=+∈Z ω?求对称轴. (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ω?求增区间；由()π3π
2π2π22
k x k k +≤+≤
+∈Z ω?求减区间.
9．【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π
=+的图象向右平移
10
π
个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[
,]44
ππ
上单调递增 B ．在区间3[
,]4
π
π上单调递减 C ．在区间53[,]42
ππ
上单调递增 D ．在区间3[
,2]2
π
π上单调递减 【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ??=+
??
?的图象向右平移π10
个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ??
?
?=-
+= ???????
. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -
≤≤+∈Z ，即()ππ
ππ44k x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44??????
. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +
≤≤+∈Z ，即()π3π
ππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44??
????
. 故选A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．【2018年高考浙江卷】函数y =2x
sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】令()2sin2x
f x x =，因为()()(),2
sin22sin2x
x
x f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以
()2sin2x
f x x =为奇函数，排除选项A ，B ；
因为π,π2x ??
∈ ???
时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D.
【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2??
???
上的符号，即可作出判断.有关
函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得
到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
【答案】D
【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则
22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+
=+-=+，
则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π
12个单位长度得到2C ，故选D.
【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22
αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数()π
(3
cos )f x x =+，则下列结论错误的是
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图象关于直线8π
3
x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6
x = D ．()f x 在(π
2
，π)单调递减
【答案】D
【解析】函数()f x 的最小正周期为2π
2π1
T =
=，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()π
π3
x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π
3
x =
对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ?????
?+=++=-+ ? ????
?????，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即
()π
π6
x k k =+
∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ??
∈
???
时，π5π4π,363x ??+∈ ???，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.
故选D.
【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ω?=+或(s )
co y A x ω?=+
的形式，则最小正周期为2π
T ω
=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b
ω=+的形式.
（2）求()()sin 0()f x A x ω?ω+≠=的对称轴，只需令()π
π2
x k k ω?+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ω?+=∈Z 即可.
13．【2017年高考天津卷理数】设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，||?<π．若5(
)28
f π
=，()08
f 11π
=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=
，12
?π= B ．23ω=
，12
?11π
=-
C ．13ω=，24?11π
=-
D ．13
ω=，24?7π
=
【答案】A
【解析】由题意得12
5282
118
k k ω?ω?π
π?+=π+???π?+=π
??，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，
又22T ω
π
=
>π，所以01ω<<，所以2
3
ω=
，11212k ?=π+π， 由?<π得12
?π
=
，故选A ． 【名师点睛】关于sin()y A x ω?=+的问题有以下两种题型：
①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据最小正周期求ω，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的?的值；
②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求ω或?的值、函数最值、取值范围等． 14．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．
【答案】
π
2
【解析】函数()2
sin 2f x x ==
1cos 42x -，周期为π
2
. 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式?三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.
15．【2019年高考江苏卷】已知
tan 2π3tan 4αα=-??+ ??
?，则πsin 24α?
?+ ???的值是 ▲ . 2
【解析】由()tan 1tan tan tan 2
tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++?
?+ ?
-?
?，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1
tan 3
α=-
. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα?
?+=+ ??
?
()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα??
+-=+ ?+?? 22
22tan 1tan =2tan 1ααα?+-?+??
， 当tan 2α=时，上式22222122
==22110???+-? ?+?? 当1tan 3α=-时，上式
=2
211
2()1()2233[]=1210()13
?-+---+ 综上，π2sin 2410
α??+
= ?
?
? 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．
【答案】33
2
-
【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ??'=+=+-=+-
??
?
，
所以当1cos 2x <
时函数单调递减，当1
cos 2
x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ??--∈????Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ?
?-+∈????
Z ， 所以当π
2π,3
x k k =-
∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时33sin x x ==， 所以()min
3333
2f x ?=?= ??
33. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.
17．【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π
()()4
f x f ≤对任意的实数x 都成立，
则ω的最小值为__________． 【答案】
2
3
【解析】因为()π4f x f ??
≤ ???
对任意的实数x 都成立，所以π4f ??
???
取最大值， 所以
()()ππ22π 8463
k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为2
3
.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.
18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ?
?=+ ??
?在[]0π，的零点个数为________．
【答案】3
【解析】0πx ≤≤Q ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362
x +=，解
得π4π,99x =
，或7π9
，故有3个零点.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
19．【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-
<
3
x =对称，则?的值是________． 【答案】π
6
-
【解析】由题意可得2sin π13??
+=± ???
?，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，??，
因为ππ22-
<
0,.6
k ==-? 【名师点睛】由对称轴得2ππ
πππ()326
k k k +=+=-+∈Z ，??，再根据限制范围求结果.函数
()sin y A x B =++ω?（A >0，ω>0）的性质：
(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π
T =ω
；
(3)由()π
π2
x k k +=
+∈Z ω?求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ω?求增区间;由()π3π
2π2π22
k x k k +≤+≤
+∈Z ω?求减区间.
20．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 34f x x x =+-(π0,2x ??
∈????
)的最大值是 . 【答案】1
【解析】化简三角函数的解析式：
()2
22
3131cos 3cos 3cos 144f x x x x x x ?=-+-=-+=--+ ??
， 由自变量的范围：π0,2
x ??∈???
?
可得：[]
cos 0,1x ∈，
当3
cos x =
时，函数()f x 取得最大值1. 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.
21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79
-
【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3
βα==
，22cos cos αβ=-=
22
cos cos βα=-= 所以()222
7cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-
. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .
22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【答案】1
2
-
【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()2
2
1sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22
=
=αβ， 因此()22111111
sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=
?-=-+=-+=-αβαβαβαα
【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.
23．【2017年高考江苏卷】若π1
tan(),46
α-=则tan α= ▲ ．
【答案】
7
5
【解析】1
1tan()tan
7644tan tan[()]14451tan()tan 1446
ααααππ+-+ππ=-+=
==ππ---．故答案为75
． 【考点】两角和的正切公式
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：
①适当变换已知式，进而求得待求式的值；
②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 24．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .
（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+
++的值域． 【答案】（1）π2θ=
或3π2
；（2）33[1-+．
【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=
或3π
2
． （2）22
22ππππsin sin 124124y f
x f x x x ?
???????????=+++=+++ ? ? ? ?????????????
???? ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ???
?-+-+ ? ?
??????=+=-- ? ???
3π123x ?
?=+ ??
?． 因此，函数的值域是33
[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.
25．【2017年高考浙江卷】已知函数22
sin cos 23cos ()()x x x f x x x =--∈R ．
（1）求2(
)3
f π
的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,
],63
k k k π
π
+π+π∈Z ． 【解析】（1）由23sin 32π=，21
cos 32
π=-，2223131()(()23()32222f π=----． 得2(
)23
f π
=． （2）由22
cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 232f x x x
=--2sin(2)6
x π
=-+．
所以()f x 的最小正周期是π．
由正弦函数的性质得
3222,262
k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63
k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，
所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63
k k k ππ
+π+π∈Z ．
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．
26．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；
（2）记()f x =?a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【答案】（1）5π6x =
；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π
6
x =时，()f x 取到最小值3- 【解析】（1）因为
co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ， 所以33sin x x =．
若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠． 于是3tan x = 又[]
0πx ∈，，所以5π6
x =
． ()?ω+=x A y sin ()?ω+=x A y sin u A y sin =
（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 323())6
f x x x x x x =?=?-==+a b ． 因为[]
0πx ∈，，所以ππ7π[,]666
x +
∈， 从而π3
1cos()6x -≤+≤
于是，当ππ
66x +
=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6
x =时，()f x 取到最小值23-
27．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P
（34
55
-，-）．
（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=5
13
，求cos β的值． 【答案】（1）
45；（2）56cos 65β=-或16
cos 65
β=-
. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4
sin 5
α=-，
所以4
sin(π)sin 5
αα+=-=.
（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3
cos 5
α=-，
由5sin()13αβ+=得12
cos()13
αβ+=±
. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-
或16
cos 65
β=-
. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;
（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.
28．【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4
tan 3
=
α，5cos()5+=-αβ．
（1）求cos2α的值； （2）求tan()-αβ的值．
【答案】（1）725-
；（2）211
-. 【解析】（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =α
αα
，
所以4
sin cos 3
=αα．
因为2
2
sin cos 1+=αα， 所以29
cos 25
=
α， 因此，27cos 22cos 125
=-=-
αα． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．
又因为5cos()+=αβ， 所以225
sin()1cos ()+=-+=αβαβ， 因此tan()2+=-αβ． 因为4tan 3=
α，所以22tan 24tan 21tan 7
==--ααα， 因此，tan 2tan()2
tan()tan[2()]1tan 2tan()11
-+-=-+=
=-++ααβαβααβααβ．
【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．三角函数求值的三种类型：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；
②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 29．【2017年高考山东卷理数】设函数π
π()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中.已知π()06
f =.
（1）求；
03ω<<ω
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
π4个单位，得到函数的图象，求在π3π
[,]44
-上的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【解析】（1）因为π
π()sin()sin()6
2
f x x x ωω=-+-，
所以
π3)3x ω=-.
由题设知π
()06f =，
所以
ππ
π63
k -=ω，k ∈Z . 故，k ∈Z ， 又， 所以.
（2）由（1）得()323f x x π?
?=
- ??
?.
所以()334312g x x x πππ???
?=+-=- ? ????
?.
因为π3π
[,]44
x ∈-， 所以2,1233x πππ??-
∈-????
， 所以当123x ππ-
=-，即4
x π
=-时，取得最小值.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三
()y f x =()y g x =()g x 2ω=3
2
-
31
()sin cos cos 22
f x x x x ωωω=
--33
sin cos 22
x x ωω=
-133(sin )2x x ωω=-62k ω=+03ω<<2ω=()g x 32-
角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
2020年高考数学三角函数专题解题技巧
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
高考数学试题分类大全
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
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三角函数大题压轴题练习 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ -上的值域 解：（1） ()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ =-+-+ 1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x = ++-+ 221cos 22sin cos 2x x x x = ++- 1cos 22cos 222 x x x = +- s i n (2) 6 x π =- 2T 2 π π= =周期∴ 由2(),()6 2 23 k x k k Z x k Z π π ππ π- =+ ∈= +∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3 x k k Z π π=+ ∈ （2） 5[,],2[,]122636 x x ππ πππ ∈- ∴-∈- 因为()sin(2)6 f x x π =- 在区间[,]123ππ- 上单调递增，在区间[,]32 ππ 上单调 递减， 所以 当3 x π= 时，()f x 取最大值 1 又 1()()12 222f f π π- =- <=，当12 x π =-时，()f x 取最小值2- 所以 函数 ()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域为[ 2．已知函数2 π()sin sin 2f x x x x ωωω?? =+ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤， 所以ππ7π2666 x --≤≤， 所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?????? ，． 3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 1 2sin()1,sin().662 A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,6 6 3 A A π π π - = = （Ⅱ） 由（Ⅰ）知1 cos ,2 A = 所以2 2 1 3()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).2 2 f x x x x s x =+=-+=--+ 因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3 2 . 当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332??-???? ，
高考数学三角函数知识点总结及练习
三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2
正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =
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精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月
1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2
集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 高一数学第一次月考试题 一． 选择题（每题５分，共６０分） １．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π ２．0sin300＝（ ） A ．1 2 B ． 32 C ．－12 D ．－32 ３．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠ AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ) D ．(－sin θ，cos θ) ４．如果sin α－2cos α 3sin α＋5cos α ＝－5，那么tan α的值为( ) A ．－2 B ．2 D ．－2316 ５．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π-=x B ．4 π-=x C ．8 π = x D ．4 5π= x ６．将函数y ＝sin(x －π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π 3个单位，得到的图象 对应的解析式是( ) A ．y ＝sin 1 2x B ．y ＝sin(12x －π 2) C ．y ＝sin(12x －π 6 ) D ．y ＝sin(2x －π 6 ) ７．已知α是第二象限角，且4tan =-3 α，则( ) A ．4sin =-5α B ．4sin =5α C ．3cos =5α D ．4cos =-5 α ８．已知3 cos +=25πθ?? ???，且3,22 ππθ? ? ∈ ??? ，则tan θ＝( ) A ．43 B ．－43 C ．34 D ．－34 ９．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< π 2 )的部分图象如 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．在△ABC 中，已知A ＝75°，B ＝45°，b ＝4，则c ＝( ) B ．2 6 C ．4 3 D ．2 3．在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝32× 22 3 2＝2 3. 4．在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B ＝60°，则a∶b∶c＝( ) A ．1∶3∶2 B ．1∶2∶4 C ．2∶3∶4 D ．1∶2∶2 5．在△ABC 中，若sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A> B B ．A 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析---导数及其应用 一、选择题（在每小题给出的四个选项中?只有一项是符合题目要求的） 1（2017北京文）已知函数1()3()3 x x f x =-?则()f x （ ） .A 是偶函数?且在R 上是增函数 .B 是奇函数?且在R 上是增函数 .C 是偶函数?且在R 上是减函数 .D 是奇函数?且在R 上是增函数 2.（2017新课标Ⅱ文）函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是（ ） .A (,2)-∞- .B (,1)-∞ .C (1, )+∞ .D (4,)+∞ З.（2017山东文）设()()1 21,1x f x x x <<=-≥?? ,若()()1f a f a =+,则 1f a ?? = ??? （ ）2.A 4.B 6.C 8.D 4.（2017山东文）若函数()e x f x 在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性 质.下列函数中具有M 性质的是（ ） x x f A -=2)(. .B ()2f x x = .C ()3x f x -= .D ()c o s f x x = 5.（2017新课标Ⅰ文数）函数sin21cos x y x = -的部分图像大致为（ ） б.（2017新课标Ⅰ文数）已知函数()ln ln(2)f x x x =+-?则（ ） .A )(x f y =在)2,0(单调递增 .B )(x f y =在)2,0(单调递减 .C )(x f y =的图像关于直线1=x 对称 .D )(x f y =的图像关于点)0,1(对称 7.（2017天津文）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若 0.8221 (log ),(log 4.1),(2)5a f b f c f =-==?则,,a b c 的大小关系为（ ） .A a b c << .B b a c << .C c b a << .D c a b <<高中数学三角函数练习题
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