多目标最优化模型

第六章 最优化数学模型

§1 最优化问题

1．1 最优化问题概念

1．2 最优化问题分类

1．3 最优化问题数学模型

§2 经典最优化方法

2．1 无约束条件极值

2．2 等式约束条件极值

2．3 不等式约束条件极值

§3 线性规划

3．1 线性规划

3．2 整数规划

§4 最优化问题数值算法

4．1 直接搜索法

4．2 梯度法

4．3 罚函数法

§5 多目标优化问题

5．1 多目标优化问题

5．2 单目标化解法

5．3 多重优化解法

5．4 目标关联函数解法

5．5 投资收益风险问题

第六章 最优化问题数学模型

§1 最优化问题

1．1 最优化问题概念

（1）最优化问题

在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。

最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。

最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。

（2）变量

变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。

设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。

（3）约束条件

在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设

计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。

用数学语言描述约束条件一般来说有两种：

等式约束条件 m i X g i ,,2,1,

0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1,

0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1,0)( =≤

注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)(

（4）目标函数

在最优化问题中，与变量有关的待求其极值（或最大值最小值）的函数称为目标函数。

目标函数常用),,,()(21n x x x f X f =表示。当目标函数为某问题的效益函数时，问题即为求极大值；当目标函数为某问题的费用函数时，问题即为求极小值等等。

求极大值和极小值问题实际上没有原则上的区别，因为求)(X f 的极小值，也就是要求)(X f -的极大值，两者的最优值在同一点取到。

1．2 最优化问题分类

最优化问题种类繁多，因而分类的方法也有许多。可以按变量的性质分类，按有无约束条件分类，按目标函数的个数分类等等。

一般来说，变量可以分为确定性变量，随机变量和系统变量等等，相对应的最优化问题分别称为：普通最优化问题，统计最优化问题和系统最优化问题。 按有无约束条件分类：无约束最优化问题，有约束最优化问题。

按目标函数的个数分类：单目标最优化问题，多目标最优化问题。

按约束条件和目标函数是否是线性函数分类：线性最优化问题（线性规划），非线性最优化问题（非线性规划）。

按约束条件和目标函数是否是时间的函数分类：静态最优化问题和动态最优化问题（动态规划）。

按最优化问题求解方法分类：

①解析法（间接法）???

???????-???图克定理库恩极大值原理有约束古典变分法古典微分法无约束

②数值算法（直接法）??????

?????????????????????随机搜索法单纯形法方向加速法步长加速法坐标轮换法多维搜索法插值法黄金分割法斐波那西法一维搜索法 ③数值算法（梯度法）????????

????????????????????????复形法法法化有约束为无约束梯度投影法可行方向法有约束梯度法变尺度法

共轭梯度法拟牛顿法最速下降法无约束梯度法SWIFT SUMT ④多目标优化方法??

???目标关联函数法多重目标化方法单目标化方法

⑤网络优化方法

1．3 最优化问题的求解步骤和数学模型

（1）最优化问题的求解步骤

最优化问题的求解涉及到应用数学，计算机科学以及各专业领域等等，是一个十分复杂的问题，然而它却是需要我们重点关心的问题之一。怎样研究分析求解这类问题呢？其中最关键的是建立数学模型和求解数学模型。一般来说，应用最优化方法解决实际问题可分为四个步骤进行：

步骤1：建立模型

提出最优化问题，变量是什么？约束条件有那些？目标函数是什么？建立最优化问题数学模型：确定变量，建立目标函数，列出约束条件——建立模型。 步骤2：确定求解方法

分析模型，根据数学模型的性质，选择优化求解方法——确定求解方法。 步骤3：计算机求解

编程序（或使用数学计算软件），应用计算机求最优解——计算机求解。 步骤4：结果分析

对算法的可行性、收敛性、通用性、时效性、稳定性、灵敏性和误差等等作出评价——结果分析。

（2）最优化问题数学模型

最优化问题的求解与其数学模型的类型密切相关，因而我们有必要对最优化问题的数学模型有所掌握。一般来说，最优化问题的常见数学模型有以下几种： ①无约束最优化问题数学模型

由某实际问题设立变量，建立一个目标函数且无约束条件，这样的求函数极值或最大值最小值问题，我们称为无约束最优化问题。其数学模型为： ),,,(m i n 21n x x x f ——目标函数

例如：求一元函数)(x f y =和二元函数),(y x f z =的极值。

又例如：求函数3231212322

21321242643),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=的极值和取得极值的点。

②有约束最优化问题数学模型

由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件（等式或不等式），这样的求函数极值或最大值最小值问题，我们称为有约束最优化问题。其数学模型为：

),,,(m i n 21n x x x f ——目标函数

m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件

有约束最优化问题的例子：求函数n x x x x x x f 31321),,(=在约束条件条件 n i x x x x i n ,,2,1,0,200831 =≥=+++下的最大值和取得最大值的点。 ③线性规划问题数学模型

由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件，目标函数 和约束条件都是变量的线性函数，而且变量是非负的，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为线性最优化问题，简称为线性规划问题。其标准数学模型为： n n n x c x c x c x x x f +++= 221121),,,(m i n ——目标函数 0,,2,12211≥==+++i i

n im i i x m i b x a x a x a ——约束条件

矩阵形式： X C X f T =)(m i n ——目标函数 0

≥=X B AX ——约束条件 其中 T n x x x X ),,,(21 =，T n c c c C ),,,(21 =，T m b b b B ),,,(21 =

在线性规划问题中，关于约束条件我们必须注意以下几个问题。

注1：非负约束条件),,2,1(0n i x i =≥，一般来说这是实际问题要求的需要。

如果约束条件为d x ≥，我们作变量替换0≥-=d x z ；如果约束条件为

i i d x ≤，我们作变量替换0≥-=i i i x d z 。

注2：在线性规划的标准数学模型中，约束条件为等式。

如果约束条件不是等式，我们引入松驰变量，化不等式约束条件为等式约束条件。

情况1：若约束条件为i n im i i b x a x a x a ≥+++ 2211，引入松驰变量

原约束条件变为 i i n im i i b z x a x a x a =-+++ 2211。

情况2：若约束条件为i n im i i b x a x a x a ≤+++ 2211，引入松驰变量

原约束条件变为 i i n im i i b z x a x a x a =++++ 2211

在其它最优化问题中，我们也常常采取上述方法化不等式约束条件为等式约束条件。

实际问题中，我们经常遇到两类特殊的线性规划问题。一类是：所求变量要求是非负整数，称为整数规划问题；另一类是所求变量要求只取0或1，称为0-1规划问题。

例如：整数规划问题

?????≥≥≥+≥且为整数0,028*******.3..21

212x x x x x t s 。

又例如：0-1规划问题 321523m a x x x x z +-=

???????=≤+≤+≤++≤-+10,,6

434422..321322

1321321或x x x x x x x x x x x x x t s 。 ④非线性规划问题数学模型

由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件，如果目标函数或约束条件表达式中有变量的非线性函数，那么，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为非线性规划最优化问题，简称为非线性规划问题。其数学模型为： ),,,(m i n 21n x x x f ——目标函数

m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件

其中目标函数或约束条件中有变量的非线性函数。

例如：非线性规划问题 y x y x f +-=2)1(),(m i n

???≤-=≤-+=0

),(02),(21y y x g y x y x g 。

上述最优化问题中，目标函数是非线性函数，故称为非线性规划问题。 前面介绍的四种最优化数学模型都只有一个目标函数，称为单目标最优化问题，简称为最优化问题。

⑤多目标最优化问题数学模型

由某实际问题设立变量，建立两个或多个目标函数和若干个约束条件，且目标函数或约束条件是变量的函数，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为多目标最优化问题。其数学模型为：

s i x x x f n i ,,2,1)

,,,(m i n 21 = ——目标函数 m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件

上述模型中有s 个目标函数，m 个等式约束条件。

例如：“生产商如何使得产值最大而且消耗资源最少问题”“投资商如何使得投资收益最大而且风险最小问题”等都是多目标最优化问题。

§2 经典最优化方法

经典最优化方法包括无约束条件极值问题和等式约束条件极值问题两种，不等式约束条件极值问题可以化为等式约束条件极值问题。

经典的极值理论：首先，根据可微函数取极值的必要条件确定可能极值点；其次，根据函数取极值的充分条件判断是否取极值？是极大值？还是极小值？这种方法已经几百年的历史了。

2．1 无约束条件极值

设n 元函数),,,()(21n x x x f X f =，求)(X f 的极值和取得极值的点。这是一个无约束条件极值问题，经典的极值理论如下。

定理1（极值必要条件）：设n 元函数),,,()(21n x x x f X f =具有偏导数，则)(X f 在*X X =处取得极值的必要条件为：

n i x f X X i ,,2,10|* ==??=。

定理在此不给出证明，读者可自己参看有关资料。

注1：对于一元函数上述定理当然成立，只是偏导数应为导数；

注2：定理只是在偏导数存在的前提下的必要条件。如果函数在某一点偏导数不存在，那在这一点处仍然可能取得极值；

注3：如果函数在某一点偏导数存在，且偏导数都等于零，那么函数在这一点处也不一定取得极值。 例如，函数232),(y x y x f +=在点)0,0(处偏导数不存在，但在这一点处函数仍然取得极小值零。函数53),(y x y x f +=在点)0,0(处偏导数存在，且偏导数都等于零，但在这一点处函数不取极值。

定理1的作用在于，求出函数的可能极值点，然后，我们再研究这些点是否取得极值。

对于许多实际问题来说，函数一定能够取得极大值或极小值，而函数的可能极值点（满足必要条件的点）又只有一点，则这一点当然是函数取得极大值或极小值的点。

对于一般函数而言，我们怎样判定函数在某点是否取极值？是极大值？还是极小值？我们有下面的极值的充分条件定理。

定理2（极值充分条件）：设n 元函数),,,()(21n x x x f X f =具有二阶偏导数，则)(X f 在*X X =处取得极值的充分条件为：

（1）n i x f X X i ,,3,20|* ==??=；

（2）黑塞矩阵?????????

? ??????????????????????????222212222221

2212212212n x n n n x f x x f x x f x x f x f x x f

x x f x x f x f 在*X X =处正定或负定； （3）黑塞矩阵在*X X =处正定时，函数取极小值；负定时，函数取极大值。 本章内容简要讲解理论，注重实际应用，对于许多经典的定理都不进行证明，读者可自己参看有关资料。

例1：求函数32212322

2132122462),,(x x x x x x x x x x f ++---=的极值。 解：（1）根据极值存在的必要条件，确定可能取得极值的点：

21124x x x f +-=??，31222212x x x x f ++-=??，233

28x x x f +-=?? 令03

21=??=??=??x f x f x f ，解得 )0,0,0(),,(321=x x x 。 （2) 根据极值存在的充分条件，确定)0,0,0(),,(321=x x x 是否是极值点：

计算 4212-=??x f ，12222-=??x f ，823

2-=??x f ； 2212=???x x f ，0312=???x x f ，23

22=???x x f ；

函数的黑塞矩阵为 ????

? ??---=?8202122024)0,0,0(2f

因为 04<-，04412224

>=--，0320820

212

2024<-=---； 所以黑塞矩阵负定，

故函数在)0,0,0(),,(321=x x x 处取得极大值0)0,0,0(=f 。

2．2 等式约束条件极值

下面我们研究的是有若干个等式约束条件下，一个目标函数的极值问题，其数学模型为：

),,,(m i n 21n x x x f ——目标函数

m i x x x g t s n i ,,2,10),,,(..21 == ——约束条件 拉格朗日（Lagrange)乘数法：

（1）令 ),,,(),,,(21121n i m

i i n x x x g x x x f L ∑=+=λ

称为上述问题的拉格朗日乘数函数，称i λ为拉格朗日乘数。

（2）设),,,(21n x x x f 和),,,(21n i x x x g 均可微，则得到方程组

（3）若),,,,,,,(2121m n x x x λλλ 是上述方程组的解，则点),,,(21n x x x 可能为该问题的最优点。

拉格朗日（Lagrange)乘数法的本质是：将求有约束条件极值问题转化为求无条件极值问题；所求得的点，即是取得极值的必要条件点。

拉格朗日乘数法没有解决极值的存在性问题，但是，如果拉格朗日乘数函数具有二阶连续偏导数，我们也可以应用黑塞矩阵来判定函数是否取得极值。

在具体问题中，点),,,(21n x x x 是否为最优点通常可由问题的实际意义决定。 例2：求表面积为定值2a ，而体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体的三棱长为z y x ,,，体积为V ；

建立数学模型如下： xyz V =max

构造拉格朗日乘数函数)222(),,(2a xz yz xy xyz z y x L -+++=λ，则有

解得 a z y x 66===，336

6max a V = 为所求。 2．3 不等式约束条件极值

对于不等式约束条件极值问题：

),,,(m i n 21n x x x f ——目标函数

m i x x x g t s n i ,,2,10),,,(..21 =≤ ——约束条件 我们有与拉格朗日乘数法密切相关的方法库恩—图克定理。

定理3（库恩—图克定理）：对于上述不等式约束条件极值问题，设),,,(21n x x x f 和),,,(21n i x x x g 均可微，令 ),,,(),,,(21121n i m

i i n x x x g x x x f L ∑=+=λ

假设i λ存在，则在最优点*X X =),,,(21n x x x =处，必满足下述条件：

（1）∑===??+??=??m i j i i j j n j x g x f x L 1,,2,10 λ；

（2）m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 =≤；

（3）m i x x x g n i i ,,2,10

),,,(21 ==λ； （4）0≥i λ。

根据库恩—图克定理我们可以求解许多不等式约束条件极值问题，值得注意的是应用库恩—图克定理求解不等式约束条件极值问题，定理并没有解决最优解的存在性问题，因此，我们必须另行判断。

例3：求解最优化问题（最优解存在）

解：构造函数 )()2()1(),,(212y y x y x z y x L -+-+++-=λλ，

根据库恩—图克定理则有 ???????????≥≥==-+=-+=??=+-=??0

,000

)2(010

)1(2212

1211λλλλλλλy y x y L x x L

解得： 1,0,0,121====λλy x ；所求最优解为)0,1(),(=y x ，最优值为0。 §3 线性规划

3．1 线性规划

设线性规划标准数学模型为：

n n n x c x c x c x x x f +++= 221121),,,(m i n ——目标函数

???=≥==+++n

i x m i b x a x a x a t s i i n im i i ,,2,10,,2,1..221

1 ——约束条件 矩阵形式： X C X f T =)(m i n ——目标函数 0

≥=X B AX ——约束条件 其中 T n x x x X ),,,(21 =，T n c c c C ),,,(21 =，T m b b b B ),,,(21 =

线性规划问题的求解有一整套理论体系，一般来说，应用单纯形法求解。此方法尽管比较复杂，然而在计算机上实现并不困难。解线性规划问题的单纯形法已在许多数学计算软件中实现，我们求解线性规划问题可根据需要，应用数学计算软件求解即可。在此，我们不系统研究其理论，只是简单介绍线性规划的穷举法和单纯形法的基本思想。

3.2 线性规划的穷举法

（1）穷举法基本原理和步骤

步骤1：将线性规划问题化成矩阵的标准形式，设系数矩阵的秩m A R =)(，则对应线性方程组的基础解系自由变量的个数为m n -个。

步骤2：穷举法求解：令0)(21====-m n i i i x x x ，解得对应线性方程组一组解为 ),,,(21n x x x ；对应目标函数值为i n f x x x f =),,,(21 。

从n 个变量x 中选m n -个作为自由变量，令它们的值为0，可得到m n n m n

C C -=组解。

步骤3：确定最优解：如果最优解存在，则上述求解得到的对应m n n m n C C -=个目标

函数值中，最小者（或最大者）即为所求最小（或最大）最优值，对应的解为最优解。

步骤4：证明解为最优解：

①将最优解对应的自由变量看成参数)(21,,,m n t t t - ；解对应线性方程组得

n i t b t b t b b x m n m n i i i i i ,,2,1,)()(22110 =++++=--。

②将对应线性方程组解n i t b t b t b b x m n m n i i i i i ,,2,1,

)()(22110 =++++=-- 代入目标函数得：)()(22110m n m n t d t d t d f f --++++= 。

如果n i d ,,2,1,0 =≥，则所求为最小值最优解；否则，线性规划问题无最

小值最优解。

如果n i d i ,,2,1,0 =≤，则所求为最大值最优解；否则，线性规划问题无最大值最优解。

例1：目标函数：32132)(m ax x x x X f ++=

解：约束条件的增广矩阵为：

????

? ??=100100102100101A ，3)(=A R ；

令021==x x ，解得5)(),4,10,5,0,0(==X f X ；

令031==x x ，无解；

令041==x x ，解得)1,0,5,5,0(-=X ，不满足非负条件，舍去；

令051==x x ，解得17)(),0,2,5,4,0(==X f X ；

令032==x x ，解得10)(),4,5,0,0,5(==X f X ；

令042==x x ，解得)4,0,5,0,10(-=X ，不满足非负条件，舍去；

令052==x x ，无解；

令043==x x ，解得2

35)(),23,0,0,25,5(==X f X ； 令053==x x ，解得)0,3,0,4,5(-=X ，不满足非负条件，舍去；

令054==x x ，解得19)(),0,0,3,4,2(==X f X ；

所以19)(max =X f ，最优解为)0,0,3,4,2(=X 。

证明：令s x t x ==54,解得

???????=≥-+=-=+-=5,,1,02342232

1 i x s

t x s x s t x i 目标函数s t X f --=19)(；

因为s x t x ==54,非负，所以19)(max =X f ，故最优解存在。

（2）单纯形法基本原理和步骤

①将线性规划问题化成矩阵的标准形式，设系数矩阵的秩m A R =)(，则对应线

性方程组的基础解系的个数为m n -个，即有m n -个自由参数变量。 ②选取m n -个非基变量（自由参数变量）,不妨假设为n m j x j ,,1, +=； 解得线性规划问题的典式

定理1：如果线性规划问题的上述典式中所有n m j j ,,1,0 +=≤λ；

则)0,,0,,,,(21 m X ααα=为最优解。

定理2：如果线性规划问题的上述典式中存在某个0>+k m λ，且对应

m i k m i ,,2,1,0)( =≤+β；则线性规划问题无最优解。

由定理1和定理2知，如果我们选择适当的m n -个非基变量，就可以根据所求得的典式判断最优解的存在与否，从而求解该线性规划问题。

单纯形法的思想是：选择适当的基变换（进基和退基），不断地变换典式，使得典式中目标函数值不断下降，从而求得最优解。其核心为如何选择进基和退基。

③进基规则和退基规则

进基规则——正检验数最小下标规则，即选取}0|min{>=j j s λ，由此确定s x 为进基。

退基规则：选取这样的下标r J （i J 表示第i 个基变量的下标）

由此确定r J x 离基。

④单纯形法的基本步骤：

步骤1：化线性规划问题为标准形式。

步骤2：确定基变量，求得基本可行解和典式；

是否满足最优解定理或最优解不存在定理的条件？判断最优解的情况。 步骤3：根据进基规则和退基规则，选择进基和退基，进行基变换，求得对应典

式。重复进行基变换，直到求出最优解或判断出无最优解为止。

例2：解线性规划问题

解：（1）约束条件的增广矩阵为：

????

? ??-=100260101100111A ，3)(=A R ；

所以非基变量个数为两个。

（2）选取21,x x 作为非基变量，543,,x x x 作为基变量，解得典式为

不满足最优解定理和最优解不存在定理的条件，故必须进行基变换。

（3）进行基变换

选取进基： 01,02>=>=λλ，

根据}0|min{>=j j s λ得1x 为进基。 选取退基：6

21}621,15min{==θ， 根据}0|min{>=is is i ββαθ，}0,|min{>==is is

i i r J J βθβα得5x 为离基。 进行基变换，求新基的典式：

判断：不满足最优解定理和最优解不存在定理的条件，故继续进行基变换。

（4）继续进行基变换

选取进基： 03

12>=λ，根据}0|min{>=j j s λ得2x 为进基。 选取退基：4

9}221,821,49min{==θ， 根据}0|min{>=is is i ββαθ，}0,|min{>==is is

i i r J J βθβα得3x 为离基。 进行基变换，求新基的典式：

满足最优解定理的条件，根据定理最优解为

4

31min ),0,21,0,49,411(-==f X 。 3．2 整数规划

设纯整数线性规划数学模型为：

n n n x c x c x c x x x f +++= 221121),,,(m i n ——目标函数

???=≥==+++n

i x x m i b x a x a x a t s i i i n im i i ,,2,1,0,,2,1..2211 为整数 ——约束条件 这一类问题与一般线性规划比较起来，似乎是变简单了，但实际上恰恰相反，由于解集是一些离散的整数点集，使得单纯形法失去了应用的基础，求解变得困难而复杂。整数线性规划目前还缺乏统一的解法，这里只介绍分枝定界法，它是目前求解纯整数线性规划和混合整数线性规划最常用的方法，计算机求解整数线性规划的大多数程序也是以它为基础的。

分枝定界法：考虑上述纯整数线性规划问题，

（1）解对应线性规划问题

n n n x c x c x c x x x f +++= 221121),,,(m i n ——目标函数

???=≥==+++n

i x m i b x a x a x a t s i i n im i i ,,2,10,,2,1..2211 ——约束条件 若无最优解，则原纯整数线性规划问题无最优解； 若有最优解，最优点),,,(21n x x x ，目标函数最优值),,,(210n x x x f z =。 若最优点),,,(x x x 全为整数，则为原纯整数线性规划问题的最优解；

若最优点),,,(21n x x x 不全为整数，则进行下一步。

（2）定界和分枝

定界：00210),,,(m in m z x x x f M n =≥≥

其中0M 取原纯整数线性规划问题中，满足约束条件的某一整数可行解所对应的目标函数值。原纯整数线性规划问题的最优解必须满足定界条件。

分枝：选取),,,(21n x x x 中一个不为整数所对应的k x 分枝，

1R 和2R 称为对应线性规划问题的两枝，也是两个新线性规划问题的约束条件。显然，原纯整数线性规划问题的最优解满足1R 或2R 。

（3）对1R 和2R 进行剪枝和分枝

解1R 对应的线性规划问题，对其进行剪枝和分枝：

若无最优解，则原纯整数线性规划问题在1R 内无最优解。不需要对该区域继续讨论——剪枝。 若有最优解，最优点),,,(21n x x x ，目标函数的最优值),,,(211n x x x f z =。 若0211),,,(M x x x f z n >= ，则原纯整数线性规划问题在1R 内无最优解。不需要对该区域继续讨论——剪枝。 若最优点),,,(21n x x x 全为整数，则可能为原纯整数线性规划问题的最优

解，定界：记0211),,,(M x x x f M n ≤= ，则0211),,,(m

i n m x x x f M n ≥≥ ，本分枝求解结束。 若最优点),,,(21n x x x 不全为整数，对1R 继续进行分枝。

完全类似，解2R 对应线性规划问题，对其进行剪枝和分枝。

依此类推，对所有分枝进行求解，剪枝，分枝，定界；直至求得最优解。

（4）最优解的确定

若某0m M k =，则为最优解，求解结束。

若所有分枝求解结束，则最后的上界k M 即为最优解。

例3：应用分枝定界法，求解整数线性规划问题

解：设原整数线性规划问题目标函数的最优值为*z ，

（1）求解线性规划问题：3m in x x z +=

得最优解为 13.3,12.821==x x ；51.17min =z 。

记约束区域??

???≥≥≥+≥0,028*******.321212x x x x x 为R 。

（2）对R 进行分枝：选取最优解中不是整数的变量，例如1x ，将R 分成两个子

区域21,R R 。???????≥≥≥+≥≥0,028*******.39:2121211x x x x x x R ， ???????≥≥≥+≥≤0

,0285

342213.38:2121212x x x x x x R

（3）定界：确定最优值*z 的上下界。由（1）中求得的最优值知51.17*≥z ；而*z 的上界可由R 内的任意一个可行解确定，例如，4,

721==x x 即为一个可行解。

故19*≤z 。从而，19*51.17≤≤z 。

（4）在1R 内求最优解，得 13.3,

921==x x ；39.18min =z 。 （5）在2R 内求最优解，得 21.3,821==x x ；62.17min =z 。 （6）因为1R 内最优解不全是整数，因而必须继续对1R 分枝：

（7）显然12R 内无解，剪枝。

在11R 内求最优解，得 4,921==x x ；21min =z ；为整数可行解。

但因19*51.17≤≤z ，而1921>，故剪枝。

（8）因为2R 内最优解不全是整数，因而必须继续对2R 分枝：

（9）显然22R 内无解，剪枝。

在21R 内求最优解，得 4,77.621==x x ；77.18min =z 。

（10）因为21R 内最优解不全是整数，因而必须继续对21R 分枝：

（11）在212R 内求最优解，得 5.4,621==x x ；5.19min =z 。

因5.19min =z 大于*z 的上界，故剪枝。

（12）在211R 内求最优解，得 4,721==x x ；19min =z 。

所求原整数规划问题的最优解为：4,

721==x x ；19min =z 。 §4 最优化问题数值算法

最优化问题的数值算法很多，常用的算法多为搜索法，本节只介绍搜索法的基本思想、无约束最优化问题的最速下降法（梯度法）和有约束最优化问题的罚函数法。

4．1 搜索算法

考虑无约束最优化问题： ),,,(min 21n x x x f

我们已经讨论了这类问题的最优解条件，这必须用到函数的解析性质。我们的方法是，先利用必要条件求出平稳点，再应用充分条件判断是否是极值点。但是，我们必须求解一个n 个变量n 个方程的方程组，并且常常是非线性的。这只有在特殊的情况下，才能求出它的精确解。在一般情况下，都不能用解析法求得精确解。更何况许多实际问题中，函数的解析表达式很难得到。因此，我们必须寻求一些切合实际问题的行之有效的数值解法。搜索算法就是我们常用的方法。

（1）搜索算法的基本思想：假定目标函数)(X f 极小值问题。首先，确定目标函数)(X f 的初始点0X ；然后，按照一定规则产生一个点列}{k X ，这种规则称为算法；规则必须满足（1）点列}{k X 收敛；（2）点列}{k X 收敛到目标函数)(X f 的极小值点。

（2）搜索算法的基本步骤：

①选定初始点0X （越接近最优点越好），允许误差0>ε，令0=k 。

②假定已得非最优点k X ，则选取一个搜索方向→

k S ，满足：

目标函数)(X f 下降，或0)(

③选定搜索步长0>k λ，→++=k k k k S X X λ1，满足：

)()()(1k k k k k X f S X f X f <+=→+λ。 ④判断1+k X 是否是最优点或是满足要求的近似解。

假定给定精度要求为0>ε，常用确定求近似解搜索结束的方法有：

ε<+|)(|1k X gradf ——梯度模确定法；

ε<-+|)()(|1k k X f X f ——目标函数差值绝对误差法；

ε<-+||1k k X X ——相邻搜索点绝对误差法。

如果1+k X 满足给定精度要求，则搜索完成，近似最优点为1*+≈k X X ； 如果1+k X 不满足给定精度要求，令1+=k k 返回（2）继续搜索。

注意1：我们的搜索算法一般得到的都是局部最优解。

注意2：确定求近似解搜索结束的方法还有

ε<-+|

)(||)()(|1k k k X f X f X f ——目标函数差值相对误差法； ε<-+|

|||1k k k X X X ——相邻搜索点相对误差法。 （3）搜索算法的关键因素：从搜索算法的基本步骤中，我们知道，搜索算法的关键因素为：一是搜索方向，二是搜索步长。

搜索方向的选择，一般考虑既要使它尽可能的指向极小值点，又要不至于花费太多的计算量。

搜索步长的选择，既要确保目标函数的下降性质，又要考虑近似解的精度要求，还要考虑算法的计算量，问题十分复杂。常用方法有，固定步长法，最优步长法和变步长法。

固定步长法（简单算法）是选取0>k λ为固定值。方法简单，但是有时不能保证目标函数的下降性质。

最优步长法（一维搜索算法）是选取k λ使得，

这是一个关于单变量λ的函数求极小值问题，这样确定的步长称为最优步长。

变步长法（可接受点算法）是任意选取k λ，只要使得)()(1k k X f X f <+即可。 这种选取步长的方法，确保了目标函数的下降性质，尽管每次选取的步长不是最 优的，但实践证明，方法能达到更好的数值效果。

总之，当搜索方向确定以后，步长就是决定最优化算法好坏的重要因素，因此，我们必须特别注重步长的选取问题。

（4）搜索算法的收敛性：搜索算法的收敛性是指，由某算法得到的点列}{k X 能够在有限步骤内收敛到目标函数)(X f 的最优点或能够在有限步骤内达到满足精度要求的目标函数)(X f 的最优点的近似值。显然，只有具有收敛性质的算法才有意义。

搜索算法的收敛速度：作为一个好的算法，还必须要求它以较快的速度收敛于最优解。

α阶收敛定义：对于收敛于最优解*X 的序列}{k X ，若存在与k 无关的数+∞<<β0和1≥α，当k 从某个0k 开始时，有

αβ|*||*|1X X X X k k -≤-+ 成立，

则称序列}{X 收敛的阶为α，或称α阶收敛。

当1=α时，称迭代序列}{k X 为线性收敛；当21<<α时，称迭代序列}{k X 为超线性收敛；当2=α时，称迭代序列}{k X 为二阶收敛。

一般来说，线性收敛是比较慢的，而二阶收敛则是很快的，超线性收敛介于二者之间。如果一个算法具有超线性以上的收敛速度，我们就认为是一个好的算法了。

4．2 无约束最优化问题的梯度法

无约束最优化问题

的计算方法很多。无约束最优化问题的计算方法分为两大类：一类是解析法，包括经典最优化方法，最速下降法（梯度法），共轭梯度法，牛顿法和变尺度法等。另一类是直接法，包括坐标轮换法，步长加速法，方向加速法和单纯形法等。 所谓解析法就是在方法的计算过程中，应用到了函数的解析性质（可导性质等）；所谓直接法就是在方法的计算过程中，仅仅涉及目标函数值的计算，而不涉及函数导数等解析性质。我们在这里只介绍最速下降法（梯度法）。

最速下降法理论根据：早在1847年，法国着名数学家Cauchy 就曾提出，从任意给定点出发，函数沿哪个方向下降最快的问题。这个问题已从理论上解决了，即沿着函数在该点的负梯度方向前进时，函数下降最快。这就是最速下降法的理论根据。

最速下降法的搜索步骤：

步骤1：选定初始点0X （越接近最优点越好），允许误差0>ε，令0=k 。 步骤2：假定已得非最优点k X ，计算梯度)(k X gradf ，

选取搜索方向 )(k k X g r a d f S -=→

步骤3：选定搜索步长0>k λ，→

++=k k k k S X X λ1，满足： )(min )(0→

≥→+=+k k k k k S X f S X f λλλ。 步骤4：判断1+k X 是否是最优点或是满足要求的近似解。

根据精度要求，检验是否满足收敛性判断准则：

ε<+|)(|1k X gradf 或ε<-+|)()(|1k k X f X f 或ε<-+||1k k X X 如果1+k X 满足给定精度要求，则搜索完成，近似最优点为1*+≈k X X ； 如果1+k X 不满足给定精度要求，令1+=k k 返回（2）继续搜索。

例1：应用最速下降法求解222125)(m in x x X f +=。

解：（1）选定初始点)2,2(0=X ，允许误差2.0=ε，置0:=k

收敛判断准则 ε<-|)()(|X f X f 。

（2）计算梯度)(k X gradf ，选取搜索方向)(k k X gradf S -=→

k X X k x x X g r a d f ==|}50,2{)(21，k X X k x x S =→--=|}50,2{21 第一点搜索计算：}100,4{)(0=X gradf ，}100,4{0--=→S

（3）选定搜索步长0>k λ，→++=k k k k S X X λ1，满足：

第一点搜索计算：求最优步长

解得02.00≈λ。

（4）判断1+k X 是否是最优点或是满足要求的近似解。

第一点搜索计算：)0,92.1(1=X

验证收敛判断准则 02.031.100|)()(|01>≈-X f X f ，不满足，继续搜索。 依次类推，直到搜索到最优解或满足精度要求为止。

对于约束最优化问题也有许多种方法，本段只介绍把约束最优化问题转化为无约束最优化问题的一种求解方法——罚函数法。分为等式约束最优化问题和不等式约束最优化问题两种情况讨论。

（1） 等式约束最优化问题的罚函数法

首先，考虑等式约束最优化问题

假定上述等式约束最优化问题的最优解存在。

若记 },,,2,1,0)(|{n i R X m i X g X D ∈=== ，

构造辅助函数 ∑=+=m

i i X g M X f M X T 12)]([)(),(——罚函数

其中0>M （罚因子）是一个充分大的正数。

定理1：若对于某确定数0>M ，无约束最优化问题

的最优解D X ∈*，则*X 必为原等式约束最优化问题的最优解。

证明：设无约束最优化问题 ∑=+=m

i i X g M X f M X T 12)]([)(),(min

的最优解D X ∈*，则有： m i X g i ,,2,10

)( ==

而当D X ∈时，)(),(X f M X T =

所以*)()*,(),(min )(min X f M X T M X T X f ===

即*X 为原等式约束最优化问题的最优解。 定理2：设)(X f 和m i X g i ,,2,1,0)( ==均为连续函数，

若对于任意正数0>M ，无约束最优化问题

的最优解D M X ?)(*，且*)(*lim X M X M =+∞

→， 则*)(*lim X M X M =+∞

→为原等式约束最优化问题的最优解。 定理2的证明请参看有关参考资料。

根据定理1和定理2，我们就可以将通过构造罚函数的方法化为无约束最优化问题求解，这种方法称为罚函数法。

罚函数法的步骤：（等式约束最优化问题罚函数法）

步骤1：构造罚函数 ∑=+=m

i i X g M X f M X T 12)]([)(),(，

选定01>M ，允许误差0>ε，令1:=k ；

步骤2：求无约束问题 ),(m i n k M X T 的最优解*k X ；

步骤3：判断*k X 是否是最优点或是满足要求的近似解。

根据精度要求，检验是否满足收敛性判断准则：

或 ε<∑=m i k i

X g 12*)]([

如果满足收敛性判断准则，则**k X X ≈，结束搜索；

否则，令1:+=k k ，取01>>+k k M M ，返回（2），继续搜索。

下面我们通过一个简单的例子来说明等式约束最优化问题的罚函数法。 例2：应用罚函数法求解非线性规划问题

解：构造罚函数：2222

21)1(),(-++=x M x x M X T k k 求罚函数的最优解：应用解析法

112x x T =??， )1(22222

-+=??x M x x T k

五种最优化方法

五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 2.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）是一种函数逼近法。 2.2原理和步骤

3.最速下降法（梯度法） 3.1最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 3.2最速下降法算法原理和步骤

4.模式搜索法（步长加速法） 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤

5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t. g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进

matlab多目标优化模型教程

fgoalattain Solve multiobjective goal attainment problems Equation Finds the minimum of a problem specified by x, weight, goal, b, beq, lb, and ub are vectors, A and Aeq are matrices, and c(x), ceq(x), and F(x) are functions that return vectors. F(x), c(x), and ceq(x) can be nonlinear functions. Syntax x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,... options) x = fgoalattain(problem) [x,fval] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(...) [x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(...) Description fgoalattain solves the goal attainment problem, which is one formulation for minimizing a multiobjective optimization problem.

遗传算法多目标函数优化

多目标遗传算法优化 铣削正交试验结果 说明： 1.建立切削力和表面粗糙度模型 如： 3.190.08360.8250.5640.45410c e p z F v f a a -=（1） a R =此模型你们来拟合（上面有实验数据，剩下的两个方程已经是我帮你们拟合好的了）（2） R a =10?0.92146v c 0.14365f z 0.16065a e 0.047691a p 0.38457 10002/c z p e Q v f a a D π=-????（3） 变量约束范围：401000.020.080.25 1.0210c z e p v f a a ≤≤??≤≤??≤≤? ?≤≤? 公式（1）和（2）值越小越好，公式（3）值越大越好。π=3.14 D=8 2.请将多目标优化操作过程录像（同时考虑三个方程，优化出最优的自变量数值），方便我后续进行修改；将能保存的所有图片及源文件发给我；将最优解多组发给我，类似于下图（黄色部分为达到的要求）

遗传算法的结果:

程序如下: clear; clc; % 遗传算法直接求解多目标优化 D=8; % Function handle to the fitness function F=@(X)[10^(3.19)*(X(1).^(-0.0836)).*(X(2).^0.825).*(X(3).^0.564).*(X(4).^0. 454)]; Ra=@(X)[10^(-0.92146)*(X(1).^0.14365).*(X(2).^0.16065).*(X(3).^0.047691).*( X(4).^0.38457)]; Q=@(X)[-1000*2*X(1).*X(2).*X(3).*X(4)/(pi*D)];

数学建模进行投资最优化

. . 资产最优组合 摘要 本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。 问题一：基于模糊评价模型。本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST 中华A （ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为 [] 0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。 问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。 本文运用EXCEL 统计了大量数据，利用SPSS 软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。 关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价， 线性规划

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述 几个概念 优化方法 一、多目标优化基本概述 现今,多目标优化问题应用越来越广,涉及诸多领域。在日常生活与工程中,经常要求不只一项指标达到最优,往往要求多项指标同时达到最优,大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如:在机械加工时,在进给切削中,为选择合适的切削速度与进给量,提出目标:1)机械加工成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长;同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为: X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量 min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s、t、g i(X)≤0,(i=1,2,…,m) h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题就是一个比较复杂的问题,相比于单目标优化问题,在多目标优化问题中,约束要求就是各自独立的,所以无法直接比较任意两个解的优劣。 二、多目标优化中几个概念:最优解,劣解,非劣解。 最优解X*:就就是在X*所在的区间D中其函数值比其她任何点的函数

值要小即f(X*)≤f(X),则X*为优化问题的最优解。 劣解X*:在D中存在X使其函数值小于解的函数值,即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。 非劣解X*:在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*)、 如图:在[0,1]中 X*=1为最优解 在[0,2]中 X*=a为劣解 在[1,2]中 X*=b为非劣解 多目标优化 问题中绝对最优 解存在可能性一般很小,而劣解没有意义,所以通常去求其非劣解来解决问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类: 1)直接法:直接求出非劣解,然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法如:主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。 如:分层系列法等。

多目标优化模型

多目标优化模型 中国水资源具有显著地区域特征，我们对区域水资源多目标优化配置,以多目标和大系统优化为手段,在一定时间内可供水量和需水量确定的条件下,建立区域有限的水资源量在各流域的优化配置模型,求解模型得到水量优化配置方案. 目标函数的建立： 水资源配置主要考虑3 个目标函数,即用水效益函数、用水费用函数和区域均衡性函数。对于优质水资源而言,用水效益重点考虑工业和第三产业所产生的效益,将农业用水排除在外,旨在优先考虑经济效益好的区域用水需求。用水费用主要指输水费用,包括管道铺设和渠道建设费用,优质水资源还需要着重考虑饮用水的制水成本. 区域均衡性函数则为了避免供水一味向经济发达区域倾斜,使各区域供水与需水之差满足某种准则,以体现社会和谐精神.具体目标如下: （1) 用水收益最大;（2) 运营成本最低;（3）区域水资源供需尽量均衡. 设i g 为第i 个流域使用每立方米水资源所产生的效益参数, c ij 为第i 个用户由第j 个供水源输送每立方米水所需的费用, x ij 为由第j 个水源供给第i 个流域的水量,各区域的用水量x M x i j ij =∑=, D i 为第i 个区域的需水总量,则水资源配置的目标函数可以综合表示成如下形式: 2 111max (c )/(1/)n n n i i ij j i i i j i Z opt g x x x D ===??=--???? ∑∑∑ 式中:右边分子第一项表示水资源利用所产生的经济效益,包括环境效益,对 于优质水资源则取非农业经济效益;右边分子第二项为运营成本,主要涉及制水成本和水库至流域的输水成本;分母反映区域水资源供需之间的均衡程度,表示各区域的用水保证率尽可能最大，N 为供水区域数. 1. 2 参数及约束条件设置 中国各流域的水资源需要进行合理分配，以达到水资源的平衡，需要适当设置参数和约束条件. 首先按照2 种方式划分区域:其一以流域为单元,便于在模型中计算经济效益;其二以供水源为单元,以利于分析区域水资源的供需平衡关系. 各流域从水库获得的水量受水库供水量的限制,而水库供水量又受水源的水来源的可供水量约束. 根据中国历年的降雨量资料计算出各水库在不同频率下的可供水量,结合中国供水状况获得在若干种供水保证率下各水库的可供水量,各流域可取得的水量不得超过水源地水库的可供水量与水厂供水量中的较小者 j Q ,以此作为各变量的约束条件1)。设水库数为1R ,供水源为2 R ,供水单元数 为M ,当出现若干水库是同一水源的情形时取2M R = ,而当一个水厂以多个水库为水源地时取1M R = . 在这两种情形下,除满足约束条件1)外,尚需满足这些水库的供水量之和不大于水源地的可供水量或水库的供水量小于水源地的

遗传算法程序代码--多目标优化--函数最值问题

函数最值问题：F=X2+Y2-Z2, clear clc %%初始化 pc=0.9; %交叉概率 pm=0.05; %变异概率 popsize=500; chromlength1=21; chromlength2=23; chromlength3=20; chromlength=chromlength1+chromlength2+chromlength3; pop=initpop(popsize,chromlength);% 产生初始种群 for i=1:500 [objvalue]=calobjvalue(pop); %计算目标函数值 [fitvalue]=calfitvalue(objvalue);%计算个体适应度 [newpop]=selection(pop,fitvalue);%选择 [newpop1]=crossover(newpop,pc) ; %交叉 [newpop2]=mutation(newpop1,pm) ;%变异 [newobjvalue]=newcalobjvalue(newpop2); %计算最新代目标函数值 [newfitvalue]=newcalfitvalue(newobjvalue); % 计算新种群适应度值[bestindividual,bestfit]=best(newpop2,newfitvalue); %求出群体中适应值最大的个体及其适应值 y(i)=max(bestfit); %储存最优个体适应值 pop5=bestindividual; %储存最优个体 n(i)=i; %记录最优代位置 %解码 x1(i)=0+decodechrom(pop5,1,21)*2/(pow2(21)-1); x2(i)=decodechrom(pop5,22,23)*6/(pow2(23)-1)-1; x3(i)=decodechrom(pop5,45,20)*1/(pow2(20)-1); pop=newpop2; end %%绘图 figure(1)%最优点变化趋势图 i=1:500; plot(y(i),'-b*') xlabel('迭代次数'); ylabel('最优个体适应值'); title('最优点变化趋势'); legend('最优点');

多目标最优化问题全面介绍

§8.1多目标最优化问题的基本原理 一、多目标最优化问题的实例 例1 梁的设计问题 设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低， 问应如何设计梁的尺寸？ 解： 设梁的截面积宽和高分别为1x 和2x 强度最大=惯性矩最大 2 216 1x x = 成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1 x 2 x max 2216 1x x .s t 221 2 1x x += 10x ≥，20x ≥ 例2 买糖问题 已知食品店有1A , 2 A , 3 A 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤， 2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖 的总量不少于6公斤，1A ， 2 A 两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确定买糖的最佳方案？ 解：设购买1A , 2 A , 3 A 三种糖公斤数为1x ，2x ，3x 1 A 2 A 3 A 重量 1x 2x 3x 单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤 min 14x +22.8x +3 2.4x （用钱最省）

max 1x +2x +3x （糖的总量最多） .st 14x +22.8x +3 2.4x 20≤ (用钱总数的限制) 1x +2x +3x 6≥（用糖总量的要求） 1x +2x 3≥（糖品种的要求） 1x ，2x ，3x 0≥ 是一个线性多目标规划。 二、 多目标最优化的模型 12min ()((),(),.....())T m V F x f x f x f x -= .st ()0g x ≥ ()0h x ≥ 多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题 三、解的概念 1.序的概念 12,.....()T m a a a a = 12,.....()T m b b b b = （1）b a =?a i i b = 1,2....i m = （2）a b ≤?a i i b ≤ 1,2....i m = 称a 小于等于b （3）a b < =?a i i b ≤ 且?1≤j ≤m ，使a j j b ≠，则a 小于向量b （4）a

多目标函数的优化设计方法

第9章 多目标函数的优化设计方法 Chapter 9 Multi-object Optimal Design 在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。 9.1 多目标最优化模型 9.1.1 问题举例 例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。 已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元； 根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。 9.1.2 基本概念 如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若 )(min{)(*x f x f j j ≤ S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m 成立，则称* x 为非劣解。若不存在一个方向，同时满足： 0)(*≤*?s x f (目标函数值下降0)(*≤*?s x g (不破坏约束) 图9.1 则称* x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。 多目标优化的数学模型： T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(m in 21=--

最优化问题的数学模型及其分类

最优化问题的数学模型及其分类 例1.1.1 产品组合问题 某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1 设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件： ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 故上述问题的数学模型为

2153max x x z += . .t s ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，??t s 是受约束于（subject to ）的简写。 例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为： ??? ??=? ?+=ππππ3 422min 22 h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。 通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构： （１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题 可归结为优选若干个被称为参数或变量的量 n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构 成了一个方案。 （２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策

变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1, 0,,,,,2,1, 0,,,2121l j x x x h m i x x x g n j n i ===≥ （３） 目标函数（objective function ）和目标：如使 利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21 因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。 注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化 ()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可 表示为： () ()()()?? ? ??===≥??l j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121 若记()T n x x x x ,,21=，则（1.1.1）又可写成：

多目标最优化模型

第六章 最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题 第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设

多目标最优化模型

第六章最优化数学模型 §1最优化问题 1．1最优化问题概念 1．2最优化问题分类 1．3最优化问题数学模型 §2经典最优化方法 2．1无约束条件极值 2．2等式约束条件极值 2．3不等式约束条件极值 §3线性规划 3．1线性规划 3．2整数规划 §4最优化问题数值算法 4．1直接搜索法 4．2梯度法 4．3罚函数法 §5多目标优化问题 5．1多目标优化问题 5．2单目标化解法 5．3多重优化解法 5．4目标关联函数解法 5．5投资收益风险问题 第六章最优化问题数学模 §1最优化问题 1．1最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值； ②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。 一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为x1,x2, , x n ；我们常常也用X （x1,x2, ,x n）表示。 3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设

数学建模-面试最优化问题

C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于 n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1)

（一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行 )。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2. xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2)

多目标最优化数学模型

第六章最优化数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类 1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划 §4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法 §5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题

第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题 1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题 在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。 最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。 最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。 （2）变量 变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。 设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X =表示。 （3）约束条件 在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。 用数学语言描述约束条件一般来说有两种： 等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1, 0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1, 0)( =≤ 注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)(

多目标优化的求解方法

多目标优化的求解方法 多目标优化(MOP)就是数学规划的一个重要分支,就是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下: 多目标优化方法本质就是将多目标优化中的各分目标函数,经处理或数学变换,转变成一个单目标函数,然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法: （1）评价函数法。常用的方法有:线性加权与法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质就是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。 (2)交互规划法。不直接使用评价函数的表达式,而就是使决策者参与到求解过程,控制优化的进行过程,使分析与决策交替进行,这种方法称为交互规划法。常用的方法有:逐步宽容法、权衡比替代法,逐次线性加权与法等。 (3)分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序,然后按这个排序依次进行单目标的优化求解,以最终得到的解作为多目标优化的最优解。 而这些主要就是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法与蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。 在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都就是多目标优化问题, 它的应用很广泛。 1)物资调运车辆路径问题 某部门要将几个仓库里的物资调拨到其她若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少与总的运输费用最低, 这就是含有两个目标的优化问题。利用首次适配递减算法与标准蚁群算法对救灾物资运输问题求解, 求得完成运输任务的最少时间, 将所得结果进行了比较。 2)设计 如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时, 通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就就是一个含有四个目标的最优化问题。Jo等人将遗传算法与有限元模拟软件结合

多目标优化问题(over)

第七章多目标优化问题的求解 优化问题按照目标函数的数量，可以分为单目标优化问题和多目标优化问题，前面我们讲过的线性优化就是一个单目标优化问题，对单目标优化问题进一步突破，将目标函数扩展为向量函数后，问题就转化为多目标优化问题。本节将简要介绍多目标最优化问题的建模与求解方法。 1、多目标优化模型 多目标优化问题一般表示为 ..()min () s t J ≤= x G x 0 x F 其中121()[(),(),,()]T f f f =F x x x x ，下面将通过例子演示多目标优化问题的建模。 例1 设某商店有123,,A A A 三种糖果，单价分别为4,2.8和2.4元/kg ，现在 要举办一次茶话会，要求买糖果的钱不超过20元，但糖果的总重量不少于6kg ， 1A 和2A 两种糖果的总重量不低于3kg ，应该如何确定最好的买糖方案。 分析：首先应该确定目标函数如何选择的问题，本例中，好的方案意味着少花钱多办事，这应该是对应两个目标函数，一个是花钱最少，一个是买的糖果最重，其他的可以认为是约束条件。当然，这两个目标函数有些矛盾，下面考虑如何将这个问题用数学描述。 设123,,A A A 三种糖果的购买重量分别为123,,x x x kg ，这时两个目标函数分别为花钱：1123min ()4 2.8 2.4f x x x =++x ，糖果总重量：2123max ()f x x x =++x ，如果统一用最小值问题表示，则有约束的多目标优化问题可以表示为 123123123123121234 2.8 2.4min -4 2.8 2.4206.. +3,,0 x x x x x x x x x x x x s t x x x x x ++?? ??++??++≤??++≥?? ≥??≥?（）模型建立以后，可以考虑用后面的方法进行求解。

优化问题的数学模型

一. 管理科学的定义 管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科. (1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤. （1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所 要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。 （2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。建模过程是一项创造性的 工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。 （3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。要在计算机上运行数学程序对模型进行求 解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。有时要自己编写程序。 （4） 测试模型并在必要时修正。在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能 准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。 （5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。对模型求解并分析后，将相应的最优方案提 交给管理者，由管理者做出决策。管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。 （6） 帮助实施管理决策。建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督 决策方案的实施。 新问题, 新模型, 新算法, 新应用. 三.优化问题的数学模型 1212max(min)(,,,) (,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m =≤?? =? 由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划 （1） max 0 0 Z CX hY AX GY b X Y =++≤≥≥取整数 其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ?????，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。 当0p =时，（1）为纯整数规划，当0n =时，（1）为线性规划。

多目标优化问题

多目标优化方法 基本概述几个概念优化方法 一、多目标优化基本概述 现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1)机械加工 成本最低2)生产率低3)刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。 多目标优化的数学模型可以表示为： X=[x i,x 2,…,x n ] T ---------------------------------- n 维向量 min F(X)=[f i(X),f 2(X),…,f n(X)] T- --------- 向量形式的目标 函数 s.t. g i(X) < 0,(i=1,2,…,m) h j (X)=0,(j=1,2,…,k) ------ 设计变量应满足的约 束条件 多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在 多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。 二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。 最优解X*:就是在乂所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X *)

如图：在［0,1］ 中 X*=1为最优解 在［0,2］ 中X*=a为劣解 在［1,2］ 中X*=b为非劣解 多目标优化问 题中绝对最优解存 在可能性一般很 小，而劣解没有 意义，所以通常去 求其非劣解来解决 问题。 三、多目标优化方法 多目标优化方法主要有两大类： 1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解 将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 2)间接法女口：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。 将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。女口：分层系列法等。 1、主要目标法 求解时从多目标中选择一个目标作为主要目标，而其他目标只需满足一定要求即可，因此可将这些目标转化成约束条件，也就是用约束条件的形式保证其他目标不致太差，这样就变成单目标处理方法。 例如：多目标函数f 1(X),f 2(X),.?…,f n(X)中选择f k(X)作为主 要目标，这时问题变为求min f k(x) D={x|f min < f i(X)< f ma》,D为解所对应的其他目标函数应满足上下限。 2、统一目标法 通过某种方法将原来多目标函数构造成一个新的目标函数，从而将多目标函数转变为单目标函数求解。 ①线性加权和法 根据各目标函数的重要程度给予相应的权数，然后各目标函数与

数学建模_投资最优问题

数学建模一周论文课程设计题目：最优投资方案 1：吴深深学号：201420181013 2：许家幸学号：201420180422 3：王鑫学号：201420181220 专业软件工程 班级1421801Z

指导教师朱琳 2016 年 6 月9 日

摘要 本文主要研究银行投资受益最优问题，根据投资证券的种类、信用等级、到期年限、到期税前收益等的具体情况，根据线性规划的方法分析出数学模型，并且运用Lingo软件进行编码求解。 根据问题一、根据此模型能够得到具体的解决方案，问题二、三都是根据问题一的模型做具体约束条件的变化，从而求出最优解。 此模型适用于一般简单的银行投资问题。这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。 但是本模型不适合解决情况过于复杂的银行投资问题。 关键字：最优投资线性规划Lingo求解 一、问题重述 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，所购证券的平均信用等

级不超过1.4（数字越小，信用程度越高），所购证券的平均到期年限不超过5年。 二、模型假设 假设: 1.假设银行有能力实现5种证券仸意投资； 2.假设在投资过程中，不会出现意外情况，以至不能正常投资； 3.假设各种投资的方案是确定的； 4.假设证券种类是固定不变的，并且银行只能在这几种证券中投资； 5.假设各种证券的信用等级、到期年限、到期税前收益是固定不变的； 6.假设各种证券是一直存在的。 三、符号约定 符号含义 X i取1-5，表示从A..E中证券的投资额（百万）i