正余弦定理的应用——三角形面积公式
一、教学内容解析
本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。
1.教材内容
本节内容是正弦定理与余弦定理知识的延续,借助正弦定理和余弦定理,进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式,然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积,最后给出三角形面积实际问题的求解过程。
2.教学内容的知识类型
在本课教学内容中,包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识,三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识,利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识,发现问题——提出问题——解决问题的研究模式,以及从直观到抽象的研究问题的一般方法,属于元认知知识。
3.思维教学资源与价值观教育资源
已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维;生活实际问题求解三角形面积,是培养数学建模思想的好契机;引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式,激发学生学习数学的兴趣,探究数学史材料,培养学生对数学的喜爱。
二、学生学情分析
主要从学生已有基础进行分析。
1.认知基础:从学生知识最近发展区来看,学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式,并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理,这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。
2.非认知基础:通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习,学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验,能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。
三、教学策略选择
《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视情境的创设和问题的提出。史宁中教授曾指出:“设计情境和提出问题的目的是启发学生思考,设计情境和提出问题的根基是数学内容的本质”。
基于此,本节课我的设计理念是:以问题为载体,以学生为主体,创设有效问题情境,努力营造开放、民主、和谐的学习氛围,充分调动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中,分析问题、解决问题,收获数学自信。
1、教学方法的选择
本课结合幻灯片、实物投影等多媒体技术的教学手段,选择观察发现式、问题启发式、合作讨论式的教学方法。依据的学生认知规律,创设具体问题,用问题串起教学,这样的设计也体现了发现问题——提出问题——解决问题的研究模式,不断激发学生学习数学的兴趣,树立了学生的自信,激发探索欲望。在师生互动、生生互动中,体验知识与方法的生成过程,形成学生主动参与,自主与合作探究的课堂气氛,为不同认知基础的学生提供相应的学习机会和适当帮助。
2、学习反馈的分析
通过课堂小结反馈学生的知识、方法、思想、学法上的收获。通过三道当堂小测题目反馈学生对运用正弦定理和余弦定理求三角形面积掌握程度。
四、教学目标设置
本课教学以《普通高中数学课程标准(2017年版)》为基本依据,以“数学育人”作为根本目标设置。
1.主题目标突出几何直观与代数运算之间的融合,即通过形与数的结合,感悟数学知识之间的关联,加强对数学整体性的理解。
2.单元目标能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。
3.细化目标
为了达到以上要求,结合学生实际,本课课堂教学目标设置如下:
(一)能通过分析问题、解决问题推导出三角形两边及其夹角面积公式,会运用正弦定理、余弦定理节求三角形面积。
(二)经历从生活实际问题抽象出数学模型并求解的过程,发展学生数学建模素养,收获数学自信。
(三)体会数学来源于生活,提高数学学习兴趣;通过数学史知识扩展,领略数学魅力。
五、教学重点难点
1.教学重点及突出重点
本节重点在于运用正弦定理和余弦定理求三角形面积。
为了突出重点设置了三个层次的题目:首先是推导出三角形面积公式后的跟踪训练,熟练三角形面积公式;其次是通过例一及例一练习题来重点加强用正弦定理求三角形面积公式;最后通过生活实际问题探究强化余弦定理求三角形面积公式知识。此外,在课堂小测中再次突出重点准备了三道题强化重点。
2.教学难点及难点突破
难点1:例一中如何灵活选用正弦定理和余弦定理求解三角形面积。
难点1突破
设置为例题,注重分析过程,剖析思路并详细板书过程,帮助学生理解。从问题出发,抓住面积公式,要计算面积就要知道三角形的两边及其夹角,明确要求的元素;联系题目,已知两角和其中一角的对边,属于正弦定理问题;代数求解,代入具体数值求值。数学题的解题过程其实就是运用所学知识把已知条件和所求联系起来的过程,这中间注意培养学生运用“联系”的思想方法。
难点2:生活实际问题的解决——能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。
难点2突破
合作探究——把本该是例题的题作为探究题目,在例一认真讲解的基础上,放心大胆交由学生合作探究解题,引导学生在探究中解决问题,加深印象,最终收获数学自信。
六、教学过程设计
1、教学流程
2、具体过程
提示:本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式
七、教学反思
1.本节课设计的亮点在于非常重视学生的思维活动和自主探究,把课堂还给学生,让学生成为主体,注重对学生思维的发展和培养。
2.本节课的知识推进采用螺旋上升的方式,题目设置层次分明,逐渐增加难度,符合学生认知规律,学习阻力小最后上升到高考题层面,激发学生学习斗志。
3.本节课设计课堂自测,及时反馈问题,帮助学生巩固知识,强化重点。
4.从高考要求来看,在题目设计上可以考虑更多元,题型更多,更贴近生活实际。
最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式,大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ,则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上,三角形面积公式太多啦,上面得公式是最基本的公式,根据条件不同,三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ,内切圆半径为r ,则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ,外接圆半径为R ,则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中,向量 OA a =uu r r ,OB b =u u u r r ,则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中,三角形ABC 的三顶点坐标分别为,11(,)A x y ,22(,)B x y , 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。
特别地,当(0,0)C ,或经过平移后(0,0)C ,此时,三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦(Heran )公式,已知△ABC 中,1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++,则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式,即秦九韶公式,也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角,则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边,则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ,则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值
正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中,正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的,正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式,供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理:在一个三角形中,各边和它 所对角的正弦的比相等,并且都等于该三角形外接圆的直径,即: a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式:S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形:(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理,可以解决以下两类解斜三角形问题:a.已知两角 和任一边,求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.一般地,已知两边和其中一边的对角解三角形,有两解、一解.(2)正弦定 理,可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如:在判断三角形形状时,经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中,有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式:cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中,我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素,只要已知其中的三个元素(至少一个是边),便
(文) 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量(,)m a b =, (sin ,sin )n B A =,(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ,求证:ΔABC 为等腰三角形; (2)若m ⊥p ,边长c = 2,角ΔABC 的面积 . 答案: 证明:(1)//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ,其中R 是三角形ABC 外接圆半径,a b =. ABC ∴?为等腰三角形 (2)由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知, 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源:09年高考上海卷 题型:解答题,难度:中档
(文)在ABC ?中,A C AC BC sin 2sin ,3,5=== (Ⅰ)求AB 的值。(Ⅱ)求)4 2sin(π - A 的值。 答案: (1)解:在ABC ? 中,根据正弦定理, A BC C AB sin sin = ,于是522sin sin ===BC A BC C AB (2)解:在ABC ? 中,根据余弦定理,得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5, 从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源:09年高考江西卷 题型:解答题,难度:容易 在⊿ABC 中,,A B 为锐角,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,且
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 沈阳市教育研究院王恩宾 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式都是在此公式 基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式,往 往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同,认真体会各种不同 的两角和与差的余弦公式的推导方法,对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、 解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下:方法一:应用三角函数线推导差角公式的方法 设角α的终边与单位圆的交点为P1,∠POP1=β,则∠POx=α-β. 过点P作PM⊥x轴,垂足为M,那么OM即为α-β角的余弦线,这里要用表示α,β 的正弦、余弦的线段来表示OM. 过点P作PA⊥OP1,垂足为A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,再过点P作PC⊥AB,垂 足为C,那么cosβ=OA,sinβ=AP,并且∠PAC=∠P1Ox=α,于是OM=OB+BM=OB +CP=OA cosα+AP sinα=cosβcosα+sinβsinα. 综上所述,. 说明:应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了,构思巧妙,容易理解. 但这种推 导方法对于如何能够得到解题思路,存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明,因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推 广问题. 方法二:应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆,并做出任意角α,α+β和,它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点,单位圆与x轴交于P1,则P1(1,0)、P2(cosα,sinα)、P3(cos(α+β),sin(α+β))、. ∵,且, ∴,∴, ∴ , ∴, ∴,. 说明:该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起,利用单位圆上与角有关的四个点, 建立起等式关系,通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求 的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中,推导思路的产生是一个难点,另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况,还需要加以解释、说明.
三角形面积教学设计 教学内容:人教版五年级上册84----85页 教材分析:三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析:学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标:1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式,理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关,与底和高有关,会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略,发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力,并培养学生的创新意识。 教学重点:理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点:理解三角形面积的推导过程。 教法与学法:教法:演示讲解、指导实践。 学法:小组合作、动手操作。 教学准备:三角形卡片、多媒体课件 教学过程: 一、情境引入 师:同学们,我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾,高高兴兴地来到学校学习新的知识,那你知道做一条红领巾需要多少布料呢?(不知道)我们佩戴的红领巾是什么形状的?(三角形),怎样计算三角形的面积呢?这节课我们就一起来研究三角形的计算方法(板书课题) [设计意图]通过情境的创设,给学生提供现实的问题情境,使学生产生解决问题的欲望,积极主动地参与到学习活动之中。 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 师:回忆一下,平行四边形面积计算公式是什么?是怎么推导的?
三角函数正弦与余弦的学习,在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试 正弦和余弦的相关题目一般不会很难,是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分,那是为什么呢? 首先,我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中,有以下的应用领域: (1)已知三角形的两角与一边,解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形 (3)运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次,余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作图的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论: a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中,∠C=90°,a=1,c=4,则sinA 的值为 2.已知α为锐角,且,则α的度数是() A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在△ABC中,若,∠A,∠B为锐角,则∠C的度数是() A.75° B.90° C.105° D.120° 4.若∠A为锐角,且,则A=() A.15° B.30° C.45° D.60° 5.在△ABC中,AB=AC=2,AD⊥BC,垂足为D,且AD=,E是AC中点, EF⊥BC,垂足为F,求sin∠EBF的值。