2021届四川省南充高级中学高三上学期第八次月考数学(理)试卷

南充高中2020－2021学年度上期 高2018级第八次月考数学试卷（理）

（时间：120分钟 总分：150分）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数z 满足()i i z +=+41，则复数z 的虚部为（ ）

A. 4

B. 4-

C. i 4

D. i 4-

2. 下列说法正确的是（ ）

A. 1ln ,0+>>?x x x

B. 000sin ,0x x x <>?

C. 直线012:1=++y ax l ，()011:2=--+y a x l ，若21//l l ，则2=a 或1-

D. 命题“若y x =，则y x sin sin =”的否定是“若y x =，则y x sin sin ≠”

3. 设{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若A B ?，则实数a 的取值范围是（ ）

A. ()()3,22,1

B. (]1,∞-

C. [)3,2

D. φ

4. 已知向量()5,3-=a ，()m b ,2-=，若16-=?b a ，则a 在b 方向上的投影为（ ）

A. 24

B. 24-

C.

17348 D. 17

34

8- 5. 已知角α的终边经过点()4,3P ，则=??? ??

+4cos πα

A. 102

-

B.

10

2 C. 1027-

D. 10

2

7 6. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多

年,如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,...构成的数列{}n a 的第n 项,则100a 的值为（ ） A. 5049

B. 5050

C. 5051

D. 5101

7. 在ABC ?中，内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，且??? ?

?

+=6cos sin πB a A b ，则角B 的大小

是（ ） A.

6

π

B.

4

π

C.

3π

D. 2π 8. 我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得

两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑

居

一，不易之率也．合两鳖臑半三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为62；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π. 其中正确的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9. 某学校新来了四名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，

则其中学生A 不分配到甲班级的分配方案种数是（ ） A. 12

B. 24

C. 36

D. 48

10. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，E 为棱AB 的中点，F 为正方体侧面D D AA 11内（包

含边界）一点，若//EF 平面D D BB 11，且AEF ?面积的最大值为b ，最小值为2

1

，则=ab （ ） A.

2

5

B.

4

5

C. 5

D. 5

11. 点P 是双曲线()0,0122

22>>=-b a b

y a x 右支上一动点，1F ，2F 为双曲线的左右焦点，过点2F 作

21PF F ∠的平分线的垂线，垂足M 的轨迹为曲线C ，()b B ，0，且直线B F 1与曲线C 有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）

A. ???

? ??+2511，

B. ???

?

??+∞+,251 C. ???

?

??+2531， D. ???

?

??+∞+,253 12. 已知函数()x

x x f 4

2+=，()x e x g x -=，若对任意(]e x x ,0,21∈，不等式()()()0121≤+-x f k x kg 恒

成立，则正实数k 的取值范围是（ ）

A. ??? ??-440e e ，

B. ??? ??-e e e 40，

C. ??

? ??--440e e e ， D. (]

40--e e e

， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 平面直角坐标系中，曲线x e y =在点()1,a 处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为 14. 已知圆014222=+--+y x y x C ：，则圆C 关于直线01:=++y x l 的对称图形的标准方程是

15. 设实数y x ,满足约束条件???

??≥≤+≤-m y y x x y 31

，若y x z 3+=的最大值与最小值的差为7，则实数=m

16. 设函数()???

??>+-≤<=4,370

83

240,log 22x x x x x x f ，存在R m ∈，使得函数()()m x f x g -=有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，则4321x x x x ???的取值范围是

三、解答题：共70分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 正项递增等比数列{}n a 满足26041=+a a ，102432=?a a ，记数列n n a b 2log =

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）令()2

221n n b n n c ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：*

N n ∈?，都有645

S

18. 已知ABC ?的内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，函数()()??? ?

?

<<+=202sin π??x x f 的一

条对称轴为6

π

=

x ，且()2

1

=

A f （1）求A 的值；

（2）若2=a ，求BC 边上的高h 的最大值.

19. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，且1

AC ⊥平面ABC ，E 是AB 的中点，且2AB =．

（1）求证：1//BC 平面1A EC ； （2）已知三棱锥11A CC E -的体积为3

，求二面角11C A E C --的余弦值．

20. 已知椭圆()01:22

22>>=+b a b

y a x C 的左焦点为()

0,21-F ，

直线kx y =与椭圆C 交于A ，B 两点，P 是椭圆C 上异

于A 、B 的任意一点，且2

1

-=?PB PA k k

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过右焦点2F 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，2

21

1NF MF +是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由.

21. 已知函数()x ae x x f -=2

2

，曲线()x f y =上存在两点A 、B ，使得曲线在这两点处的切线都垂直于y 轴.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）设函数()()x f axe x x x g x --+=2

ln 2

，判断并证明函数()x g y =的零点个数；

（3）设1x 是函数()x g 的极值点，2x 是函数()x g 的一个零点，且21x x <，求证：2321>-x x

（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：极坐标与参数方程]已知曲线C 上任意一点到点()0,1F 的距离与到直线1-=x 的

距离相等，在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直

线l 的极坐标方程为0224sin =+??? ?

?

-πθρ

（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；

（2）已知()2,1--P ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求PB PA -.

23. [选修4-5：不等式选讲]已知c b a ,,均为正实数，求证

（1）()()abc c ab b a 42≥++.

（2）若3=++c b a ，则23111≤+++++c b a .

第八次月考参考答案（理科）

10. 选择题

BDDBA BACBC AC

11. 填空题 B. 21 14. ()()4232

2=+++y x 14. 41 15. ()35,32 12. 解答题

B. （1）n b a n n n 2,4== ......6分

B. ()()??

?

???+-=++=2222

211161241n n n n n c n

()()()()()64

521114516121111116141513141213111412222222222222

??????+-

++--++-+-+-+-=n n n n n n S n (12)

分

C. （1）由已知Z k k Z k k ∈+=

?∈+=

+?

,6

,2

6

2ππ

?ππ

?π

，又2

0π

?<

<，故6

π

?=

()()2162sin 62sin =??? ?

?

+=???? ??+=ππA A f x x f ，又??

? ??∈+613,

662πππA

故 3

656

2π

ππ

=?=

+

A A ......6分 （2）bc h A bc ah S ABC 4

3sin 2121=?==

? 由余弦定理有A bc c b cos 2422-+=，则42422≤?≥+=+bc bc bc c b ，当且仅当

c b =取“=”

故3max =h ......12分 D. （1）连接1AC 交C A 1于点F ，连接EF ，

则点F 为1AC 中点，又点E 为AB 中点，故EF BC //1

而?EF 平面CE A 1，?1BC 平面CE A 1 故//1BC 平面CE A 1 ......4分 （2）因为1111A CC E C A CE V V --=，又因为1//BC 平面1A EC ，所以111C A CE B A CE V V --=，

而111113

32B A CE A BCE V V BE CE A C --==????=，因为2AB =，底面是正三角形，

所以1BE =，3CE =，代入得11A C =．

以EB 为x 轴正方向，EC 为y 轴正方向，过E 作1CA 的平行线为z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -，所以()0,0,0E ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()

0,3,0C ，()

10,3,1A ， 因为1CA ⊥平面ABC ，且EB ?平面ABC ，

所以1CA EB ⊥，又EB CE ⊥，且1CE CA A ?=，故EB ⊥平面1A EC ．

取平面1A EC 的一个法向量为()11,0,0n EB ==，设平面

1A EC 的一个法向量为()2222,,z n x y =，

则210n EA ?=，2110n AC ?=．因为()10,3,1EA

=，()

111,3,0AC AC ==，所以212230,

30,

y z x y ?+=??+=??

令21y =-

，2z =

2x =

，则(

23,n =

-．

又()11,0,0n =，所以1n 与2n

夹角的余弦值为1212

3cos 7n n n n θ?=

=

=

?， 所以二面角11C A E C --． ......12分 E. （1）设()()1100,,,y x A y x P ，则()11,y x B --，2

12

02

12

010101010x x y y x x y y x x y y k k PB

PA --=++?--=? 又()

2120222

12022122122

02201,1x x a

b y y b y a x b y a x --=-?=+=+

2

1

22-=-=?a b k k PB

PA ，又2=c ，故2,422==b a

椭圆C 的标准方程为12

42

2=+

y x ......5分 （2）当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为2=x ，此时122==NF MF

2

1

12

2=+NF MF

......6分 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程的方程为()

2-=x k y ，()()3322,,,y x N y x M

由()

???=-+-=0

4222

2y x x k y 得()04424212

222=-+-+k x k x k 2

2322232214

4,2124k

k x x k k x x +-=+=+ 又22222

222

2x ex a MF e x c

a MF -=-=?=-，同理32222x NF -= ()()2214

4212124242124224212422

422212221112

222223232323222=+-?

++-+?-=++-+-=-+-=+k k k k k k x x x x x x x x NF MF 故

21

12

2=+NF MF ......12分 （也可以用直线参数方程求解）

F. （1）由已知，()0'=-=x ae x x f 有两个不等实根x

e x

a =

?有两个不等实根 令()x e x x =

?，则()x

e

x x -=1'

?，故()x ?在()1,∞-上单调递增，在()∞+，1上单调递减 又()00=?，()e 11=?，当0>x 时，()0>x ?，故??

?

??∈e a 1,0 ......4分

（2）()()x

e ax x g axe ae x x g x

x

x

2'

1ln -=?-+=

令()()()0212'2<+-=?-=x x x e x xe a x m e ax x m ，()x m 在()∞+，0上单调递减 又()01ln 11ln ,0112

?

??-=??? ??>-=a a m ae m

存在唯一??? ?

?

∈a x 1ln ,11，使得()01=x m ，故()x g 在()10x ，上单调递增，在()+∞,1x 上单调递

减

()()a a a g g x g 1ln 11ln ln 1ln ,011-+???

??=??? ??=>，令()()11ln >-+=x x x x G ，()011'<-=x x G

()()01=

?

?

?

a g ，故函数()x g y =有两个零点 ......8分 C. 由已知()()()1ln 1ln 1002221222121'1

22

1-=????-==????==-x x x e e x a x e ax x g x g x x x x 当1>x 时，1ln ->x x ，故()2122211

11

2x x x x e

x x =--<- ()2312ln 2ln 21112112>-?-<=<-?x x x x x x x ......12分

G. （1）由已知，曲线是以()0,1F 为焦点，直线1-=x 为准线的抛物线，其标准方程为x y 42=

01022cos 22sin 220224sin =--?=+???

? ??-?=+??? ??-y x θθρπθρ 即直线l 的普通方程为01=--y x ......5分

B. 点P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为()为参数t t y t

x ???

?

??

?

+-=+-=2

2222

1，代入x y 42=得 016282=+-t t ，设点B A 、对应的参数分别为21t t 、，则16,282121==+t t t t

()842

12212121=-+=

-=-=-t t t t t t t t PB PA ......10分

H. （1）c b a 、、均为正实数

则02,0222>≥+>≥+abc c ab ab b a

()()abc c ab b a 42≥++，当且仅当c b a ==时取等号 ......5分

（2）由柯西不等式有()(

)

()181111111111112222

=+++++++≤+?++?++?c b a c b a 又3=++c b a

故23111≤+++++c b a ，当且仅当1===c b a 时取等号 ......10分