三角函数的图象与性质知识点汇总

三角函数的图象与性质

一、知识网络

三、知识要点

（一）三角函数的性质

1、定义域与值域

2、奇偶性

（1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx.

（2）型三角函数的奇偶性

（ⅰ）g（x）＝（x∈R）

g（x）为偶函数

由此得；

同理，为奇函数 .

（ⅱ）

为偶函数；为奇函数

.

3、周期性

（1）基本公式

（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 .

（ⅱ）型三角函数的周期

的周期为；

的周期为 .

（2）认知

（ⅰ）型函数的周期

的周期为；

的周期为 .

（ⅱ）的周期

的周期为；

的周期为 .

均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.

（ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.

（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.

（3）特殊情形研究

（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；

（ⅱ）的最小正周期为；

（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .

由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.

4、单调性

（1）基本三角函数的单调区间（族）

依从三角函数图象识证“三部曲”：

①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；

②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；

③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）

循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.

揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.

（2）y＝型三角函数的单调区间

此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为

①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝；

②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；

③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或

区间形成结论.

（二）三角函数的图象

1、对称轴与对称中心

（1）基本三角函数图象的对称性

（ⅰ）正弦曲线y＝sinx的对称轴为；正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0） .

（ⅱ）余弦曲线y＝cosx的对称轴为；余弦曲线y＝cosx的对称中心

（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；正切曲线y＝tanx无对称

轴.

认知：

①两弦函数的共性：

x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）

对称中心＝0.

②正切函数的个性：

（，0）为正切函数f（x）的对称中心＝0或不存在.

（2）型三角函数的对称性（服从上述认知）

（ⅰ）对于g（x）＝或g（x）＝的图象

x＝为g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g（x）对称中心＝0.

（ⅱ）对于g（x）＝的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心

＝0或不存在.

2、基本变换

（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移

3、y＝的图象

（1）五点作图法

（2）对于A，T，，的认知与寻求：①A：图像上最高点（或最低点）到平衡

位置的距离；

2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影间的距离.

②：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.

：由T＝得出. ③：

解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；

解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.

四、经典例题

例1、求下列函数的值域：

（1）（2）（3）

（4）（5）（6）

分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为

的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化.

解：

（1）

∵

∴，即所求函数的值域为 .

（2）由

∴

∴注意到这里x∈R，，

∴

∴所求函数的值域为[－1，1].

（3）这里令sinx＋cosx＝t则有

且由

于是有

∵∴

因此，所求函数的值域为 .

（4）注意到这里y>0，且∵∴即所求函数的值域为 .

（5）注意到所给函数为偶函数，又当∴此时

同理，当亦有 . ∴所求函数的值域为 .

（6）令则易见f（x）为偶函数，且

∴是f（x）的一个正周期. ①只需求出f（x）在一个周期上的取值范围.

当x∈[0， ]时，又注意到，∴x＝为f（x）图象的一条对称轴②

∴只需求出f（x）在[0， ]上的最大值.

而在[0， ]上，递增. ③亦递增④

∴由③④得f（x）在[0， ]上单调递增.

∴即⑤

于是由①、②、⑤得所求函数的值域为 .

点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx 与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性

质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致.

例2、求下列函数的周期：

（1）；（2）；

（3）；（4）；（5）

分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为

＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理.

解：（1）＝

＝

∴所求最小正周期 .

（2）＝＝＝

∴所求周期 .

（3）＝

＝

＝ .注意到的最小正周期为，故所求函数的周期为 .

（4）注意到3sinx及-sinx的周期为2，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期为2 . ∴所求函数的周期为2 .

（5）

注意到sin2x的最小正周期，又sinx≥0（或sinx<0）的解区间重复出现的最小正周期，这里的最小公倍数为 . ∴所求函数的周期 .

点评：对于（5），令则由知，是f（x）的一个正周期.①

又∴不是f（x）的最小正周期. ②

于是由①②知，f（x）的最小正周期为 .

在一般情况下，探求上述一类分段函数的周期，仅考虑各段函

数的最小正周期的最小公倍数是不够的，还要考虑各分支中的条件

区间重复出现的最小正周期.双方结合，方可能获得正确结果.

请大家研究的最小正周期，并总结自己的有关感悟与经验.

例3、已知函数的部分图象，

（1）求的值；（2）求函数图象的对称轴方程和对称中心坐标.

解：

（1）令，则由题意得f（0）＝1

∵∴

注意到函数图象在所给长度为一个周期的区间的右端点横坐标为

，故逆用“五点作图法”得：由此解得

∴所求， .

（2）由（1）得令，解得

，

∴函数f（x）图象的对称轴方程为；令解得，

∴函数f（x）图象的对称中心坐标为 .

点评：前事不忘，后事之师.回顾运用“五点作图法”作出所给三角函数在一个周期内图象的列表、描点过程，便可从中悟出所给函数图象上的五个关键点横坐标满足的等式：

例4、（1）函数的单调递增区间为。

（2）若函数上为单调函数，则a的最大值

为。

（3）函数的图象的对称中心是。

函数的图象中相邻两条对称轴的距离为。

（4）把函数的图象向左平移m（m>0）个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值为。

（5）对于函数，给出四个论断：

①它的图象关于直线x＝对称；②它的图象关于点（ ,0）对称；

③它的周期为；④它在区间〔－，0〕上单调递增.

以其中的两个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命题,它是。

分析：

（1）这里的递增区间的正号递减区间

递增且

∴应填

（2）由f（x）递增得

易见，

由f（x）递减得

当k＝0时，注意到而不会属于其它减区间，故知这里a的最大值为 .

（3）（ⅰ）令

∴所给函数图象的对称中心为（，0）；

（ⅱ）

①

解法一（直接寻求）在①中令则有

②

又在②中令k＝0得，令k＝1得∴所求距离为－

解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又由①得这一函数的最小正周期为

T＝，故所求距离为 .

（4）这里将这一函数图象向左平移m（m>0）个单位，所得图象的函数解析式为令

则由题设知f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）

∴所求m

的最小值为 .

（5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论.在这里，③必须作为条件，而④只能作为结论.于是这里只需考察

①、③②、④与②、③①、④这两种情形.

（ⅰ）考察①、③②、④是否成立.

由③得，故；又由①得

注意到 . ∴在①、③之下，，易知此时②、④成立.

（ⅱ）考察②、③①、④是否成立. 由③得，故；

又由②得注意到

.

∴在②、③之下，，易知此时①、④成立.

于是综合（ⅰ）（ⅱ）得正确的命题为①、③②、④与②、③①、④.

点评：对于（4）利用了如下认知：；

.

对于（5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节.

例5、已知的最小正周期为2，当时，f（x）

取得最大值2.

（1）求f（x）的表达式；

（2）在闭区间上是否存在f（x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；

如果不存在，说明理由.

分析：出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f （x）化为＋k的形式，这是此类问题的解题的基础.

解：（1）去

令，，即则有

①

由题意得②又由①知，注意到这里A>0且B>0，取辅助角，

则由②得③

（2）在③中令解得x＝k＋

解不等式④注意到，故由④得k＝5.

于是可知，在闭区间上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 .

点评：对于最值，对称轴和对称中心等问题，f（x）一经化为＋k的形式，解题便胜券在握.

例6、已知点的图象上.若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0.求当g[f

（x）]<0且x∈[0， ]时，实数a的取值范围.

分析：由点A、B都在函数的图象上得：，∴b＝a，c＝1－a.

∴∴

此时，由g[f（x）]<0且x∈[0， ]解出a的范围，一方面需要利用g（x）的单调性

脱去“f”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的单调性.

解：由分析得

∵定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上是增函数，且g（2）＝0，①∴g（x）在（－∞，0）上是增函数，且g（－2）＝0②∴由①②知，当x<-2或0

又设 .则 h（t）＝at＋（1－a）， .

∴g[f（x）]<0且x∈[0， ] g[h(t)]<0，且 . ∴由③得，当

时，h（t）<－2或0

注意到h（t）＝at＋（1－a）∴由h（t）<－2得h（1）<－2(a<0)或h( )<-2(a>0),

由0

点评：在这里，由③到④的转化，是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0

对于h（t）＝at＋（1－a），00且h（t）<2

（1）h(t)>0，⑤当a>0时，h(t)在上递增，∴由⑤得，h(1)>0，显然成立；

当a<0时，h(t)在上递减∴由⑤得，h( )>0（－1）a＋1>0

；

当a＝0时，h（t）显然满足10，得－

－1

（2）h(t)<2，⑦当a>0时，h(t)在上递增，∴由⑦得，h( )<2；

当a<0时，h(t)在上递减∴由⑦得，h(1)<2,显然满足条件；当a＝0时，h（t）＝1，显然满足条件.

因此由⑦得⑧于是综合（1）（2）知，由0

五、高考真题

（一）选择题

1、（湖北卷）若（）

A. B. C. D.

分析：注意到我们对的熟悉，故考虑从认知的范围入手，去了解的范围.

由∴，∴

应选C.

2、函数

的部分图象如图，则（）

A.

B.

C.

D.

分析：由图象得 . ∴，∴

又f(1)=1，∴注意到，∴应选C.

（二）、填空题

1、（湖北卷）函数的最小正周期与最大值的和

为。

分析：对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论.

（1）注意到sin2x的最小正周期，而sinx≥0的解区间重复出现的最小正周

期，而的最小公倍数为，故所求函数的最小正周期为 .

（2）由分段函数知，y的最大值为，于是由（1）（2）知应填.

2、（辽宁卷）是正实数，设 .若对每

个实数a，的元素不超过两个，且有a使含2个元素，则

的取值范围是。

分析：

∴

注意到有a使含有两个元素，∴相邻两值之差①注意到的元素不超过两个，∴相间的两个值之差

②

∴由①、②得 .

点评：对于（1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论.

对于（2），这里的决定于f（x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识

相邻两个值之差的意义.

（三）解答题

1、若函数的最大值为2，试确定常数a的值.

分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f（x）化为＋k的形式，而后便会一路坦途.

解：＝

＝由已知得

.

点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力.

2、设函数 y＝f（x）图象的一条对称轴是直线 .

（1）求；（2）求函数y＝f（x）的单调增区间；（3）证明直线5x－2y＋c＝0与

函数y＝f（x）的图象不相切.

分析：对于（3），由于f（x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线ｌ与ｙ＝ｆ（x）的图象不相切，只需证直线ｌ的斜率不属于y＝f（x）图象上点的切线斜率的取值集合.

解：（1）∵为函数图象的对称轴，∴

∴即

又 .

（2）由（1）知，当

时，y＝f（x）递增，

∴所求函数f（x）的增区间为 .

（3）∵

∴y＝f（x）图象上点的切线的斜率范围为[－2，2].

而直线5x－2y＋c＝0，

∴直线5x－2y＋c＝0与函数的图象不相切.

点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题.此题（3）的解题思路，值得大家仔细领会与品悟.

3、已知函数是R上的偶函数，其图象关于点M

（）对称，且在区间上是单调函数，求的值.

分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定的值；已知函数图象关于某直线（或某点）对称，则只能导出关于的可能取值，此时要进一步确定的值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出的可能取值之后，用它来进行认定或筛选.

解：由f（x）为偶函数得f（－x）＝f（x）（x∈R）

即

又故有由f（x）图象关于点M （）对称得

令x＝0得而

由此解得

当k＝0时，，此时

当k＝1时，

当k≥2时，

，故此时

因此，综合以上讨论得或 . ∴所求，而或 .

点评：对于正弦函数y＝＋k或余弦函数y＝＋k，在单调区间“完整”的一个周期T，恰是增减区间的长度各为；而在任何一个周期T上，增区间（或减区间）的长度均不超过 .因此，若区间的长度大于，则函数在区间上不会是单调函数.

4、设函数f（x）＝xsinx（x∈R）.

（1）证明：，其中k为正整数.

（2）设

（3）设f（x）在（0，＋∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，

证明：

分析：注意到正弦函数为f（x）的成员函数之一，试题中又指出f（x）的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论.可见，解（2）（3），均需要从f＇（x）切入.

证明：（1）∵f（x）＝xsinx（x∈R）

∴

（2）令

①

显然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx ②

②，即有，

于是＝

＝

（3）设是的一个正整数根，即，则由直线y＝x与曲线y＝－tanx的位置关系知：对每一个，存在，使，注意到g（x）＝x＋tanx在上是增函数，且∴g（x）在又cosx在内符号不变，∴（x＋tanx）cosx＝sinx＋xcosx＝在与在内异号，

∴所有满足的都是f（x）的极值点.

由题设为方程x＝－tanx的全部正根.且

，

∴③

再注意到

④

而∴1＋

∴由④得⑤

于是由③、⑤得，

点评：在这里应注意对（2）、（3）中极值点的区别.对于（2），只需满足

即可；对于（3）中的不仅要满足，还需认定在点x＝左右两边异号.

高中文科数学三角函数知识点总结

三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +

(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论:O O x y x y T M A O P x y

高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结

三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0)

三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质 1.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝cos ? ? ???ωx ＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的 最小正周期为( ) A.10π 9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 解析 由图象知π

解析 T ＝2π 1＝2π，故①正确. 当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π 6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误. y ＝sin x 的图象 y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象，故③正确.故选B. 答案 B 3.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间? ???? π4，π2单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x | 解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π 2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝?????sin x ，x ≥0， －sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x ) 均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈? ????π4，π2时，2x ∈? ?? ?? π2，π， 则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A 4.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的 图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________. 解析 将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ?????? 2? ????x －π6＋π4＝3sin ? ????2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π 24，与y 轴最近. 答案 x ＝－5π 24 5.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质 ——正弦函数、余弦函数的性质 【教学目标】 1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3．掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ω?＝＋ 【教学重点】 正、余弦函数的性质。 【教学难点】 正、余弦函数性质的理解与应用。 【教学过程】 一、讲解新课： （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］， R (,)-∞+∞分别记作： sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R （2）值域 ，1sin 1x ≤≤--1cos 1 x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。[ ]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R （1）当且仅当，时，取得最大值1。 x 2k 2π π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。 x 2k 2π π=+k ∈Z 1-

而余弦函数，cos y x ＝x ∈R 当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。 2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性 由，()知： sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。 由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做 的最小正周期。()f x 注意： 1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如） ()f x ()()001f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） ()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π （4）奇偶性 由sin()sin x x -=-可知：为奇函数 ()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数 cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称

三角函数的图像和性质(1)

第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y =

例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x =

初中三角函数知识点总结(中考复习)

初中三角函数知识点总结(中考复习)

锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C

切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α

三角函数的图像与性质优秀教案

三角函数图像与性质复习 教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。 重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。 难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。 【教案内容】 1、引入： 有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数： 正弦函数： 余弦函数： 周期函数： 注意： 最小正周期： 一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示 ，ω表示 及频率： ，相位： 。 正切函数： 3、三角函数的图象：

值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时， 单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。 五点作图法的步骤： （由诱导公式画出余弦函数的图象） 【例题讲解】

例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。 例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π， 且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-． 【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像 如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为

三角函数的图像与性质

第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z)

[探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —

高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+<

三角函数的图像与性质 教案

三角函数的图象与性质 　 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1

π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏．

． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果)

是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域．

三角函数的图像与性质

一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 .

故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( )

三角函数知识点归纳

三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

知识讲解_三角函数的图象和性质_基础

高考复习正弦、余弦的图象和性质 【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，( ,1)2 π， (,0)π，3( ,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 单调增区间: 单调增区间: 单调增区间： 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质

要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 (+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的 最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释： 应掌握一些简单函数的周期： ①函数sin()y A x ω?=+或cos()y A x ω?=+的周期2T π ω = ； ②函数tan()y A x ω?=+的周期T πω = ； ③函数sin y x =的周期=T π；

高中三角函数知识点总结(人教版)

高中三角函数总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限） （4）;cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin(απ ααπααπ α-=+-=+=+ （5）;cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( ααπ ααπααπ =-=-=- （正余互换，符号看象限） 注意：tan 的值，总为sin/cos ，便于记忆； 5.三角函数两角诱导公式：

（1）和差公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± （2）倍角公式 令上面的βα=可得：αααcos sin 2)2sin(= α αααα2222sin 211cos 2sin cos )2cos(-=-=-= α α α2tan 1tan 2)2tan(-= 6.正弦定理： △ABC 中三边分别为c b a ,,,外接圆半径为R ，则有： R C c B b A a 2sin sin sin === 7.余弦定理： △ABC 中三边分别为c b a ,,,则有：ab c b a C 2cos 2 22-+= 8.面积公式： △ABC 中三边分别为c b a ,,,面积为S ，则有：)(sin 2 1 两边与夹角正弦值C ab S = 9.三角函数图象：