三角形基本图形

三角形基本图形类型题

全等三角形是平面几何的一个重要部分，是平面几何内容的基础。运用全等三角形，可以用来说明线段相等、角相等等基本的几何问题，今后的学习中我们还将学习运用全等三角形来证明线段、角的和差倍分关系、两直线的位置关系，并运用到其他平面图形的研究中。

解决几何问题的一个基本方法是要在复杂的图形中找到基础的图形，在利用全等三角形解决问题中，主要是要找到一对基础的三角形，我们已经知道，这对基础的三角形实质上来说就是其中的一个三角形通过翻折、旋转、平移的图形运动达到另一个三角形的位置，因此，分析一对三角形的位置关系也就可以找到全等三角形的基础图形。

类型1：轴对称型

在这个基本图形中要注意基本的一些轴对称图形，例如等腰三角形，并且要注意图形的对称轴。

例1：如图（1），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，AE＝DF．

1．BF与CE相等吗？说明理由；

2．当E、F相向运动时，形成（2）

（3）（4）（5）（6）图形，上述条

件不变，BF和CE还相等吗？请说

明理由．

类型2：旋转对称型（中心对称型）

在这个基本图形中要注意的是一些本身具有旋转对称或中心对称性质的图形，同时需要多关注的是旋转角往往是解决问题的关键。

例2：已知如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，猜想∠1与∠3的大小关系，并说明理由．

例3：已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，说明AC与BD互相平分的理由．

类型3：平移型

在这个基本图形中，平行线无疑是解决问题的关键。

例4：如图，如果AB＝DE，BE＝CF，要保证△ABF≌△DEC，需补充条件．（写出一个符合要求的条件即可）

变式 已知如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，AB ∥DE ，

且AB =DE ，BE =CF ．说明AF ∥DC 的理由．

类型4：在很多的三角形全等问题中，往往混合了多种的图形运动，因此，往往会总和之前几种基本图形，例如旋转平移型。这时就需要对之前的一些解决问题的基本方法进行综合的运用。

例5：已知：如图，AC ⊥CE 于点C ，DE ⊥CE 于点E ，AB ⊥BD 于点B ，且AB =BD ．

1. 说明△ACB 与△BED 全等的理由；

2. 说明AC ＋ED = CE 的理由．

变式训练：

变式1 如图，已知点C 是线段AB 上一点，∠DCE ＝∠A ＝∠B ，CD =CE ．

1. 说明△ACD 与△BCE 全等的理由；

2. 判断线段AB 、AD 、BE 之间的数量关系，并说明理由．

变式2 如图，∠ABC =90°，AB =BC ，BP 为一条射线，AD ⊥BP ，CE ⊥PB ，如果AD =4，EC =2．求DE 的长．

1．如图，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC ，连结BD 、CD 并延长交AC 、AB 于F 、E 点，则图中有全等三角形（ ）

A

B D

C E

G H F E C B D

A （A ）2对． （

B ）3对． （

C ）4对． （

D ）5对．

（第1题） （第2题） （第3题）

2．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，要使△ABD ≌△ACE ，需补充的条件是（ ）

（A ）∠B ＝∠C ． （B ）∠D ＝∠E ． （C ）∠BAC ＝∠EAD ． （D ）∠CAD ＝∠EAD ．

3．如图，已知∠E =∠F = 90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论：

① ∠EAC =∠FAB ；② BE = CF ；③ △ACN ≌△ABM ；④ CD = DN ．其中正确的是 ．

4．如图，在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A ’BC ’的位置时，AA ’∥BC ，∠ABC =70°，则∠CBC ’为________

度．

5．已知：如图，△ABC ≌△DEF ，AC ∥DF ，BC ∥EF ．那么不正确的等式是（ ）

A ．AC =DF ；

B ．AD =BE ；

C ．DF =EF ；

D ．BC =EF ．

6．如图， ∠ABC =∠DCB =70°， ∠ABD =40°， AB =DC ，那么 ∠BAC = （ ）

A ．70°；

B ．80°；

C ．100°．

D ．90°．

（第4题） （第5题） （第6题）

7．如图, △ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、

G ，若BH ＝CD ，∠ABC ＝∠ACB ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

8.如图，AB ＝DC ，AD ＝CB ，O 为AC 中点，过O 的直线分别交AB 、CD 的延长线于F 、E ．说明∠F ＝∠E 的理由．

F E D

C B A E

D C B A

A

A'B C C'

全等三角形知识点总结

全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等）

3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找

基本图形知识和三角形基本知识

8．基本几何知识 【知识单】 1、基本知识 （1）两点确定一条直线，两点之间线段最短，____________角两点间的距离； （2）过直线外一点________________条直线与已知直线平行； （3）平面内，过一点有且只有_______条直线与已知直线垂直； （4）度、分、秒的转化是______进制. 2、长方体的再认识 （1）长方体的的元素：_______个顶点，_______条棱，_______个面； （2）长方体中棱与棱之间的位置关系有_____________________; （3）长方体中的线与面除了“线在面上”这一关系外，还有_______________; （4）长方体中长方体中的面与面的位置关系有分别为_____________； （5）画长方体的直观图时一般采用__________________画法. 3、平行线、相交线的基本概念 （1）同一平面内的不重合的两条直线的位置关系有_________________； （2）如果两个角互为补角，那么这两个角之和为___________；如果两个角互为余角，那么这两个角之和为___________； （3）对顶角相等； （4）同位角、内错角、同旁内角的判断； 4、平行线的判定 （1）_________________，两直线平行；（2）_______________，两直线平行； （3）________________，两直线平行；（4）________________，两直线平行； （5）_____________________，两直线平行. 5、平行线的性质：两直线平行，_____________；_____________；____________. （1）概念：若两条直线平行，其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离称为两条平行线间的距离； （2）平行线间的距离处处相等. 6、尺规作图：线段的垂直平分线；角平分线. 7、易错知识辨析：

相似三角形基本图形及练习题-绝对经典

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. A D B D A B C 相似中的基本图形练习 相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。 而识别（或构造）A 字型、X 字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 1．A 字型及变形 △ABC 中 ， AD=2，BD=3，AE=1 （1）如图1，若DE ∥BC ， 求CE 的长 （2）如图2，若∠ADE=∠ACB ， 求CE 的长 2. X 字型及变形 （1）如图1，AB ∥CD ，求证：AO ：DO=BO ：CO （2）如图2，若∠A=∠C ，求证：AO ×DO=BO ×CO 3. 母子相似型及变形 （1）如右图，在△ABC 中， AD 把△ABC 分成两个三角形△BCD 和△CAD ，当∠ACD =∠B 时，说明△CAD 与△ABC 相似。 说明：由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，故被称为“母子三角形” （2）如图， Rt △ABC 中 ，CD ⊥AB, 求证：AC 2=ADxAB,CD 2=ADxBD, 4. 旋转型 如图，若∠ADE=∠B ，∠BAD=∠CAE ，说明△ADE 与△ABC 相似 练习题 GED ：S △ 1、如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BC DE = ；S △ GBC = ； 2、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ； 3、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽△ ， 相似比为 ，NC BN = ； 4、如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE =4：9，则S △ABD ：S △ABC = ； 5、如图5，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点，则DE+FG+BC= ； 二、选择题 6、如图，在△ABC 中，高BD 、CE 交于点O ，下列结论错误的是（ ） A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、A D ·AC=A E ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 7、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点， AD BD =CE AE =3， 且∠AED=∠B ，则△AED 与△ABC 的面积比是（ ） A 、1：2 B 、1：3 C 、1：4 D 、4：9 8、已知，如图， 在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=3，求S △ADE ：S △ABC 的值。 9、如图，已知在△ABC 中，CD=CE ，∠A=∠ECB ，试说明CD 2 =AD ·BE 。 一、运用新知，解决问题 1、已知两个三角形相似，请完成下列表格 2、如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点 F.若AD ＝3，AB ＝5，求： （1）AG AF ； （2）△ADE 与△ABC 的周长之比； （3）△ADE 与△ABC 的面积之比. 二、加强训练，巩固新知 1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。 2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长是 。 3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2 ，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？ 相似比 2 周长比 面积比 10000 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B M N 图3 A B C D E 图4 A B C D F G E A E C D O A B C D E C A B D E A B C D E F A B C D E

中考总复习讲义三角形的基本性质+特殊三角形

21 D C B A D C B A 学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形； （3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC= 1 2 BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2= 1 2 ∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． 课 题 中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形 教学内容 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _A

全等三角形的知识点梳理

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→S S S S A S 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2．对称型 如图4 ，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）

全等三角形基本图形

A B E D C F A B C D 123 4A B C D E F O O D C B A A B C D F O D C B A A B C D E M N 12E D C B A A B C D E A B D C E F 4321E D C B A 第八讲 全等三角形基本图形（2） 一、知识点 1、熟悉一些全等中的基本图形； 2、熟练运用全等三角形的判定方法和性质。 二、典型例题和练习 例1、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC .求证：AB ∥CD . 例2、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC ，AE =CF .求证：BE =DF . 例3、已知：如图，点E ,F 在BC 上，且BE =CF ，AB =CD ，∠B =∠C .求证：AF =DE . 例4、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC =AD . 例5、已知：如图，AB =CD ，BC =AD ，E 、F 是AC 上的两点，且AE =CF 求证：BF =DE . 例6、已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC=OD ，E 、F 为AB 上的两点，且AE=BF . 求证：CE =DF . 例7、已知：如图，AB ∥CD ，OA ＝OC .求证：△AOB ≌△COD . 练习： 1、已知：如图，AB =AC ，DB =CD ，F 是AD 的延长线上的一点.求证：BF =CF . 2、如图：AD ＝BC ，AC ⊥BC ，BD ⊥AD .求证：∠CAO ＝∠DBO . 3、已知：如图，AB ＝DC ，AC ＝BD .求证：∠A ＝∠D . 4、已知：如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC AB 、DC 相交于点M ，AC 、 BE 相交于点N ，.求证：AM ＝AN . 5、如图，AB ＝AD ，BC ＝DE ，∠1＝∠2.求证：（1）AC ＝AE ；（2）∠CAE ＝∠CDE . 6、已知：AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于C . 求证：AD ＋BC ＝AB . 7、已知：如图，AD ∥BC ，AE ，BE 分别平分∠A ，∠B ，点E 在CD 上. 求证：（1）E 为CD 的中点；（2）BC ＋AD =AB . 例8、已知：如图，在正方形ABCD 中AB =AD ，∠B ＝∠D ＝90°. （1）如果BE ＋DF ＝EF .求证：①∠EAF ＝45°.②FA 平分∠DFE . （2）如果∠EAF ＝45°.求证：BE ＋DF ＝EF . （3）如果点F 在DC 的延长线上，点E 在CB 的延长线上，满足（1）的条件，则（1）中结论是否仍然成立？ 例9、如图，△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的AB 、AC 为一边在形外所作的等边三角形， CE 、BF 相交于O ，求∠EOB 的度数. 三、巩固提高 1.如图，已知如图，∠B=∠DEF ，AB=DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“ASA ”为依据，还缺条件 . （2）若以“AAS ”为依据，还缺条件 . （3）若以“SAS ”为依据，还缺条件 . 2. AD 是△ABC 的边BC 上的中线，AB ＝12，AC ＝8，则边BC 的取值范围是＿＿＿＿；中线AD 的取值范围是＿＿＿＿． 3. 已知EF 是AB 上的两点， AC ∥DB ， DE ∥CF ，且AE =BF ，求证：CF =DE ． 4. 已知：如图， AO 平分∠EAD 和∠EOD 求证：① △A OE ≌△A OD ②EB=DC F E D C B Ａ

全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ，得到图形G'，这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换，点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角，G'叫做G的象；G叫做G'的原象，无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 很明显，旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以便于诸条件的综合与推演． 重、难点 重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件， 决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

【例1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合， 其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是_____________． 【解析】 A 【例2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。 A ．顺时针旋转60°得到 B ．顺时针旋转120°得到 C ．逆时针旋转60° 120°得到 【解析】 D 【例3】 如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边 △CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 K G F E D C B A 【解析】 C 【例4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．求证： AN BM =． M D N E C B F A 例题精讲

初中数学总复习《几何基本图形1—三角形》讲义

教师辅导讲义 学员姓名：辅导课目：数学年级：九年级学科教师：汪老师 授课日期及时段 课题初中数学总复习——几何基本图形1——三角形 学习目标 教学内容 初中数学总复习——几何基本图形1——三角形 【一、三角形的有关概念】 【基本知识考点：】 一、三角形的分类： 1、三角形按角分为______________，______________，_____________． 2、三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质： 1、三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边 2、三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________． 三、三角形中的主要线段： 1、___________________________________叫三角形的中位线． 2、中位线的性质：____________________________________________． 3、三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。 4、角平分线：三角形的角平分线交于一点，这点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离， 内心也是三角形内切圆的圆心。 5、三角形三边的垂直平分线：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，它到三角形 三个顶点的距离，外心也是三角形外接圆的圆心。 6、三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 四、等腰三角形的性质与判定：

1、等腰三角形的两底角__________； 2、等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）； 3、有两个角相等的三角形是_________． 五、等边三角形的性质与判定： 1、等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质； 2、三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的 三角形 是等边三角形． 六、直角三角形的性质与判定： 1、直角三角形两锐角________． 2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________． 3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的 ； 4、勾股定理：_________________________________________． 5、勾股定理的逆定理：_________________________________________________． 【相关中考试题：】 1、如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是（ ） A ．15cm B ．16cm C ．17cm D ．16cm 或17cm 2、如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点， DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ） A ． 1013 B ．1513 C ．6013 D ．75 13 3、如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上， 点M 是AE 的中点，下列结论：① tan ∠AEC=CD BC ;② S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ; ③ BM ⊥DM; ④ BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4、如图3，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的 M E D C B A

中考复习 相似三角形的几种基本图形及复习题训练

B E A D C 相似三角形的几种基本图形： （1）如图： 称为“平行线型”的相似三角形 . （2）如图：其中∠1=∠2，则△ ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形 . A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （∠B=∠D ） （双垂直） （3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （4）一线三等角型 B E A C D 12 A B C D E A B C D A B C D A B B C D D E E

相似三角形复习题 1、（1）求能与数 2、 3、4成比例的数x.. （2）若4 3b b a ，则 b a =_________ （3）由 3 2y x 不能推出的比例是 （ ） （A ） 3 2 y x (B ) 3 5y y x ( C) 3 1y y x (D) ) 3(3 23 2y y x 2、如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别 交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝（） A ．7 B ．7.5 C ．8 D ．8.5 3、(1)若（2x-3y ）∶(x+y)=1∶2,求x ∶y ； （2）已知三角形三边之比为 a ∶ b ∶c=2∶3∶4，三角形的周长为18㎝，求 各边的长. a b c A B C D E F m n

（3）若 k b c a a c b c b a ，求k 的值； 4、已知 z y x 732，求 2 2 2 z y x yz xz xy 的值。 5、△ABC ∽△DEF ，若△ABC 的边长分别为5cm 、6cm 、7cm ，而4cm 是△DEF 中一边的长度，你能求出△DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由. 解析：因没有说明4cm 的线段是△DEF 的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论. 6、已知△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2：3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为4：5，那么△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比是多少？ 7、如果整张纸和它的一半相似，那么整张纸的长和宽的比是多少？ 8、边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）3 2（B ）3 3（C ）3 4（D ）3 6

基本图形在相似三角形中

相似三角形中的基本图形 1．锐角△ABC 中，BC=6，S △ABC =12，两动点M,N 分别在边AB,AC 上滑动，且MN ∥BC ，以MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x ，正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y(y>0)． （1）△ABC 中BC 边上高AD= ； （2）当x= 时，PQ 恰好落在BC 边上（如图1）； （3）当PQ 在△ABC 外部时（如图2），求y 关于x 的函数关系式（注明x 的取值范围），并求出x 为何值时y 最大，最大值是多少？ 变式：现用一块直角三角形的边角料来加工一个正方形,已知两直角边AC=30cm,BC=40cm.甲,乙两种加工方法如图所示,请你通过计算说明哪种加工方法能使加工成的正方形面积更大。 2． 如图, 边长为4的正方形ABCD 中, P 是边BC 上的一点, QP ⊥AP 交 DC 于Q, 设BP= x, △ADQ 的面积为y. (1) 求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围; (2) 问P 点在何位置时,△ADQ 的面积最小?最小面积是多少? Q B C P D A A A B B C M M N N P P Q Q D D （图1 ） (图2） E E

X 变式1：如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P 是AD 上一动点(不与A 、D 重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ． （１）△ABP 与△DPE 是否相似？请说明理由； （２）设ＡＰ＝x ＤＥ=y ，求y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围； （3）请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由； （4）请你探索在点P 运动的过程中，△BPE 能否成为等腰三角形？如果能，求出AP 的长，如果不能，请说明理由。 变式2：如图，梯形ABCD 中 AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9， BC=12，AB=10，在线段BC 上任取一P ，作射线PE ⊥PD ，与线段AB 交于点E. （1）试确定CP=5时点E 的位置； （2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式， 并求出自变量x 的取值范围. 变式3：如图，已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点. （1）求此抛物线的解析式； （2）抛物线上有一点P ，满足∠PBC=90°，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y 轴上是否存在点E ，使得以A 、O 、E 为顶点的三角形与⊿PBC 相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由. A B D P E C B C A D E P A X=4 2 3 6 C B

全等三角形重点题型

全等三角形知识点总结 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)．注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。 3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。

相似三角形的几种基本图形

A 相似三角形的几种基本图形： （1）如图：称为“平行线型”的相似三角形. （2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （∠B=∠D ） （双垂直） （3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （4）一线三等角型 二、例题分析 1、下列说法不正确的是（ ） A 、 两对应角相等的三角形是相似三角形； B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形； C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形； D 、以上有两个说法是正确。 2、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形有（ ） A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 3、如图，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有（ ） A 、∠ACP=∠ B B 、∠APC=∠ACB C 、AC AP AB AC = D 、AB AC BC PC = 4、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③ AD AB AE AC =；其中正确的有 （ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 E D C B A B E A C D 1 2 A B C D E B D B E A C D A B D E F A B C P

5、如图AD ⊥AB 于D ，CE ⊥AB 于E 交AB 于F ，则图中相似三角形的对数是 。 ； 6、已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，且AB=15cm ，BD=9cm ，则AD= ，CD= 。 7、如图四，在平行四边形ABCD 中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = ________cm 8、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽Δ EAD. 9、已知，如图，D 为△ABC 内一点，连结ED 、AD ，以BC 为边 在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE ∽△ABC 10、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 11、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。 A B C D E F A B C D

第八讲全等三角形基本图形

A B C D A B E D C F A B D E F A B C D 12 34 A B C D E F 第八讲 全等三角形基本图形（2） 一、知识点 1、熟悉一些全等中的基本图形； 2、熟练运用全等三角形的判定方法和性质。 二、典型例题和练习 例1、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC .求证：AB ∥CD . 例2、已知：如图，AD ∥BC ，AD =BC ，AE =CF .求证：BE =DF . 例3、已知：如图，点E ,F 在BC 上，且BE =CF ，AB =CD ，∠B =∠C .求证：AF =DE . 例4、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC =AD . 例5、已知：如图，AB =CD ，BC =AD ，E 、F 是AC 上的两点，且AE =CF 求证：BF =DE .

A B C D E F O O D C B A A B C D F O D C B A O D C B A 例6、已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ∥DB ，OC=OD ，E 、F 为AB 上的两点，且AE=BF . 求证：CE =DF . 例7、已知：如图，AB ∥CD ，OA ＝OC .求证：△AOB ≌△COD . 练习： 1、已知：如图，AB =AC ，DB =CD ，F 是AD 的延长线上的一点.求证：BF =CF . 2、如图：AD ＝BC ，AC ⊥BC ，BD ⊥AD .求证：∠CAO ＝∠DBO . 3、已知：如图，AB ＝DC ，AC ＝BD .求证：∠A ＝∠D .

A B C D E M N 12 E D C B A 432 1E D C B A 4、已知：如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC AB 、DC 相交于点M ，AC 、BE 相交于点N ，. 求证：AM ＝AN . 5、如图，AB ＝AD ，BC ＝DE ，∠1＝∠2.求证：（1）AC ＝AE ；（2）∠CAE ＝∠CDE . 6、已知：AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于C . 求证：AD ＋BC ＝AB . 7、已知：如图，AD ∥BC ，AE ，BE 分别平分∠A ，∠B ，点E 在CD 上.

全等三角形之手拉手模型专题(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 全等三角形之手拉手模型专题 基本图形1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？说明理由； 如图（2）C 点为线段AB 上一点，等边三角形ACM 和等边三角形CBN 在 AB 的异侧，此时AN 与BM 相等吗？说明理由； 如图（3）C 点为线段AB 外一点，△ACM，△CBN 是等边三角形，AN 与BM 相等吗？ 说明理由． 分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由 已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等， 即可得到线段相等． 解：（1）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC， 又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB，∴AN=BM． （2）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC 又∠ACN=∠MCB，

∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM． （3）相等． 证明如下：∵△ACM，△CBN 是等边三角形， ∴AC=CM，CN=BC， 又∠ACN=∠MCN+60°∠MCB=∠MCN+60°， ∴∠ACN=∠MCB， ∴△ACN≌△MCB， ∴AN=BM． 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围 绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三 角形全等是正确解答本题的关键． 变形2、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧 作等边△ACM 和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN 的中点E，F，连接 CE，CF，EF．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC，BC 为边作等边△ACM 和△CBN”改为“以 AC，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN，”如图2，其他条件不变， 那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理

初中数学三角形基础测试题及答案

初中数学三角形基础测试题及答案 一、选择题 1．如图，在ABC V 中，90C ∠=?，60CAB ∠=?，按以下步骤作图： ①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．46 B ．42 C ．43 D ．8 【答案】D 【解析】 【分析】 根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长． 【详解】 由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线， ∴AE ＝BE ， ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°， ∴∠CBA ＝30°， ∴∠EAB ＝∠CAE ＝30°， ∴CE ＝ 12 AE ＝4， ∴AE ＝8． 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°是解题关键． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF=6，AB=5，则AE 的长为( )

A ．4 B ．8 C ．6 D ．10 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：设AG 与BF 交点为O ，∵AB=AF ，AG 平分∠BAD ，AO=AO ，∴可证△ABO ≌△AFO ，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90o，AB=5，∴AO=4，∵AF ∥BE ，∴可证△AOF ≌△EOB ，AO=EO ，∴AE=2AO=8，故选B ． 【点睛】 本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质． 3．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．32 D ．85 【答案】C 【解析】 【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度． 【详解】 解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==， ∴∠B=90°， ∴22345AC =+=， 由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ， ∴CF=5-3=2， 在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -， 由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32 x =；

初中数学全等三角形的知识点梳理

全等三角形》 画三角形 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图 1 中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2 中的 两个图形面积相同，但形状不同， 图2 图1 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等．全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS．若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有

三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅 速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得 到判定两个三角形全等的思路有： 找夹角→ SAS 已知两边 找另一边→ SSS 边为角的对边→找任一角→ AAS 找这条边上的另一角→ ASA 边就是角的一条边找这条边上的对角→ AAS 找该 角的另一边→ SAS 找两角的夹边 → ASA （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定 对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着 A 与 E 、 B 与 F 、 C 与 D 对应，则 三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还 有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2） 全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变 换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图 3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2．对称型 如图 4，下面几种图形属于对称型： 图 3 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的 顶 点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图 5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1）三边对应相等的两个三角形全等，但三角对应相等的 两个三角形不一定全等；如图 6（1）中的两个三角形的每个 图 6 （1 ） 已知两角 找 任 一 边 → AAS 图4