实验八 利用FFT 实现快速卷积
一、 实验目的
(1) 通过这一实验,加深理解FFT 在实现数字滤波(或快速卷积)中的重要作用,更好的利用FFT 进行数字信号处理。
(2) 进一步掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系。
二、 实验原理与方法
数字滤波器根据系统的单位脉冲响应h(n)是有限长还是无限长可分为有限长单位脉冲响应(Finite Impulse Response )系统(简记为FIR 系统)和无限长单位脉冲响应(Infinite Impulse Response )系统(简记为IIR 系统)。
对于FIR 滤波器来说,除了可以通过数字网络来实现外,也可以通过FFT 的变换来实现。
一个信号序列x(n)通过FIR 滤波器时,其输出应该是x(n)与h(n)的卷积:
或
当h(n)是一个有限长序列,即h(n)是FIR 滤波器,且时
在数字网络(见图6.1)类的FIR 滤波器中,普遍使用的横截型结构(见下图6.2
图6.1 滤波器的数字网络实现方法
图6.2 FIR 滤波器横截型结构
∑+∞
-∞
=-=
=m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(∑+∞
-∞
=-=
=m m n x m h n x n h n y )
()()(*)()(10-≤≤N n ∑-=-=1
0)
()()(N m m n x m h n y y(n)
y(n)
-1-1-1-1
应用FFT 实现数字滤波器实际上就是用FFT 来快速计算有限长度列间的线性卷积。
粗略地说,这种方法就是先将输入信号x(n)通过FFT 变换为它的频谱采样 值X(k),然后再和FIR 滤波器的频响采样值H(k)相乘,H(k)可事先存放在存储器中,最后再将乘积H(k)X(k)通过快速傅里叶变换(简称IFFT )还原为时域序列,即得到输出y(n)如图6.3所示。
图6.3 数字滤波器的快速傅里叶变换实现方法
现以FFT 求有限长序列间的卷积及求有限长度列与较长序列间的卷积为例来讨论FFT 的快速卷积方法。
(1) 序列和的列长差不多。设的列长为,的列长为,要求
N
用FFT 完成这一卷积的具体步骤如下: i.
为使两有限长序列的线性卷积可用其循环卷积代替而不发生混叠,必须选择循环卷积长度,若采用基2-FFT 完成卷积运
算,要求(为整数)。
ii.
用补零方法使,变成列长为的序列。
iii.
用FFT 计算的点离散傅里叶变换
iv. 做和乘积,
v.
用FFT 计算的离散傅里叶反变换得
)(n x )(n h )(n x 1N )(n h 2N )()(n x n y =∑-=-==10
)
()()(*)()(N r r n h r x n h n x n h 121-+≥N N N m
N 2=m )(n x )(n h N ??
?-≤≤-≤≤=1010)()(11N n N N n n x n x ??
?-≤≤-≤≤=101
0)()(22N n N N n n h n h )(),(n h n x N )()(k X n x FFT
??→?)()(k H n h FFT ??→?)(k X )(k H )()()(k H k X k Y ?=)(k Y
y(n)
(2) 当x(n)长度很长时,即,通常不允许等x(n)全部采集齐后再进行卷积,否则使输出相对于输入有较长的延时,另外,若太大,要补上太多的零点,很不经济,且FFT 的计算时间也要很长。为此,采用分段卷积的方法,即把x(n)分成长度与h(n)相仿的一段段,分别求出每段卷积的结果,然后用相应的方式把它们结合起来,便是总的输出。分段卷积方法主要有两种,即重叠相加法和重叠保留法。具体内容请参考教材中“快速离散傅里叶变换”一章中的线性卷积的FFT 算法部分,本实验这部分不作重点要求。
三、 实验任务
(1)用FFT 实现以下两序列的线性卷积。
n=[0:1:11]; m=[0:1:5]; N1=length(n); N2=length(m);
xn=0.8.^n; hn=ones(1,N2); N=N1+N2-1; XK=fft(xn,N); HK=fft(hn,N); YK=XK.*HK; yn=ifft(YK,N);
if all(imag(xn)==0)&(all(imag(hn)==0)) yn=real(yn); end x=0:N-1; stem(x,yn,'.')
title('2015167111(1)??D??í?y');
*
101
0)(*1)(1)(??
???????
???=??????=∑∑-=---N k nk x N k nk x W k Y N W k Y N n y 21N N >>121-+N N )
(n h ??
?≤≤=??
?≤≤=其它
其它0
501)(01108.0)(n n h n n x n
(2)数字滤波器的脉冲响应为可自定,本实验取
输入序列可选下列几种情况
i.
可取16
clc
clear all n=[0:1:15]; m=[0:1:16]; N1=length(n); N2=length(m); x=ones(1,N1); h=(-1/2).^m; N=N1+N2-1; X=fft(x,N); H=fft(h,N); Y=X.*H;
y=ifft(Y,N);
if all(imag(x)==0)&(all(imag(h)==0)) y=real(y); end
x1=0:N-1; stem(x1,y);
title('2015167111(2-1)FFT 快速卷积');
ii.
clc
clear all n=[0:1:15]; m=[0:1:16]; N1=length(n); N2=length(m);
x=cos(2*pi*n/16); h=(-1/2).^m; N=N1+N2-1; X=fft(x,N); H=fft(h,N); Y=X.*H;
y=ifft(Y,N);
if all(imag(x)==0)&(all(imag(h)==0))
2
2),()21
()(N n R n h N n =172=N )(n x )()(1n R n x N =1N 16)(2cos
)(111
==N n nR N n x N π
y=real(y); end
x1=0:N-1; stem(x1,y);
title('2015167111(2-2)FFT 快速卷积'); iii.
clc
clear all n=[0:1:15]; m=[0:1:16]; N1=length(n); N2=length(m); x=(1/3).^n; ; h=(-1/2).^m; N=N1+N2-1; X=fft(x,N); H=fft(h,N); Y=X.*H; y=ifft(Y ,N);
if all(imag(x)==0)&(all(imag(h)==0)) y=real(y); end
x1=0:N-1; stem(x1,y);
title('2015167111(2-3)FFT 快速卷积');
附:实验用MATLAB 语言工具函数简介
若序列x 1(n)、x 2(n)为长度分别为N 1、N 2的有限长序列,N ,
。由DFT 的性质可知:当时有。序列较长时DFT 运算通常用快速
16
),()31
)((11=N n R n x N n )()(1n x n y c =)(2n x )(*)()(21n x n x n y l =121-+≥N N N )]]([)]([[)()(21n x DFT n x DFT IDFT n y n y c l ?==
算法FFT实现。在MATLAB的信号处理工具箱中函数FFT和IFFT用于快速傅里叶变换和逆变换。函数FFT的调用格式同实验七。
班级信工142 学号 22 姓名何岩实验组别实验日期室温报告日期成绩报告内容:(目的和要求,原理,步骤,数据,计算,小结等) 1.求信号的离散时间傅立叶变换并分析其周期性和对称性; 给定正弦信号x(t)=2*cos(2*pi*10*t),fs=100HZ,求其DTFT。 (a)代码: f=10;T=1/f;w=-10:0.2:10; t1=0:0.0001:1;t2=0:0.01:1; n1=-2;n2=8;n0=0;n=n1:0.01:n2; x5=[n>=0.01]; x1=2*cos(2*f*pi*t1); x2=2*cos(2*f*pi*t2); x3=(exp(-j).^(t2'*w)); x4=x2*x3; subplot(2,2,1);plot(t1,x1); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); xlabel('x(n)');ylabel('x(n)'); title('原信号x1'); xlabel('t');ylabel('x1'); subplot(2,2,3);stem(t2,x2); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); title('原信号采样结果x2'); xlabel('t');ylabel('x2'); subplot(2,2,2);stem(n,x5); axis([0 1 1.1*min(x5) 1.1*max(x5)]); xlabel('n');ylabel('x2'); title('采样函数x2'); subplot(2,2,4);stem(t2,x4); axis([0 1 -0.2+1.1*min(x4) 1.1*max(x4)]); xlabel('t');ylabel('x4'); title('DTFT结果x4'); (b)结果: 2.用以下两个有限长序列来验证DTFT的线性、卷积和共轭特性; (n) x1(n)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];x2(n)=R 10 (1)线性:(a)代码: w=linspace(-8,8,10000); nx1=[0:11]; nx2=[0:9]; x1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];
实验八 利用FFT 实现快速卷积 一、 实验目的 (1) 通过这一实验,加深理解FFT 在实现数字滤波(或快速卷积)中的重要作用,更好的利用FFT 进行数字信号处理。 (2) 进一步掌握循环卷积和线性卷积两者之间的关系。 二、 实验原理与方法 数字滤波器根据系统的单位脉冲响应h(n)是有限长还是无限长可分为有限长单位脉冲响应(Finite Impulse Response )系统(简记为FIR 系统)和无限长单位脉冲响应(Infinite Impulse Response )系统(简记为IIR 系统)。 对于FIR 滤波器来说,除了可以通过数字网络来实现外,也可以通过FFT 的变换来实现。 一个信号序列x(n)通过FIR 滤波器时,其输出应该是x(n)与h(n)的卷积: ∑+∞ -∞ =-= =m m n h m x n h n x n y )()()(*)()( 或 ∑+∞ -∞ =-= =m m n x m h n x n h n y ) ()()(*)()( 当h(n)是一个有限长序列,即h(n)是FIR 滤波器,且10-≤≤N n 时 ∑-=-=1 0) ()()(N m m n x m h n y 在数字网络(见图6.1)类的FIR 滤波器中,普遍使用的横截型结构(见下图6.2 图6.1 滤波器的数字网络实现方法 图6.2 FIR 滤波器横截型结构 y(n) y(n) -1-1-1-1
应用FFT 实现数字滤波器实际上就是用FFT 来快速计算有限长度列间的线性卷积。 粗略地说,这种方法就是先将输入信号x(n)通过FFT 变换为它的频谱采样 值X(k),然后再和FIR 滤波器的频响采样值H(k)相乘,H(k)可事先存放在存储器中,最后再将乘积H(k)X(k)通过快速傅里叶变换(简称IFFT )还原为时域序列,即得到输出y(n)如图6.3所示。 图6.3 数字滤波器的快速傅里叶变换实现方法 现以FFT 求有限长序列间的卷积及求有限长度列与较长序列间的卷积为例来讨论FFT 的快速卷积方法。 (1) 序列)(n x 和)(n h 的列长差不多。设)(n x 的列长为1N ,)(n h 的列长为2N ,要求 )()(n x n y =N ∑-=-==1 ) ()()(*)()(N r r n h r x n h n x n h 用FFT 完成这一卷积的具体步骤如下: i. 为使两有限长序列的线性卷积可用其循环卷积代替而不发生混叠,必须选择循环卷积长度121-+≥N N N ,若采用基2-FFT 完成卷积运 算,要求m N 2=(m 为整数)。 ii. 用补零方法使)(n x ,)(n h 变成列长为N 的序列。 ?? ?-≤≤-≤≤=10 10)()(11N n N N n n x n x ?? ?-≤≤-≤≤=10 1 0)()(22N n N N n n h n h iii. 用FFT 计算)(),(n h n x 的N 点离散傅里叶变换 )()(k X n x FFT ??→? )()(k H n h FFT ??→? iv. 做)(k X 和)(k H 乘积,)()()(k H k X k Y ?= v. 用FFT 计算)(k Y 的离散傅里叶反变换得 y(n)
写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,绝大部分内容非我所原创。在此向多位原创作者致敬!!! 为什么要进行傅立叶变换?傅立叶变换究竟有何意义?如何用Matlab实现快速傅立叶变换?来源:张宗帅.docx的日志 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是: https://www.sodocs.net/doc/8915436937.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换?傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后,输出的仍是正弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。
陕西科技大学实验报告 班级信工142 学号22 姓名何岩实验组别实验日期__________ 室温_____________ 报告日期________________ 成绩报告内容:(目的和要求,原理,步骤,数据,计算,小结等) 1.求信号的离散时间傅立叶变换并分析其周期性和对称性; 给定正弦信号x(t)=2*cos(2*pi*10*t),fs=100HZ, 求其DTFT (a)代码: f=10;T=1/f;w=-10:0.2:10; t1=0:0.0001:1;t2=0:0.01:1; n1=-2; n2=8; n0=0; n=n 1:0.01: n2; x5=[ n>=0.01]; x1=2*cos(2*f*pi*t1); x2=2*cos(2*f*pi*t2); x3=(exp(-j)4(t2'*w)); x4=x2*x3; subplot(2,2,1);plot(t1,x1); axis([0 1 1.1*mi n(x2) 1.1*max(x2)]); xlabel('x( n)');ylabel('x( n)'); title('原信号x1'); xlabel('t');ylabel('x1'); subplot(2,2,3);stem(t2,x2); axis([0 1 1.1*mi n(x2) 1.1*max(x2)]); title(' 原信号采样结果x2'); xlabel('t');ylabel('x2'); subplot(2,2,2);stem( n, x5); axis([0 1 1.1*mi n(x5) 1.1*max(x5)]); xlabel(' n');ylabel('x2'); title(' 采样函数x2'); subplot(2,2,4);stem(t2,x4); axis([0 1 -0.2+1.1*mi n(x4) 1.1*max(x4)]); xlabel('t');ylabel('x4'); title('DTFT 结果x4'); (b)结果:
实验一 快速傅里叶变换之报告 一 、实验目的 1、在理论学习的基础上,通过本实验加深对快速傅立叶变换的理解; 2、熟悉并掌握按时间抽取FFT 算法的程序; 3、了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题,例如混淆、泄漏、 栅栏效应等,以便在实际中正确应用FFT 。 二 实验内容 a ) 信号频率F =50Hz ,采样点数N=32,采样间隔T= matlab 程序代码为: F=50; T=; N=32; n=0:N-1; t=n*T; A=sin(2*pi*F*t); figure; Y = fft(A,N); h = (abs(Y)); h=h/max(h(1:N)); for n=1:N; string1=strcat('X(',num2str(n-1), ')=',num2str(h(n))); disp(string1); f=(n/T)/N; end stem([0:N-1]/N/T,h); xlabel('?μ?ê/HZ'); ylabel('??·ùX£¨ejw£?'); title('·ù?μì?D?'); 上述代码命令中,将FFT 变换后的数字变量K ,在画图时转换成频域中的频率f 。这主 要是根据数字频率与模拟域频率之间的关系: T Ω=ω 其中ω、Ω分别为数字和模拟域中的频率,且N k πω2= f π2=Ω 于是有: NT k f = 运算结果: X(1)=1 X(2)= X(3)= X(4)=
X(5)= X(6)= X(7)= X(8)= X(9)= X(10)= X(11)= X(12)= X(13)= X(14)= X(15)= X(16)= X(17)= X(18)= X(19)= X(20)= X(21)= X(22)= X(23)= X(24)= X(25)= X(26)= X(27)= X(28)= X(29)= X(30)= X(31)=1 b)信号频率F=50Hz,采样点数N=32,采样间隔T= 同理可将a)中F、N、T,参数改成要求值(以下均是如此),即可得,X(0)= X(1)= X(2)= X(3)= X(4)= X(5)= X(6)= X(7)= X(8)=1 X(9)= X(10)= X(11)= X(12)= X(13)= X(14)= X(15)= X(16)= X(17)= X(18)= X(19)= X(20)= X(21)= X(22)= X(23)= X(24)=1 X(25)= X(26)= X(27)= X(28)= X(29)= X(30)= X(31)=
傅里叶变换性质证明 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广,若,则 其中为常数,n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算,在第一章我们已经知道了,线性有两个含义:均匀性和叠加性。均匀性表明,若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即 叠加性表明,几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为,下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后,新信号的傅里叶变换。
(1)反褶 f(-t)是f(t)的反褶,其傅里叶变换为 (2)共轭 (3)既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明: 设g(t)=f(-t),h(t)=g*(t),则 在上面三条性质的证明中,并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数,因此,无论f(t)为实信号还是复信号,其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下,是复函数,因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分,即 ? 根据定义,上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34),由FT的唯一性可得 ()f(t)是实的偶函数,即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时X()=0,于是 可见,若f(t)是实偶函数,则F()也是实偶函数,即 左边反褶,右边共轭 ()f(t)是实的奇函数,即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数,而奇函数在对称区间内的积分为零,故 这时R()=0,于是 可见,若f(t)是实奇函数,则F()是虚奇函数,即 左边反褶,右边共轭 有了上面这两条性质,下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号,又不是奇信号,反正不清楚,或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。 2.6.4对称性
快速傅里叶变换实验报告 班级: 姓名: 学号:
快速傅里叶变换 一.实验目的 1.在理论学习的基础上,通过本实验加深对快速傅立叶变换的理解; 2.熟悉并掌握按时间抽取FFT 算法的程序; 3.了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题,例如混淆、泄漏、栅栏效应等,以便在实际中正确应用FFT 。 二.实验内容 1.仔细分析教材第六章‘时间抽取法FFT ’的算法结构,编制出相应的用FFT 进行信号分析的C 语言(或MATLAB 语言)程序; 2.用FFT 程序分析正弦信号 ()sin(2)[()(*)],(0)1y t f t u t u t N T t u π=---∞<<+∞=设 分别在以下情况进行分析并讨论所得的结果: a ) 信号频率f =50Hz ,采样点数N=32,采样间隔T=0.000625s b ) 信号频率f =50Hz ,采样点数N=32,采样间隔T=0.005s c ) 信号频率f =50Hz ,采样点数N=32,采样间隔T=0.0046875s d ) 信号频率f =50Hz ,采样点数N=32,采样间隔T=0.004s e ) 信号频率 f =50Hz ,采样点数N=64,采样间隔T=0.000625s f ) 信号频率f =250Hz ,采样点数N=32,采样间隔T=0.005s g ) 将c ) 信号后补32个0,做64点FFT 三.实验要求 1.记录下实验内容中各种情况下的X (k)值,做出频谱图并深入讨论结果,说明参数的变化对信号频谱产生哪些影响。频谱只做模特性,模的最大值=1,全部归一化;
2.打印出用C 语言(或MATLAB 语言)编写的FFT 源程序,并且在每一小段处加上详细的注释说明; 3.用C 语言(或MATLAB 语言)编写FFT 程序时,要求采用人机界面形式: N , T , f 变量均由键盘输入,补零或不补零要求设置一开关来选择。 四.实验分析 对于本实验进行快速傅里叶变换,依次需要对信号进行采样,补零(要求补零时),码位倒置,蝶形运算,归一化处理并作图。 此外,本实验要求采用人机界面形式,N,T,F 变量由键盘输入,补零或不补零设置一开关来选择。 1.采样 本实验进行FFT 运算,给出的是正弦信号,需要先对信号进行采样,得到有限 长序列()n x , N n ...... 2,1,0= Matlab 实现: t=0:T:T*(N-1); x=sin(2*pi*f*t); 2.补零 根据实验要求确定补零与否,可以用if 语句做判断,若为1,再输入补零个数, 并将补的零放到采样得到的序列的后面组成新的序列,此时新的序列的元素个数等于原采样点个数加上补零个数,并将新的序列个数赋值给N 。 Matlab 实现: a=input('是否增加零点? 是请输入1 否请输入0\n'); if (a) ZeroNum=input('请输入增加零点的个数:\n'); else ZeroNum=0; end if (a) x=[x zeros(1, ZeroNum)];%%指令zeros(a,b)生成a 行b 列全0矩阵,在单行矩阵x 后补充0 end N=N+ZeroNum; 3.码位倒置 本实验做FFT 变换的级数为M ,N M 2log =
快速傅里叶变换 FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。 虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。 现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就不在此罗嗦了。 采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算,通常N取2的整数次方。 假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示 采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高
重温傅里叶—笔记篇 本文记录的大多是基础的公式,还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接看第三部分:总结性说明) 重温傅里叶—笔记篇 一、傅里叶级数 $关于三角函数系的正交性: 三角函数系包括: 1,cos x,sinx,cos2x,sin 2x,……cos nx,sinnx,…… “正交性”是说,三角函数系中的任何一项与另一项的乘积,在(-π, π) 区间内的积分为0。(任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差,而这两个展开后的正余弦在(-π, π)上积分都为0)。 不同频率(但都是整数倍基频)的两个正弦函数之积,在(-π, π)上积分恒为0。 同频率的两个正弦函数之积,只有在这两个正弦的相位正交时,其在(-π, π)上积分才是0。 三角函数系中除“1”以外的任何一项的平方,在(-π, π)上的积分恒为π,“1”在这个区间上的积分为2π。
$ 上公式! ①当周期为2π时: 式(1): 上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件: 1.在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点; 2.任意的有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实是一样的)
式(1)第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值,而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立;如果f(x)不连续,则应表示成“(1/2) ×[f(x-0)+f(x+0)]”,即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。 第三、四行中,n的取值都是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。 ②当周期为2L时(这也是最一般的情形): 式(2): 第一行中的a0/2 就是f(x)的周期平均值; 第三、四行中,n的取值都是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。
信息工程学院实验报告 课程名称: 实验项目名称:实验3 傅里叶变换及其性质 实验时间:2015/11/17 班级:通信141 姓名: 学号: 一、实 验 目 的: 学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶(Fourier )变换;学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图;学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 二、实 验 设 备 与 器 件 软件:Matlab 2008 三、实 验 原 理 3.1傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为: ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞ ==? , 傅里叶反变换定义为:1 1()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞ --∞ == ? 。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法,下面分别加以探讨。同时,学习连续时间信号的频谱图。 3.1.1 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 (1)F=fourier(f):它是符号函数f 的Fourier 变换,默认返回是关于ω的函数。 (2)F=fourier(f,v):它返回函数F 是关于符号对象v 的函数,而不是默认的 ω,即 ()()j v t F v f t e d t ∞ --∞ =? 。 (3)F=fourier(f,u,v):是对关于u 的函数f 进行变换,返回函数F 是关于v 的函数,即 ()()jvu F v f t e du ∞ --∞ =?。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 (1)f=ifourier(F):它是符号函数F 的Fourier 反变换,独立变量默认为ω,默认返回是关于x 的函数。 (2)f=ifourier(F,u):它返回函数f 是u 的函数,而不是默认的x 。 (3)f=ifourier(F,u,v):是对关于v 的函数F 进行反变换,返回关于u 的函数f 。
快速傅里叶变换实验报告
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快速傅里叶变换实验报告 机械34班 刘攀 2013010558 一、 基本信号(函数)的FF T变换 1. 000()sin()sin 2cos36x t t t t π ωωω=+++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N =16; 取02ωπ=rad/s,则0f =1Hz ,s f =8Hz ,频率分辨率 f ?=s f f N ?= =0.5Hz 。 最高频率c f =30f =3Hz ,s f >2c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下:
幅值误差0A ?=,相位误差0??=。 2) 采样频率08s f f =,截断长度N=32; 取02ωπ=rad/s ,则0f =1Hz,s f =8Hz ,频率分辨率f ?=s f f N ?==0.25Hz 。 最高频率c f =30f =3H z,s f >2c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度04T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下:
幅值误差0A ?=,相位误差0??=。 2. 00()sin()sin116x t t t π ωω=++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N=16; 取02ωπ=ra d/s,则0f =1Hz ,s f =8Hz,频率分辨率f ?=s f f N ?==0.5H z。 最高频率c f =110f =11H z,s f <2c f ,故不满足采样定理,会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图:
信息工程学院实验报告 课程名称:信号与系统 实验项目名称:实验3 傅里叶变换及其性质实验时间:2013-11-29 班级: 姓名: 学号: 一、实验目的: 1、学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶(Fourier )变换; 2、学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图; 3、学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 二、实验环境: 1、硬件:在windows 7 操作环境下; 2、软件:Matlab 版本7.1 三、实验原理: 3.1傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为: ()[()]()j t F F f t f t e dt ωω∞ --∞ == ? , 傅里叶反变换定义为:1 1 ()[()]()2j t f t F F f e d ωωωωπ ∞ --∞ == ? 。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法,下面分别加以探讨。同时,学习连续时间信号的频谱图。 3.1.1 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。Fourier 变换的语句格式分为三种。 (1)F=fourier(f):它是符号函数f 的Fourier 变换,默认返回是关于ω的函数。 (2)F=fourier(f,v):它返回函数F 是关于符号对象v 的函数,而不是默认的ω,即()()jvt F v f t e dt ∞ --∞ = ? 。 (3)F=fourier(f,u,v):是对关于u 的函数f 进行变换,返回函数F 是关于v 的函数,即 ()()jvu F v f t e du ∞ --∞ =? 。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。 (1)f=ifourier(F):它是符号函数F 的Fourier 反变换,独立变量默认为ω,默认返回是关于x 的函数。 (2)f=ifourier(F,u):它返回函数f 是u 的函数,而不是默认的x 。 (3)f=ifourier(F,u,v):是对关于v 的函数 F 进行反变换,返回关于u 的函数f 。
快速傅里叶变换实验报告 快速傅里叶变换实验报告 机械34班刘攀 2019010558 一、基本信号(函数)的FFT变换 1. x(t)=sin(ω0t+)+sin2ω0t+cos3ω0t 6 1) 采样频率fs=8f0,截断长度N=16; 取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率?f=?f=fs=0.5Hz。 Nπ最高频率fc=3f0=3Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。截断长度T=2T0,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下: 幅值误差?A=0,相位误差??=0。 2) 采样频率fs=8f0,截断长度N=32; 取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率?f=?f=fs=0.25Hz。 N最高频率fc=3f0=3Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。截断长度T=4T0,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下: 幅值误差?A=0,相位误差??=0。 2. x(t)=sin(ω0t+π 6)+sin11ω0t 1) 采样频率fs=8f0,截断长度N=16; 取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率?f=?f=fs=0.5Hz。 N最高频率 fc=11f0=11Hz,fs 漏,但在整周期截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图:
由上图可以看出,并未体现出11f0的成分,说明波形出现混叠失真。为了消除混叠 现象,应加大采样频率,使之大于等于 22Hz。 f0处的幅值误差?A=0,11f0处由于出现 了混叠现象,幅值误差没有意义;相位误差??=0。 2) 采样频率fs=32f0,截断长度N=32; 取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=32Hz,频率分辨率?f=?f=fs=1Hz。 N最高频率 fc=11f0=11Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 漏,但在整周期截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图: 该频谱图体现出了f0和11f0的成分,说明未失真,且幅值均为1,。幅值误差?A=0,相位误差??=0。 3. x(t)=0t 1) 采样频率fs=8f0,截断长度N=16; 取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=8Hz,频率分辨率?f=?f=fs=0.5Hz。 N最高频率f cf 0Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 频谱图: 在忽略旁瓣信号的情况下,可近似认为: x(t)≈0.9098cos(3ω0t+56.9520?) 故幅值误差?A=0.9096-1=-0.0904,相位误差??=56.9520?。 2) 采样频率fs=32f0,截断长度N=32; 取ω0=2πrad/s,则f0=1Hz,fs=32Hz,频率分辨率?f=?f=fs=1Hz。N最高频率f cf 0Hz,fs>2fc,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 频谱图: 在忽略旁瓣信号的情况下,可近似认为:
快速傅里叶变换(FFT)的DSP 实现 (马灿明 计算机学院 计算机应用技术 2110605410) 摘要:本文对快速傅里叶变换(FFT)原理进行简单介绍后,然后介绍FFT 在TMS320C55xx 定 点DSP 上的实现,FFT 算法采用C 语言和汇编混合编程来实现,算法程序利用了CCS 对其结果进行了仿真。 关键字:FFT ,DSP ,比特反转 1.引言 傅里叶变换是将信号从时域变换到频域的一种变换形式,是信号处理领域中一种重要的分析工具。离散傅里叶变换(DFT )是连续傅里叶变换在离散系统中的表现形式。由于DFT 的计算量很大,因此在很长一段时间内使其应用受到很大的限制。 20世纪60年代由Cooley 和Tukey 提出了快速傅里叶变换(FFT )算法,它是快速计算DFT 的一种高效方法,可以明显地降低运算量,大大地提高DFT 的运算速度,从而使DFT 在实际中得到了广泛的应用,已成为数字信号处理最为重要的工具之一。 DSP 芯片的出现使FFT 的实现变得更加方便。由于多数的DSP 芯片都能在单指令周期内完成乘法—累加运算,而且还提供了专门的FFT 指令(如实现FFT 算法所必需的比特反转等),使得FFT 算法在DSP 芯片上实现的速度更快。本节首先简要介绍FFT 算法的基本原理,然后介绍FFT 算法的DSP 实现。 2.FFT 算法的简介 快速傅里叶变换(FFT )是一种高效实现离散傅里叶变换(DFT )的快速算法,是数字信号处理中最为重要的工具之一,它在声学,语音,电信和信号处理等领域有着广泛的应用。 2.1离散傅里叶变换DFT 对于长度为N 的有限长序列x(n),它的离散傅里叶变换(DFT )为 1,1,0, )()(1 0-==∑-=N k W n x k X n n nk N (1) 式中, N j N e W /2π-= ,称为旋转因子或蝶形因子。 从DFT 的定义可以看出,在x(n)为复数序列的情况下,对某个k 值,直接按(1) 式计算X(k) 只需要N 次复数乘法和(N-1)次复数加法。因此,对所有N 个k 值,共需要N 2 次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N 值(如1024点)来说,直接计算它的DFT 所需要的计算量是很大的,因此DFT 运算的应用受到了很大的限制。 2.2快速傅里叶变换FFT 旋转因子W N 有如下的特性。 。对称性: 2/N k N k N W W +-= 。周期性: N k N k N W W += 利用这些特性,既可以使DFT 中有些项合并,减少了乘法积项,又可以将长序列的DFT
快速傅里叶变换实验报告 机械34班 攀 2013010558 一、 基本信号(函数)的FFT 变换 1. 000()sin()sin 2cos36 x t t t t πωωω=+++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N=16; 取02ωπ=rad/s ,则0f =1Hz ,s f =8Hz ,频率分辨率f ?=s f f N ?==0.5Hz 。 最高频率c f =30f =3Hz ,s f >2c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下:
幅值误差0A ?=,相位误差0??=。 2) 采样频率08s f f =,截断长度N=32; 取02ωπ=rad/s ,则0f =1Hz ,s f =8Hz ,频率分辨率f ?=s f f N ?==0.25Hz 。 最高频率c f =30f =3Hz ,s f >2c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度04T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下:
幅值误差0A ?=,相位误差0??=。 2. 00()sin()sin116 x t t t πωω=++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N=16; 取02ωπ=rad/s ,则0f =1Hz ,s f =8Hz ,频率分辨率f ?=s f f N ?==0.5Hz 。 最高频率c f =110f =11Hz ,s f <2c f ,故不满足采样定理,会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0,泄漏现象没有体现出来。 频谱图:
目录 用Matlab 对信号进行傅里叶变换 (2) Matlab 的傅里叶变换实例 (5) Matlab 方波傅立叶变换画出频谱图 (7)
用 Matlab 对信号进行傅里叶变换 1. 离散序列的傅里叶变换 DTFT(Discrete Time Fourier Transform) 代码: %原离散信号有 8 点 %原信号是 1行 8列的矩阵 %构建原始信号,为指数信号 %频域共-800 +800 的长度(本应是无穷, 高 %求 dtft 变换,采用原始定义的方法,对复指 7 subplot(311) 8 stem(n,xn); 9 title('原始信号(指数信号 )'); 10 subplot(312); 11 plot(w/pi,abs(X)); 12 title('DTFT 变换 ') 结果: 分析:可见,离散序列的 dtft 变换是周期的,这也符合 Nyquist 采样 定理的描述, 连续时间信号经周期采样之后, 所得的离散信号的频谱 是原连续信号频谱的周期延拓。 2. 离散傅里叶变换 1 N=8; 2 n=[0:1:N-1] 3 xn=0.5.^n; 4 5 w=[-800:1:800]*4*pi/800; 频分量很少,故省去) 6 X=xn*exp(-j*(n'*w)); 数分 量求和而得
与 1 中 DTFT 不一样的是, DTFT 的求和区间是整个频域,这对 N=8; % 原离散信号有 8 点 n=[0:1:N-1] %原信号是 1行 8列的矩阵 xn=0.5.^n; %构建原始信号,为指数信号 w=[-8:1:8]*4*pi/8; %频域共 -800 +800 的长度(本应是无穷, 高频分量很少, 故省去) X=xn*exp(-j*(n'*w)); %求 dtft 变换,采用原始定义的方法,对复指数分量求和而得 subplot(311) stem(n,xn); w1=[-4:1:4]*4*pi/4; X1=xn*exp(-j*(n'*w1)); title(' 原始信号 (指数信号 )'); subplot(312); stem(w/pi,abs(X)); title(' 原信号的 16 点 DFT 变换 ') subplot(313) stem(w1/pi,abs(X1)); title(' 原信号的 8 点 DFT 变换 ') 计算机的计算来说是不可以实现的, DFT 就是序列的有限傅里叶变换。 实际上, 1 中代码也只是对频域的 -800 +800 中间的 1601 结果图: 分析: DFT 只是 DTFT 的现实版本,因为 DTFT 要求求和区间无穷, 而 DFT 只在有限点内求和。 3. 快速傅里叶变换 FFT ( Fast Fourier Transform ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
南昌大学实验报告 学生姓名:学号:6100209228 班级:电子093班 实验类型:□验证□综合■设计□创新实验日期:2011-04-8 实验成绩: 傅里叶变换 (一)实验目的 1、掌握对不同的函数进行傅里叶变换的程序编写; 2、熟悉生成联系周期信号的方法; 3、练习matlab编程。 (二) 实验内容 1.请编写函数F=fsana(t,f,,N),计算周期信号f的前N个指数形式的傅立叶级数系数,t表示f对应的抽样时间(均为一个周期);再编写函数f=fssyn(F,t),由傅立叶级数系数F合成抽样时间t对应的函数。设计信号验证这两个是否正确。 定义F=fsana(t,f,N)。 function F=fsana(t,f,N) omg1=2*pi/(max(t)-min(t)); k=[0:N]'; F=1/length(t)*exp(-j*kron(k*omg1,t.'))*f 定义f=fssyn(F,t) function f=fssyn(F,t) omg1=2*pi/(max(t)-min(t)); N=floor(length(F)/2); k=[0:N]; f=exp(j*kron(t,k*omg1))*F; 运行所定义的函数 T1=2*pi; %一个周期时域范围 N1=300; %时域抽样点数
t=linspace(0,T1-T1/N1,N1)'; %生成抽样时间点 f=cos(t); %生成抽样函数值 subplot(2,2,1) plot(t,f); title ('原函数') N=10; F1=fsana(t,f,N); %调用fsana函数求解前N项傅立叶级数系数 subplot(2,2,2) stem(abs(F1),'s'); %绘制离散的幅度曲线 title('前N项傅立叶级数系数幅度曲线'); f2=fssyn(F1,t); %调用fssyn函数求原时域函数 subplot(2,2,3) plot(t,f2,'k'); title('傅立叶逆变换后时域函数'); 运行结果
快速傅里叶变换实验
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实验七快速傅里叶变换实验 2011010541?机14 林志杭 一、实验目的 1.加深对几个特殊概念的理解:“采样”……“混叠”;“窗函数”(截断)……“泄漏”;“非整周期截取”……“栅栏”。 2.加深理解如何才能避免“混叠”,减少“泄漏”,防止“栅栏”的方法和措施以及估计这些因素对频谱的影响。 3.对利用通用微型计算机及相应的FFT软件,实现频谱分析有一个初步的了解。 二、实验原理 为了实现信号的数字化处理,利用计算机进行频谱分析――计算信号的频谱。由于计算机只能进行有限的离散计算(即DFT),因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断。而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变,从而使DFT的计算结果与信号的实际频谱有误差。有时由于采样和截断的处理不当,使计算出来的频谱完全失真。因此在时域处理信号时要格外小心。 时域采样频率过低,将引起频域的“混叠”。为了避免产生“混叠”,要求时域采样时必须满足采样定理,即:采样频率fs必须大于信号中最高频率fc的2倍(fs>2fc)。因此在信号数字处理中,为避免混叠,依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。 频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩散(如由一个δ(f)变成一个sinc(f),而泄漏的旁瓣将影响其它谱线的数值。时域截断还会引起“栅栏效应”,对周期信号而言,它是由于截断长度不等于周期信号的周期的整数倍而引起的。因此避免“栅栏”效应的办法就是整周期截断。 综上所述,在信号数字化处理中应十分注意以下几点: 1.为了避免“混叠”,要求在采样时必须满足采样定理。 为了减少“泄漏”,应适当增加截断长度和选择合适的窗 对信号进行整周期截取,则能消除“栅栏数应”。 增加截断长度,则可提高频率分辨率。 三、预习内容 熟悉Matlab语言、函数和使用方法;利用Matlab所提供的FFT函数编写程序。 四、实验内容及步骤 调通所编写的程序,对下列信号〔函数〕进行离散FFT变换,根据题目的要求……FFT变换点数〔截断长度〕及采样频率,计算各点的傅里叶变换值,画出频谱图,对典型的谱线标出其幅值及相角。 (-)内容: 1. t t t t x 3 cos 2 sin ) 6 sin( )(ω ω π ω+ + + = 代码: N=input('N='); n=input('n=');t=1:1:N;