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初中奥数讲义_直线与圆附答案

注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点．

【例题求解】

【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为．

思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三

角形，先求出⊙O的半径．

注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用．

【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是( )

A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50°

(山西省中考题)

思路点拨略

【例3】如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是

⊙O 的切线．

问：(1)若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由；

(2)如果AB=AC=5cm ，sinA=5

3，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切? (2001年黑龙江省中考题)

【例4】如图，已知Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)．

(1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长；

(2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由． (广州市中考题)

思路点拨对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围．

注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有：

(1)从直线与圆交点个数入手；

(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径．

一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；

六年级奥数讲义应用题

第五讲应用题 1. (2002年一零一培训学校六年级计算机素质培训班结业检测题一试第5题) 某同学在家看一本足球杂志，第一天看了全书的1 6 ，第二天看了24页，第三天看的页数是前两天看的总数的150%。这是还剩下全书的 1 4 没有看，全书共有多少页？【分析】前三天看了全书的 3 4，把前两天看的看作一个整体，为1份，那么第三天看的为1.5份，所以前两天看的占全书的31341 1.510?=+。全书共有：3124180106?? ÷-= ??? （页） 2. (2005~2006学年度一零一计算机综合素质培训学校第一学期期末测试Ⅰ第3题) 有三堆数量相同的棋子，第一堆的黑子与第二堆的白子一样多，第三堆的黑子占全部的黑子1 3 ，所有的白子占总数的几分之几？【分析】可以采用假设法。根据题意，可假设三堆棋子数目具体为：第一堆一枚黑子一枚白子，第二堆一枚黑子一枚白子，第三堆一枚黑子一枚白子。很明显可以看出，白子占总数的二分之一。 3. (2003年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷第6题) 六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和歌唱小组，有的同学还同时参加了两个小组。若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的5 1 ，是参加歌唱小组的9 2 ，这个班只．参加体育小组与只．参加歌唱小组的人数之比是多少？【分析】抓不变性，利用参加两个小组的人数是不变的来解题。首先，12 510 =，所以设两个小组都参加的人数为2份，那么参加体育小组的为10份，参加歌唱小组的为9份。只参加体育小组的占8份，只参加歌唱小组的占7份，它们之比为8:7 4. (2004年一零一培训学校“圆明杯”数学邀请赛试卷Ⅰ卷第3题) 真题模考

圆专题讲义

与圆有关的证明及计算 1．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙ O于D，过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． 2．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点 CBF=∠CAB．ACF在的延长线上，且∠ （1）求证：直线BF是⊙O的切线； CBF=，求BC和BF的长．（2）若AB=5，sin∠ 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA

平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．是的中点，过点D作是⊙O的直径，DO4．如图，已知△ABC内接于⊙，AC．ECA 的延长线、F直线BC的垂线，分别交CB、的切线；）求证：EF是⊙O（1 ，求⊙O的半径．EF=8（2）若，EC=6 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD； P=，求⊙Osin∠的直径．，（2）若BC=3

6．如图，直线EF交⊙O于A、B两点，AC是⊙O直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥EF，垂足为E．（1）求证：AD平分∠CAE；（2）若DE=4cm，AE=2cm，求⊙O的半径． 7．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点 E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？

(完整版)直线与圆专题讲义教师版

一、知识梳理 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线:0l ax by c ++= 的距离为：d = 2.已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为 1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 3．两条直线的位置关系：直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注 2 22111::b x k y l b x k y l +=+= 21,21b b k k ≠= 121-=?k k 21,l l 有斜率 4. 已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 5．圆的方程： ⑴标准方程：①2 2 2 )()(r b y a x =-+- ；②2 22r y x =+ 。 ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)042 2>-+F E D 注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0； 6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离） ①?=R d 点在圆上；②?R d 点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：（d 表示圆心到直线的距离） ①?=R d 相切；②?R d 相离。 ⑶圆与圆的位置关系：（d 表示圆心距，r R ,表示两圆半径，且r R >） ①?+>r R d 相离；②?+=r R d 外切；③?+<<-r R d r R 相交； ④?-=r R d 内切；⑤?-<

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式一?知识要点 1 ?乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。 2. 基本公式完全平方公式：（a 士b）2=a2士2ab+b2 平方差公式：（a+b）（a—b）=a2—b2 立方和（差）公式：（a 士b）（a2」ab+b2）=a3士b3 3?公式的推广（1）多项式平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。（2）二项式定理：（a 士b）3=a3± 3a2b+3ab2士b3 （a士b）4=a4士4a3b+6a2b2士4ab3+b4 （a 士b）5=a5士5a4 b+10a3b2士10a2b3+ 5ab4士b5 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 4 ?公式的变形及其逆运算由(a+b) 2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2—2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b) 5 ?由平方差、立方和(差)公式引伸的公式 (a+b) (a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4 (a+b)(a4—a3b+a2b2—ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数（a+b）（a2n—1—a2n—2b+a2n —3b2—…+ ab2n—2—b2n —1）=a2n—b2n （a+b）（a2n—a2n —1b+a2n—2b2-…-ab2n —1+b2n）=a2n+1+b2n+1 类似地：（a—b）（a n—1+a n—2b+a n—3b2+…+ ab n—2+b n—1）=a n—b n 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n— b n能被a—b整除， a2n+1 +b2n+1能被a+b 整除, a2n—b2n能被a+b及a—b整除。二?例题精选例1 .已知x、y满足x2+y2+ 5 =2x+y,求代数式一~的值。 4 x + y 例2 ?整数x,y满足不等式x2+y2+1 < 2x+2y,求x+y的值。例3 .同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整甲商场：？第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;

初中数学专题讲义-圆(一)

初中数学专题讲义-圆(一) 一、课标下复习指南 1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆具有旋转不变性． 3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．7．点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外?d＞r；点P在圆上?d＝r；点P在圆内?d＜r． 8 直线和圆相离相切相交的位置图形公共点的 0 1 2 个数公共点无切点交点名称直线名称无切线割线圆心到直线的距离 d＞r d＝r d＜r d与半径 r的关系

9．切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (会过圆上一点画圆的切线) 10．切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径． 11．切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．二、例题分析例1 已知：如图14－1，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．图14－1 (1)若AB ＝32，OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长．分析圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．解 ∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB (1)∵AB ＝32，∴AC ＝BC ＝3． ∵OC ＝1，由勾股定理得OA ＝2． ∴CD ＝OD －OC ＝OA －OC ＝1． (2)∵OD ⊥AB ，OA ＝OB ， ∴∠AOD ＝∠BOD ． ∵∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝60°． ,2 160cos cos R OA AOC OA OC = ?=∠?=οΘ .2 1 21R R R OC OD CD =-=-=∴ 说明如图14－1，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2h ·tan n ° ;222h R -= CD ＝R －h ；的长＝ ?180 πR n 例2 已知：如图14－2，⊙O 中，半径OA ＝4，弦BC 经过半径OA 的中点P ，∠OPC ＝60°，求弦BC 的长．

人教版初中数学讲义

人教版初中数学讲义第一章有理数一、正数和负数 1、正数、负数：大于零的数叫做正数，小于零的数叫做负数。应用：生产收入，海拔高低，气温的冷热，方位的指向，比赛的胜负，比例的增长等等。二、有理数 1、概念：整数和分数统称为有理数。 ??正整数??正整数?正数???整数正分数?零??????负整数 2、分类?零或????负整数??正分数?负数?分数????负分数??负分数?? 注：分数和小数可以互化，所以小数可以归为分数类。 3、“0”表示的意义：（1）0既不是正数也不是负数（2）0是整数（3）0不是表示没有，有时表示一种趋于正负的状态（4）0是最小的自然数，即是最小的非负整数（5）0不能作为分母（6）0等相反数是0（7）0的绝对值是0（8）0没有倒数（9）0乘以任何数都为0（10）0除以任何不为0的数都为0. 4、数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 5、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。与原点距离相等的两个数互为相反数。互为相反数的两个数相加得0（a，b互为相反数，则a+b=0） 6、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| |a|=??a(a≥0) ?-a(a<0) 两个负数，绝对值大的反而小。三、有理数的加减法 1、有理数的加法：（1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. 一个数同0相加，仍得这个数。（2）运算律：加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 2、有理数的减法：减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+（-b））引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。四、有理数的乘除法 1、有理数的乘法：

人教版必修二数学圆与方程知专题讲义

人教版必修二圆与方程专题讲义一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 2222 0004040A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质

涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 两点为直径的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）（1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 2.直线与圆相切（1）知识要点 ①基本图形

初中奥数讲义_动态几何问题透视附答案

【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是． (黄冈市中考题) 思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和3，但该路线与直线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和．【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置( ) A．在平分AB的某直线上移动 B．在垂直AB的某直线上移动 ⌒ C．在AmB上移动 D．保持固定不移动 (荆州市中考题) 思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．

【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A →B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题： (1)当x=3时，y的值是多少? (2)就下列各种情形： ①0≤x≤2；②2≤x≤4；③4≤x≤6；④6≤x≤8．求y与x之间的函数关系式． (3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下y与x的关系． (吉林省中考题) 思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算．注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与

六年级奥数讲义

第一讲立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合? 【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3 就是上面，(如图2)。从图中不难看出点F与点N，重合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧! 例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。练习与思考 1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合? 2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条? 3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?

初中数学竞赛辅导讲义全

专业资料初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算 [知识点击] 1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2．已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

专业资料解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。解：

六年级奥数专题培优讲义列方程解应用题及解析

六年级奥数专题培优讲义列方程解应用题及解析知识点梳理: 对于应用问题，解答方法往往不唯一，列方程解应用题便是其中的一种方法。这种解法的优越性是比较符合人们的习惯。准确地找出题目中的等量关系，恰当地设出未知数后列出方程是解题的关键。特另惺对于比较复杂的应用题，挖掘出题目中比较“隐蔽”的等量关系用于用于设未知数或列方程，就更为重要。典型例题精选: 【例11 ★有两根绳子，第一根长 56 cm,第二根长36 cm 。同时点燃后，平均每分钟都烧掉 2 cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的【解析1设点燃x 分钟【例21 ★★设有六位数l abcde ,乘以3后，变为abcdel,求这个六位数. 【解析1设：五位数 abcde =x ，则 1abcde =i00000+x , abcdel =io x +i 3(100000+x )= 10 x +1, x =42857,六位数为 142857 1 【例31 ★某班43名同学，其中3名男生和女生的丄参加书法比赛，剩下的男生比女生少 5 5人，则这个班男、女生个多少人? 【解析1设女生有 x 人，男生有（43-x ）人 1 43-x- 3= （1-一） x -5 , x =25, 43-x =18 5 【例41 ★★小方与朋友约好下午 4: 30分在咖啡厅见面，两人在早上 & 00分同时将自己的表对准，小方下午 4: 30准时到达咖啡厅，他的朋友没有来，原来朋友的手表比准确的时间每小时慢4分钟，朋友按照自己手表的 4: 30到达。问小方需要等候多少时间? 【解析1设需等候 x 分钟, 56 3 510= （510+x ） , X =36^ 60 7 【例51 ★同学们参加野炊，一摸同学到负责后勤的老师处领碗，老师问他领多少，他说领 55个。又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。问这名同学给多少人领碗?3倍? 56-2 x =3(36-2 x ) x =13

六年级奥数讲义下

六年级奥数讲义下：巧求面积习题

直角三角形ABC的两直角边AC=8cm，BC=6cm，以AC、BC为边向形外分别作正方形ACDE 与BCFG，再以AB为边向上作正方形ABMN，其中N点落在DE上，BM交CF于点T.问：图中阴影部分(△ANE、△NPD与梯形BTFG)的总面积等于多少? 从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是______平方厘米。下图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA 的中点，计算图中红色八边形的面积。

求面积答案：至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示. 【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MO F的面积为正方形面积的，N为OF中点，△OPN 面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的.

如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大。如图，已知边长为5的额正方形ABCD和边长为的正方形CEFG共顶点C，正方形CEFG绕点C旋转60°，连接BE、DG，则ΔBCE的面积与ΔCDG的面积比是_____. 1、有10张扑克牌，点数分别为1，2，3，…，9，10。从中任意取出若干张牌，为了使其中必有几张牌的点数之和等于15，问最少要取多少张牌? 2、在三角形ABC中，点E是BC边上的中点，点F是中线AE上的点，其中AE＝3AF，并且延长BF与AC相交于D，如下图所示。若三角形ABC的面积为48，请问三角形AFD的面积为多少？

六年级奥数培优简便运算一讲义

简便运算（一）一、知识要点根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。二、精讲精练【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）练习1：计算下面各题。 1、6.73－178 2+（3.27－179 1） 2、95 7－（3.8+951）－51 1 3、14.15－（87 7－2017 6）－2.125

【例题2】计算21333387×79+790×416666 练习2：计算下面各题： 1、 3.5×41 1+125％+211÷54 2、975×0.25+43 9×76－9.75 3、52 9×425+4.25÷601 【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3

练习3：计算： 1、 45×2.08+1.5×37.6 2、 52×11.1+2.6×778 3、 48×1.08+1.2×56.8 【例题4】计算：53 3×5225＋37.9×5 2 6 练习4：计算下面各题： 1、6.8×16.8＋19.3×3.2

2、138137 139 ＋137×1381 3、4.4×57.8＋45.3×5.6 【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5 练习5： 1、53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5 2、235×12.1＋+235×42.2－135×54.3 三、课后作业 1、137 13－（414+137 3）－0.75

2、 0.9999×0.7+0.1111×2.7 3、 72×2.09－1.8×73.6 3．3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5

初一数学基础知识讲义

第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ??? =??-??当为正数当为0当为负数三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()() ()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++ ++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4）满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . 第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1．若多项式( ) x y x x x mx 5378522 2 2 +--++-的值与x 无关，求()[] m m m m +---45222 的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63 5-++cx bx ax 的值。例3．当代数式532 ++x x 的值为7时,求代数式2932 -+x x 的值. 例4．已知012 =-+a a ，求200722 3 ++a a 的值.

六年级奥数讲义数论

第三讲数论 1、某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是【分析】可推知这个数为52。52被22除的余数是522228 ÷=???。 2、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是。【分析】69333711 =???所以最大的为：3721 31133 ? = ? ，第二个分数为： 11 63 。 3、在200至300之间，有三个连续自然数，其中。最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，那么，这样的三个连续自然数是。【分析】运用中国剩余定理，可求出满足条件的三个连续自然数为：264265266。 4、先任意指定7个整数，然后将它们按任意顺序填入27 ?方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。最后，将所有同一列的两个数之和相乘。那么，积是数。(填奇或偶)。【分析】运用假设法，带入1,2,3,4,5,6,7这7个整数计算。可得知积应为偶数。 5、将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘积等于52605，那么，这两个三位数的和等于。【分析】526053357167105501 =????=?，所以这两个三位数的和等于105501606 +=。真题模考

6、 1A ，A 除以11余5，除以9余7 ，除以13余3，这个数最小是（）【分析】运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：1303。 7、一位现在一百多岁的老寿星，公元2x 时的年龄为x 岁，则此老寿星2001年多少岁？【分析】 2441936=，老寿星出生于：1936441892-=，所以2001年为：20011892109-=岁。 8、两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______。【分析】 221314365+= 所以这两个连续自然数为13、14，222101112365++=，所以这三个连续自然数为10、11、12。 9、已知,m n 都是自然数，且2n =126m ，则n 的最小值为_______________。【分析】 1262337=??? 所以244223377=?????，n 最小值为44。 10、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这3种物品每样均平分给每个班，那么这三种物品剩下的数量相同，请问学校有多少个班？【分析】 118a b ÷=，67a b ÷=，33a b ÷=，利用被除数之间的差能被除数整除的原则，求出17a = 所以学校有17个班。【例1】在一位自然数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有可能的乘积的总和是【分析】 ()()23574689459+++?+++=。【例2】将1～9九个自然数分成三组，每组三个数。第一组三个数之积是48，第二组三个数之积是45，第三组三个数之和最大是。【分析】 48246=??，45159=??，所以第三组之和最大为：37818++=。考点拓展

六年级奥数基础班讲义

一.知识要点： 1. 圆柱的侧面展开图： 2. 圆柱的表面积和体积： 3. 圆锥的侧面展开图： 4. 圆锥的体积：二典型例题：例1. 看下图填出有关圆柱或圆锥的名称例3. 压路机的滚筒是一个圆柱，它的底面直径是1米，长是2米，每滚动一周能压多大面积的路面？如果它每分钟转动20圈，那么这台压路机每分钟压过的路面有多少平方米？练习：把4个棱长为2分米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积可能是（）平方分米，也可能是（）平方分米。例4:用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳长10厘米。（1）扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？（2）在它的整个侧面贴上商标和说明，这部分的面积至少是多少平方厘米？\ 例5: —段圆柱形木料的横截面面积是36平方厘米，长是15厘米，用它加工一个最大的圆锥，加工成的圆锥的体积是多少立方厘米？六年级奥数基础班讲义家长签字: 第二讲圆柱与圆锥例2.

练习：（1）一个长方体的长，宽，高分别是16厘米，12厘米，8厘米，若把它切削成一个尽可能大的圆锥，那么应削去多少立方厘米？（2）把一个长7厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体铁块铸造成一个圆锥形零件，这个零件的底面积是35平方厘米，高是多少厘米？例6:小明为了测量出一个鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：（1）在一个底面直径是8厘米的圆柱形玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米；（2）将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，那么这个鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？（结果保留整数）练习：（1）把一个底面直径为8厘米，高为21厘米的圆锥放在一个盛有水的底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯中，当把这个圆锥取出来后，杯里的水面高度会下降多少厘米/ （2）把一个圆锥形零件从一个圆柱的容器中取出后，水面下降3厘米，圆柱形容器的底面直径是20厘米，圆锥形零件的高是12厘米，它的底面积是多少平方厘米？（3）在一个底面直径是20厘米的圆柱形玻璃水槽中放入一个高4厘米的金属圆柱后，槽中的水面比原来升高1.5厘米，这个金属圆柱的底面积是多少平方厘米？例7?学校有一堆圆锥形的沙，底面周长是 6.28米，高1.2米，准备挖一个长6米，宽3米, 深0.5米的跳坑，那么这堆沙够用吗? 练习：（1 ）如图是一个圆柱，如果把它的高截短3厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米, 那么它的体积将减少多少立方厘米? 2米，那么1分钟流练习：（2）在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒过的水有多少立方米?

(完整版)初三圆的复习讲义

圆的复习知识要点第一部分：【圆的知识点复习】 1、圆有关的公式：周长：2c R π=面积2s R π=弧长180n R l π=扇形面积2 360n R l π= 2、圆的有关概念： <1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径。同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。圆既是轴对称图形<经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形<圆心是对称中心）。 <2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． <3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角． <4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． <5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 3、点与圆的位置关系：点P 与圆心的距离为d ，则点在直线外?r d >；点在直线上?r d =；点在直线内?r d <。

4、圆的确定：确定圆的基本条件：<1）圆心——确定圆的位置 <2）半径——确定圆的大小确定圆的方式：<1）已知圆心的位置与半径的长度 <2）已知直径及其位置 <3）不在同一直线上的三点 5、三角形的外心和内心： 1、三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。b5E2RGbCAP 2、三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。如图：⊙O为△ABC的内切圆，O为△ABC的内心。 p1EanqFDPw 说明：<1）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角。DXDiTa9E3d <2）三角形的内心到三边的距离是相等的。注：锐角三角形的外心在该三角形的内部直角三角形的外心为斜边的中点钝角三角形的外心在该三角形的外部 6、圆的有关性质： <1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

初中奥数讲义_几何不等式附答案

1 几何不等式 1．三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中． 2．在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理： (1)三角形任何两边之和大于第三边． (2)三角形任何两边之差小于第三边． (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． (4)同一三角形中大边对大角． (5)同一三角形中大角对大边．例题求解【例1】如图19-2，在等腰梯形ABCD 中，A ∥BC ，AB=CD ，E 、F 分别在AB 、CD 上且AE=CF ．求证：)(2 1BC AD EF +≥．思路点拨如图所示，延长AD 至D 1使DD 1=BC ，延长BC 至C l ，使CC l =AD ，连结C l D l ，则ABC 1D l 是平行四边形，ABCD 和CDD l C l 是两个全等的梯形，在D 1C 1上取一点G 使D 1G=AE ，连结FG 和EG ．由AE=CF ，则EF=FG ，又EG=AD 1=AD+BC ， ∴ 2EF=EF+FG ≥EG=AD+BC ．即)(2 1BC AD EF +≥．注当且仅当点F 落在EG 上时，即E 为AB 的中点时，结论中的等号成立．证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等式关系．【例2】如图19-3，△ABC 中，AB>AC ，BE 、CF 是中线，求证：B E>CF ．

初中奥数讲义_图形的初步认识

1 图形的初步认识一、学习策略指引简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，需要在图形形状方面进行想象和判断，掌握立体图形和平面图形的联系与转化，可以培养抽象的空间想象能力. 1.三视图:就是从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，从正面看到的图形，称为正视图；从上面看到的图形，称为俯视图；从侧面看到的图形，称为侧视图，依观看的方向不同，有左视图、右视图. 2.一个视图不能确定物体的空间形状，根据三视图要描述几何体或实物原型时，必须将各视图对照起来看. 3.一个摆好的几何体的视图是唯一的，但从视图反过来考虑几何体时，它有多种可能性。例如：正方体的主视图是正方形，但主视图是正方形的几何体有直三棱柱、长方体、圆柱等. 4.技巧与方法：由三视图想象物体的形状，对初学者来说是一个难点，需按规律操作：抓住俯视图，结合其它两种视图，发挥空间想象.例如对简单组合体可在俯视图上操作，参照主视图从左到右，结合左视图从前排到后排，确定每一个位置上的正方体的个数，在相应的俯视图上标上数字. 5.钟表问题:钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追击问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时(分)针的转动速度．二、型例题分析: 例1:由几个小立方体搭成的一个几何体如图1所示，它的主（正）视图见图2，那么它的俯视图为（）例2.如图是由几个完全相同的小正方体所垒的几何体的俯视图，小正方形中的数字代表该位置小正方体的块数，请你画出这个立方体的正视图和左视图．例3.一个画家有14个边长为1m 的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（）. A. 19m 2 B. 21m 2 C. 33m 2 D. 34m 2 图1 图 2 Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．