09年 北京中考数学模拟分类——二次函数综合题
1、[2009平谷区二模]24.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点
(03)A ,、(10)C -,.将矩形OABC 绕原点O 顺时针
方向旋转90o
,得到矩形OA B C '''.设直线BB '与x 轴交于点M 、与
y 轴交于点N ,抛物线经过点C 、M 、N .解答
下列问题:
(1)求直线BB '的函数解析式; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上求出使OABC C B P S 2
9
S 矩形='
'?的所有点P 的坐标.
2、[2009朝阳二模]23.(本小题7分)如图,点A 在x 轴的负半轴上,OA=4,
将△A BO 绕坐标原点O 顺时针旋
转90°,得到△O B A 11,再继续旋转90°,得到△O B A 22.
抛物线y= ax 2
+bx+3经过B 、1B 两点.
(3)在该抛物线上找一点P ,使得△2PBB 是以2BB 为底的等腰
三角形,求出所有符合条件的点P 的坐标;
(4)在该抛物线上,是否存在两点M 、N ,使得原点O 是线段MN
的中点,若存在,直接写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由.
3、[20XX 年昌平区二模]24.如图1,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线AC
的解析式为y =,直线
AC 交x 轴
于点C ,交
y 轴于点A .
(1)若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合,求直角
顶点B 的坐标;O
(2)若(1)中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转,旋转角
度为()0180αα?<,当点B 落在直线AC 上的点B '处
时,求α的值;
(3)在(2)的条件下,判断点
B '是否在过点B 的抛物线
23y mx x =+上,并说明理由.
x
4、[20XX 年海淀区]23、已知:关于x 的一元二次方程
22(2)0x n m x m mn +-+-=①
(1)求证:方程①有两个实数根;
(2)若10m n --=,求证方程①有一个实数根为1; (3)在(2)的条件下,设方程①的另一个根为a ,当2x =时,
关于m 的函数1y nx am =+与和关于m 的函数
222(2)y x a n m x m mn =+-+-的图像交于点A 、B (点A 在点
B 的左侧),平行于
y 轴的直线l 与1y 、2y 的图像分别交于
点C 、D.当l 沿AB 由点A 平移到B 点时,求线段CD 的最大值.
5、[20XX 年海淀区二模]24、如图,已知抛物线
22(3)2(3)4y m x m x m m =-+-+-的顶点A 在双曲线
3y x
=上,
直线y mx b =+经过点A ,与y 轴交于点B ,与x 轴交于点C.
(1)确定直线AB 的解析式;
(2)将直线AB 绕点O 顺时针旋转90?,与x 轴交于点D ,与
y 轴
交于点E ,求sin BDE ∠的值.
(3)过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ,点M 在直线BG
6、[20XX 年丰台区二模]25.已知抛物线2
y ax bx c =++经过点A (5,0)、B (6,-6)和原点. (1)求抛物线的解析式;
(2)若过点B 的直线y kx n =+与抛物线相交于点C (2,m ),求
?OBC 的面积;
(3)过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ,在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上,任取一点P ,过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ,交直线DC 于点E .是否存在点P ,使得以C 、E 、P 为顶点的三角形与?OCD 相似?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
7、[20XX 年石景山二模]23.如图,四边形ABCD 是菱形,点D 的坐标是(
,
3),以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2恰经过x 轴上的点A 、B .
(1)求点C 的坐标;
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D ,求平移后抛物线的解析式.
8、[20XX 年石景山区二模]24.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,AOB ?为等边三角形,点
A 的坐标是(34
,
0),点B 在第一象限,AC 是OAB ∠的平分线,并且与y 轴
交于点E ,点M 为直线AC 上一个动点,把AOM ?绕点A
顺时针旋转,使边AO 与边AB 重合,得到ABD ?.
(1)求直线OB 的解析式;
(2)当M 与点E 重合时,求此时点D 的坐标;
(3)是否存在点M ,使OMD ?的面积等于33,若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 9、[20XX 年大兴二模]25.已知,抛物线c bx ax y ++=2过点
)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C ,此抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;(2)把ABC △绕AB 的中点M 旋转180o
,得到四边形AEBC . ①求E 点的坐标;
②试判断四边形AEBC 的形状,并说明理由.
(3)试探求:在直线BC 上是否存在一点P ,使得PAD △的周长最小,若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理
由.
10、[20XX 年房山二模]24.如图,已知抛物线经过点B (-2,3)、原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴与x 轴交于点C (2,0), (1)求此抛物线的函数关系式;
(2)联结CB, 在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,求点E 的坐标;
(3)在(2)的条件下, 联结BE,设BE 的中点为G,在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使得△PBG 的周长最小?若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由.
第24
C
B
A
y
x
E
O x
B
O C
A
y
y
x
O A
B C
D 第23题
11、[20XX 年房山二模]23.已知抛物线232y x x n =++, (1)若n=-1, 求该抛物线与x 轴的交点坐标; (2)当11<<
-x 时,抛物线与x 轴有且只有一个公共点,求
n 的取值范围.
12、[20XX 年西城二模]24. 如图,抛物线y =ax 2
+bx +c 的顶点为
A (0,1),与x 轴的一个交点
B 的坐标为(2,0),点 P 在抛
物线上,其横坐标为2n (0 (2)用n 的代数式表示CD 、PD 的长,并通过计算说明PD OC CD OB 与的大小关系; (3)若将原题中“0 A B C D O x y P 13、[2009平谷二模]25、已知,关于x 的一元二次方程:2(4)30x a x a ---+=(0a <) (1)求证:方程一定有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为1x ,2x (其中12x x <),若y 是关于a 的函数,且21 23x y x =+,求这个函数的解析式; (3)在(2)的条件下,利用函数图像,求关于a 的方程10y a ++=的解. 1 2 3 4 4 3 2 1 a y O -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 14、[20XX 年延庆二模]25.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO 在X 轴正半轴上,边CO 在Y 轴的正半 轴上,且AB=2,OB=23,矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ,且点A 落在Y 轴上的E 点,点B 的对应点为点F ,点C 的对应点为点D. ⑴求F 、E 、D 三点的坐标; ⑵若抛物线 c bx ax y ++=2经过点 F 、E 、D ,求此抛物线的 解析式; ⑶在X 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标,使得△QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积? x 线2 12 y x bx c =- ++与x 轴交于A 、B 两点(点A 在原点的左侧,点B 在原点的右侧),与y 轴交于点C ,且OA =2,OC =3. (1)求抛物线的解析式; (2)若点E 在第一象限内的此抛物线上,且OE ⊥BC 于D ,求点E 的坐标; (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使线段PA 与PE 之差的值最大?若存在,请求出这个最大值和点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 16、[2009宣武区二模]23.(本题满分7分)已知二次函数 2 441y ax ax a =++-的图象是C 1. (1)求C 1关于点R (1,0)中心对称的图象C 2的函数解析式; (2)在(1)的条件下,设抛物线C 1、C 2与y 轴的交点分别为A 、B ,当AB=18时,求a 的值. 过点(12)P b --,. (1)求b c +的值; (2)若3b =,求这条抛物线的顶点坐标; (3)若3b >,过点P 作直线PA y ⊥轴,交 y 轴于点A ,交抛物 线于另一点B ,且2BP PA =,求这条抛物线所对应的二次函数关系式.(提示:请画示意图思考) 18、[2009顺义二模]24、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线 m x m x y ++-=)1(2(m 是常数) 与y 轴交于点C ,与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧),且A 、B 两点在原点两侧. (1)求A 、B 两点的坐标(可用含m 的代数式表示); (2)若6ABC S ?=,求抛物线的解析式; (3) 设抛物线的顶点为D ,在(2)的条件下,试判断△ACD 的形状,并求tan ∠ACB 的值. 1. 24.(本题7分) OABC (13)B ∴-, 把(13)B -,,(31)B ',代入y mx n =+中,331m n m n -+=?? +=?,. 解得1252m n ? =-??? ?=?? ,. ∴ 1522y x =-+ . 3分 (2)由(1)得,) 0,5(M ),25 ,0(N . 4分 设二次函数解析式为 2 y ax bx c =++,把5(10)(50)02C M N ?? - ? ??,,,,,代入得, 52502525502c a b a b ?=???-+=? ? ? ++=??,,.解得12252a b c ?=-??=???=?,,. ∴二次函数解析式为 215222y x x =-++ . 5分 (3)313OABC S =?=Q 矩形, 227 S C B P =∴''?. 又3B C ''=Q ,∴点P 到B C ''的距离为9.则P 点 的纵坐标为10或8-. ∵抛物线的顶点坐标为( 29,2) ∴P 的纵坐标是10,不符合题意,舍去 ∴P 的纵坐标是8-. 6分 当8y -=时, 25 2x x 2182+ +-=-,即0214x x 2=--. 解得7x ,3x 21=-=. ∴)8,7(P ),8,3(P 21---. ∴满足条件的点P 的坐标是(-3,-8)和(7,-8). 2. 23.(本小题7分) 解:(1)过点B 作BE ⊥OA 于点E , ∵AB=OB , ∴OE=2 1 OA=2. ∴BE=122=-OE OB . ∴B (-2,1) . …………………1分 ∴)1,2(),2,1(21-B B . ∵抛物线32++=bx ax y 经过1B B 、两点, ∴???=++=+-,231324b a b a 解得???? ? -=-=3132b a . ∴ 抛 物 线 的解 析 式 为 33 1 322+--=x x y .……………2分 (2)∵当x=2时,131 32312322-≠-=+?-?-=y , ∴ 点 ) 1,2(2-B 不在此抛物线 上. ……………………3分 (3)点P 应在线段2BB 的垂直平分线上,由题意可知,21BB OB ⊥且平分2BB , ∴点P 在直线1OB 上. 可求得1OB 所在直线的解析式为 y=2x . ……………………………4分 又点 P 是直线 y=2x 与抛物线 33 1 322+--=x x y 的交点, 由?? ???+--==,331 3222x x y x y 解得???==2111y x ,????? -=-=9 2922y x . ∴符合条件的点P 有两个,)2,1(1P 即点1B 和 )9,29 (2--P .………………………5分 (4 223 3. 24.解:(1)在图1中,∵直线AC 交x 轴于点C , ∴点()2,0C ,即(20)D ,.…………………………..1分 过点B 作BE x ⊥轴于点E . ∵OBD ?是等腰直角三角形,直角顶点为B , ,45OB BD BDE ∴=∠=?, 11,2 OE ED BE OC ∴==== 图1 ∴(1,1)B .…………………………………………………….2分 (2)∵直线AC 交y 轴于点A , ∴(0,3A . 在图2中,过点O 作OF AC ⊥于点F . 在Rt AOC △中, tan AO ACO OC ∠== 30ACO ∴∠=? , 图2 60,1FOC OF ∴∠=?=. 在Rt B OD '△中,利用勾股定理,得OB '= 在Rt OB F '△中, cos 2OF B OF OB '∠==', 45B OF '∴∠=?. 45B OD '∠=?Q , 90DOF ∴∠=?, 30COD α∴∠==?.…………………………………….4分 (3)Q 抛物线23y mx x =+过点(1,1)B , 2m ∴=-, ∴抛物线的解析式为2 23y x x =-+.………….5分 设点(),B a b ',则2222a b +==. 又点(),B a b '在直线AC 上, b ∴=+ 22 (2a ∴++=, ∴a =(负值不符合题意,舍), b ∴=.……………………………………………..6分 将a =代入抛物线的解析式223y x x =-+2112()32212++-?+? = Q b =. ∴点B '在过点B 的抛物线223y x x =-+上.…7分 4. 23. ∵n 2≥0, ∴Δ≥0. ∴方程①有两个实数根. (2)解:由m -n -1=0,得m -n =1. 当x =1时, 等号左边=1+n -2m +m 2-mn =1+n -2m +m (m -n )=1+n -2m +m =1+n -m =0. 等号右边=0. ∴左边=右边. ∴x =1是方程①的一个实数根. (3)解:由求根公式,得2 2n n m x ±-= . x =m 或x =m -n . ∵m -n -1=0, ∴m -n =1,n =m -1. ∴a =m . 当x =2时,y 1=2n +m 2=2(m -1)+m 2=m 2+2m -2. y 2=22+2m (n -m -m )+m (m -n )=4+2m (-1-m )+m =-2m 2-m +4. 如图,当l 沿AB 由点A 平移到点B 时, 3427212 +??? ? ? +m . 由y 1=y 2,得m 2+2m -2=-2m 2-m +4. 解得m =-2或m =1. ∴m A =-2,m B =1. 121 2<-<-Θ, ∴当m =21-时,CD 取得最大值4 27 . 5. 解:(1)y =(3-m )(x 2-2x +1)+4m -m 2-3+m =(3-m )(x -1)2+5m -m 2-3. ∴A (1,-m 2+5m -3). ∵点A 在双曲线x y 3 = 上, ∴xy =3. -m 2+5m -3=3. 解得m =2,m =3(不合题意,舍去). ∴m =2,A (1,3). ∵直线y =mx +b 经过点A , ∴3=2×1+b . b =1. 故直线AB 的解析式为y =2x +1. (2)由y =2x +1,可得B (0,1),?? ? ??- 0,21C . 将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°, 得点B 的对应点为D (1,0), 点C 的对应点为?? ? ??21,0E . 可得直线DE 的解析式为2 121+- =x y . 由?? ???+-=+=,21 21, 12x y x y 得两直线交点为??? ??-53,51F . 可得DE ⊥BC ,BD =2,5 5 =BF . 7. 23. 解:(1)联结 ,在菱形 ABCD 中 , // , ,由抛物线对称性可知 .………………………………1分 ∴ 都是等边三角形. .…………2分 ∴点 为(2, ).…………………………………3分 (2)由抛物线 的顶点 可设抛物线的解析式为 .由(1)可得 (1,0),把 解得 .………………5分 设平移后抛物线的解析式为 ,把(0,式得.∴平移后抛物线的解析式为 .……………………7分 即. 10. 24. 解:(1)抛物线的解析式为:2 14 y x x = - ------------------2分 (2)1(2,5)E ,2(2,5)E - -----------------------4分 (3)存在. ①当1(2,5)E 时,1(0,4)G ,设点B 关于直线x=2的对称点为D , 其坐标为(6,3) -------------------5分 直线1DG 的解析式为:146y x =-+,∴1P (2,11 3 ) ------------------6分 ②当2(2,5)E -时,2(0,1)G -,直线2DG 的解析式为:2 13 y x =- ∴2P (2,1 3 ) -------------------------7分 综合①、②存在这样的点P ,使得△PBG 的周长最小,且点P 的坐标为(2,11 3 ) 或(2,1 3 ) -----------------------------------------8分 11. 23. 解:(1)当n=-1时,抛物线为1232-+=x x y , 方程01232=-+x x 的两个根为:x=-1或x= 1 3 . ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-,和103?? ??? ,. ···························· 2分 (2)∵抛物线与x 轴有公共点. ∴对于方程 2320x x n ++=,判别式△=4-12n ≥0, ∴n ≤31 . --------------------------------3分 ①当13 n =时,由方程031232=++x x ,解得31 21-==x x . 此时抛物线为31 232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103??- ??? ,. ·············· 4分 ②当n <1 3 时, 11-=x 时,132y n =-+=1+n 12=x 时,2325y n n =++=+ 由已知11<<-x 时,该抛物线与x 轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为3 1-=x , 应有1y ≤0,且2y >0 即1+n ≤0,且5+n >0 ---------------------------------------5分 D 1G 2G y 综合①、②得n 的取值范围是:1 3 n =或-5<n ≤-1. -----------------------------7分 12. 24.解:(1)如图①. 第24题答图 ∵抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为A (0,1),经过(2,0)点, ∴y =ax 2+1, 又4a +1=0,解得41- =a . ∴抛物线的解析式为14 12 +-=x y . (2)设直线AB 的解析式为y =kx +b . ∵A (0,1),B (2,0). ???=+=∴.02,1b k b 解得????? =-=. 1, 21b k ∴直线AB 的解析式为12 1 +-=x y . ∵点P 在抛物线上,它的横坐标为2n (0<n <1), ∴点P 的坐标为(2n ,1-n 2),且点P 在第一象限. 又∵PC ⊥x 轴于C ,PC 交射线AB 于点D , ∴x D =OC =2n ,n n y D -=+?- =1122 1 ,且点D 在第一象限. ∴CD =1-n . PD =y P -y D =(1-n 2)-(1-n )=n -n 2=n (1-n ). ∵0<n <1. n n n n CD PD =--=∴ 1) 1(. n n OB OC ==22Θ, OB OC CD PD =∴. 点P 的坐标为(2n ,1-n 2). ∵x D =OC =2n , n n y D -=+?-=∴1122 1 . ∵D 点在第四象限, ∴CD =-y D =n -1, PD =y D -y P =(1-n )-(1-n 2)=n (n -1). ∵n >1, n n n n CD PD =--=∴ 1) 1(, n n OB OC ==22Θ,OB OC CD PD = ∴仍然成立. 13. 解:(1)△ =)3a (4)4a (2-+-=44a a 2 +-=2)2a (- ∵a<0, ∴ 0)2a (2 >-. ∴方程一定有两个不相等的实数根. (2)2)2a ()4a (x 2-±-= =2) 2a ()4a (-±- ∴3a x -=或1 22 a 4a x -=+--= . ………………………………………3分 ∵a<0,21x x <, ∴1x ,3a x 21-=-= ………………………4分 2x 32x y +=a 23a 32-=-+-)0a (< a 2y - = )0a (<和1a y --=)0a (<的图像.…………..6分 由图像可得当a<0时,方程方程01a y =++的解是 2a -=.………………………….7分 14. 25.解:(1)联结AO ,Q ABOC , 322==OB AB ,40=∴A ………1分 Q 矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形 EFOD ,A 落在y 轴上的点E 4==∴EO AO )4,0(E ∴ ……………………(2分) 过 D 点 作 DH ⊥ X 轴 于 H , AOB DOH ABO DHO ∠=∠∠=∠,Θ, DHO ?∴∽ABO ? AO DO OB HO AB DH = =∴ 4,2,32,2====AO DO OB AB Θ 3,1==∴OH DH )1,3(-∴D …………………………3分 同理得)3,3(F ∴ …………………………4分 (2)因为抛物线c bx ax y ++=2 经过点F 、E 、 D ∴C=4 ?????+-=++=∴43314333b a b a 求得:4 ,33 ,32==-=c b a 所求抛物线为:4 33 322++-=x x y …………………………5分 设三角形QOB 的OB 边上的高为h ,则 3223221 ?=??h , 所以4=h …………………………6分 因为点Q 在x 轴上方的抛物线上, )4,(x Q ∴ 23 ,0,433324212= =++-=∴x x x x ………7分 所以Q 的坐标是)4,0(或) 4,23 ( …………………………8分 15. 23.解:(1)根据题意,得A (-2,0)、C (0,3).…………………………………………1分 Q 抛物线21 2y x bx c =-++ 过A (-2, 0)、C (0,3)两点, ∴ 220,3.b c c --+=??=? 解得 1,23.b c ? =?? ? =? ∴ 抛物线的解析式为 211 3 22y x x =-++.………………………2分 (2)由211 3 22y x x =-++可得 B 点坐标为 (3,0). ……………………………3分 ∴OB =OC =3. x Q OD ⊥BC , ∴OD 平分∠BOC .……………………4分 ∴点E 的横坐标等于纵坐标. 解方程组2,11322y x y x x =???=-++??得 122, 2; x y =?? =?223, 3.x y =-?? =-? ∴点E 的坐标为(2,2).……………5分 (3) 在抛物线的对称轴上存在一点P ,使 线段PA 与PE 之差的值最大. 当点P 为抛物线的对称轴 12x = 和BE 所在的直线26y x =-+的交点时,PA -PE =PB -PE=BE ,其值最大. BE =22 12+=5. ……………6分 由12,26x y x ?= ?? ?=-+?解得12,5.x y ?= ?? ?=? ∴点P 的坐标为(1/2, 5). …………………………………………………7分 ∴点P 为(1/2,5)时PA -PE 的最大值为5. 16. 23.解:(1)由y =a (x +2)2-1,可知抛物线C 1的顶 点为M (-2,-1).由图知点M (-2,-1)关于点R (1,0)中心对称的点为N (4,1),以N (4,1)为顶点,与抛物线C 1关于点R (1,0)中心对称的图象C 2也是抛物线,且C 1与C 2的开口方向相反,故抛物线C 2的函数解析式为y =-a (x -4)2+1, 即y =-ax 2+8ax -16a +1. 第23题答图 (2)令x =0,得抛物线C 1、C 2与y 轴的交点A 、B 的纵坐标分别为4a -1和-16a +1, ∴AB =|(4a -1)-(-16a +1)|=|20a -2|. ∴|20a -2|=18. 当101