高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案
1. 解: (1)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;
x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.
(2)相等.
因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.
(3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.
2. 解: (1)要使函数有意义,必须
400x x -≥??
≠? 即
40x x ≤??
≠?
所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U .
(2)要使函数有意义,必须
30lg(1)010x x x +≥??
-≠??->? 即
301x x x ≥-??
≠??
所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).
(3)要使函数有意义,必须
210x -≠ 即 1x ≠±
所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞U U .
(4)要使函数有意义,必须
12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤
即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π
66k x k +≤≤+,(k 为整数).
也即ππππ
66k x k -+≤≤+ (k 为整数).
所以函数的定义域是ππ
[π,π]
66k k -++, k 为整数.
3.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1
x 可以是不为零的任意实数,此
时,
1sin
x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-=
=+--1111().111x x f x x x --==++ 5.解: 1,
1101,01(1).
(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤
6.解: ()
ln (())2
2,g x x x f g x ==
(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==?=?
()2(())22,
(())()ln ()ln ln(ln ).x
f x f f x
g g x g x g x x x x x ====
7. 证:由
3
21y x =-
解得x =
故函数3
()21f x x =-
的反函数是
)y x =
∈R ,
这与
()g x =数,所以
3
()21f x x =-
和()g x =
.
8. 解: (1)由
11x y x -=
+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1x y x x -=≠-+.
(2)由ln(2)1y x =++得1
e 2y x -=-,
所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为
1
e 2()x y x -=-∈ R . (3)由25
3x y +=解得31
(log 5)2x y =
-
所以,函数25
3x y +=的反函数为31
(log 5)(0)2y x x =-> .
(4)由
3
1cos y x =+
得cos x =又[0,π]x ∈,
故x =又由1cos 1x -≤≤得3
01cos 2x ≤+≤,
即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数3
1cos ,[0,π]y x x =+∈的反函
数为(02)y x =≤≤.
9. 解
: (1)()()f x f x -===Q
()f x ∴=.
(2)
222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x
f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-Q ∴函数22e e sin x x
y x -=-+是奇函数.
10. 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有2
01x
x ≤+,当0x >时,有
2
1
122x x x x ≤=+,
故(,),x ?∈-∞+∞有
12y ≤.即函数21x y x =
+有上界. 又因为函数
21x y x =
+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数
21x y x =
+有界.
又由
121212122222
1212()(1)
11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=
-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而 当12x x >且121x x >时,12y y <.
故函数
21x
y x =
+在定义域内不单调.
(2)函数的定义域为(0,+∞),
10,0M x ?>?>Q 且12;e 0M x M x >?>>,使2ln x M >. 取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>,
所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<
故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.
11. 解: (1)124
(1)y x =+是由12
4
,1y u u x ==+复合而成. (2)2sin (12)y x =+是由2
,sin ,12y u u v v x ===+复合而成.
(3)5
12(110
)x y -=+是由152
,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.
(4)
1
1arcsin 2y x =
+是由1
,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成. 12.证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.
(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,
有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.
13.解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;
又每批有产品610x 件,库存数为6
102x 件,库存费为6100.052x ?元.
设总费用为,则63
100.05102y x x ?=+
. 14. 解: 当x 能被20整除,即[]20
20x x =时,邮资0.802025x x y =?=
; 当x 不能被20整除时,即[
]2020x x ≠
时,由题意知邮资0.80120x y ??=?+????.
综上所述有
,02000;2520
200.80,02000.
1202020x x
x x y x x x x ???<≤=??????=?
??????<≤≠+??????????且且
其中20x ??????,120x ??+????分别表示不超过20x ,120x +的最大整数.
15. 证: (1)由e e sinh 2x x
y x --==得
2e 2e 10x x
y --= 解方程2e 2e 10x x
y --=
得e x y =因为e 0x
>,
所以e x y =
ln(x y = 所以sinh y x =
的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==+-∞<<+∞
(2)由
e e tanh e e x x x x
y x ---==+得21e 1x y y +=-,得1112ln ,ln 121y y
x x y y ++==--; 又由10
1y
y +>-得11y -<<,
所以函数tanh y x =的反函数为
11arctan h ln (11).
21x
y x x x +==-<<-
16. 解: 011
()(2cot )(cot )
22S h AD BC h h BC BC h BC h ??=+=++=+ 从而 0cot S
BC h h ?
=-.
000()
2
2cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h h
BC h h
S S h h h h ?????=++==+=+---=+=+ o
o
由0
0,cot 0S h BC h h ?>=
->
得定义域为.
17. 解:
1
(1),
1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1
(2)cos π
2n n x n -=,
当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.
21
(3)(1)21n
n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.
18. 解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε?>,要使11π0sin 2n n x n n ε-=<<,只须
1n ε>.取1N ε??=??
??,则当n N >时,必有0n x ε-<. 当0.001ε=时,110000.001N ??==????或大于1000的整数.
(2)lim 0
n n a x →∞
==,0ε?>,
要使
0n x ε
-==
<=<
1
ε>
即
21
n ε>
即可.
取
21N ε??
=??
??,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 8
2110
0.0001N ??==????或大于108的整数.
19. 证: (1)0ε?>,要使22
110n n ε=<-,
只要n >
取
N =,则当n>N 时,恒有210n ε<-.故21lim 0n n →∞=.
(2) 0ε?>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要
5n ε>
,取5N ε??=????,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故
313lim 212n n n →∞-=
+. (3) 0ε?>,要
使
2221a n ε=<<,只
要
n >
,
取n =,则当n>N 时,
1ε<,
从而lim 1
n n →∞=.
(4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-64748L 个,故0ε?>,不防设1ε<,要使
1,0.999110n n ε=<-678L 个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-??=????则当n N >时,恒有
,0.9991n ε<-678L 个
故lim 0.9991n n →∞=678L 个.
20.证:
lim 0
n n x →∞
=Q ,由极限的定义知,0,0N ε?>?>,当n N >时,恒有n
x a ε-<.
而
n n x x a a ε
-<-<
0,0N ε∴?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<,
由极限的定义知lim .
n n x a →∞
=
但这个结论的逆不成立.如
(1),lim 1,
n n n n x x →∞
=-=但lim n
n x →∞
不存在.
21. 解:
1111(1)0(1)(1)1(1)1k k k k
k k n n n n n n n -??
??
<+-=<=+-+-????????Q
而lim 00n →∞=,当1k <时,11lim 0k n n -→∞=
lim[(1)]0
k k n n n →∞
∴+-=.
(2)记12max{,,,}m a a a a =L
则有
<即
1n
a m a
而 1lim , lim ,
n
n n a a m a a →∞
→∞
=?=
故
n a =
即
12lim max{,,,}m n a a a =L .
(3)111(3)(123)(33)n n
n n n
n n
<++
13(123)3n n
n n
n
+<++< 而 1lim33,lim3
3
n n
n n +→∞
→∞==
故
1lim(123)3
n
n n
n →∞
++=.
(4)
111n <<+Q
而 1
lim10,lim(1)1
n n n →∞→∞=+=
故
1n =.
22. 证
: (1)12x =Q ,不妨设2k x <,则
12k x +<=.
故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.
又
1n n n x x x +-=
0>,又由2n x <
从而10n n x x +->即1n n x x +>,
即数列{}n x 是单调递增的.
由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限.
设lim n n x a
→∞
=,
则a =
于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.
(2) 因为110x =>,且
111n
n n x
x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界
又
111111111(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+---????
++-=-=
? ?++++???? 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号，
从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而
122113
1,1,022x x x x ==+
=->
故10n n x x +->, 即1n n x x +>
所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a
→∞
=, 则
11a a a =+
+，
解得
a a =
=(不合题意，舍去).
所以
1lim 2n n x →∞
+=
23. 证：(1)0ε?>,要使
1sin sin 0x x
x x x ε=
≤<-,
只须
1
x ε>
,取
1
X ε>
，则当x X >时，必有
sin 0x
x ε<-,
故sin lim
x x
x →+∞=. (2)0ε?>,要使 2222
131331
3||44x x x x ε-=<<-++,
只须
x >
取
X =
X x >时，必有
22
31
34x x ε-<-+,
故2231
lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε?>,要使
24
(4)22x x x ε-=<--++,
只要取δε=，则
当02x δ<<+时，必有24
(4)2x x ε
-<--+,
故224lim 42x x x →--=-+. (4) 0ε?>,要使
2
1142221221x x x x ε
-==<+-++,
只须
122x ε<+
，取2εδ=
，则 当1
02x δ<<+时，必有214221x x ε
-<-+ 故
212
14lim 221x x x →-
-=+.
(5) 0ε?>,要使
11
sin
0sin x x x x x ε=≤<-,
只要取δε=，则 当00x δ<<-时，必有
1
sin
0x x ε<-,
故 01lim sin
x x x →=.
24. 解：
()()223
2233
lim 33933(1)lim 1lim 915
1x x x x x x x →→→---===+++.
22
2
1
42424211
2
2
22
333422424lim()
11(2)lim 2.31lim(31)1311
1111
(3)lim
lim .
11212
21111lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++===--+-+-?+-
-==----??-- ?-??===-+??-+-+ ???222222121lim 21)lim lim 01111lim 1x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞??++ ?
+??===+??
++ ???
Q
由无穷大与无穷小的关系知， 21lim 21x x x →∞+=∞+.
3(1)(2)(3)1123(6)lim
lim 1115511123lim lim lim .11155n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++??????
=+++ ?????????????????=??=+++ ? ? ???????
(7)因为221(1)()(1)
11x a x a b x b ax b x x +--++---=
++ 由已知21
1lim 21x x ax b x →∞
??+=-- ?+??知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之
比为1
2，于是
10a -= 且 ()1
12a b -+=
解得
3
1,2a b ==-
. 25.解：
22123(1)(1)11
1(1)lim
lim lim .1222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--??===- ???L
1
22
1112244411112(2)lim lim 2.11
2212
21(1)(3)lim lim lim(1)0.11
68(2)(4)22(4)lim lim lim .54(1)(4)13n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→→→→→→??- ?
????==+++ ???--+-==-=---+---===-+---L
322
000(5)lim lim lim
2.
lim(1 2.x x x x x x x →+∞→→→===
==-+=-
5555x x x x →→→→====
=
3333ππ
4
4
22π
4
22π4
1cot 1cot (8)lim lim 2cot cot (1cot )(1cot )
(1cot )(1cot cot )
lim (1cot )(11cot cot )
1cot cot 3lim .
2cot cot 4x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x →→→→
--=---+--++=-+++++==++
1
22222(9)lim(1)(1)(1)(1)
(1)(1)(1)(1)
lim 111lim .11n
n
n x x x x x x x x x x x x x
+→∞
→∞→∞
+++<-+++=--==- L L
1
11
1
1
(1(1(10)lim
(1)11
.
234!
n x n x x x n n -→-→→-====???? L L 2222311122
111321
3(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)
lim lim 1.
(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→++-+-??==- ?-++-++--??
-+-+===--++++
2
2
12211
22
1lim(1)(1)(12)lim 0
1lim(1)
1lim .
(1)x x x x x x x x x x x x x →→→→--==-+-+-+∴=∞- Q
1log (1)
(13)log (1)a x
a x x x +=+Q
而10
lim(1).
x
x x e →+= 而1limlog log ln a a u e
u e a →==
0log (1)1
lim
.
ln a x x x a →+∴=
(14)令
1,x
u a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →. 所以00011lim lim ln log (1)log (1)lim
x x u a a u a u a u x u u →→→-===++(利用(13)题的结果).
1
1
220
00
33
6ln(12)ln(12)
sin sin 2sin 0
lim 6ln(12)6lim
limln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)
lim e
lim e
e e
e e .
x x
x x x x
x x x
x
x x
x x x x
x
x x x
x x →→→++→→→?
?+??+??+======
(16)令sin x u x =
， 则00sin lim lim 1x x x
u x →→==
而1limln 0u u →= 所以0sin limln 0.x x x →=
26. 解：232
200lim lim 022x x x x x x x x x →→--==--Q
∴当0x →时，23x x -是比2
2x x -高阶的无穷小量.
27.解：
211111
(1)lim lim 112x x x x x →→-==
-+Q ∴当1x →时，1x -是与2
1x -同阶的无穷小.
2111
(1)
12(2)lim lim 1
12x x x x
x →→-+==-Q
∴当1x →时，1x -是与21
(1)
2x -等价的无穷小. 28. 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx
所以
00sin lim
lim .
sin x x mx mx m
nx nx n →→== 0
00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim 1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x →→→→→→→→=?===-===
(4)因为当0x →
时，
222
1ln(1e sin )~e sin 1~
2x x x x x
+,所以
2
2200002
e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x →→→→??
==?= ???
(5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以
00arctan 33lim
lim 3
x x x x
x x →→==. sin sin 22(6)lim 2sin lim lim .2
22n n
n n n n n n n x x x x x x x x →∞→∞→∞=?
==
(7)因为当
12x →
时，arcsin(12)~12x x --,所以
2211112
2
2
2
4141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→
---+===-+=----
(8)因为当0x →时，
22arctan ~,sin
~,arcsin ~,22x x
x x x x 所以
22
00arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x x
x x x →→==?.
(9)因为当0x →时，233
1
sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以
2
33300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11
lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x x
x x x →→→→?--==?== (10)因为当0x →时，sin ~,sin ~2222x x x x
αβαβαβαβ++--，所以
22
0020222sin sin cos cos 22lim lim 222lim 1
().2x x x x x
x x x x x x
x
αβαβαβαβαββα→→→+---=+--??==- (11)因为当0x →
时，arcsin ~)~,
x x --所以
000 1.
x x x →→→==-=-
(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以
222220022220020
1cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )
2(2)8
lim lim (2sec )2sec 8
4.lim(2sec )
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x →→→→→-=++?==++==+
(13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→
故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+--
又当x →0进，
222211
1cos ~
,1cos ~,22ax a x bx b x --所以
22
220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a x
ax ax ax a bx bx bx b b x
→→→→--====--
(14)因为当0x →时，222sin 0,0e e x x
x x
→→
故 22
2222sin sin ln ~,ln ~,11e e e e x
x x x x x x x ????++ ? ??
??? 所以
2222222220002222
2000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x →→→→→→→??
+ ?
+-+-??==+-+-??
+ ???
????==?=? ? ?????
=?=
29.
解：111
2
2
2
2111(1)lim lim e 1lim 11x
x
x
x x x x x x →∞→∞→∞??????
????====+++ ????? ? ???????????
10
221
21
5
53555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞??+???
?????==?++?? ? ? ?+ ?---??
??
????-???
?10
25
5
10510
55lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞?
???????=?=?=+?? ?+?? ?
-??????-??
??
2
223
3
1
1
2cot
323tan 23tan 0
00(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )x
x x x x x x x x →→→????+===+??+?????? [][]
[]
cos 21
1cos 2122
2
1cos 21
2
1cos 21
20
22
03
3
3ln ln cos21(cos21)0
3(cos21)
ln 1(cos21)0
cos213lim
lim ln 1(cos21)2sin 3lim
ln lim (4)lim(cos 2)
lim e
lim e
lim e
e e x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x ----→→→→????
??+-????
→→→-+-→-?+--?=====[]1cos 212
2
01(cos21)sin 6ln e lim 6116e
e e .
x x x x x -→?????
?+-??????
-?? ?-??-??
===
2
2
222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x x
x
x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+??
+-=??=+ ???
??????==?+ ? ?+ ? ??????
?==
(6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.
1110001111lim lim 1.ln ln(1)ln e ln lim ln(1)lim(1)x t t
t t t x t x t t t →→→→-=-=-=-=-=-+??++????
30. 解：(1)令1
(e )x x
y x =+，则1ln ln(e )x y x x =+
于是：
()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim
1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→??
++ ?????===++ ???
e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x
x x
x x x x x x x x x x →→→???
???==+?+?++ ? ????????
?=+?=
即
()
lim ln 2x y →= 即2
lim e
x y →= 即
()120
lim e e x
x
x x →=+.
(2)令1
3x
x
x
x
a b c y ??++= ?
??，则1ln ln 3x x x
a b c y x ++=
于是
003
3
3
303
3
00001lim(ln )lim ln 3
13lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x x
x
x x x x
x x a b c x x x a b c x x
x
x
x
x
x
a b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=????++-=??
+ ???????
++-??++-=?+ ???
??---++=?++ ?+?
?3
3331
(ln ln ln )ln e ln 3x x x a b c a b c ++-????-?? ???????=++?=
即0
lim(ln )x y →= 即
(
)
lim ln ln x y →=
故0lim x y →=即
1
lim 3x x x
x
x a b c →??
++= ???.
(3)令
11sin cos x
y x x ??=+ ?
??，则11ln ln sin cos y x x x ??=+ ??? 于是
1
1sin cos 11
11sin cos 11
11sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11x
x x x x x x x
x x y x x x x x x x x x x x x ??+- ?
??+-→∞→∞+-→∞→∞????????=??++- ???????????
???
???=?++-+- ? ?????????
??- ?=-? ? ???
111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞??????????++- ???????????
2
111
sin 2ln e (10)ln e 1lim
lim 1
1x x x x x x →∞→∞???? ?
???=?=-?= ?- ? ?
??
即limln 1x y →∞
= 从而
(
)
lim ln 1
x y →∞
= 故lim e x y →∞
=
即 1
1lim e sin cos x
x x x →∞??=+ ???.
(4)令
211x
y x ??=+ ?
??，则21ln ln 1y x x ??=+ ??? 于是：
2
2
22
1
222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞??????==+?? ?+ ???????
???
?==?++ ? ?????=?=
即
()
lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞
→∞
==
lim 1x y →∞∴= 即21lim 11x
x x →∞??=+ ???.
31.解：000(1)lim ()lim lim 1,x x x x x f x x x +++→→→=== 000lim ()lim lim 1x x x x x
f x x x ---
→→→-===-
因为 0
lim ()lim ()x x f x f x +-
→→≠
所以0lim ()
x f x →不存在.
(2)2
2
221
lim ()lim ,lim ()lim(2)4
2x x x x f x f x x x ++
--→→→→==+∞=+=-
高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案
1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠??
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解
206 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ +?? 与 2 [ln()]d D x y σ +?? 的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(, )|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ 从而 0l n ()1 x y ≤+< 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +≥+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+≥ +?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥ . 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +<+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+< +?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1 ）,{(,)|02,02}D I D x y x y σ==≤≤≤≤??; （2）2 2 sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤??; （3）2 2 2 2 (49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ= ++=+≤?? . 解：（1）因为当(, )x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤
207 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤故 2d d d D D σσσ≤ ≤ ?? ?? ?? 即 2d d D D D σσσ ≤ ≤???? 而 d D σσ =?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8D σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 2 2 0sin sin 1x y ≤≤ 故 22 0d sin sin d 1d D D D x y σσσ ≤ ≤ ?? ?? ?? 即2 2 sin sin d d D D x y σσσ ≤ ≤ =?? ?? 而2 π σ= 所以222 0sin sin d π D x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 2 2 2 2 9494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 22 9d (49)d 25d D D D x y σσσ ≤ ++≤ ?? ?? ?? 即 2 2 9(49)d 25D x y σσσ ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 22 36π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： （1 ） 222 (, {(,)|};D a D x y x y a σ- =+≤?? （2 ） 2 2 2 , {(,)|}.D D x y x y a σ=+≤?? 解：（1 ） (, D a σ-?? 在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学习题11答案(复旦大学出版社)
261 习题十一 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)() 22d -?L x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； (6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-?，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； 解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2， ()()2 22224 35001156 d d 3515 L x y x x x x x x ??-=-=-=-?????? (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为 图11-1 cos 0πsin x a a t t y a t =+?≤≤?=? L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()() 12 π 200π32 0π π322003 d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π 2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=?++=-+=-+=-???????? (6)直线Γ的参数方程是32=??=??=?x t y t z t t 从1→0．
262 故()()3220322103 10 4 1 d 3d d 27334292d 87d 187487 4x x zy y x y z t t t t t t t t t Γ++-??=?+??+-???==?=-??? 7．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； 解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Q x ?=?，1P y ?=-?，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 14322 12 L D D D x y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-????-= ????? ===???=??????? 8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ； 解：(1) ()()()()()2π 3202π2π242222002π20 2π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4 3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416 312π+d cos 2cos61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-?-==?= --=--+??=+????=??????? 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--? ； (3)()() 1,22 1,1d d x y x x y -?沿在右半平面的路径；
高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s= x s== y s== 5 z s==. 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z= 即所求点为M （0，0， 149 ）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=-- c a 222 5D A BA BD =-=--c a 333 5D A BA BD =-=--c a 444 .5 D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则 1 Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=---- 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 复旦大学数学科学学院 2008～2009学年第二学期期末考试试卷 A 卷 B 卷 课程名称：__高等数学B _________ 课程代码： MATH120004.02.03__ 开课院系：__数学科学学院 _____________ 考试形式：闭卷 姓 名： 学 号： 专 业： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 (以下为试卷正文) （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 注意：答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 一、简单计算（每题4分，共40分） 1. 写出函数y x x u +=arccos 的定义域。 2. 求( )2 20 1ln lim y x e x y y x ++→→。 3. 设f 是一个三元可微函数，() xy y x y x f u 2,,2 222-+=，求 y u ??。 4. 设()y x z z ,=是由方程()0,,=+xz z y xy F 所确定的隐函数，且F 具有连续的一阶偏导数，求 x z ??。 5. 交换二次积分 ()? ? 20 32 ,y y dx y x f dy 的积分顺序。 6. 求级数()() ∑ ∞ =+-113231 k k k 的和。 7. 判别级数∑∞ =1 3sin 2n n n π 的收敛性。 8. 求幂级数() ∑∞ =--1 1 21n n n n n x 的收敛域。 9. 求方程() 042 =-+dy x x dx y 的通解。 10. 求方程023=+'-''y y y 的通解。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 二、 设 ()333,y x y x f +=，判断()y x f ,在()0,0处是否可微，为什么？（6分） 三、 计算二重积分( )dxdy xe y I D y ??+=2 ，其中D 是由1=y ，2 x y =及0=x 所围成的 有界闭区域。（6分） 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 第十章多元函数积分学（Ⅰ） f x在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数() 了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积 设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)这里f(x y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积 首先用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(i i)以f (i i)为高而底为i的平顶柱体的体积为 f ( i i ) i (i 1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点(x y )处的面密度为(x y ) 这里 (x y )0且在D 上连续 现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地 看作均匀薄片的质量 ( i i ) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M σηξρ?≈=∑),(1 将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量 i i i n i M σηξρλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 定义 设f (x y )是有界闭区域D 上的有界函数 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i 个小区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点( i i ) 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f (x y )在 闭区域D 上的二重积分 记作 σ d y x f D ??),( 即 习题十三 1. 求下列函数在所示点的导数： (1)()sin cos t f t t ??= ???，在点π4t =； 解：( )π4f ?? ?'= - ? (2)()22,x y g x y x y +??= ? ?+?? ，在点()(),1,2x y =； 解：()111,224g ??= ??? (3)sin cos u v u T u v v v ???? ?= ? ??? ??? ，在点π1u v ????= ? ?????； 解：1010101T -???? ?'=- ? ?π?? ??? (4)2222232u x y v x x y w x y y ?=-?=-??=-? 在点()3,2-. 解：6 26 6362-?? ?- ? ?--?? 2. 设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z ??????. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z ????????????=+=+=????????????， 3. 若r =()()21,,,,3n r r f r r n r ?????≥. 解： ()()()()()()()2231111,,,2,,,,,,,,,,,n n r x y z r x y z x y z f r f r x y z r nr x y z r r r r -'?=?=?=?=?= 4. 求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点，，，1，1，1，1，1，1(000)()()O A B ---的梯度，并求梯度为零的点. 解：()()()() 54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42------- 5. 证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略 6. 计算下列向量场A 的散度与旋度： (1)()222222,,y z z x x y =+++A ； 解：()0,2,,y z z x x y --- (2)()222,,x y z x y z x y z =A ； 解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z y z z x x y ?? = ???A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ??--- ??? 7. 证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。 8. 证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符?推导） 解：略。 9. 证明：场()()()()2,2,2y z x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场，并求其势函数. 解：略。 10. 若流体流速()222,,x y z =A ，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解：38 π 11. 设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周221,0x y z +==； 解：2π (2)沿圆周()2251,0x y z -+==. 解：2π 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e高等数学上复旦第三版 课后习题答案
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