自己总结很经典二次函数各种题型分类总结
二次函数题型分类总结
题型1、二次函数的定义
(考点:二次函数的二次项系数不为０，且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 .
①y=ｘ2－4ｘ+1; ②y=2x 2; ③ｙ＝２x 2
+4x; ④y=－3ｘ;
⑤y=－２x-1;? ⑥y ＝m ｘ2
+n ｘ+p; ⑦ｙ =（4,x) ；? ⑧y=-5x 。
２、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5ｔ２
+2t,则t=4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －７)ｘ２
＋4x+５是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
４、若函数y=(m －2)x ｍ －2
＋５x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。 5、已知函数y ＝(m －1)ｘ21
m +5x －3是二次函数,求m 的值。
题型2、二次函数的对称轴、顶点、最值
(技法：如果解析式为顶点式y=a(x-h)2
+ｋ,则最值为ｋ;如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ａｃ-ｂ
2
4a
１．抛物线ｙ=2x 2＋4x+m ２
－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x ２
+ｂｘ+c 线的顶点坐标为（1，３),则b= ,c= .
３.抛物线ｙ＝x 2
+３x 的顶点在( )
?Ａ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D ．第四象限
4．若抛物线y=ax 2
-6x 经过点(2,０)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ）
? Ｂ Ｃ Ｄ
5．若直线ｙ＝ａx+b 不经过二、四象限，则抛物线y=a ｘ2
+bx ＋c （ ） Ａ.开口向上，对称轴是y 轴 B ．开口向下，对称轴是y 轴 Ｃ.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于ｙ轴
6.已知抛物线y ＝x 2
+(m-1）x －14
的顶点的横坐标是2,则m 的值是_ .
７．抛物线ｙ=x 2+2ｘ－3的对称轴是 。
8.若二次函数y=3x 2＋ｍｘ-3的对称轴是直线x=１，则m ＝ 。
９．当n ＝__＿___,m ＝＿_＿_＿_时，函数y=（m ＋n)ｘn
＋(ｍ－ｎ)x 的图象是抛物线,且其顶点在原点，此抛物线的开口__＿____．
10．已知二次函数ｙ＝x 2－2ａx ＋2a+3，当a= 时,该函数y 的最小值为０. 1１.已知二次函数ｙ=mx 2+(ｍ－1)x+m-１有最小值为0,则ｍ＝ ＿＿___＿ 。 １２．已知二次函数y=x 2-4ｘ+m －３的最小值为3，则ｍ＝ 。
题型3、函数y=ax 2+b ｘ+c 的图象和性质
１.抛物线ｙ=x 2
+4x+9的对称轴是 。
２.抛物线y=２x 2
-１2ｘ+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。
３．试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 。
4.通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
(１）y=错误!ｘ2-2x+1 ; （2)y=-３x 2+８ｘ-２; (3)y=－错误!x 2
+x －4
5．把抛物线y=x 2+b ｘ＋ｃ的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=ｘ2
－3x+5，试求b 、c 的值。
6.把抛物线y ＝-2ｘ2
+４ｘ＋1沿坐标轴先向左平移2个单位,再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值,若有,求出该最大值；若没有，说明理由。
7．某商场以每台2５00元进口一批彩电。如每台售价定为２700元,可卖出4０0台,以每1００元为一个价格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出5０台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元?
题型4、函数y=a(ｘ-h)2的图象与性质
1.填表:
抛物线
开口方向 对称轴
顶点坐标
()2
23--=x y
()232
1
+=
x y
２.已知函数y=2ｘ２
,y=２（2
2
（1)分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
（２)分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线ｙ=２x ２得到抛物线y=2（x －４)2和y=2（x+1)２
?
３.试写出抛物线ｙ=3ｘ2
经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
(1)右移2个单位;(2）左移２
3
个单位;(3）先左移1个单位，再右移４个单位。
4.试说明函数ｙ＝12
（x －3)2
的图象特点及性质(开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。
5．二次函数y ＝a （x-h ）2
的图象如图:已知a=＼F(1,２) ，OA=OC,试求该抛物线的解析式。
题型5、二次函数的增减性
1.二次函数ｙ=３x 2-6x+5，当x ＞1时，y 随x 的增大而 ;当x<1时,ｙ随x 的增大而 ;当x=1时，函数有最 值是 。
２.已知函数y=4x 2－mx ＋５,当x> -2时，ｙ随ｘ的增大而增大;当x< －2时，y 随ｘ的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 。
3.已知二次函数y=x 2-（ｍ＋1)ｘ+1，当x ≥1时，y 随ｘ的增大而增大，则m 的取值范围是 .
4.已知二次函数ｙ=-＼F(1，２) x ２
+3x+错误!的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y ２),Ｃ（x 3，y 3）且3＜ｘ1 题型6、二次函数的平移 技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=ａ(x －h)2 ＋k,平移规律:左加右减,对x ；上加下减,直接加减 6．抛物线y ＝ -错误!ｘ2向左平移３个单位,再向下平移4个单位,所得到的抛物线的关系式为 。 ７.抛物线y= 2x 2， ,可以得到y=2(x+４}2－３。 ８.将抛物线ｙ＝x ２ ＋１向左平移2个单位，再向下平移3个单位,所得到的抛物线的关系式为 。 9.如果将抛物线ｙ=2x 2-1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。 １0.将抛物线ｙ＝ax 2+bx+c 向上平移１个单位，再向右平移１个单位，得到y=2x ２ －４x －1则a ＝ ，ｂ= ，ｃ＝ . 11.将抛物线y=ax 2 向右平移２个单位,再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，-1），那么移动后的抛物线的关系式为 ＿． 题型７、函数的交点 11．抛物线y=ｘ２ +7x+3与直线y ＝2x+９的交点坐标为 。 1２.直线y ＝7x ＋1与抛物线y=x 2＋３x+５的图象有 个交点。 题型8、函数的的对称 13.抛物线ｙ=2x ２ -4x 关于ｙ轴对称的抛物线的关系式为 。 14.抛物线ｙ＝ax 2+b ｘ＋c 关于x 轴对称的抛物线为y=2x 2－4x+3,则a= ｂ＝ ｃ＝ 题型9、函数的图象特征与a 、b 、c 的关系 1．已知抛物线ｙ=ax 2+b ｘ+c 的图象如右图所示,则ａ、b 、c 的符号为( ） ?A.a>０，b>0,c ＞0? B.a ＞０,b>0,c=0 ?Ｃ．a>0,b<0,c=0? Ｄ.a>0,b<0,c<0? 2．已知抛物线y ＝ax 2＋ｂｘ＋c 的图象2如图所示,则下列结论正确的是( ） ?A ．a ＋ｂ＋c> 0????B.b> -2a ?C ．a －b+ｃ＞ 0 ???D.c< 0 3．抛物线y=ax 2+bx+c 中,b ＝4a ，它的图象如图3,有以下结论: ①ｃ>0; ②a+b+c> 0 ③a －b ＋ｃ> ０ ④b 2 -４a ｃ<0?⑤ab ｃ< ０ ;其中正确的为( ) A.①② B ．①④ C.①②③??D.①③⑤ ４.当b<０是一次函数y=ax ＋b 与二次函数y ＝ax ２ +b ｘ＋ｃ在同一坐标系内的图象可能是( ) 5.已知二次函数ｙ＝ax ２ ＋bx+c ，如果ａ>b>ｃ，且a ＋b+c=0，则它的图象可能是图所示的( ) 6. 二次函数 y=a ｘ2 + ｂ x+ｃ的图象如图 5 所示，那么 ab ｃ，b 2 -4ac, ２ａ+b ，a ＋ｂ＋c 四个代数式中,值为正数的有（ ) ? A.4个 ?B.3个 Ｃ．2个 ?D.1个 7．在同一坐标系中,函数y= ax 2+c 与y= ＼Ｆ(ｃ,x) (a A B C D 8.反比例函数y = ＼F(k,x ） 的图象在一、三象限,则二次函数y ＝kx ２-ｋ2 ｘ-k 的图象大致为图中的( ） A B Ｃ Ｄ 9.反比例函数ｙ＝ 错误!中,当x> 0时,y 随x 的增大而增大，则二次函数ｙ＝kx 2 ＋2kx+c 的图象大致为图中的( ) A B C Ｄ 1０.已知抛物线y ＝ax ２ ＋b ｘ+c(a ≠０)的图象如图所示,则下列结论: ①a ，b 同号;?②当ｘ=１和x ＝３时，函数值相同；? ③4a+b ＝0;?④当y=－2时，x 的值只能取０；其中正确的个数是（ ） 1x y O 1x y O 1x y O 1x y O ?A.1 B.２Ｃ.3?D.4 11.已知二次函数y=ａｘ2+bx＋c经过一、三、四象限(不经过原点和第二象限)则直线ｙ=ax+ｂc不经过（） A．第一象限?B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型10、二次函数与ｘ轴、ｙ轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 1.如果二次函数y＝x２＋4x+ｃ图象与ｘ轴没有交点，其中ｃ为整数，则c= （写一个即可) 2.二次函数y＝x２-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3.抛物线ｙ=-3x2+2x-1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B．只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 4.如图所示,二次函数ｙ=x2－4ｘ+3的图象交ｘ轴于Ａ、Ｂ两点，交ｙ轴于点Ｃ, 则△ABC的面 积为( ) Ａ.６ B.4 ?C.3 D.1 5.已知抛物线y=5ｘ2+(m－１)x+m与ｘ轴的两个交点在ｙ轴同侧,它们的距离平方等于为错误!,则ｍ的值为( ) ?A.-2 ?B.12 ?? C.２4 D.48 6.若二次函数y＝(m＋5)x2+2(m+1)x＋ｍ的图象全部在ｘ轴的上方,则ｍ的取值范围是 7.已知抛物线y＝ｘ２-2x－8, （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点; (2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,且它的顶点为P,求△ABP的面积。 题型１1、函数解析式的求法 一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式ｙ=ａx2+ｂｘ＋c,然后解三元方程组求解; 1.已知二次函数的图象经过A（０,３）、B（1,3）、Ｃ(-1，１）三点,求该二次函数的解析式。 ２．已知抛物线过A（1,0）和Ｂ(４,０)两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x-ｈ）２+k求解。 3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1,-6）,且经过点（2，－8)，求该二次函数的解析式。 4．已知二次函数的图象的顶点坐标为(１,－３），且经过点P（2,0)点,求二次函数的解析式。 三、已知抛物线与轴的交点的坐标时,通常设解析式为交点式y=a（ｘ-x１)(ｘ-x2)。 5.二次函数的图象经过Ａ（－1,0)，B（3，0)，函数有最小值-８，求该二次函数的解析式。 ６．已知x=1时,函数有最大值5，且图形经过点(0,－３),则该二次函数的解析式。 ７.抛物线ｙ=2x２+bx+c与x 轴交于(2,0）、（-３,0），则该二次函数的解析式。 8.若抛物线y=ax２+bx+c的顶点坐标为(1,3）,且与ｙ＝２ｘ2的开口大小相同，方向相反,则该二次函数的解析 式。 9．抛物线y=2x２+bx+ｃ与ｘ轴交于(－１,０）、（3,0），则ｂ＝,c= . 10.若抛物线与x 轴交于(２,0)、(3,０)，与ｙ轴交于(0，-4），则该二次函数的解析 式。 11.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式 （1）当x=3时,y最小值=－１,且图象过（0,7） （2）图象过点（０,－2）（1，2）且对称轴为直线x=错误! （3）图象经过(０,1）（１,0）（3，0） （4）当ｘ＝1时,y=０；x＝0时,ｙ=-2,ｘ=２时,y=３ （5）抛物线顶点坐标为（-1，-２)且通过点(1,１０） １1.当二次函数图象与ｘ轴交点的横坐标分别是x1＝－3，x2＝１时,且与y轴交点为（0，－2)，求这个二次函数的解析式 １２．已知二次函数ｙ=ax2+bｘ+c的图象与x 轴交于（2,0)、(4,0)，顶点到ｘ轴的距离为3，求函数的解析式。13.知二次函数图象顶点坐标（-３，错误!）且图象过点（2,错误!)，求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。 １4．已知二次函数图象与x轴交点(２,０),(－1,0）与ｙ轴交点是(0，－1）求解析式及顶点坐标。 15.若二次函数y=aｘ2+bx+c经过（1，0)且图象关于直线x=１ ２ 对称，那么图象还必定经过哪一点？ 16.y= －x2＋2(ｋ－１)x+２ｋ-k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAＣ面积。 17．抛物线y＝(k2-２)x2+m－4kｘ的对称轴是直线ｘ=2,且它的最低点在直线y= －错误!x+2上，求函数解析式。 题型1２、二次函数应用 (一)经济策略性 １.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格。经检验发现,若按每件２０元的价格销售时，每月能卖３60件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数ｙ(件)是价格Ｘ的一次函数. （1)试求ｙ与x的之间的关系式. (2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润＝总收入－总成本) 2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内，可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1０００千克放养在塘内,此时市场价为每千克3０元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出40０元,且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克2０元。 （1)设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于Ｘ的函数关系式。 （2)如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1０00千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于Ｘ的函数关系式。 (2)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少? ３.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格,在试销期采用多种价格进性销售,经试验发现:按每双3０元的价格销售时,每天能卖出60双;按每双３2元的价格销售时，每天能卖出52双,假定每天售出鞋的数量Ｙ(双)是销售单位X的一次函数。 （1）求Y与Ｘ之间的函数关系式; （2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下,求出每天的销售利润Ｗ(元)与销售单价X之间的函数关系式; (3）销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多?是多少？ 4.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶1１00０的比例图上，跨度AB＝５ cm，拱高OC＝０.9 ｃ m,线段DＥ表示大桥拱内桥长，DE∥AB,如图(1）.在比例图上，以直线ＡB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1 ｃm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系，如图(2）. (1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域; 2 ,计算结果精确到1米). (2)如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.1 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数精讲基础题型 一认识二次函数 1、y=mx m2+3m+2 是二次函数，则m 的值为（ ） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2 +b ，命题正确的是（ ） A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。 C 、若x>0时，y 随x 增大而增大 D 、若a>0则y 有最大值。 二简单作图 1在一个坐标系内做出2 x y =，12 +=x y ，12 -=x y ，2 )1(-=x y ，2 )1(+=x y 你发现了什么结论 2同样的在同一个坐标系内做出2 x y -=，2 2x y -=，12 --=x y ， 12+-=x y 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的 图像比较的话，你又有什么样新的发现 3 已知抛物线y x x =-+1235 2 2，五点法作图。 2、已知y=ax 2 +bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。 三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式： （1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）； （3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。 2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。 3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7） （2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=2 3 （3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3 （5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10） 三 图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。 2、 已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下，则：a _____0，b _____0，c _____0，a+b+c_______0， a-b+c__________0。2a+b________0， ac b 42 -_________0 3．已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图 1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、 c 的不等式：①a ＜0，②b＜0，③c＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 4．已知抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________. 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 2020 年中考二次函数与几何图形 1.中考相似三角形 2.中考线段中的动点问题 目录 中考复习战略汇集 (1) 二次函数与几何图形 (2) 模式1：平行四边 形 (2) 模式2：梯 形 (4) 模式3：直角三角 形 (6) 模式4：等腰三角 形 (8) 模式5：相似三角 形 (10) 模拟题汇编之动点折叠问题 (11) 二次函数与几何图形 模式 1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形，则可分成 以下几种情况 （ （ （ 1）当边 AB 是对角线时，那么有 AP // BC 2）当边 AC 是对角线时，那么有 AB //CP 3）当边 BC 是对角线时，那么有 AC // BP 1 、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能 使以点 P 、Q 、B 、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标. 2 、如图，抛物线 y x 2 2x 3与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ． （ （ 1）直接写出 A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； 2）连结 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过 点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为 平行四边形？ ② 设△BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系． 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a 人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人：李霜霜 一、教学目标： (1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题． (2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想． 二、教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像，性质和应用 教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程 复习巩固 （一）二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （三）二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
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