相似三角形专题
【一】知识梳理
【1】比例
①定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例
②形式：a:b=c:d，
③性质：基本性质：
d
c
b
a
=ac=bd
4，比例中项：
b
c
c
a
=ab
c=
2
【2】黄金分割
定义：如图点C是AB上一点，若BC
AB
AC?
=
2，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个
AC
AC
BC
AB
AB
BC
AB
AB
AC
618
.0
2
1
5
382
.0
2
5
3
618
.0
2
1
5
≈
-
=
≈
-
=
≈
-
=
注意：如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角
形，
【3】平行线推比例
AB
AB
BC618
.0
2
1
5
≈
-
=
d
c
b
a
=
注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负
1、可以把比例式与等积式互化。
2、可以验证四个量是否成比例
上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右
全比上=全比上，全比下=全比下下比上=下比上
【4】相似三角形
1、相似三角形的判定
①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E
∴△ABC ∽△DEF
②‘S A S ’ E B EF BC DE AB ∠=∠=, ∴△ABC ∽△DEF
③‘S S S ’EF
BC DF AC DE AB = ∴△ABC ∽△DEF
④平行相似：
∵DE ∥BC
∴△ADE ∽△ABC
2、相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等，对应边成比例
②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的
比都等于相似比
③相似三角形的面积比等于相似比的平方
3、相似三角形的常见图形
‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’
‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2=AD ?AB
母子图中的射影定理
AC2=AD?AB BC2=BD?AB
CD2=AD?BD
【二】题型
1、求线段的比
【例题1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相较于点H，且
AH=2，HB=1，BC=5则
EF
DE
的值为
【例题2】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于
（1）（2）
【例题3】如图，点D是△ABC的边AB上一点，且AB=3AD，点P是△ABC 的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB则PB:PD=
【例题4】如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，
如果AE
EC
＝2
3
，那么AB
AC
＝（）
A．1
3
B．2
3
C．2
5
D．3
5
（3）（4）
【例题5】已知
3
2
=
=
d
c
b
a
，则
b
a
b
a
4
3
3
2
-
+
=
求a比b的方法：①求a,b的长度，②设k法，③利用三角形相似的
性质，④平行推比例线段⑤比例分配
32=-a b a ，则b
a = 【例题6】如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折叠，
使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则
AF:FB= .
【例题7】如图所示,将矩形ABCD 折叠,使点B 落在边AD 上,点B 与点F 重合,
折痕为AE,此时,矩形EDCF 与矩形ABCD 相似,则AB
AD = . 【例题8】如图，Rt △ABC 接于⊙O ，∠,A=90°，AB=4，AC=3，D 为弧
AB 的中点，则DE
CE =
（6）
（7） （8）
【例题9】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 的中线，AN ⊥CD ，交
BC 于N,若CD=3，AN=4，则tan ∠CAN=
2、相似三角形的性质与判定
【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与
△ABC 相似的是（ ）
【例题2】如图，已知△ABC ，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不
能确定△ACP 与△ABC 相似的是（ ）
A ∠ACP=∠
B ， B ∠APC=∠ACB
C AC 2=AP.AB
D BC
AB CP AC
9：8，若四边形A /B /C /D /为26，则A /B /的长为
【例题4】 如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型
模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为
【例题5】如图，P 为□ABCD 的边AD 上一点，E,F 分别为PB,PC 的中点，
△PEF 的面积为3，则平行四边形的面积是
已知两个相似三角形的对应高的比为3:10，面积差为100，则大三角形的面积
为
【例题6】如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 的中点E
处，折痕为FH ，点C 落在点Q 出，EQ 与BC 相较于点G ，则△EBG 的周长为
（4） （5） （6）
【例题7】如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平
的，在的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长
DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在
坡面上小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么
塔高AB 为多少?
【例题8】如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动
点，点E 在射线BM 上，BE=DB ，作EF ⊥DE 并截取EF=DE ，连结AF 并延
长交射线BM 于点C ．设BE=x ，BC=y ，则y 关于x 的函数解析式是 点拨：同一时刻、同一地点，物高与影长的比是 定值
3、相似三角形讨论
【例题1】直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点．（1）写出点A、B、C、D的坐标；
（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【例题2】已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B 在第一象限，且OA=OB，tan∠BAO=
2
1
（1）求点B的坐标。
（2）求二次函数的解析式。
（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且△ABC和△PAB相似，求点P的坐标。方法1、固定一个角，按AA讨论，2、按夹相等角得两边的比值相等讨论
【例题3】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长是4，点A ，C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，动点P 从点A 开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB 上来回运动．动点Q 从点B 开始沿B →C →O 的方向，以每秒1个单位长度的速度向点O 运动．P ，Q 两点同时出发，当点Q 到达点O 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒．
（I ）当t ＝1时，求PQ 所在直线的解析式.
（2）当点Q 在BC 上运动时，若以P ，B ，Q 为顶点的
三角形与△OAP 相似，求t 的值.
（3）在P ，Q 两点运动的过程中，若△OPQ 的面积为
6，请直接写出所有符合条件的P 点坐标．
【例题4】如图，抛物线y =ax 2+bx+c 的开口向上，顶点M 在第三象限，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，点A 坐标为（－3，0），点B 坐标为（1，0）．
（1）试用含a 的式子表示b ，c ；
（2）连接AM 、CM 、CB ，试说明△OCB 与四边形AMCO 的面积之比是
一个定值，并求出这个定值；
（3）连接AC ，若∠AC M =90°，解决下列问题：
①求抛物线解析式并证明∠MAO =∠ACB ；
②线段AM 上是否存在点D ，使以点A 、O 、D 为顶点的三角形与△
ACB 相似？若存在，求出点D 坐标；若不存在，说明理由．
Q P B y x O C A c
【例题5】已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）
（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；
（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【例题6】在平面直角坐标系中，抛物线3
2+
+
=bx
ax
y与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）直接填写：a=，b=，顶点C的坐标为；（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC 于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.
C
y
C
y
相似三角形压轴题专题
中考全国试卷分类汇编 相似三角形 1. 如图，Rt A ABC 中，/ ACB=90°, / ABC=60°, BC=2cm, D 为BC的中点，若动点E以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A T B-A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（O WH 6）,连接。巳当厶BDE是直角三角形时，t的值为（） A. 2 B. 2.5或3.5 C. 3.5或4.5 D. 2或3.5 或4.5 点评：此题考查了含30°角的直角三角形的性质?此题属于动点问题，难度适中，注意掌握 分类讨论思想与数形结合思想的应用. 2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O, E为0D的中点，连接AE并延长交DC于 点F,则DF: FC=（） A. 1: 4 B. 1: 3 C. 2: 3 D. 1: 2 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的 关键是根据平行证明△ DF0A BAE,然后根据对应边成比例求值.
如图，在 △ ABC 中/A=60° BM 丄AC 于点M , CN 丄AB 于点N , P 为BC 边的中点，连接 PM , PN,贝U 下列结论：①PM=PN ;②土—空；③△ PMN 为等边三角形； ④当/ ABC=45时，BN= =PC.其中正确的 AB _AC 个数是（ ） A . 1个 B. 2个 C 3个 D . 4个 点评：本题主要考查了直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质， 相似三角形、 等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析 图形并熟练掌握性质是解题的关键. 4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为2的正方形，顶点 A 、C 分别在x , y 轴的正半轴 上.点Q 在对角线0B 上，且QO=OC,连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P.则点P 的坐标为 __________________________ 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的对角线等于边长的 及坐标与图形的性质，比较简单，利用相似三角形的对应边成比例求出 题的关键. 5 . 如图，/ BAC=Z DAF=90°, AB=AC, AD=AF ,点 D 、E 为 BC 边上的两点，且/ DAE=45°,连 接 EF 、BF , 则下列结论： cl _______ B 3. 二倍的性质，以 BP 的长是解 B P C
2018年中考专题相似三角形
2018中考数学专题相似形 （共40题） 1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF?AC． 3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G． （1）求证：BG=DE； （2）若点G为CD的中点，求的值．
5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论． 6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长． 7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q． （1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
(完整版)相似三角形专题
【一】知识梳理 【1】比例 ①定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c:d， ③ 性质：基本性质： d c b a = ac=bd 4，比例中项： b c c a =ab c= 2 【2】黄金分割 定义：如图点C是AB上一点，若BC AB AC? = 2，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个 AC AC BC AB AB BC AB AB AC 618 .0 2 1 5 382 .0 2 5 3 618 .0 2 1 5 ≈ - = ≈ - = ≈ - = 注意：如图△ABC，∠A=36°，AB=AC，这是一个黄金三角 形， 【3】平行线推比例 AB AB BC618 .0 2 1 5 ≈ - = d c b a = 注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负 1、可以把比例式与等积式互化。 2、可以验证四个量是否成比例 上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下下比上=下比上
【4】相似三角形 1、相似三角形的判定 ①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF ②‘S A S ’ E B EF BC DE AB ∠=∠=,Θ ∴△ABC ∽△DEF ③‘S S S ’EF BC DF AC DE AB = Θ ∴△ABC ∽△DEF ④平行相似： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC 2、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例 ②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方 3、相似三角形的常见图形 ‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’ ‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2 =AD ?AB 母子图中的射影定理
相似形与相似三角形专题复习(精编题目)精编版
第一节：相似形与相似三角形 基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理） （1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=bc 。如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。 ②合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±。 ③等比性质：如果d c b a ==???=n m (b+d+???+n ≠0)，那么 b a n d b m c a =+???+++???++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.
相似三角形培优专题讲义
相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
与相似三角形有关的各类专题
相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD 是等边三角形，A 、C 、D 、B 在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC ∽△BPD ；⑵ CD 2 =AC ·BD. 例2、如图,在等腰△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=45° （1）求证：△ABD ∽△DCE ； （2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 函数关系式及自变量x 值范围，并求出当x 为何值时AE 取得最小值？ （3）在AC 上是否存在点E ，使得△ADE 为等腰三角形？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由？ 例3、如图所示，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B ： 1）求证：△ADF ∽△DEC ； 2）若AB=4，33 AD ,AE=3，求AF 的长。
考点二：射影定理： 例4、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=4cm,AD=8cm,求AC 、BC 及BD 的长。 例5、如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AF=14 AD ，EG ⊥CF 于点G ， （1）求证：△AEF ∽△BCE ； （2）试说明：EG 2 =CG ·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合,再展开，折痕EF 交AD 边于E ，交BC 边于F ，分别连结AF 和CE ． （１）求证：四边形AFCE 是菱形； （２）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长； （３）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2 ＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
专题：相似三角形的几种基本模型及练习
专题：相似三角形的几种基本模型 （1）如图：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 称为“平截型”的相似三角形. “A ”字型 “X ”（或8）字型 “A ” 字型 （2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜截型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 （3） “母子” （双垂直）型 射影定理： 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _； 由_____________ ，得____________ __，即______________ _。 “母子” （双垂直）型 “旋转型” （4）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形. （5）一线“三等角”型 “K ” 字（三垂直）型 （6）“半角”型 图1 ：△ABC 是等腰直角三角形，∠MAN= 1 2∠BAC ，结论：△ABN ∽△MAN ∽△MCA ； 1 A E B C B E A C D 1 2B D 图2 图1 旋转 N M 60° 120° B A 45° D C B A
应用 1．如图3，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△ABC 相似的三角形是 ( ) A ．△DBE B ．△AED 和△BDC C ．△ABD D ．不存在 图3 图4 图5 3．如图5, □ABCD 中, G 是AB 延长线上一点, DG 交AC 于E, 交BC 于F, 则图中所有相似三角形有( )对。 A.4 对 B. 5对 C.6对 D. 7对 4．如图6，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，在下列条件下：①∠AED ＝∠B ；②AD ∶AC ＝AE ∶AB ；③DE ∶BC ＝AD ∶AC .能判定△ADE 与△ACB 相似的是 ( )A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．① 5．如图7，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论：①BC ＝2DE ；②△ADE ∽△ABC ； ③ AD AE ＝AB AC .其中正确的有 ( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 6．如图8，添加一个条件：_____________________________，使得△ADE ∽△ACB .(写出一个即可) 7．如图9，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =∠C =90°，点E 在BC 边上，AB =3，CD =2，BC =7．若△ABE 与△ECD 相似，则CE =___________． 图6 图7 图8 图9 8．如图10，已知∠C ＝∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 ( ) A ．∠BAD ＝∠CAE B ．∠B ＝∠D C.B C DE ＝AC AE D.AB A D ＝AC AE 9．如图11，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝1 4CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°， ②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ， ④△ADF ∽△ECF .其中正确的个数为 个。 图10 图11 A B C D E
相似三角形培优专题
相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)AC2＝AD?AB； (3)CD2＝AD?DB． A 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC， ∴AC AD AB AC =， ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△ACD∽△BCD， ∴CD AD BD CD =， ∴CD2＝AD?DB．
2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： (1)△ACP∽△PDB， (2)CD2＝AC?BD． 证明：(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60° ∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； (2)由(1)得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC?BD．
3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ABC； (2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG∽△ABC； (2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x， ∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x， ∵ADG∽△ABC， ∴DG AM BC AH =， ∴ 10 1510 x x - =， ∴x＝6， ∴x2＝36． 答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．
相似三角形专题 8字形
相似基本形———————— 8 字形 一、基本形说明 条件：D E ∥BC 结论：（1）ΔAED ∽ ΔABC （2） BC DE AB AE AC AD == （3）等积式：AD ·AB=AE ·AC （4）对应比例式（上：下=上：下，上：全=…） 说明：不能直接用 过程：∵D E ∥BC ∴∠B=∠E ，∠D=∠C ∴ΔAED ∽ ΔABC ∴BC DE AB AE AC AD == 二、基本形练习； 1.已知：如图，D E ∥BC ，AC AD ＝1 2 ,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( ) A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 答案：A 2. 将一副三角板按如图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（ ） 答案：C 3.在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在直线AD 上，EF 交AC 与G,且AF=2DF ，则AG ：GC= 。 答案： 23或25 4.如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为(-3，4)，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H. (1)求直线AC 的解析式； (2)连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S(S ≠0)，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式(要求写出自变量t 的取值范围)； (3)在(2)的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值． A B C D .. .. 13121314
中考专题复习相似三角形专题
谢湘君中考专题复习·相似三角形专题 相似三角形性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 (7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项 (8)c/d=a/b 等同于ad=bc. (9)不必是在同一平面内的三角形里 ①相似三角形对应角相等，对应边成比例. ②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比 定理推论： 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
E C D A F B 图 1 一、基础题。 1、如图1，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果2 3 BE BC =， 那么BF FD = ． 2、如图2，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥， 213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ． 3、如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．（精确到0.01） （第2题图） O A 1 A 2 A 3 A 4 A B B 1 B 2 B 3 1 4
相似三角形A型X型专题
相似三角形——A型X型 基本型双A型找中间比 例.已知：如图，△ACD中，EB∥CD交AC、AD于B、E，AG交BE、CD于F、G。 变式1.已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，DE∥BC交AC于E，EF⊥AB于F.求证：AD2=AF·AB. 变式2.如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，M是AC上一点，ME⊥BC于E，MF⊥AD于F．
基本型 A 型X 型找中间比 例 变式1 变式2:如图，AD∥BC，O 为对角线AC 、BD 的交点，过B 作BE∥CD 交CA 延长线于E 。求证：OC 2=OA·OE 已知：平行四边形ABCD ， E 为AB 的延长线上一点， 连接DE 交BC 于点F ， AB ：BE=4：3，求 CF ：BC=？ 已知：P 为平行四边形ABCD 对角线AC 上一点， 过点P 的直线与AD 、BC ，CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H 求证：PE PF =PH PG
基本型 分点问题（剪刀手）过分点作辅助线构造“A ”型 “X ”型 例：若点D 为BC 中点,ED 交AB 于点F,且EF:FD=2:3，试求AF:FB 的值.
变式1：如图：过△ABC的顶点C作一条直线与中线AD和边AB分别交于点E和点F ,且AE:ED = 4:1 求:AF:FB的值。 变式2：变式3： 已知：在ABC中，D为AB中点， E为AC上一点，且 AE EC =2， BE、CD相交于点F，求 BF EF 的值 已知：在ABC中，AD= 1 3 AB，延长BC到F，使CF= 1 3 BC，连接FD交AC于点E， 求证：（1）DE=EF，（2）AE=2CE
相似三角形复习专题-动点问题
相似三角形复习专题动点问题 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， 1、当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； 2、设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； 3、作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR△△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB△DC，△D=90o，AC△BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 3.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 相似三角形专题复习 例1：如图，有一块锐角三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？ （一变）：正方形为长方形 ⑴、正方形PQMN 换成矩形PQMN ，满足PN ∶PQ=1∶2，结果改为“求矩形PQMN 的长和宽”。 ⑵、把正方形PQMN 换成矩形PQMN ，并增加条件矩形PQMN 的周长为200mm ，结果改为“求矩形 PQMN 的长和宽”。 ⑶、把结果改为求设PN=x ，矩形PQMN 的面积为y ，求y 关于x 的函数表达式，并指出x 的取值范围.当为PQ 何值时，矩形PQMN 的面积最大 （二变）：三角形的形状，正方形摆放位置的变化 ⑴、已知如图△ABC 中，∠C=900，AB=5cm ，AC=4cm ；三角形内有正方形内接于△ABC ，有两种内接形 式，分别求出正方形的边长。 ⑵、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 3， ①、三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，求正方形的边长； ②、三角形内有并排的n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC ，求正方形的边长； A B E D A B （三变）：变矩形为三角形 ⑴、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，AC = 3，以C 为顶点，作一个内接等边三角形，且使它的一边 在 Rt △ABC 的一边上；符合上述条件的等边三角形能作几个？并求出三角形的各边长。 ⑵、把正方形PQMN 换成等腰直角三角形PMN ，直角顶点P 在BC 上，斜边MN 的两个端点分别在AB ，AC 上，且MN//BC ，结论 改为“求等腰直角三角形PMN 的面积”。 例2. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． 例3.已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ； (2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ??=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由． 例4.（2011湖南怀化）如图8，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ， B C A A B C D E A B C D E F 希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义 学生：全慧 第一讲 相似三角形 1、比例 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如a c b d = (即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若 322=-y y x , 则_____=y x ； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，，，4 D ．2，5，52，25 3．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ； 4．：若 43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a 5、已知，求代数式的值． 2、平行线分线段成比例 定理：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长 度成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。 练习1，如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF 行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 若DE∥BC（A 型和X 型）则______________． 2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt△ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c 相似三角形 ◆课前热身 1．如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ．AD BC DF CE =B ． BC DF CE AD =C． CD BC EF BE =D． CD AD EF AF = 2.如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠； ③ AC AB CD BC =；④2 AC AD AB =． 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 4.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4. 其中正确的有：（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【参考答案】 1. A 2. C 3. B 4. D A B D C E F 1题 A C D B （第2题图） ◆考点聚焦 1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． ◆备考兵法 1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A型”“X型”“母子型”等． 2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意． 3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练． ◆考点链接 一、相似三角形的定义 三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 二、相似三角形的判定方法 1. 若DE∥BC（A型和X型）则______________． 2. 射影定理：若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形） 则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CB D且AC2=________，CD2=_______，BC2=__ ____． 3. 两个角对应相等的两个三角形__________． 4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 相似三角形复习专题（一）动点问题导学案 【学习目标】：1、掌握三角形相似的判定与性质，并能灵活运用。 2、能利用相似有关知识解决运动类型的综合题。 3、通过学习掌握解决此类问题的一般方法。 【学习重难点】挖掘题中条件，图形之间的联系，找到解决问题的突破口。 （一）【预习感知】：（课前完成） 1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）， 1、当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； 2、设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； 3、作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0 （三）典型例题： 例1、如图，梯如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）． （1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由． 例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2） （1）当t=1秒时，S的值是多少？ （2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围 （3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 中考相似三角形专题复习 1、比例 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相 等，如a c b d = (即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.若a c b d =, 则a c b d =； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（ ） A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ．a c b d =，a c b d =，a c b d =，a c b d = 3．若a c b d =∶3 =a c b d =∶4 =a c b d =∶5 , 且a c b d =, 则a c b d =； 4．：若a c b d =, 则a c b d = 5、已知 ，求代数式 的值． 2、平行线分线段成比例、 定理： 推论： 练习1、如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,B N ∶NC=_____ 2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ， 求BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证： （1）AF ︰FD ＝AD ︰DB ； （2）AD 2 ＝AF ·AB 。 3 、相似三角形的判定方法 判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________． 2.子母三角形（1） 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） (2)∠ABD=∠c ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2 =__ ____． E A D C B E A D C B A D C B 练习 1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________ 4.如图，具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA （ ） A a c b d = B a c b d = C a c b d = D a c b d = 5.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ） 6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值（ ） A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 4 、相似三角形的性质与应用 1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示． 3. 相似三角形的对应边上的_______?线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________． O A C B A C B A B E C D E E D D A B C D 相似三角形应用专题（二） 动态几何中的相似三角形 例题讲解一：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段 CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒） ． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为直角三角形． 变式练习1-1：如图所示，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 。（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）当 3 1 = ??ABC BCQ S S ，求ABC BPQ S S ??的值；（3）ΔAPQ 能否与ΔCQB 相似？若能， 求出AP 的长；若不能，请说明理由。 N C M B 变式练习1-2：如图，已知直线l的函数表达式为 4 8 3 y x =-+，且l与x轴，y轴分别交于A B ，两点， 动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q P ，移动的时间为t秒． （1）求出点A B ，的坐标； （2）当t为何值时，APQ △与AOB △相似？ （3）求出（2）中当APQ △与AOB △相似时，线段PQ所在直线的函数表达式． 图-2 A D O B C 2 1 M N 图-1 A D B M N 1 2 图-3 A D O B C 2 1 M N O 例题讲解二：在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ； （3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图3，求AC BD 的值． 【一】知识梳理 【1】比例 ①定义：四个量a,b,c,d 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c:d ， ③性质：基本性质：d c b a = ac=bd 4，比例中项： c a = a b c =2 【2】黄金分割 定义：如图点C 是AB 上一点，若BC AB AC ?=2，则点C 是AB 的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个 AC AC BC AB AB BC AB AB AC 618.02 1 5382.0253618.021 5≈-=≈-=≈-= 注意：如图△ABC ，∠A=36°，AB=AC ，这是一个黄金三角形， 【3】平行线推比例 AB AB BC 618.021 5≈-=d c b a = 【4】相似三角形 1、相似三角形的判定 ①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF ②‘S A S ’ E B EF BC DE AB ∠=∠=, ∴△ABC ∽△DEF ③‘S S S ’ EF BC DF AC DE AB = ∴△ABC ∽△DEF ④平行相似： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC 2、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例 ②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比 ③相似三角形的面积比等于相似比的平方 3、相似三角形的常见图形 ‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’ ‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2 =AD ?AB 母子图中的射影定理 AC 2 =AD ?AB BC 2 =BD ?AB CD 2 =AD ?BD 【二】题型 【例题 1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1， l 2， l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1， l 2， l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相较于点H ，且 AH=2，HB=1，BC=5则EF DE 的值为 【例题2】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于 （1） （2） 【例题3】如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，且AB=3AD ，点P 是△ABC 的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB 则PB:PD= 【例题4】如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ， 如果 AE EC ＝23，那么AB AC ＝（ ） A ．13 B ．23 C ．25 D ．35相似三角形专题复习
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