曲线的交点

2．6.3 曲线的交点

[学习目标] 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法．

[知识链接]

1．直线与椭圆有几个交点？ 答：两个交点、一个交点和无交点．

2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？

答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点． [预习导引]

1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同．

2．设斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|.

要点一 直线与圆锥曲线的交点问题

例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

解 依题意得方程组?????

y ＝kx ＋2， ①2x 2＋3y 2＝6， ②

①代入②整理得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. ∵Δ＝(12k )2－4×6(2＋3k 2)＝24(3k 2－2)， ∴当3k 2－2>0，即k >

63或k <－6

3

时，直线与曲线有两个公共点； 当3k 2－2＝0，即k ＝±6

3时，直线与曲线仅有一个公共点；

当3k 2－2<0，即－

63

3

时，直线与曲线没有公共点．

规律方法 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x (或y )后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系． 跟踪演练1 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？

解 将直线l 和抛物线C 的方程联立????? y ＝kx ＋1，

y 2＝4x ，

①②

①式代入②式，并整理，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (1)当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． 当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切． 当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交． 当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．

(2)当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．

综上所述，当k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离． 要点二 弦长问题

例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程．

解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，

由方程组?????

x 2

＝ay ，

x －2y －1＝0.

消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝1

2(x 1－x 2)，

弦长为AB ＝

(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝ 5

4

(x 1－x 2)2＝ 5

4

[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝14

5(a 2－8a ).

∵AB ＝15， ∴14

5(a 2－8a )＝15，

即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12. ∴所求抛物线方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .

规律方法 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB ＝

1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋

1k 2

|y 1－y 2|及公式|x 1－x 2|＝

b 2－4ac

|a |

较为简单． 跟踪演练2 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A 、B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

联立方程组?

????

y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①

∵x 1、x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b

2，x 1x 2＝－1.

又AB ＝

1＋k 2

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有

AB ＝

1＋22

·b 2＋162

＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.

故所求b 的值为±2.

要点三 与弦的中点有关的问题

例3 抛物线y 2＝8x 上有一点P (2,4)，以点P 为一个顶点，作抛物线的内接△PQR ，使得△PQR 的重心恰好是抛物线的焦点，求QR 所在直线的方程． 解 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)．

∵F 为△PQR 的重心，∴QR 的中点为M (2，－2)，如图所示．

设Q (x 1，y 1)、R (x 2，y 2)，

则有?????

y 21＝8x 1， ①y 2

2＝8x 2， ②

①－②，得y 21－y 2

2＝8(x 1－x 2)．

又y 1＋y 2＝－4，

∴直线QR 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝8－4＝－2.

∴QR 所在直线的方程为y ＋2＝－2(x －2)， 即2x ＋y －2＝0.

规律方法 本题设出Q 、R 的坐标，得出y 21＝8x 1，y 2

2＝8x 2，再作差的解法称为点差法，点差

法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．

跟踪演练3 直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，AB 中点坐标为(3,2)，求直线l 的方程．

解 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，

又因为y 1＋y 2＝4，所以k AB ＝

y 1－y 2x 1－x 2

＝1.

所以直线l 的方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.

1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________． 答案

3－1

解析 2a ＝c ＋3c ，e ＝c

a

＝3－1.

2．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭

圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案

33

解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a ，由椭圆定义得3b 2

a ＝2a,3

b 2＝3a 2－3

c 2＝2a 2，则此椭圆的

离心率e 为

3

3

.

3．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e ＝5

3，则此双曲线的方程是____________．

答案 y 236－x 2

64＝1

解析 焦点坐标为(0,10)， 故c ＝10，a ＝6，b ＝8.

4．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________. 答案 4

解析 由抛物线方程x 2＝－4y 得p ＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A ，B 两点的纵坐标都为－1，从而AB ＝|y 1|＋|y 2|＋p ＝1＋1＋2＝4.

1.解方程组?

????

Ax ＋By ＋C ＝0，

f (x ，y )＝0时，若消去y ，得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，这时，要

考虑a ＝0和a ≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a ≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．

2．求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组

?????

Ax ＋By ＋C ＝0，

f (x ，y )＝0

消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，设其两根为x 1，x 2，则P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝

(1＋k 2

)[(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2]＝

(1＋k 2

)(b 2a 2－4c

a

).

3．求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求)．即设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是圆锥曲线mx 2＋ny 2＝1上两点，P 0(x 0，y 0)是弦P 1P 2的

中点，则由mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 2

2＝1相减，

得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，从而kP 1P 2＝y 1－y 2x 1－x 2

＝－mx 0ny 0

.

一、基础达标

1．若直线l 过点(3,0)且与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线共有________条． 答案 3

解析 有两条与渐近线平行的直线：y ＝±2

3(x －3)，

另外，还有一条切线x ＝3.

2．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是________． 答案

25

5

解析 由交点坐标为(1,2)，求得a 、p 的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为25

5.

3．曲线x 2＋y 2＝9与曲线x 2＝8y 的交点坐标是________． 答案 (±22，1)

解析 由????? x 2＋y 2

＝9，x 2

＝8y ，得?????

y ＝1，

x ＝±

22，

∴交点坐标为(±22，1)．

4．过点(0,1)且与抛物线y 2＝x 只有一个公共点的直线有______条． 答案 3

解析 一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共3条． 5．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 1

4

解析 由?????

x －y －1＝0，

y ＝ax 2

，

消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0.

令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝1

4

.

6．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2

4＝1的位置关系为________．

答案 相交

解析 因为直线过的定点(1,1)恒在椭圆内，所以，直线与椭圆相交．

7．如图，斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2

＝1的右焦点，交椭圆于A 、B

两点，求弦AB 的长．

解 设A 、B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由椭圆方程知a 2

＝4，b 2＝1，c 2＝3，所以F (3，0)，直线l 的方程为y ＝x － 3.将其代入x 2＋4y 2＝4，化简整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 所以x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝8

5.

所以AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|

＝

1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2

＝2×

(83)2－4×5×85＝8

5

.

二、能力提升

8．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为________． 答案 9或1

9．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 2

2＝1所截得的弦的中点坐标是____________．

答案 (－23，1

3

)

解析 由?????

y ＝x ＋1，

x 24＋y 22＝1，

消去y 得3x 2＋4x －2＝0，

所以x 1＋x 2＝－43，所以弦的中点的横坐标为－2

3，

代入y ＝x ＋1，得中点坐标是(－23，1

3

)．

10．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A 、B ，则AB ＝________. 答案 3 2

解析 设AB 的方程为y ＝x ＋b ，与y ＝－x 2＋3联立得： x 2＋x ＋b －3＝0，

∴Δ＝1－4(b －3)>0，x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3.

∴AB 的中点C ????－12，b －1

2在x ＋y ＝0上： 即－12＋b －1

2＝0，解得b ＝1符合Δ>0，

∴弦长AB ＝

1＋1·1－4×(－2)＝3 2.

11．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点．设△AOB 的面积为S (O 为原点)，若S 的最小值为8，求此时的抛物线方程．

解 如题干图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p

2，代入

y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.

又S △AOB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12·p 2·|y 1|＋12·p 2·|y 2|＝p 4(|y 1|＋|y 2|)≥p 4·2|y 1y 2|＝p 2

2.

当且仅当|y 1|＝|y 2|＝p 时等号成立．故S min ＝p 2

2.

由题意有p 2

2＝8，∴p ＝4.

故所求的抛物线方程为y 2＝8x .

12．已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N .

(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

(2)是否存在实数k 使NA →·NB →

＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．

(1)证明 如图所示，设A (x 1,2x 21)，B (x 2,2x 22)

把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2，得2x 2－kx －2＝0，

由根与系数的关系得x 1＋x 2＝k

2，x 1x 2＝－1，

∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k

4，

∴N 点的坐标为(k 4，k 2

8

)．

设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 y －k 28＝m (x －k 4

)，

将y ＝2x 2

代入上式得2x 2

－mx ＋mk 4－k 2

8

＝0.

∵直线l 与抛物线C 相切，

∴Δ＝m 2

－8(mk 4－k 2

8

)＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0，

∴m ＝k ，即l ∥AB .

故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行． (2)解 假设存在实数k ，使NA →·NB →

＝0， 则NA ⊥NB .又∵M 是AB 的中点，∴MN ＝12AB .

由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝1

2(kx 1＋2＋kx 2＋2)

＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12(k 22＋4)＝k 2

4＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴MN ＝|y M －y N |

＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168

. 又AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|

＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝

1＋k 2·(k 2)2－4×(－1)＝

12

k 2＋1·k 2＋16.

∴k 2＋168＝

1

4

k 2＋1·k 2＋16，解得k ＝±2.

即存在k ＝±2，使NA →·NB →＝0. 三、探究与创新

13．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋mx －1，点A (3,0)、B (0,3)，求C 与线段AB 有两个不同交点时m 的取值范围．

解 线段AB ：x ＋y －3＝0(0≤x ≤3)．

由?????

x ＋y －3＝0，y ＝－x 2

＋mx －1.

消去y ，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0.

令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，

则方程f (x )＝0在[0,3]内有两个不同实数根的充要条件是

?????

Δ＝(m ＋1)2－4×1×4>0，

0

2

<3，f (0)＝4>0，f (3)＝32

－3(m ＋1)＋4≥0，

解得3

3

.

故所求m 的取值范围为{m |3

3

}．

直线与圆锥曲线的交点个数问题

直线与圆锥曲线的交点个数问题 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式?，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便。 一、直线与圆锥曲线的交点个数的探求 设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:()0C f x y =，，由0()0A x B y C f x y ++=??=? ，，，，即将直线l 的方程与圆锥曲线C 的方程联立，消去y 便得到关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（当然，也可以消去x 得到关于y 的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表： 注意：(1)对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；(2)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。 例1、讨论直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=的公共点的个数． 解：联立方程2211y kx x y =+??-=? ，，整理得22(1)220k x kx ---=， 当1k =±时，1x = ． 当1k ≠±时，22248(1)84k k k ?=+-=-， 若0?> ，则k <0?= ，则k =0?< ，则k < 或k > 综上所述，当k =时，直线与双曲线相切于一点；1k =± 时，直线与双曲线相交

于一 点；k< 或k>时，直线与双曲线没有公共点 ；1k <<或11 k -<< 或1 k<-时，直线与双曲线有两个公共点． 点评：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．二、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求直线方程 例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解：假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y1，即k AB= 2 1 2 1 x x y y - - =2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在. 点评：解答利用了“点差法”，但前提应是直线与曲线有交点，故求出斜率后必须进行验证，本题的验证利用了数形结合法，也可利用判别式法进行验证。 三、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求参数 例3、若直线1 y kx =+与焦点在x轴上的椭圆 22 1 5 x y m +=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05 m <<． 由22 1 1 5 y kx x y m =+ ? ? ? += ? ? ， ， 得22 (5)105(1)0 m k x kx m +++-=． 又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0 ?≥对一切实数k成立， 即22 (10)4(5)5(1)0 k n k m -?+?-=，亦即2 51 k m - ≥对一切实数k成立．10 m - ∴≤，即1 m≥．故m的取值范围为[) 15 m∈，． 解法二：由于直线过定点(01) ，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01) ，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求． 解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x轴上知05 m <<． 又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)，必在椭圆内部或边界上．22 01 1 5m + ∴≤，即1 m≥．故m的取值范围为[) 15 m∈，． 点评：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二首先判断直线是否过定点，定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断，思路灵活，且简捷． 总之，讨论直线与圆锥曲线的交点个数实际上就是讨论方程组的解的个数，在讨论方程组的解时需要对二次项系数及一次项系数进行讨论，体现了分类讨论和数形结合的思想方法

3曲线的交点和函数的零点(理)

曲线的交点和函数的零点 例1.已知函数()2()x f x x bx c e =++在点()()0,0P f 处的切线方程为210x y +-=． （1）求,b c 的值； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若方程()f x m =恰有两个不等的实根，求m 的取值范围． 演变1.已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点。 （1）求a ； （2）求函数)(x f 的单调区间； （3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b 的取值范围。 演变2.已知函数x x f ln )(=，x a x g = )(（0

公路路线的交点曲线计算方法_secret

公路路线的交点曲线计算方法 1．前言 传统的公路平面敷设计算方法是以交点（JD）转角（α）为基础，以外距（E）为控制，通过求算切线长（T）来计算平曲线要素及各主点桩号的，与此相应的平面设计表达便是路线“直线、曲线及转角表”。这种表达方式除了具有直观、方便的特点以外，更为重要的是它体现出公路路线设计的两个面，一是与之相适应直线加弯道的设计思路、定线方式、中线敷设和施工放样方法，另一个则是与汽车动力学相关的各项道路几何指标，因而应该说是十分经典并为大家所习惯采用的。现在随着光电测距仪、全站仪、GPS等先进的测量仪器的出现，公路中线敷设及施工放线广泛采用极坐标法，从而摆脱了对特定计算方法的依赖，但对于较长距离的公路主线，传统的交点转角设计定线方法和“直线、曲线及转角表”的表达方式，却仍是其他方法和方式所不能取代的。 然而，当路线因为受到限制而不得不采用，诸如不对称曲线、卵形曲线、复曲线、凸曲线、双卵形曲线等复杂曲线，特别是需要曲线反算的情况下，采用传统的交点转角计算方法是很困难的。对于复杂曲线的计算，一般采用了在传统方法的基础上，按曲线类型分别推导计算公式，并编写功能单一的计算程序进行计算的方法。显然这种方法局限性大、程序功能单一，即使编写了针对不同类型曲线的许多模块，也不能涵盖任意的线形组合和曲线类型等情况。 笔者通过设计实践和纬地道路辅助设计系统的研究开发，在许多技术人员熟知的传统交点转角法布设平曲线的基础上，提出一种利用计算机进行平曲线计算的新交点转角法，该方法适用于任意复杂线形的设计计算。 2．交点曲线计算法 该方法以适用于任意线元组合的复杂线形设计计算为目标，是以三种基本线元的统一参数模型为基础约定，以三线元捆绑式结构为通用的单交点曲线模型的交点可组合的计算方法，有别于传统的交点转角计算方法，暂称之为交点曲线计算法。 2.a 基本线元统一参数模型的建立 我们知道，公路线形的曲线分为直线、圆曲线和缓和曲线（回旋曲线）三种线元，缓和曲线线元则又分为完全缓和曲线（R->∞）、（∞-> R）和部分缓和曲线（R1->R2）。分析五种线元的特性及共性，我们可将圆曲线视为起终点半径相等、回旋曲线参数A为0的回旋曲线，而直线则同样视为半径为无穷大的圆曲线，故我们可以用S（线元长度）、A（线元缓和曲线参数）、RO（线元起点曲率半径）、RD（线元终点曲率半径）等四项参数建立一个统一的参数模型，并根据各项参数的不同定义域来分别描述直线、圆曲线和不同类型的缓和曲线，统一的参数模型见表1-1。

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计 昌黎汇文二中 李小庆 一、教学目的： 1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2．使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。 二、教学重点和难点: 1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程： 双曲线的标准方程 顶点 渐近线 焦点在x 轴上 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a =± 焦点在y 轴上 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b =± 思考问题：求双曲线12 2 =-y x 与下列直线的交点的个数: ①y ＝x+1 ②y ＝ -ｘ＋1 ③12+= x y ④12+-=x y ⑤y ＝１.２x+1 ⑥y ＝ -1.2x+1 ⑦y=１ ⑧y ＝２ｘ+1 ⑨ｙ＝ －２x+1 老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时,请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案:1 直线与双曲线相交(直线与渐近线平行）。 ③与④的答案:1 直线与双曲线相切。 ⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案:2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案:0 直线与双曲线相离。 (以上内容都有多媒体演示） 总结:当直线与双曲线相交(直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例１：论直线y=kx ＋１与双曲线C: 122=-y x 公共点的个数。

分析：直线y=ｋｘ+1过定点(0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。通过多媒体演示得到答案 解：⑴k=±1或k ＝±2时Ｌ与C 有一个公共点； ⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2 在右支上时 –2

二次函数压轴题交点个数问题(讲义及答案)

交点个数问题（讲义） 知识点睛 交点个数问题是确定函数与几何图形是否存在交点及个数的问题，常见问法有交点个数情况、交点是否唯一、存在唯一位置等． 处理此类问题的考虑： ①交点唯一的情形 考虑切点（直线与圆相切）、端点（经过线段端点）、交点（取值范围内唯一）． ②多交点问题常建立方程，转化为方程解个数问题． 精讲精练 1.如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=60°．点P从点A 出发，以3cm/s的速度，沿AC向点C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动，当点P运动到点C时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为t（s）． （1）当点P异于A，C时，请说明PQ∥BC； （2）以点P为圆心、PQ的长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

2.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于 点A(6，0)，B(0，8)，点C的坐标为(0，m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF． （1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）； （2）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得□CDEF 为矩形，请求出所有满足条件的m的值．

3.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，1)，取一点B(b， 0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的 垂线l2，记l1，l2的交点为P． （1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上． ①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出 曲线L是哪种曲线； ②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1，d2，求d1+d2的范围， 当d1+d2=8时，求点P的坐标； ③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得 到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围． 图1

缓和曲线交点桩号计算公式

缓和曲线计算方法(ZH～HY)中线 首先计算直线段坐标方位角（即ZH～JD坐标方位角），及ZH点坐标。备用偏角公式：{30*L/（π*RLS）缓和曲线} 计算待求点偏角=（（L/10）2 *（57296/（RLS ））/60。其中L=待求点至ZH距离、R=圆曲线半径、LS =缓和曲线长。 待求点方位角=直线方位角±待求点偏角。（曲线左转-偏角，曲线右转+偏角） 待求点至ZH点弦长=L—L5 /（90*R2 *LS 2），其中L=待求点至ZH距离（里程）、R=圆曲线半径。 待求点坐标： X=ZH点X坐标+COS（待求点方位角）*弦长 Y= ZH点Y坐标+SIN（待求点方位角）*弦长 缓和曲线计算左右边线坐标(ZH～HY) 左侧方位角=（待求点方位角±2倍偏角=直线方位角±3倍偏角）—边线与中线夹角。 右侧方位角=（待求点方位角±2倍偏角=直线方位角±3倍偏角）+边线与中线夹角。 左侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（左侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（左侧方位角）*边线至中线距离 右侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（右侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（右侧方位角）*边线至中线距离 圆曲线计算方法（HY～YH）中线 注：（ZY-YZ）同理，方位角=用直线方位角-待求点偏角 首先计算直线段坐标方位角（即ZH～JD坐标方位角），及HY点坐标。 求出缓圆点（HY）偏角=（LS*90）/（π* R）。 求待求点偏角=（L*90）/（π* R）。 其中： L=待求点至HY距离（里程）、R=圆曲线半径、LS =缓和曲线长。 待求点至HY点弦长=2* R*SIN（待求点偏角）。 待求点方位角=直线方位角±HY点偏角±待求点偏角，（曲线左转-偏角，曲线右转+偏角）。 待求点坐标： X=HY点X坐标+COS（待求点方位角）*弦长 Y=HY点Y坐标+SIN（待求点方位角）*弦长 圆曲线计算左右边线坐标 左侧方位角=（待求点方位角±偏角—边线与中线夹角）。 右侧方位角=（待求点方位角±偏角）+边线与中线夹角)。 左侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（左侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（左侧方位角）*边线至中线距离 右侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（右侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（右侧方位角）*边线至中线距离 缓和曲线计算方法（YH～HZ）中线 首先计算直线段坐标方位角（即ZH-JD坐标方位角），及YH点坐标。备用偏角公式：{30*L/

交点法计算曲线

交点法计算曲线 在我们曲线计算种线元法和交点法最为常有，上次我们说到了线元法，今天说说交点法。让各位测量同胞研 究，学习，若有疑问请加QQ：7036384，或是进QQ群: 8465359(作者：像小强一样活着) 老规矩，还是先画个图 a是直线段，A点是直线与弧线的交点（弧线起点），我们还是设a的方位角356°59′15″，A点坐标为 X:3146290.239 Y:37442280.990 B点坐标为X:3146420.519 Y:37442332.702 弧线半径为168，我们可以求出圆心坐标。 X:3146290.239+cos(356°59′15″+90°0′0″)*168=3146299.068 Y:37442280.990+sin(356°59′15″+90°0′0″)*168=37442448.76 现在们以圆心向A点算方位角，得出方位角266°59′15″ 现在我们求第一个5米圆弧。求5米弧长对应的角度：5/168*2*π*360°=1°42′18.83″如图我们设弧AB长5米，我们先求出BB'的长度（过B点作AO的垂线，垂足B'） BB'=4.999259025 ≈4.9993 B'O=167.9256008≈167.926 现在我们可以计算B的坐标 从O往B X:3146299.068+cos(266°59′15″)*167.926+cos(266°59′15″+90°0′0″) *4.9993=3146295.235 Y:37442448.76+sin(266°59′15″)*167.926+sin(266°59′15″+90°0′0″) *4.9993=37442280.8

交点法线元法坐标计算

3、交点法、线元法坐标计算 坐标计算是根据图纸中“直线及曲线转角一览表”提供的数据计算道路中桩坐标，然后和图纸提供的“逐桩坐标表”比对，如果一样则说明输入平曲线参数输入正确，可以计算边桩坐标和其他结构物坐标了；如果中桩坐标不一样，一般是平曲线参数输入有误，需要重新检查输入，另一种结果是图纸有错，这种情况少见，但不代表没有。“直线及曲线转角一览表”和“逐桩坐标表”见附件1、附件2。 线元法是以路线的起点坐标、方位角、起终点桩号等节点元素来计算出要求的坐标；交点法是以路线的交点要素和路线的主要要素来求得坐标。 ①交点法 交点：路线的转折点，路线改变方向是相邻两直线的延长线相交的点。用JD表示， 有些图 纸上用 IP表示。 看下图： 交 点是针对曲线的（包含圆曲线和缓和曲线），一段曲线就有一个交点。交点参数有：坐标（X,Y）、交点桩号、转角值、圆曲线半径R、缓和曲线长度。 教学提供软件（轻松测量、双心软件、测量工具）交点法曲线要素输入说明： 1、QD起点坐标： 起点坐标必须在直线段上，或填写前一交点的坐标。

2、JD交点曲线要素： （1）交点桩号 （2）交点坐标（X,Y） （3）曲线半径R 始点的话，起始里程有时候需要校正，当然，并不是每个图纸给出的起点里程都需要校正，大多数图纸的起点里程已经被设计院校正过，我们输入平曲线的时候需要验证一下。如果我们按照图纸给出的起点里程输入，发现后面的交点里程都和图纸相差一个相同的值，这就表明我们输入的起点里程需要校正。 起始点里程正常输入，第二、三个交点输入完成后，检查第二个交点的切线长和交点

里程是否和图纸一样，如果切线长正确，交点里程不正确，说明起点里程需要校正，将第二个交点的里程与正确里程的差值，应用到起点里程中，从而使第二个交点里程和后面交点的里程与图纸吻合。 注意：交点法计算坐标适用的平曲线为对称或不对称缓和曲线、圆曲线。对于非普通的三单元曲线，交点法不适用。非普通的三单曲线例如下页的JD18及JD19处的平曲线， 的输入是否正确，有的图纸给的方位角数据较少，需要每隔几个线元才能检验方位角。

曲线的交点

2．6.3 曲线的交点 [学习目标] 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法． [知识链接] 1．直线与椭圆有几个交点？ 答：两个交点、一个交点和无交点． 2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？ 答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点． [预习导引] 1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同． 2．设斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|. 要点一 直线与圆锥曲线的交点问题 例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 解 依题意得方程组????? y ＝kx ＋2， ①2x 2＋3y 2＝6， ② ①代入②整理得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. ∵Δ＝(12k )2－4×6(2＋3k 2)＝24(3k 2－2)， ∴当3k 2－2>0，即k > 63或k <－6 3 时，直线与曲线有两个公共点； 当3k 2－2＝0，即k ＝±6 3时，直线与曲线仅有一个公共点； 当3k 2－2<0，即－ 63

规律方法 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x (或y )后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系． 跟踪演练1 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？ 解 将直线l 和抛物线C 的方程联立????? y ＝kx ＋1， y 2＝4x ， ①② ①式代入②式，并整理，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (1)当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． 当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切． 当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交． 当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离． (2)当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交． 综上所述，当k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离． 要点二 弦长问题 例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程． 解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)， 由方程组????? x 2 ＝ay ， x －2y －1＝0. 消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝1 2(x 1－x 2)， 弦长为AB ＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计

《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计

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《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计 昌黎汇文二中 李小庆 一、教学目的： 1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。 二、教学重点和难点： 1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程： 1、复习提问：双曲线的方程和性质 双曲线的标准方程 顶点 渐近线 焦点在x 轴上 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a =± 焦点在y 轴上 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b =± 思考问题：求双曲线12 2 =-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+= x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1 ⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1 老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。 ③与④的答案：1 直线与双曲线相切。 ⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。 （以上内容都有多媒体演示） 总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例1：论直线y=kx+1与双曲线C: 122=-y x 公共点的个数。

公路路线的交点曲线计算法

公路路线的交点曲线计算法 摘要：本文介绍一种以曲线计算为内核的新的交点转角公路平曲线计算方法，适用于目前直曲线 混合法定线时任意复杂线形的计算机辅助设计计算，并以标准的“直线、曲线及转角表”形式输出设计 结果。 关键词：交点线元交点曲线计算法 1．前言 传统的公路平面敷设计算方法是以交点（JD）转角（α）为基础，以外距（E）为控制，通过求算 切线长（T）来计算平曲线要素及各主点桩号的，与此相应的平面设计表达便是路线“直线、曲线及转 角表”。这种表达方式除了具有直观、方便的特点以外，更为重要的是它体现出公路路线设计的两个面， 一是与之相适应直线加弯道的设计思路、定线方式、中线敷设和施工放样方法，另一个则是与汽车动力 学相关的各项道路几何指标，因而应该说是十分经典并为大家所习惯采用的。以后随着光电测距仪、全 站仪等先进的测量仪器的出现，公路中线敷设及施工放线广泛采用极坐标法，从而摆脱了对特定计算方 法的依赖，但对于较长距离的公路主线，传统的交点转角设计定线方法和“直线、曲线及转角表”的表 达方式，却仍是其他方法和方式所不能取代的。 然而，当路线因为受到限制而不得不采用，诸如不对称曲线、卵形曲线、复曲线、凸曲线、双卵形 曲线等复杂曲线，特别是需要曲线反算的情况下，采用传统的交点转角计算方法是很困难的。对于复杂 曲线的计算，大家一般采用了在传统方法的基础上，按曲线类型分别推导计算公式，并编写功能单一的 计算程序进行计算的方法。显然这种方法局限性大、程序功能单一，即使编写了针对不同类型曲线的许 多模块，也不能涵盖任意的线形组合和曲线类型等情况。 笔者通过设计工作实践和纬地道路辅助设计系统的研究开发，在许多技术人员熟知的传统交点转角 法布设平曲线的基础上，提出一种利用计算机进行平曲线计算的新交点转角法，该方法适用于任意复杂 线形的设计计算。 2．交点曲线计算法 该方法以适用于任意线元组合的复杂线形设计计算为目标，是以三种基本线元的统一参数模型为基 础约定，以三线元捆绑式结构为通用的单交点曲线模型的交点可组合的计算方法，有别于传统的交点转 角计算方法，暂称之为交点曲线计算法。

曲线系方程的共交点在解题中的应用

曲线系方程的共交点在解题中的应用 共交点的曲线系：设两已知曲线S 1：0)y ,x (f =，S 2：0)y ,x (g =，（因为方程组???==0 )y ,x (g 0)y ,x (f 的公共解肯定满足方程0)y ,x (g )y ,x (f =λ+，其中λ为任意常数，所以此方程对应的曲线肯定过S 1和S 2的交点。）因此可设过两曲线S 1、S 2的交点的曲线系方程是：0)y ,x (g )y ,x (f =λ+，但曲线系中不包括S 2。这种共交点的曲线系方程也具有广泛的应用，我们常见的求轨迹问题是一个定位描述的问题，只要给多一个条件，就可以确定其轨迹方程。本文尝试利用共交点的曲线系方程解题方面作一些探讨。 一、共交点曲线系方程的一般性运用 例1：求经过两圆0y x 2y 3x 3:C 0y x 3y x :C 222221=+++=-++和的交点及点P （1，1）的圆的方程。 分析：因为C 1、C 2是圆的方程，所以C 1+λC 2=0是过两圆交点的圆系方程。代入交点的坐标，解出λ即可。 例2：求经过两条曲线0y x 3y x 22=-++和0y x 2y 3x 322=+++的交点的直线方程。 分析：此题可先求出两个交点再求直线方程，但计算量较大。若从曲线与方程的关系这一角度出发，只要理解了曲线上点的坐标与方程的解之间的关系，利用共交点的曲线系方程解题，可避免大量的计算。 二、共交点曲线系方程的灵活性运用 从曲线系方程0)y ,x (g )y ,x (f =λ+结构看，若0)y ,x (g )y ,x (f =λ+为圆系方程，不要求f （x ，y ）=0与g （x ，y ）=0都是圆的方程，只要其中有一个是圆的方程，它就是圆系方程，因此可延展到直线与圆相交的情形。 从运动的角度看：㈠直线也可以看成圆，因为直线可理解为半径趋于正无穷大的圆；㈡点也可以看成圆，因为点可理解为半径为零的圆，即点圆；㈢因为圆系方程可延展到直线与圆相交的情形，因此圆上的切点也可理解为圆的相交直线

精品教案：曲线的交点与轨迹

曲线的交点与轨迹 【知识网络】 1．掌握求曲线的交点的基本方法，进一步提高运算能力． 2．掌握求动点轨迹的基本步骤和常用方法． 3．了解部分曲线系方程的共同特征． 4．进一步体验数形结合等数学思想方法． 【典型例题】 [例1]（1）点M 到定点F （0，－4）的距离比它到直线y=5的距离少1，则点M 的轨迹方程是（ ） A ．y x 162-= B ．y x 162= C ．x y 162-= D ．x y 162 -= （2）曲线442 2=+y x 关于点M （3，5）对称的曲线方程是（ ） A ．()()410462 2 =+++y x B ．()()410462 2 =-+-y x C ．()()410462 2 =-++y x D ．()()410462 2 =++-y x （3）若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 所对的三边a,b,c （a ＞b ＞c)成等差数列，A （－1，0），C （1，0），则顶点B 的轨迹方程是（ ） A ．22143x y += B ．22 143x y +=（x≠±2) C ．22143x y +=(x ＞0且x≠2) D ．22 143 x y +=(x ＜0且x≠－2) （4）两圆x 2＋y 2＋2x －3y ＋1=0, 2x 2＋2y 2＋x －4y=0公共点的直线方程是 ． （5）过直线4x －5y ＋1=0与直线x －y ＋2=0的交点，且平行与直线2x －3y=0的直线方程是 ． [例2] 动点A 、B 在直线x=－１上移动，设P(－4,0)，∠APB=60°，求△APB 外心的轨迹方程． [例3] 直线l ：y=kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2=1的右支交于不同的两点A ，B ，求实数k 的取值范围． [例4] 如图，A ，B 是两个定点，且|AB|=2，动点M 到A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于

最新初中数学思维技巧专项训练(三) 动态双曲线中的交点个数问题

动态双曲线中的交点个数问题 类型一　双曲线与直线交点个数问题 解决双曲线与直线的交点个数问题，常将两函数的解析式组成方程组，再转化为一元二次方程，最后借助一元二次方程根的判别式解决问题． 1．若反比例函数y ＝与一次函数y ＝x ＋2的图象没有交点，则k 的值可以是( )k x A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 2．如图3－Y －1，直线y ＝－x ＋5与双曲线y ＝(x ＞0)相交于A ，B 两点，与x 轴相k x 交于点C ，△BOC 的面积是.若将直线y ＝－x ＋5向下平移1个单位长度，则所得直线与52 双曲线y ＝(x ＞0)的交点有( )k x 图3－Y －1 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．0个或1个或2个 3．若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是k x ________． 4．如图3－Y －2①，已知A (－4，n )，B (3，4)是一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与反比例 函数y 2＝的图象的两个交点，过点D (t ，0)(0＜t ＜3)作x 轴的垂线，分别交双曲线y 2＝m x m x 和直线y 1＝kx ＋b 于P ，Q 两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)当t 为何值时，S △BPQ ＝S △APQ?12

(3)如图②，以PQ 为边在直线PQ 的右侧作正方形PQMN ，试说明：边QM 与双曲线y 2＝(x ＞0)始终有交点．m x 图3－Y －2 类型二　双曲线与多边形交点个数问题 解决双曲线与多边形的边有无交点问题，要在运动变化过程中探索问题中的不变因素，抓住“静”的一瞬间，将一般情形转化为特殊情形．其中对双曲线经过多边形的特殊点的研究是解题关键． 5．如图3－Y －3，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD 黑色区域，其中A (6，2)， B (6，1)， C (2，1)， D (2，2)，有一动态扫描线为反比例函数y ＝(x ＞0)的图象，当扫描线k x 遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的k 的取值范围是( ) 图3－Y －3 A ．4≤k ≤6 B ．2≤k ≤12

交点法线路平曲线坐标计算 [新方法]

线路线路工程工程工程[[交点法交点法]]平曲线坐标计算[新方法] 作者作者：：刘宗远 联系方式QQ ：63453673 2013年10月 [简述]：在网上看了很多网友的线路交点法计算程序，平曲线小坐标大多采用的是切线支距法切线支距法切线支距法。经本人结合线路工程的施工特点和相关资料，总结归纳出一套全新的全新的全新的线路坐标编程线路坐标编程线路坐标编程解算方法解算方法解算方法（弦线偏弦线偏角支距法角支距法——————也叫极坐标法也叫极坐标法也叫极坐标法）。计算精度满足线路主线要求。 第一部分第一部分：：基本公式基本公式 一、圆曲线圆曲线：： 1、偏角： 2、弦长： 式中： —偏角 — 弧长所对应的圆心角 —待求点到zy 点的距离 二、缓和曲线缓和曲线：： 1、切线角： (1)缓和曲线上任意一点切线角: (2)曲线上任一点偏角： (3)弦切角：(hy(yh)点处弦线与切线的交角) 2、弦长：2 25 90Ls r l l c i ××?= 式中： zh ki l ?= 缓和曲线一点到zh 点的距离 —前（或后）缓和曲线总长

第二部分第二部分：：程序分步公式程序分步公式 一、交点参数计算：（非对称缓和曲线型） 1、内移值P ： 前缓和曲线内移值：34 1 212688241R L R L P S s ? = 后缓和曲线内移值：3 4 2 2 22688242R L R L P S S ?= 2、切线增长值q ： 前缓和曲线切增值：23 1 124021R L L q s s ?= 后缓和曲线切增值：2 3 2 224022R L L q s s ?= 3、切线角β： 前缓和曲线切线角： R L S 1 901= β 后缓和曲线切线角： R L s 2 902=β 4、切线长T ： 前切线长：αα sin 2 112tan )1(1p p q P R T ?? ++= 后切线长：α αsin 2 122tan )2(2p p q P R T ?+++= 5、曲线总长：)(5.0180 21S S L L R L +×+=π α

曲线交点与方程

高三 年级 数学 学科曲线方程与曲线交点学教案 主备人：蔡芹 审核：高三数学备课组 2013年12月11日 第一课时 教学过程： 一、基础知识 1．曲线的方程与方程的曲线 如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的________，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在________上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线． 2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)证明 3．两条曲线的交点的求法： 二、基础训练 1．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是__________． 2．过圆外一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线PM 和PN (M ，N 为切点)，若∠MPN ＝π2 ，则动点P 的轨迹是______． 3．已知定点A (1,2)，B (－1,2)，动点P 与A ，B 两点连线的斜率k 1，k 2满足k 1＝k 2＋4，则动点P 的轨迹方程是__________． 4．已知点M 与双曲线x 216－y 2 9 ＝1的左、右焦点的距离之比为2∶3，则点M 的轨迹方程为__________． 三、典型例题 （一）直接法求曲线方程 例1 已知△ABC 中，BC =2，AB m AC ，求动点A 的轨迹方程. （二）相关点法(代入法)求轨迹方程 例2 设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM ＝mDA (m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．

曲线与曲线的交点

曲线与曲线的交点 【学习目标】：求曲线与曲线的交点。 【学习重点】：求曲线与曲线的交点，弦长等 【预习引导】 1、曲线y=kx+1与曲线y=|x|交点个数为个 A、0 B、1 C、1或2 D、3 2、曲线2y2+3x+3=0与曲线y2+x2-4x-5=0交点个数为个 A、4 B、1 C、2 D、3 3、给出下列曲线，其中与直线y+2x+3=0有交点的曲线有 （1）4x+2y-1=0 (2)x2+y2=3 (3) 2 21 2 x y +=(4) 2 21 2 x y -= 4、已知：直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上，则k为 【问题探究】 在《数学2（必修）》中，我们通过求方程组的实数解来求两条直线的交点。那么，一般地，如何求两条曲线的交点？ 【思维训练】 例1 （教材例1）已知按照灯的轴截面是抛物线2y x =，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P（1，-1），反射光线过抛物线焦点后又照射到抛物线上的Q点。试确定点Q的坐标。 例2 已知抛物线y2=2px(p>0),有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为 ，一条直角边所 在直线的方程是y=2x，求抛物线的方程。 例3 、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0, (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。 例4、一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y(0≤y≤20).在杯内放入一个玻璃球，求使球触及酒杯底部，那么玻璃杯的半径r应满足什么条件？ 【课后巩固】 1．判断下列各组曲线是否有公共点，若有，求出公共点的坐标： （1） 10 2550; x y y x -+==- 与 （2）226; y x x y x =-+=-+ 与 （3）22 41; y x x y =+-= 与 2．已知直线3 y kx =+与椭圆 22 1 94 x y +=有公共点，则k的取值范围是。 3、已知直线y x b =+与抛物线22 x y =交于A，B两点，且OA OB ⊥（O为坐标原点），则b的值为。 4、求直线y=x+1与曲线y=x2的交点A、B，并求两交点间的距离以及AB中点坐标。 1 / 1

曲线y=ax与y=logax( a>0且a≠1)的交点的个数

曲线y=ax与y=logax( a>0且a≠1)的交点的个数

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曲线y=ax与y=logax( a>0且a≠1)的交点的个数-中 学数学论文 曲线y=ax与y=logax( a0且a≠1)的交点的个数 江苏南京市秦淮高级中学李林 对于曲线y=ax与曲线y=logax（a0且a≠1）的交点的个数问题，许多学生回答是：0个、1个或2个，这个答案是不正确的。通过对学生的调查，发现学生是通过分类讨论与数形结合得到的。要驳倒学生，老师徒手画图显然做不到，这样就给学生产生一个错觉：数形结合有时会误导我们，学生有这样的错觉主要是对数形结合的理解不全面造成的。形具有直观性，数能具体而细微地刻画事物的变化，正所谓的是缺形无直观，少数难入微。 要解决曲线y=ax与曲线y=logax（a0且a≠1）的交点个数问题，首先对a进行分类讨论。 （Ⅰ）当a1时，因为函数y=ax与函数y=logax是互为反函数，所以只要研究方程组y=axy=x的解的个数，也就是研究曲线y=ax与y=x交点的个数就行。首先考虑曲线y=ax与y=x相切时a的值为多少及切点坐标。 设他们的切点M的坐标为（x0，y0），对函数f（x）=ax求导得：f′（x）=axlna。因为点M（x0，y0）既在直线y=x上又在曲线y=ax上，且切线的斜率为1。

上述三种情况可以通过《几何画板》来进行演示，让学生有清楚直观的认识。

（Ⅱ）当0a1时，如何处理曲线y=ax与y=logax的交点个数问题。 在0a1时，由互为反函数的图象可知，他们在直线y=x上一定有公共点，记该公共点为M（x0，x0）。当两曲线在点M处的两切线的斜率相等时，所求出的a的值就是他们分界值（两曲线交点个数的分界值），由极限思想知：在该处切线的斜率为-1。 也可以如下方法证明：

曲线与方程(交点)

选修2—1 第二章 圆锥曲线与方程 §2.6 曲线与方程 第2课时 总第46课时 一、【学习目标】 1、通过实例掌握求两条曲线的交点的坐标的方法； 2、进一步学习方程思想和数形结合的方法。 二、【预习检测】 1、求两条曲线0),(:11=y x f C 和0),(:22=y x f C 的交点，就是求方程组 的实数解，方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点。 2、直线l 被圆锥曲线C 截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则AB= ，弦AB 的中点M 的坐标为 。 3、曲线12 -=x y 与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 。 4、曲线52422=+y x 与曲线3722=+y x 的交点个数是 。 5、若两条直线02=+-k y x 与01=--y x 的交点在曲线122=+y x 上，则k 的值是 。 6、已知直线m x y +=与曲线22+-=x x y 有两个公共点，求m 的取值范围。 三、【典例互动】 例1、已知探照灯的轴截面是抛物线x y =2 ，平行于x 轴的光线照射到抛物线上的点P （1， —1），反射光线过抛物线焦点后又照射到抛物线上的Q 点。试确定点Q 的坐标。 例2、在长、宽分别为10m ，18m 的矩形地块内，欲开凿一花边水池，池边由两个椭圆组成 （如图），试确定两个椭圆的四个交点的位置。

例3、当m 取何值时，直线m x y l +=:与椭圆19 16:2 2=+y x C 只有一个公共点？ 并求出这个公共点的坐标。 例4、求过定点P （0，1），且与抛物线x y 22=只有一个公共点的直线方程。 例5、已知椭圆14 162 2=+y x 的弦AB 的中点M 的坐标（2，1），求直线AB 的方程。 例6、讨论直线1:+=kx y l 与曲线1:2 2=-y x C 的公共点的个数。 四、【当堂测评】 1、已知直线3+=kx y 与椭圆14 92 2=+y x 有公共点，则k 的取值范围 。 2、椭圆13422=+y x 与圆72 2=+y x 的公共点有 个。 3、已知直线b x y +=与抛物线y x 22=交于A 、B 两点，且OB OA ⊥（O 坐标原点），则b 的值为 。 4、若直线1+=kx y 与椭圆142 2=+y x 只有一个公共点，则实数k 的值是 。