抛物线与直线交点问题经典讲义教案
抛物线与直线交点问题 教学目标： 1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进 一步培养学生数形结合思想。 3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。 教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 讲授方法： 讲授与讨论相结合 教学过程： 一、抛物线与x 轴的交点问题 例1：已知：抛物线322 --=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。 练习： 1、已知：抛物线)1(3)2(2 ++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。 （2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。 2、（2013房山一模23前两问） 已知，抛物线2 y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （3 2 ，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. 方法总结： 1、 抛物线与x 轴相交： 抛物线c bx ax y ++=2 的图象与x 轴相交 ）（002 ≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数 （1 △>0 抛物线与x 轴相交 （2 △=0 抛物线与x 轴相切 （3 △<0 抛物线与x 轴相离
二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点 例2：求抛物线322 --=x x y 与y=1的交点坐标 练习： 已知：抛物线c x x y ++=22 （1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值范围。 （2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值范围 方法总结： 1、抛物线与平行于x 轴的直线相交 抛物线c bx ax ++=2 的图象与平行于x 轴的直线相交 ?? ?=++=m y bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数 （1 △>0 抛物线与直线相交 （2 △=0 抛物线与直线相切 （3 △<0 抛物线与直线相离 三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线2 2 1x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值 练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2 A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式
公路路线的交点曲线计算方法_secret
公路路线的交点曲线计算方法 1．前言 传统的公路平面敷设计算方法是以交点（JD）转角（α）为基础，以外距（E）为控制，通过求算切线长（T）来计算平曲线要素及各主点桩号的，与此相应的平面设计表达便是路线“直线、曲线及转角表”。这种表达方式除了具有直观、方便的特点以外，更为重要的是它体现出公路路线设计的两个面，一是与之相适应直线加弯道的设计思路、定线方式、中线敷设和施工放样方法，另一个则是与汽车动力学相关的各项道路几何指标，因而应该说是十分经典并为大家所习惯采用的。现在随着光电测距仪、全站仪、GPS等先进的测量仪器的出现，公路中线敷设及施工放线广泛采用极坐标法，从而摆脱了对特定计算方法的依赖，但对于较长距离的公路主线，传统的交点转角设计定线方法和“直线、曲线及转角表”的表达方式，却仍是其他方法和方式所不能取代的。 然而，当路线因为受到限制而不得不采用，诸如不对称曲线、卵形曲线、复曲线、凸曲线、双卵形曲线等复杂曲线，特别是需要曲线反算的情况下，采用传统的交点转角计算方法是很困难的。对于复杂曲线的计算，一般采用了在传统方法的基础上，按曲线类型分别推导计算公式，并编写功能单一的计算程序进行计算的方法。显然这种方法局限性大、程序功能单一，即使编写了针对不同类型曲线的许多模块，也不能涵盖任意的线形组合和曲线类型等情况。 笔者通过设计实践和纬地道路辅助设计系统的研究开发，在许多技术人员熟知的传统交点转角法布设平曲线的基础上，提出一种利用计算机进行平曲线计算的新交点转角法，该方法适用于任意复杂线形的设计计算。 2．交点曲线计算法 该方法以适用于任意线元组合的复杂线形设计计算为目标，是以三种基本线元的统一参数模型为基础约定，以三线元捆绑式结构为通用的单交点曲线模型的交点可组合的计算方法，有别于传统的交点转角计算方法，暂称之为交点曲线计算法。 2.a 基本线元统一参数模型的建立 我们知道，公路线形的曲线分为直线、圆曲线和缓和曲线（回旋曲线）三种线元，缓和曲线线元则又分为完全缓和曲线（R->∞）、（∞-> R）和部分缓和曲线（R1->R2）。分析五种线元的特性及共性，我们可将圆曲线视为起终点半径相等、回旋曲线参数A为0的回旋曲线，而直线则同样视为半径为无穷大的圆曲线，故我们可以用S（线元长度）、A（线元缓和曲线参数）、RO（线元起点曲率半径）、RD（线元终点曲率半径）等四项参数建立一个统一的参数模型，并根据各项参数的不同定义域来分别描述直线、圆曲线和不同类型的缓和曲线，统一的参数模型见表1-1。
缓和曲线交点桩号计算公式
缓和曲线计算方法(ZH～HY)中线 首先计算直线段坐标方位角（即ZH～JD坐标方位角），及ZH点坐标。备用偏角公式：{30*L/（π*RLS）缓和曲线} 计算待求点偏角=（（L/10）2 *（57296/（RLS ））/60。其中L=待求点至ZH距离、R=圆曲线半径、LS =缓和曲线长。 待求点方位角=直线方位角±待求点偏角。（曲线左转-偏角，曲线右转+偏角） 待求点至ZH点弦长=L—L5 /（90*R2 *LS 2），其中L=待求点至ZH距离（里程）、R=圆曲线半径。 待求点坐标： X=ZH点X坐标+COS（待求点方位角）*弦长 Y= ZH点Y坐标+SIN（待求点方位角）*弦长 缓和曲线计算左右边线坐标(ZH～HY) 左侧方位角=（待求点方位角±2倍偏角=直线方位角±3倍偏角）—边线与中线夹角。 右侧方位角=（待求点方位角±2倍偏角=直线方位角±3倍偏角）+边线与中线夹角。 左侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（左侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（左侧方位角）*边线至中线距离 右侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（右侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（右侧方位角）*边线至中线距离 圆曲线计算方法（HY～YH）中线 注：（ZY-YZ）同理，方位角=用直线方位角-待求点偏角 首先计算直线段坐标方位角（即ZH～JD坐标方位角），及HY点坐标。 求出缓圆点（HY）偏角=（LS*90）/（π* R）。 求待求点偏角=（L*90）/（π* R）。 其中： L=待求点至HY距离（里程）、R=圆曲线半径、LS =缓和曲线长。 待求点至HY点弦长=2* R*SIN（待求点偏角）。 待求点方位角=直线方位角±HY点偏角±待求点偏角，（曲线左转-偏角，曲线右转+偏角）。 待求点坐标： X=HY点X坐标+COS（待求点方位角）*弦长 Y=HY点Y坐标+SIN（待求点方位角）*弦长 圆曲线计算左右边线坐标 左侧方位角=（待求点方位角±偏角—边线与中线夹角）。 右侧方位角=（待求点方位角±偏角）+边线与中线夹角)。 左侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（左侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（左侧方位角）*边线至中线距离 右侧边线坐标： X=该点中线X坐标+COS（右侧方位角）*边线至中线距离 Y=该点中线Y坐标+SIN（右侧方位角）*边线至中线距离 缓和曲线计算方法（YH～HZ）中线 首先计算直线段坐标方位角（即ZH-JD坐标方位角），及YH点坐标。备用偏角公式：{30*L/
直线的交点坐标和距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能用解方程组的方法求两 条相交直线的交点坐标． 2.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式、会求两 条平行直线间的距离. 1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出 现在相关的位置关系中． 2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的 距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与 圆或圆锥曲线的问题中来考查. [归纳·知识整合] 1．两条直线的交点 设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个
交点时，两条直线重合． 2．距离 点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距 离 d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 d ＝ |C 1－C 2| A 2＋ B 2 [探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选D d ＝ |－5|12＋22 ＝ 5. 2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8 D ．6 解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0 2＋ 0－82＝36＋64＝10. 3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－1 2
交点法计算曲线
交点法计算曲线 在我们曲线计算种线元法和交点法最为常有，上次我们说到了线元法，今天说说交点法。让各位测量同胞研 究，学习，若有疑问请加QQ：7036384，或是进QQ群: 8465359(作者：像小强一样活着) 老规矩，还是先画个图 a是直线段，A点是直线与弧线的交点（弧线起点），我们还是设a的方位角356°59′15″，A点坐标为 X:3146290.239 Y:37442280.990 B点坐标为X:3146420.519 Y:37442332.702 弧线半径为168，我们可以求出圆心坐标。 X:3146290.239+cos(356°59′15″+90°0′0″)*168=3146299.068 Y:37442280.990+sin(356°59′15″+90°0′0″)*168=37442448.76 现在们以圆心向A点算方位角，得出方位角266°59′15″ 现在我们求第一个5米圆弧。求5米弧长对应的角度：5/168*2*π*360°=1°42′18.83″如图我们设弧AB长5米，我们先求出BB'的长度（过B点作AO的垂线，垂足B'） BB'=4.999259025 ≈4.9993 B'O=167.9256008≈167.926 现在我们可以计算B的坐标 从O往B X:3146299.068+cos(266°59′15″)*167.926+cos(266°59′15″+90°0′0″) *4.9993=3146295.235 Y:37442448.76+sin(266°59′15″)*167.926+sin(266°59′15″+90°0′0″) *4.9993=37442280.8
交点法线元法坐标计算
3、交点法、线元法坐标计算 坐标计算是根据图纸中“直线及曲线转角一览表”提供的数据计算道路中桩坐标，然后和图纸提供的“逐桩坐标表”比对，如果一样则说明输入平曲线参数输入正确，可以计算边桩坐标和其他结构物坐标了；如果中桩坐标不一样，一般是平曲线参数输入有误，需要重新检查输入，另一种结果是图纸有错，这种情况少见，但不代表没有。“直线及曲线转角一览表”和“逐桩坐标表”见附件1、附件2。 线元法是以路线的起点坐标、方位角、起终点桩号等节点元素来计算出要求的坐标；交点法是以路线的交点要素和路线的主要要素来求得坐标。 ①交点法 交点：路线的转折点，路线改变方向是相邻两直线的延长线相交的点。用JD表示， 有些图 纸上用 IP表示。 看下图： 交 点是针对曲线的（包含圆曲线和缓和曲线），一段曲线就有一个交点。交点参数有：坐标（X,Y）、交点桩号、转角值、圆曲线半径R、缓和曲线长度。 教学提供软件（轻松测量、双心软件、测量工具）交点法曲线要素输入说明： 1、QD起点坐标： 起点坐标必须在直线段上，或填写前一交点的坐标。
2、JD交点曲线要素： （1）交点桩号 （2）交点坐标（X,Y） （3）曲线半径R 始点的话，起始里程有时候需要校正，当然，并不是每个图纸给出的起点里程都需要校正，大多数图纸的起点里程已经被设计院校正过，我们输入平曲线的时候需要验证一下。如果我们按照图纸给出的起点里程输入，发现后面的交点里程都和图纸相差一个相同的值，这就表明我们输入的起点里程需要校正。 起始点里程正常输入，第二、三个交点输入完成后，检查第二个交点的切线长和交点
里程是否和图纸一样，如果切线长正确，交点里程不正确，说明起点里程需要校正，将第二个交点的里程与正确里程的差值，应用到起点里程中，从而使第二个交点里程和后面交点的里程与图纸吻合。 注意：交点法计算坐标适用的平曲线为对称或不对称缓和曲线、圆曲线。对于非普通的三单元曲线，交点法不适用。非普通的三单曲线例如下页的JD18及JD19处的平曲线， 的输入是否正确，有的图纸给的方位角数据较少，需要每隔几个线元才能检验方位角。
直线与圆锥曲线的交点个数问题
直线与圆锥曲线的交点个数问题 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式?，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便。 一、直线与圆锥曲线的交点个数的探求 设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:()0C f x y =，，由0()0A x B y C f x y ++=??=? ，，，，即将直线l 的方程与圆锥曲线C 的方程联立，消去y 便得到关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（当然，也可以消去x 得到关于y 的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表： 注意：(1)对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切；(2)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法。 例1、讨论直线:1l y kx =+与双曲线22:1C x y -=的公共点的个数． 解：联立方程2211y kx x y =+??-=? ，，整理得22(1)220k x kx ---=， 当1k =±时，1x = ． 当1k ≠±时，22248(1)84k k k ?=+-=-， 若0?> ，则k <0?= ，则k =0?< ，则k < 或k > 综上所述，当k =时，直线与双曲线相切于一点；1k =± 时，直线与双曲线相交
于一 点；k< 或k>时，直线与双曲线没有公共点 ；1k <<或11 k -<< 或1 k<-时，直线与双曲线有两个公共点． 点评：直线与圆锥曲线有无公共点的问题，实际上就是相应的方程组有无实数解的问题．直线与双曲线公共点的个数，特别是只有一个公共点时，除了相切的情况之外，还有直线与双曲线渐近线相平行时的情况．抛物线同样也存在这样的问题，应特别引起注意．二、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求直线方程 例2、已知双曲线C：2x2－y2=2与点Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解：假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2，∴2(x1－x2)=y1－y1，即k AB= 2 1 2 1 x x y y - - =2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在. 点评：解答利用了“点差法”，但前提应是直线与曲线有交点，故求出斜率后必须进行验证，本题的验证利用了数形结合法，也可利用判别式法进行验证。 三、借助于直线与圆锥曲线的交点个数探求参数 例3、若直线1 y kx =+与焦点在x轴上的椭圆 22 1 5 x y m +=总有公共点，求m的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知05 m <<． 由22 1 1 5 y kx x y m =+ ? ? ? += ? ? ， ， 得22 (5)105(1)0 m k x kx m +++-=． 又∵直线与椭圆总有公共点，∴上述方程0 ?≥对一切实数k成立， 即22 (10)4(5)5(1)0 k n k m -?+?-=，亦即2 51 k m - ≥对一切实数k成立．10 m - ∴≤，即1 m≥．故m的取值范围为[) 15 m∈，． 解法二：由于直线过定点(01) ，，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(01) ，必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求． 解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在x轴上知05 m <<． 又∵直线与椭圆总有公共点．∴直线所经过的定点(01)，必在椭圆内部或边界上．22 01 1 5m + ∴≤，即1 m≥．故m的取值范围为[) 15 m∈，． 点评：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二首先判断直线是否过定点，定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断，思路灵活，且简捷． 总之，讨论直线与圆锥曲线的交点个数实际上就是讨论方程组的解的个数，在讨论方程组的解时需要对二次项系数及一次项系数进行讨论，体现了分类讨论和数形结合的思想方法
公路路线的交点曲线计算法
公路路线的交点曲线计算法 摘要：本文介绍一种以曲线计算为内核的新的交点转角公路平曲线计算方法，适用于目前直曲线 混合法定线时任意复杂线形的计算机辅助设计计算，并以标准的“直线、曲线及转角表”形式输出设计 结果。 关键词：交点线元交点曲线计算法 1．前言 传统的公路平面敷设计算方法是以交点（JD）转角（α）为基础，以外距（E）为控制，通过求算 切线长（T）来计算平曲线要素及各主点桩号的，与此相应的平面设计表达便是路线“直线、曲线及转 角表”。这种表达方式除了具有直观、方便的特点以外，更为重要的是它体现出公路路线设计的两个面， 一是与之相适应直线加弯道的设计思路、定线方式、中线敷设和施工放样方法，另一个则是与汽车动力 学相关的各项道路几何指标，因而应该说是十分经典并为大家所习惯采用的。以后随着光电测距仪、全 站仪等先进的测量仪器的出现，公路中线敷设及施工放线广泛采用极坐标法，从而摆脱了对特定计算方 法的依赖，但对于较长距离的公路主线，传统的交点转角设计定线方法和“直线、曲线及转角表”的表 达方式，却仍是其他方法和方式所不能取代的。 然而，当路线因为受到限制而不得不采用，诸如不对称曲线、卵形曲线、复曲线、凸曲线、双卵形 曲线等复杂曲线，特别是需要曲线反算的情况下，采用传统的交点转角计算方法是很困难的。对于复杂 曲线的计算，大家一般采用了在传统方法的基础上，按曲线类型分别推导计算公式，并编写功能单一的 计算程序进行计算的方法。显然这种方法局限性大、程序功能单一，即使编写了针对不同类型曲线的许 多模块，也不能涵盖任意的线形组合和曲线类型等情况。 笔者通过设计工作实践和纬地道路辅助设计系统的研究开发，在许多技术人员熟知的传统交点转角 法布设平曲线的基础上，提出一种利用计算机进行平曲线计算的新交点转角法，该方法适用于任意复杂 线形的设计计算。 2．交点曲线计算法 该方法以适用于任意线元组合的复杂线形设计计算为目标，是以三种基本线元的统一参数模型为基 础约定，以三线元捆绑式结构为通用的单交点曲线模型的交点可组合的计算方法，有别于传统的交点转 角计算方法，暂称之为交点曲线计算法。
直线与曲线相交问题通法篇
直线与曲线相交之通法应用 一、知识方法讲解： 二、深思理解应用： 例题：已知点P (4,2)是直线l 被椭圆 x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长． 变式题： 1、已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24 ＝1的右焦点F 1，与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 2、直线l 在双曲线12 32 2=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，则直线l 的方程．
3、已知椭圆 x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 4、在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C . (1)求C 的方程； (2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB |的值是多少． 变式问题：设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时使得以AB 为直径的圆过坐标原点？ 5、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。
6、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22 ，且点P (2,1)在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值． 变式题：提干条件不变，若直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，且OB OA ⊥，①221 1 OB OA +求的值； ②求弦长AB 的取值范围； ③求AOB ?的面积的取值范围.
抛物线与直线的交点问题
抛物线与直线的交点问题 1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m （坐标系中的水平直线）的交点问题： ①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+（c-m ）=0 此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。 △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 ②特殊情形： 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点问题： 令y=0，则ax 2+bx+c=0 此时方程的判别式△=b 2-4ac △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题： 令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+（c-b ）=0 此时方程的判别式△=(b-k)2-4a （c-b ） △＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。 3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的交点位置问题： 若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0） ① 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧 ② 若x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧 ③ 若x 1x 2＜0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧 4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0（x 轴）的两个交点距离公式 若ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点（x 1，0）、（x 2，0）的距离为 ︱x 1-x 2︱=a ac b 42 练习 1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________． 2．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为( ) A ．k >－47 B ．k <－47且k ≠0 C ．k ≥－47 D ．k ≥－47且k ≠0 3．若抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( )． A ．４ B ．８ C ．－４ D ．１６ 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )． A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０ B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０ C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０ D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０ 5.直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点的个数是______
精品教案：曲线的交点与轨迹
曲线的交点与轨迹 【知识网络】 1．掌握求曲线的交点的基本方法，进一步提高运算能力． 2．掌握求动点轨迹的基本步骤和常用方法． 3．了解部分曲线系方程的共同特征． 4．进一步体验数形结合等数学思想方法． 【典型例题】 [例1]（1）点M 到定点F （0，－4）的距离比它到直线y=5的距离少1，则点M 的轨迹方程是（ ） A ．y x 162-= B ．y x 162= C ．x y 162-= D ．x y 162 -= （2）曲线442 2=+y x 关于点M （3，5）对称的曲线方程是（ ） A ．()()410462 2 =+++y x B ．()()410462 2 =-+-y x C ．()()410462 2 =-++y x D ．()()410462 2 =++-y x （3）若△ABC 的三个顶点A ，B ，C 所对的三边a,b,c （a ＞b ＞c)成等差数列，A （－1，0），C （1，0），则顶点B 的轨迹方程是（ ） A ．22143x y += B ．22 143x y +=（x≠±2) C ．22143x y +=(x ＞0且x≠2) D ．22 143 x y +=(x ＜0且x≠－2) （4）两圆x 2＋y 2＋2x －3y ＋1=0, 2x 2＋2y 2＋x －4y=0公共点的直线方程是 ． （5）过直线4x －5y ＋1=0与直线x －y ＋2=0的交点，且平行与直线2x －3y=0的直线方程是 ． [例2] 动点A 、B 在直线x=－１上移动，设P(－4,0)，∠APB=60°，求△APB 外心的轨迹方程． [例3] 直线l ：y=kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2=1的右支交于不同的两点A ，B ，求实数k 的取值范围． [例4] 如图，A ，B 是两个定点，且|AB|=2，动点M 到A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于
曲线的交点
2．6.3 曲线的交点 [学习目标] 1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法． [知识链接] 1．直线与椭圆有几个交点？ 答：两个交点、一个交点和无交点． 2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？ 答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点． [预习导引] 1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同． 2．设斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|. 要点一 直线与圆锥曲线的交点问题 例1 k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 解 依题意得方程组????? y ＝kx ＋2， ①2x 2＋3y 2＝6， ② ①代入②整理得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. ∵Δ＝(12k )2－4×6(2＋3k 2)＝24(3k 2－2)， ∴当3k 2－2>0，即k > 63或k <－6 3 时，直线与曲线有两个公共点； 当3k 2－2＝0，即k ＝±6 3时，直线与曲线仅有一个公共点； 当3k 2－2<0，即－ 63规律方法 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x (或y )后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系． 跟踪演练1 直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？ 解 将直线l 和抛物线C 的方程联立????? y ＝kx ＋1， y 2＝4x ， ①② ①式代入②式，并整理，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. (1)当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． 当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切． 当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交． 当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离． (2)当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交． 综上所述，当k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离． 要点二 弦长问题 例2 顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线被直线x －2y －1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程． 解 设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)， 由方程组????? x 2 ＝ay ， x －2y －1＝0. 消去y 得：2x 2－ax ＋a ＝0，∵直线与抛物线有两个交点， ∴Δ＝(－a )2－4×2×a ＞0，即a ＜0或a ＞8. 设两交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a 2，y 1－y 2＝1 2(x 1－x 2)， 弦长为AB ＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
二次函数专题：直线与抛物线的交点问题(无答案)
专题三：直线与抛物线的交点问题 【学习目标】1、经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。 2、理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。 【学习重点】1、体会方程与函数之间的联系。 2、理解抛物线与之间有两个交点、一个交点、没有交点的条件。 【学习难点】理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。 一、课前热身 1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________； 2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______； 3、若关于x 的函数y ＝2 kx ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为__________． 二、新知探究 例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。 例2（1）当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？ （2）当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？ （3）当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？ 例3：如图，已知顶点为C （0，﹣6）的抛物线y=ax 2 +b （a ≠0）与x 轴交于A ， B 两点，直线y=x+m 过顶点 C 和点B ． （1）求m 的值； （2）求函数y=ax 2+b （a ≠0）的解析式； （3）抛物线上是否存在点M ，使得∠MCB=15°？若存在， 求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
三、当堂反馈 1、如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是（ ） 3、如图是抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2=mx +n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列结论： ①2a +b =0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c =3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1 ， 其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①③⑤ D ． ②④⑤ 3、二次函数y=x 2 +bx+c 的图象如图所示，其顶点坐标为M （1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围． A ． B ． C ． D ． 第1题图
《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计
《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计
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《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计 昌黎汇文二中 李小庆 一、教学目的： 1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。 二、教学重点和难点： 1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程： 1、复习提问：双曲线的方程和性质 双曲线的标准方程 顶点 渐近线 焦点在x 轴上 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 12(,0),(,0)A a A a - b y x a =± 焦点在y 轴上 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 12(,0),(,0)B a B a - a y x b =± 思考问题：求双曲线12 2 =-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+= x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1 ⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1 老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。 ③与④的答案：1 直线与双曲线相切。 ⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。 （以上内容都有多媒体演示） 总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例1：论直线y=kx+1与双曲线C: 122=-y x 公共点的个数。
《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计1
《直线和双曲线的交点个数问题》教学设计 昌黎汇文二中 李小庆 一、教学目的： 1.通过多媒体演示让学生掌握求直线与双曲线的交点个数的方法； 2.使学生认识到数形结合在解决问题中起到的重要作用。 二、教学重点和难点： 1. 直线与双曲线的交点个数的讨论； 2. 数形结合思想方法在解题中的应用 三、教学过程： 思考问题：求双曲线122=-y x 与下列直线的交点的个数： ①y=x+1 ②y= -x+1 ③12+= x y ④12+-=x y ⑤y=1.2x+1 ⑥y= -1.2x+1 ⑦y=1 ⑧y=2x+1 ⑨y= -2x+1 老师提示：在求双曲线与直线的交点个数时，请说出它们的位置关系。 ① 与②的答案：1 直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）。 ③与④的答案：1 直线与双曲线相切。 ⑤与⑥的答案：2 直线与双曲线相交，交点在一支上。 ⑦的答案：2 直线与双曲线相交，交点在两支上。 ⑧与⑨的答案：0 直线与双曲线相离。 （以上内容都有多媒体演示） 总结：当直线与双曲线相交（直线与渐近线平行）或直线与双曲线相切时直线与双曲线有一个公共点。 例1：论直线y=kx+1与双曲线C: 122=-y x 公共点的个数。 分析：直线y=kx+1过定点（0，1），解决这个问题的关键在于找什么？就是找与双曲线有一个交点的直线。
通过多媒体演示得到答案 解：⑴k=±1或k=±2时L 与C 有一个公共点； ⑵有两个交点：在左支上时1＜k ＜2 在右支上时 –2＜k ＜-1 在两支上时 -1＜k ＜1 所以k ∈(–2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2)时L 与C 有两个公共点。 ⑶k ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时L 与C 没有公共点。 例2：讨论过（1，1）点的直线与双曲线12 2 =-y x 公共点的个数。 解：⑴直线x=1和直线y=-x+2 与双曲线有一个交点;
