量子力学粒子在中心场中运动,证明其角动量守恒量

量子力学粒子在中心场中运动，证明其角动量守恒量

在量子力学中，角动量可由角动量算符表示，其定义为：

\[ \hat{{L}} = \hat{{r}} \times \hat{{p}} \]

其中， \( \hat{{r}} \) 是位置算符， \( \hat{{p}} \) 是动量算符。

如果一个粒子在中心场中运动，表示该粒子受到一个只与 \( r \) 有关的中心力场作用，那么该中心场满足以下条件：

\[ V(\hat{{r}}) = V( r ) \]

考虑一个粒子在给定状态 \( \psi \) 下的角动量期望值：

\[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{L}} | \psi \rangle \] 由于算符 \( \hat{{L}} \) 是位置算符和动量算符的乘积，我们

可以将它分为两部分：

\[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{r}} \times

\hat{{p}} | \psi \rangle \]

根据算符的乘积性质，可以将这个期望值展开为两个期望值的差：

\[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{r}} \times

\hat{{p}} | \psi \rangle - \langle \psi | \hat{{p}} \times \hat{{r}} |

\psi \rangle \]

我们可以进一步展开这两个期望值：

\[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \hat{{r}} \times \hat{{p}}

\rangle - \langle \hat{{p}} \times \hat{{r}} \rangle \]

由于位置和动量算符之间的对易关系为：

\[ [ \hat{{r}}, \hat{{p}} ] = i \hbar \]

其中， \( i \) 是虚数单位， \( \hbar \) 是约化普朗克常数。

因此，我们可以得到：

\[ \hat{{r}} \times \hat{{p}} = i \hbar \hat{{r}} \]

\[ \hat{{p}} \times \hat{{r}} = -i \hbar \hat{{r}} \]

将这两个结果代入之前的表达式中，我们可以得到：

\[ \langle \hat{{L}} \rangle = i \hbar \langle \hat{{r}} \rangle - (-i

\hbar \langle \hat{{r}} \rangle) = 2i \hbar \langle \hat{{r}} \rangle \]

其中， \( \langle \hat{{r}} \rangle \) 表示位置算符在状态 \( \psi \) 下的期望值。

因此，可以看出，在中心场中运动的量子粒子的角动量守恒量为\( 2i \hbar \langle \hat{{r}} \rangle \)。这表明，在中心场中，粒子的角动量大小保持不变，但其方向可以随时间改变。

2014年量子力学知识点总结材料

?2．德布罗意关系为：p k ωλ = =； 。 ．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为： ) 2 是量子力学的基本原理之一。波函数在平方与在这成正比，和粒 为归一化的动量表象下的波函数，则； ?x i L ； ．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则() x p ?≥ 守恒；中心力场中运动的粒子高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应15．为氢原子的波函数，有确定的值，则力学量算符与态矢量在态的条件为：个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。为球谐函数，则系数

， 本征值为出现 是自旋角动量，e -是电子的电 ， ?z i S 。 ．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是，它在空间任何方向上；（2）每个电子具，它和它的自旋角动量S 的关系式是： 是电子的电荷，μ是电子的质 S M 在空间任意方向上的投影只能取两个数值： 2B e M μ =±。26．轨道磁矩与轨道角动量的关系是：斯特恩-革拉赫实验。 （已归一化），则在态下，自旋算符对自旋的平均可表示为： 30（已归一化），则的电子的几率成功的地方？试举一例说明。

] iEt 所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。 i?得出。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数的本征函展开?F? （ d λλ +范

?i H t ψ=?在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）

()4 G ?≥的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于1，式中什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？；b.每个电子具有自旋磁矩S 的关系式是：是电子的电荷，μ是电子的质量。 ；

量子力学粒子在中心场中运动,证明其角动量守恒量

量子力学粒子在中心场中运动，证明其角动量守恒量 在量子力学中，角动量可由角动量算符表示，其定义为： \[ \hat{{L}} = \hat{{r}} \times \hat{{p}} \] 其中， \( \hat{{r}} \) 是位置算符， \( \hat{{p}} \) 是动量算符。 如果一个粒子在中心场中运动，表示该粒子受到一个只与 \( r \) 有关的中心力场作用，那么该中心场满足以下条件： \[ V(\hat{{r}}) = V( r ) \] 考虑一个粒子在给定状态 \( \psi \) 下的角动量期望值： \[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{L}} | \psi \rangle \] 由于算符 \( \hat{{L}} \) 是位置算符和动量算符的乘积，我们 可以将它分为两部分： \[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{r}} \times \hat{{p}} | \psi \rangle \] 根据算符的乘积性质，可以将这个期望值展开为两个期望值的差： \[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \psi | \hat{{r}} \times \hat{{p}} | \psi \rangle - \langle \psi | \hat{{p}} \times \hat{{r}} | \psi \rangle \] 我们可以进一步展开这两个期望值： \[ \langle \hat{{L}} \rangle = \langle \hat{{r}} \times \hat{{p}} \rangle - \langle \hat{{p}} \times \hat{{r}} \rangle \] 由于位置和动量算符之间的对易关系为： \[ [ \hat{{r}}, \hat{{p}} ] = i \hbar \] 其中， \( i \) 是虚数单位， \( \hbar \) 是约化普朗克常数。

量子力学期末复习题

一、 填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为： pdq nh =?，（n=1,2,3,....)， 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ === =； 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为： 21 2 mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：() 2 r t ψ ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为 概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为：1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδ φφτδλλ* * ''==-??或 。 9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在() r t ψ ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在 p p dp →+范围内的几率。 10. i ； ?x i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ??≥ 。自由粒子体系，_动量_守恒；中心力 场中运动的粒子__角动量__守恒 13．量子力学中的守恒量A 是指:?A 不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

(2021年整理)量子力学18

（完整）量子力学18 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）量子力学18）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）量子力学18的全部内容。

§3-11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律 一、力学量的平均值随t 的变化规律（量子力学运动方程或Heisenberg 运动方程) 设),(t x ψ为归一化的波函数，则 F dx t x F t x ),(ˆ),(*ψψ=⎰ （x 代表所有自变量） 考虑到F ˆ可能显含t (比如),(ˆˆˆt x U T H +=)，则上式两边对t 的微商可表述为 dt F d dx t F dx t F dx F t ∂ψ∂ψ+ψ∂∂ψ+ψ∂ψ∂=⎰⎰⎰ˆˆˆ*** 由薛定谔方程得 ψ=∂ψ∂H i t ˆ1 **)ˆ(1ψ-=∂ψ∂H i t 考虑到H ˆ为厄米算符,于是 *****ˆ11ˆˆˆˆ()ˆ1ˆˆˆˆ()d F F H F dx dx FH dx dt i t i F dx FH HF dx t i ∂=-ψψ+ψψ+ψψ∂∂=ψψ+ψ-ψ∂⎰⎰⎰⎰⎰ 即 ˆ1ˆˆ[,]d F F F H dt t i ∂=+∂ 此即为海森伯运动方程.其中右边第一项是由于F ˆ显含时间而引起的,即使ψ不随t 变化这一项也存在；第二项是由于ψ随t 变化而引起的，即使F 不随t 变化这一项也存在。 如果F ˆ不显含时间t ，即0ˆ=∂∂t F ，则1ˆˆ[,]d F F H dt i =。 二、守恒定律 在运动方程（1)中,如果F ˆ不显含时间t ,即0/ˆ=∂∂t F ，并且0]ˆ,ˆ[=H F （即对易），则有0/=dt F d ,即力学量F ˆ平均值不随时间变化。这时称F 为运动积分，即守恒量.此即为量子力学中的守恒定律。 1．自由粒子的动量（动量守恒定律) 当粒子不受外力,即μ 2ˆˆ2p H =。因为ˆ0p t ∂=∂，且 [,][,][,][,]0x y z p H i p H j p H k p H =++=

量子力学讲义第五章

第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 一、角动量守恒与径向方程 设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： 2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22 ()2V r μ =-∇+ ， 与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即 ˆ0l t ∂=∂ ˆˆ[,]0l H = 2 22221ˆ()22l H r V r r r r r μμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ( ) 2ˆ,,z H l l 构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：2 22 22 1()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。 取ψ为 () 2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lm r R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是() 2 ,z l l 共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()2222 2120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫ ++-= ⎪⎝⎭ 径向方程可写为：()()2222 2()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤ ++-=⎢⎥⎣⎦ ，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：() ()l l r R r r χ= ； 径向方程简化为：()()2 222 2()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣ ⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。 在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E 。对于非束缚态，E 是连续变化的。对于束缚态，则E 取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数n r ，

量子力学简答题

1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ 1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。 25、自旋 S = 2 σ ，问 σ是否厄米算符？ σ是否一种角动量算符？ 26、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。

2022年量子力学题库

《量子力学》题库 一、简答题 1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子旳能量和动量分别表达为： ων ==h E k n h p ==ˆλ 其物理意义是把微观粒子旳波动性和粒子性联系起来。等式左边旳能量和动量是描述粒子性旳；而等式右边旳频率和波长则是描述波旳特性旳量。 2 简述玻恩有关波函数旳记录解释，按这种解释，描写粒子旳波是什么波？ 答：波函数旳记录解释是：波函数在空间中某一点旳强度（振幅绝对值旳平方）和在该点找到粒子旳几率成正比。按这种解释，描写粒子旳波是几率波。 3 根据量子力学中波函数旳几率解释，阐明量子力学中旳波函数与描述声波、光波等其他波动过程旳波函数旳区别。 答：根据量子力学中波函数旳几率解释，由于粒子必然要在空间某一点浮现，因此粒子在空间各点浮现旳几率总和为1，因而粒子在空间各点浮现旳几率只决定于波函数在空间各点旳相对强度而不决定于强度旳绝对大小；因而将波函数乘上一种常数后，所描写旳粒子状态不变，这是其她波动过程所没有旳。 4 设描写粒子状态旳函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子旳分别属于能量1E 和2E 旳构成完备系旳能量本征态。试阐明式子2211ϕϕψc c +=旳含义，并指出在状态ψ中测量体系旳能量旳也许值及其几率。 答：2211ϕϕψc c +=旳含义是：当粒子处在1ϕ和2ϕ旳线性叠加态ψ时，粒子是既处在1ϕ态，又处在2ϕ态。或者说，当1ϕ和2ϕ是体系也许旳状态时，它们旳线性叠加态ψ也是体系一种也许旳状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处在态1ϕ、2ϕ中。 在状态ψ中测量体系旳能量旳也许值为1E 和2E ，各自浮现旳几率为21c 和2 2c 。 5 什么是定态？定态有什么性质？

量子力学中的角动量守恒原理

量子力学中的角动量守恒原理 量子力学是研究微观世界的一门物理学科，它描述了微观粒子的行为和性质。在量子力学中，角动量是一个重要的物理量，它与粒子的旋转和自旋有关。角动量守恒原理是量子力学中的一个基本原理，它指出在某些特定的物理过程中，角动量的总量保持不变。 量子力学中的角动量可以分为轨道角动量和自旋角动量两部分。轨道角动量是由粒子绕某一中心点旋转而产生的，它与粒子的运动轨道和动量有关。而自旋角动量则是粒子本身固有的性质，类似于粒子的内部自旋。 在量子力学中，角动量的守恒原理可以通过数学表达式来描述。对于一个封闭系统，在没有外力作用的情况下，系统的总角动量守恒。这意味着系统中的每个粒子的角动量之和保持不变。 角动量守恒原理在量子力学中具有广泛的应用。例如，在原子物理中，原子中的电子绕原子核旋转，其轨道角动量和自旋角动量都是守恒的。这就解释了为什么原子中的电子只能存在于特定的能级上，而不能随意跃迁到其他能级。 另一个重要的应用是在粒子物理学中，例如在粒子碰撞实验中，可以利用角动量守恒原理来研究粒子的性质和相互作用。通过测量碰撞前后粒子的角动量，可以推断出反应过程中的一些细节，从而揭示了微观粒子的奇妙世界。 除了角动量守恒原理，量子力学中还有一些其他的守恒定律，例如能量守恒和动量守恒。这些守恒定律共同构成了量子力学的基本框架，为我们理解和解释微观世界的现象提供了重要的理论基础。 尽管角动量守恒原理在量子力学中起着重要的作用，但它并不是所有物理过程中都适用的。在某些特殊情况下，角动量可以转化为其他形式的能量或动量，从而不满足守恒原理。这些情况下，我们需要考虑更加复杂的物理模型来描述系统的行为。

量子力学中的角动量与角动量守恒

量子力学中的角动量与角动量守恒量子力学是研究微观世界中粒子行为的物理学分支，而角动量是量 子力学中的一个重要概念。本文将探讨量子力学中的角动量以及守恒 性质。 一、角动量的定义与性质 角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的几何形状和运动 方式密切相关。在经典物理中，角动量可以通过物体的质量、位置矢 量和速度矢量的叉积来定义。然而，在量子力学中，由于粒子具有波 粒二象性，角动量的定义与经典物理有所不同。 在量子力学中，角动量有两个关键属性：大小和方向。大小由量子 数j表示，而方向由量子数m表示。这些量子数与角动量算符的本征 值有关，通过测量可以得到具体的角动量数值。 二、角动量算符与本征态 角动量算符在量子力学中具有重要的地位，它们分别表示对应的角 动量分量在三个空间方向上的操作。常见的角动量算符包括轨道角动 量算符L和自旋角动量算符S。 通过对角动量算符的本征态进行测量，可以得到具体的角动量值。 这些本征态通常用球谐函数表示，并具有特定的角动量量子数。例如，对于轨道角动量算符，其本征矢量即球谐函数Y_lm，其中l表示轨道 量子数，m表示磁量子数。

三、角动量守恒定律 在量子力学中，角动量守恒是一项重要的基本定律。它意味着，在一个封闭系统中，角动量的总和在时间上保持不变。这一定律的重要性在于它对微观粒子行为的限制，以及对物理现象解释的影响。 角动量守恒包括轨道角动量守恒和自旋角动量守恒。轨道角动量守恒指的是在一个封闭系统中，轨道角动量的总和保持不变。自旋角动量守恒则指的是系统中粒子的自旋角动量总和保持不变。 四、应用与实验验证 角动量的概念和守恒性质在量子力学的各个领域都有广泛的应用。例如，在原子物理中，轨道角动量和自旋角动量的守恒性质对于描述原子光谱、电子结构和化学键的性质至关重要。 实验证实了角动量守恒的重要性。通过实验观测到的自旋和轨道角动量的守恒，科学家们验证了量子力学的正确性，并为进一步研究微观世界的行为提供了重要的基础。 结论 量子力学中的角动量与角动量守恒是研究微观世界行为的重要概念和定律。通过角动量算符的本征态和测量，我们可以了解粒子的具体角动量数值。同时，角动量守恒定律对于解释微观粒子行为和预测物理现象有着重要的作用。通过实验证实了角动量守恒的重要性，量子力学得到了进一步的发展与应用。

量子力学中的角动量与自旋

量子力学中的角动量与自旋 量子力学是研究微观领域的物理学分支，它对我们理解原子和分子的性质起着至关重要的作用。在量子力学中，角动量是一个基本的概念，它不仅仅适用于经典的自旋，还适用于原子核、电子和其他粒子的内禀自旋。 首先，我们来解释一下经典角动量的概念。在经典力学中，角动量是一个矢量量，具有大小和方向。它定义为物体的质量乘以其轨道半径与线速度之积。经典角动量遵循角动量守恒定律，即在没有外力矩作用下，角动量保持不变。 然而，当我们进入量子力学的领域时，情况就变得更加复杂了。根据量子力学的原理，角动量是量子化的，也就是说，它只能取离散的特定值。这个特征是量子力学的核心特点之一。 量子力学中的角动量可以分为两个部分：轨道角动量和自旋角动量。 首先，我们来谈谈轨道角动量。轨道角动量是描述粒子在某个轨道上绕着某个中心旋转的性质。根据量子力学的原理，轨道角动量取分散值。具体来说，轨道角动量的大小由量子数ℓ决定，其取值范围从0到n-1，其中n是主量子数。而角动量的方向由磁量子数m决定，其取值范围从-ℓ到+ℓ。轨道角动量同时遵循不确定性原理，即在某个方向上无法完全确定其具体数值。 接下来，我们转向自旋角动量。自旋是量子力学中粒子固有的内禀性质，无法用经典概念来解释。在经典力学中，我们可以想象自旋为粒子自身的旋转，但在量子力学中，自旋实际上是粒子在某个方向上的内禀性质，类似于一个自旋矢量。自旋角动量的大小由自旋量子数s决定，其取值范围通常为1/2。自旋角动量的方向由自旋磁量子数ms决定，其取值范围从-s到+s。 在量子力学的框架下，轨道角动量和自旋角动量之间可以相互作用。它们的总角动量可以通过矢量和运算来确定。具体来说，总角动量大小的平方由总角量子数

量子力学中的角动量

量子力学中的角动量 量子力学是描述微观世界的理论框架，而角动量是其中的一个重要 概念。在经典物理中，角动量是物体绕某一点旋转所具有的物理量， 而在量子力学中，角动量的性质和行为表现出了非常特殊的规律和量 子效应。本文将介绍量子力学中的角动量，包括角动量的定义、测量 方法以及与其他物理量的关系等内容，以期能够给读者带来对量子力 学的深入了解。 一、角动量的基本概念 角动量是物体的旋转运动所具有的物理量，它的大小和方向可以描 述物体绕某一点旋转的快慢和旋转轴的方向。在经典力学中，一个物 体的角动量等于物体的质量乘以物体的速度和与旋转轴之间的距离的 乘积。 在量子力学中，角动量的定义则要更加复杂。根据研究对象的不同，量子力学中的角动量可以分为自旋角动量和轨道角动量两种。自旋角 动量是描述微观粒子自旋运动的角动量，它与粒子本身的自旋有关； 轨道角动量是描述粒子围绕某一点旋转的角动量，它与粒子的轨道运 动有关。 二、角动量的测量 在量子力学中，角动量的测量需要使用到相应的物理量和测量方法。对于自旋角动量来说，测量结果只能是±h/2π（其中h为普朗克常量），

即只有两个离散的取值。而轨道角动量的测量结果则由轨道量子数和磁量子数决定，其取值范围根据相应的量子数的取值范围而定。 角动量的测量方法一般是利用量子力学中的测量原理。量子力学中的测量原理指出，对于一个量子态，每次测量的结果都是该量子态所对应的算符的本征值之一。对于角动量的测量来说，需要选取相应的算符（如自旋算符和轨道算符），并进行相应的测量操作。 三、角动量和其他物理量的关系 角动量在量子力学中不仅仅是一个独立的物理量，它还与其他物理量有着密切的关系。其中，角动量和能量、动量以及位置等物理量之间存在着一系列的关系。 首先是角动量和能量之间的关系。根据量子力学的基本原理，能量是角动量的谱值。也就是说，对应于一个确定能量值的量子态，它可以拥有不同的角动量取值，这些不同的取值分别对应于能量算符的不同本征值。 其次是角动量和动量之间的关系。在量子力学中，角动量算符和位置算符、动量算符之间存在着特殊的对易关系。这意味着可以通过相应的运算来获得角动量算符和动量算符之间的关系，从而研究角动量和动量之间的相互作用。 最后是角动量和位置之间的关系。角动量算符和位置算符之间也存在着特殊的对易关系，这意味着可以通过相应的运算来研究角动量和

量子力学知识：量子力学中的角动量

量子力学知识：量子力学中的角动量 角动量是量子力学中一个非常重要的概念，它是描述物体在旋转、转动过程中的量。在量子力学中，所有的物体都可以看作是由粒子组 成的，而这些粒子具有自旋、轨道角动量等属性。这些角动量可以被 量子化，因此在量子力学中，对角动量的研究十分重要。 旋转不变性与角动量守恒 在经典力学中，角动量守恒的条件是系统具有旋转不变性。同样，在量子力学中也是如此。如果系统满足旋转不变性，那么它的角动量 就会守恒。 量子力学中的角动量是以算符的形式存在的。在三维空间中，我 们可以定义三个角动量算符，它们分别对应着系统在每个方向上的角 动量。这些算符的本征态被称为角动量的量子态，它们的本征值就是 系统的角动量大小。 旋转算符与角动量

在量子力学中，存在一种特殊的算符，它被称为旋转算符。旋转 算符可以将一个量子态旋转到另一个量子态上，从而描述了一个量子 系统在旋转时的变化。 在量子力学中，角动量与旋转算符之间存在非常重要的关系。旋 转算符是描述量子系统旋转时的变化，而角动量则描述了系统在旋转 时所具有的性质。因此，我们可以通过旋转算符来研究角动量的性质。 角动量的组合 在量子力学中，对于任意两个粒子的角动量，我们都可以将它们 组合起来得到一个新的角动量。这个新的角动量可以是两个粒子各自 的角动量的和，也可以是它们的差、积等不同形式的组合。 在组合两个角动量时，我们需要注意它们的量子态的对称性。如 果两个角动量的量子态之间有对称关系，那么组合后的角动量也应该 具有相同的对称性。 角动量预处理

在实际的计算过程中，对于一些常见的角动量问题，我们可以采用角动量预处理的方法来简化计算。这种方法可以用于求解角动量算符的本征函数、本征值等问题。 角动量预处理的基本思想是，将角动量算符分解成一系列简单的算符的组合形式。这样可以使得计算变得更加简单明了。 例如，在三维空间中，我们可以将角动量算符分解成三个单独的算符，分别对应着系统在每个方向上的角动量。这样，我们就可以用单独的算符来描述系统的角动量。 总结 总之，角动量在量子力学中是一个非常重要的概念。它可以帮助我们研究量子系统在旋转、转动时的性质，也可以用于描述系统的对称性和守恒量等重要性质。在实际的计算过程中，我们可以采用角动量预处理等方法来简化计算。虽然角动量在量子力学中的概念较为抽象，但是对于理解量子力学的本质及其应用具有十分重要的意义。

量子力学习题

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的 几率意义。 二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。求其定态能级和波 函数。 三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒子的平均动量 和平均动能。 四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H 'ˆ作用下，总哈密顿算符H ˆ在)0(ˆH 表象下为⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛=**21 100E E E H βαβα。求受微扰后的能量至 一级。 五（20分）对电子，求在x S ˆ表象下的x S ˆ、y S ˆ、z S ˆ的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为 ψ(,) r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 二（20分）设粒子在三维势场()a x a z y x U <>⎩⎨ ⎧∞=x 0 ,,中运动，求粒子定态能量和波函数。 三（20分）一维运动的粒子在态()0 00 <>⎩⎨ ⎧=-x x Axe x x 当当λψ中运动，其中0>λ。求 ()()?ˆˆ22=∆∙∆p x 四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 五（20分）对自旋为21 =s 的粒子，求在 S y 表象中 S x 、 S y 、 S z 的矩阵表示。 B —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业（类） 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 C （注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？

量子力学基础简答题

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量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么 3、力学量G ˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化解释各项的几率 意义。 6、何为束缚态 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为 ψ(,) r t 有何不妥采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么 12、两个对易的力学量是否一定同时确定为什么 13、测不准关系是否与表象有关 14、在简并定态微扰论中，如 ()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=ˆˆˆ0的零级近似波函数 15、在自旋态χ12 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解 同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋

曾量子力学题库

一、 简述题： 1.试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2.试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以Å为单位） 3.试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4.试简述Bohr 的量子理论 5.简述波尔-索末菲的量子化条件 6.试述de Broglie 物质波假设 7.写出态的叠加原理 8.一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9.按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.已知粒子波函数在球坐标中为),,(ϕθψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(ϕθ方向的立体角元ϕθθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.什么是定态？它有哪些特征？ 12.)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.简述和解释隧道效应 16.说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的了解与区别。

17.试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.简述力学量算符的性质 19.试述力学量完全集的概念 20.试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.若算符A ˆ、B ˆ均与算符C ˆ对易，即0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[==C B C A ，A ˆ、B ˆ、C ˆ是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.微观粒子x 方向的动量x p ˆ和x 方向的角动量x L ˆ是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.简述幺正变换的性质 26.在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ödinger 方程。 28.使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.如果C B A ˆ,ˆ,ˆ均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ a) 3ˆ21A b) )ˆˆˆˆ(21A B B A - b) )ˆˆˆˆ(2 1A B i B A - 30.试述守恒量完全集的概念 31.全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？