(完整版)椭圆焦半径公式及应用面面观
椭圆焦半径公式及应用面面观
在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。
一、椭圆焦半径公式
P 是椭圆x a y b
222
2+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。
P 是椭圆y a x b
a b 222
210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。
以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。
（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式
数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.
例1 已知点P （x ，y ）是椭圆122
22=+b
y a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+
x a c ；|PF 2|=a -x a
c . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可.
【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF 1|=22)(y c x ++ (1) 从椭圆方程12
2
22
=+b y a x 解出 )(2222
2x a a b y -= (2)
代（2）于（1）并化简，得
|PF 1|=x a
c a +
(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a c a - (-a ≤x ≤a)
【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式
r 1=a+ex r 2=a-ex (e=a c ) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）.
（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径
用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.
椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.
例2． P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点F 1（-c ，0），F 2（c ，
0）的距离的和为2a （a>c>0）.试用x ，y 的解析式来表示r 1=|PF 1|和r 2=|PF 2|.
【分析】 问题是求r 1=f （x ）和r 2=g （x ）.先可视x 为参数列出关于r 1和r 2的方程组，然后从中得出r 1和r 2.
【解答】 依题意，有方程组
???
????+-=++==+③)(②)(① 22222222121 y c x r
y c x r a r r ②-③得④ 42221cx r r =-
代①于④并整理得r 1-r 2=x a
c 2 ⑤ 联立①，⑤得 ???
????-=+=x a c a r x a c a r 21 【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c 而无b ，其基础性显然.
二、 焦半径公式与准线的关系
用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.
如图右，点P （x ，y ）是以F 1（-c,0）为焦点，以l 1：
x=-c
a 2
为准线的椭圆上任意一点.PD ⊥l 1于D.按椭圆 的第二定义，则有
ex a c
a x e PD e PF e PD PF +=+==?=)(||||||||2
即r 1=a+ex,同理有r 2=a-ex.
对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线c
a x 2
±=缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.
例3． P （x ，y ）是以F 1（-c ，0），F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为2a 的椭圆上任
意一点.直线l 为x=-c
a 2
，PD 1⊥l 交l 于D 1. 求证：e PD PF =|
|||11. 【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF 1|=a+ex.
对|PD 1|用距离公式 |PD 1|=x-)(2c a -=x+c
a 2
. 故有e c
a x c a x e c a x ex a PD PF =++=++=2
2
211)(||||. 【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F 1（-c,0）（F 2（c,0））与定直线
l 1:x=-c a 2(l 2：x=c
a 2
)的距离之比为定值e （0 三、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程 现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）. 其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明. 例4． 设点P （x ，y ）适合方程122 22 =+b y a x .求证：点P （x ，y ）到两定点F 1（-c,0） 和F 2（c ，0）的距离之和为2a （c 2=a 2-b 2）. 【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果. 【解答】 P （x ，y ）到F 1（-c,0）的距离设作r 1=|PF 1|.由椭圆的焦点半径公式可知 r 1=a+ex ① 同理还有 r 2=a-ex ② ①+② 得 r 1+r 2=2a 即 |PF 1|+|PF 2|=2a. 即P （x ，y ）到两定点F 1（-c ，0）和F 2（c,0）的距离之和为2a. 【说明】 椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆焦半径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便. 四、椭圆焦半径公式的变式 P 是椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2 α ；（2）||cos PF b a c =+2β。 P 是椭圆y a x b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（3）||sin PE b a c =+2 α ；（4）||sin PF b a c =-2β。 证明：（1）设P 在x 轴上的射影为Q ，当α不大于90°时，在三角形PEQ 中，有 cos |||||| α==+PQ PE x c PE P 由椭圆焦半径公式（1）得 ||PE a ex P =+。 消去x P 后，化简即得（1）||cos PE b a c =-2 α 。 而当α大于90°时，在三角形PEQ 中，有 cos()|||||| πα-==--PQ PE c x PE P ?=+cos || αx c PE P ， 以下与上述相同。 （2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。 五、变式的应用 对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。 例5. P 是椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。 解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得 ||cos PF b a c b a =+=22 90°。 再由题意得||||EF PF c b a a c ac c ac a e =?=?-=?+-=?22202 22222＋ 210e -=。 注意到0121<<= -e e 解得。 例6. P 是椭圆x y 22 10064 1+=上且位于x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF 的斜率为-43，求三角形PEF 的面积。 解：设PF 的倾斜角为β，则： tan cos sin βββ=-=-=4317437 ，，。 因为a ＝10，b ＝8，c ＝6，由变式（2）得 ||()PF =+-=81061772 × 所以三角形PEF 的面积 S PF EF ===12 12726437 243 ||||sin β×××× 例7．经过椭圆x a y b a b 222 210+=>>()的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。 解：由题意及变式（2）得 b a c b a 22 60260180-=-+cos cos() °×°° 化简得2123223 a c a c c a e c a -=+ ?=?==。 例8．设F 是椭圆x y 2 2 21+=的上焦点，PF FQ →→与共线，MF FN →→与共线，且PF MF →→·＝0。求四边形PMQN 面积的最大值和最小值。 解：设PF 倾斜角为α，则由题意知PF ⊥MF ，所以MF 倾斜角为90°＋α，而a b c ===211，，，由题意及（3）式得 |||||| sin sin() sin PQ PF FQ =+=-+-+=-121218022 22ααα ° 同理得||cos MN = -2222α。由题意知四边形PMQN 面积 S PQ MN =12 |||| = --=+=+=+=-122222224216841682321742222222··sin cos sin cos sin cos sin cos αα αααααα 所以当cos41α=时，S max =-=321712；当cos41α=-时，S min ()=--32171＝ 169 。 巧用椭圆三角形焦半径公式解题 焦半径公式是圆锥曲线中很重要的几何量，与它相关的问题是各类考试的热点，常考常新，故值得我们进一步总结与研究。对于它的代数形式a ±ex 是大家熟知的，本文仅介绍以椭圆焦半径公式的三角形式为例谈谈其应用。 （1）设P 是椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点，21,F F 是左、右焦点，1PF 与x 轴所成的角为α，2PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）αcos ||21c a b PF -=；（2）β cos ||2 2c a b PF +=。若∠F 1PF 2＝β，且设|PF 1|≥|PF 2|，则 (3)|PF 1|＝2 tan 222βb c a -+ (4)|PF 2|＝2tan 222βb c a --。 （2）设P 是椭圆y a x b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（5）||sin PE b a c =+2α；（6）||sin PF b a c =-2 β 。 灵活地运用焦半径的这几种三角形式，可速解有关解析几何问题。 一、求焦半径 2 2121211,,||()4745 x y F F F x P PF A B C D +==-例椭圆的两个焦点为,过作垂直于轴的直线与椭圆相交一个交点为则 解析：由公式（1）知，|PF 1|＝2 190cos 121cos 02=?-=-αc a b ，从而|PF 2|=27214=- ，故选C 二、离心率问题 例2、P 是椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。 解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得||c o s PF b a c b a =+=22 90°。再由题意得||||EF PF c b a a c ac c ac a e =?=?-=?+-=?22202 22222 ＋210e -=。注意到 0121<<=-e e 解得。 三、三角形面积问题 例3、P 是椭圆x y 22 10064 1+=上且位于x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF 的斜率为-43，求三角形PEF 的面积。 圆锥曲线的统一焦半径公式 在解题中的应用 宜昌二中 黄群星 我们在解决有关直线与圆锥曲线的关系问题时，经常会用到焦半径公式。解决这类问题，我们可以用到的公式有：平面上两点之间的距离公式，弦长公式，三种圆锥曲线的焦半径公式，和圆锥曲线的统一焦半径公式。最后一个公式往往被大家忽视，现在我想专门谈谈这个公式的使用。 一．在椭圆中的运用： 例1：已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> 的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k （>0）的直 线与C 相交与A,B 两点，若3AF FB =u u u r u u u r ,求k 的值。 解法一：∵ 2e = ∴12 b a = 设椭圆的方程为22 221,4x y b b += 右焦点为,0)， 设直线的方程为my x =- ，设1122(,),(,)A x y B x y 222440 x y b my x ?+-=?? =? ?222(4)0m y b ?++-= ∵3AF FB =u u u r u u u r 1122,)3(,)x y x y ?--=123y y ?=-① 122 (4)y y m -+=+ ② 2 122 (4) b y y m -?=+ ③ 将①带入②得 1224y y m ?=????=-?+? ∴2221222 94(4)m b b y y m m --?==++212m ?= k>0, ∴m>0, ∴2 m k ==解法二; 由题意得3AF FB =u u u u r u u u u r = cos θ?= ∴sin tan k θθ= ==即 评述：解法二应用了圆锥曲线的统一焦半径公式，从而大大简化了解题的过程。那么，在什么情况下可以用这个公式呢？ 先看这个公式的结构：1cos ep PF e θ = ±，其中，e 是离心率，P 为焦准距，θ是过焦点 的直线的倾斜角，正是由于倾斜角的存在，使得这个公式在解决有关过焦点的直线的斜率和倾斜角的问题时相当便捷，而且，公式是根据圆锥曲线的统一定义推导出来，对椭圆，双曲线和抛物线都适用，这是它的一大优越之处。 二．在双曲线中的运用： 例2：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点F 垂直 于1l 的直线分别交12,l l 于A,B 两点，已知,,OA AB OB 成等差数列，且,BF FA u u u r u u u r 同向 ① 求双曲线的离心率 ② 设直线AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程。 解：① 如图 ∵FA=b,OF=c, ∴OA=a ,∵OF 平分角∠AOB ∴OA AF OB BF = 设FB=mb,OB=m a ,则有2AB OA OB =+ 即12(1)22 b m b a ma e a +=+? =∴= ② 设直线AB 的倾斜角为θ , cos 5b c θ= = ∴ 41cos 1cos ep ep e e θθ +=+- 4p p += 2 a P c c ?=-=有∵ 6,32 c a c b a ===∴= ∴ 双曲线的方程为 22 1369 x y -= 评述：双曲线的焦半径公式PF =a ex ±，由于正负号和绝对值符号的存在，使得这个公 证法2:设P 到左、右准线的距离分别为 且］ a I 盟Q _ ）卜1掘Q 亠 ---------------- =17 日1 ，又 |PJ |=2a-(a +ex 0)=a -空。 -，所以 J 、，由椭圆的第二定义知 I PK 1= d,-巳=—（z n + —） = a.4 es c C ，而 椭圆焦半径公式及应用 椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆 的定义， 很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题 时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 、公式的推导 设P （-,门）是椭圆上的任意一点，〔-' '分别是椭圆的左、 览2 y 3 ^-7 H --------- =l （a>b>0） |口口 1 i-rj-ri I 右焦点，椭圆 ，求证 一 一「」，：'_ - - 1 ：I. 0 证法1: |PFi|= + c)2 4-y^ = + c )a + b ：! = |a + a + 竺^>a- c > 0 因为，所以 “ ?. |FF]4—刍 又因为I 町11 +疋比4加，所以円十"％ ?. IFFi 1=^* ，IPFs l =a ■空0 ... 经。，|PF? 4以?空。0 二、公式的应用 —+ = 1 4,— 例1 椭圆二 1 上三个不同的点A （2匚）、B （ -）、C （?'厂） 到焦点F （4，0）的距离成等差数列，求 的值。 解：在已知椭圆中，右准线方程为…?，设A、B、C到右准线的距离 ?< . d, = ― z! d-j = — 4 d 左=■一盘？ 为，贝U 斗、'- 、?二-0 ???」? I 「，而|AF|、|BF|、|CF| 成等差数 2巴7)=力哲■街? -L I. ?一，即、 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出:W的值。 兰+疋=1 例2 设二V为椭圆?'的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、 ‘-、L是一个直角三角形的三个顶点，且- ’「，求丨的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2,并求得：■■，离心率-0 由椭圆的对称性，不妨设P (◎，「)(：」"’：?)是椭圆上的一点，贝U由题意知|PF】I应为左焦半径，IPFj应为右焦半径。 (1)若 / - =-一为直角，贝U '1，即 "二打-，解得''- ，故—二-I (2)若/上二为直角，贝U “ ?卜一，即 3尝唧+ (3-芈御尸 』，解得匸「故L 圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep ． 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF ep 1ecos . 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112 . MF NF ep 2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中， p ， MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中， ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上， MN ； 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中， MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 2 1 a ex ，PF 2 a ex ； 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2 当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ； 当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p . 2 椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左准线为l，左右焦点分别为F1、F2，抛物线C2以F2为焦点，l为准线，点P是C1、C2的一个公共点，则 F1F2/PF1-PF1/PF2= 设点P的横坐标为m， 则由焦半径公式，PF1=a+em，PF2=a-em， 因为点P又在以F2为焦点，l为准线的抛物线上，l的方程为x=-a2/c； 所以，P到l的距离d=m-(-a2/c)=m+a2/c 抛物线满足：抛物线上的点到焦点的距离=到准线的距离； 所以d=PF2 即：m+a2/c=a-em 得：m=a2(c-a)/c(a+c) 所以，em=a(c-a)/(a+c) 所以，PF1=a+em=2ac/(a+c)，PF2=2a2/(a+c) 所以，F1F2/PF1=(a+c)/a，PF1/PF2=c/a； F1F2/PF1-PF1/PF2=(a+c)/a-c/a=1； 椭圆的焦半径公式 设M（xo，y0）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和 r2分别是点M与点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离，那么(左焦半径)r1=a+ex0，(右焦半径)r2=a -ex0，其中e是离心率。 推导：r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+x0）= a+ex0，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-x0）= a-ex0。 同理：∣MF1∣= a+ex0，∣MF2∣= a-ex0。 编辑本段双曲线的焦半径公式 双曲线的焦半径及其应用： 1：定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。 2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1 点P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a) 点P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a 编辑本段抛物线的焦半径公式 抛物线r=x+p/2 通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦 双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a^2/c-c 抛物线的通径是2p 抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2. 焦半径公式的证明 【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦 点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -. 【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|=(-a≤x≤a) 同理有|PF2|=(-a≤x≤a) 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|. 【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2. 【解答】依题意，有方程组 ②-③得 代①于④并整理得r1-r2=⑤ 联立①，⑤得 【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然. 三、焦半径公式与准线的关系 椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而。 ∴，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （ ）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。 解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C 到右准线的距离为，则、、。 ∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知 P 、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P （，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 ，即 （1）若∠为直角，则 （2）若∠为直角，则，即 = ，解得，故。 评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。 例3 已知椭圆C ：，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 解：设存在点M （），使，由已知得 a=2，，c=1，左准线为x=－4，则 ，即＋48=0，解得，或。 因此，点M不存在。 评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简 作者：旧在几 作品编号：2254487796631145587263GF24000022 时间：2020.12.13 焦半径公式的证明 【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点F1，F2（|F1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a>2c）的动点轨迹（图形）. 这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数c和a. 第一个参数c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c比a更“显贵”. 遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”之嫌. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找c，并寻找关于c的“题根”. 一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 【例1】已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0) 是椭圆的两个焦点.求证：|PF1|=a+；|PF2|=a -. 【分析】可用距离公式先将|PF1|和|PF2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程 “消y”即可. 【解答】由两点间距离公式，可知 |PF1|= (1) 从椭圆方程解出 (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF1|=(-a≤x≤a) 同理有|PF2|=(-a≤x≤a) 【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式 r1=a+ex r2=a-ex (e=) 从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数. r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）. 二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径 用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来. 椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. 【例2】P (x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=|PF1|和r2=|PF2|. 椭圆焦半径公式及应用 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8- 椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而 。 ∴，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。 解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。 ∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、 是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 （1）若∠为直角，则，即 ，解得，故。 （2）若∠为直角，则，即 = ，解得，故。 评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。 圆锥曲线的焦半径公式及其应用 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。 1.椭圆的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为椭圆2 2 x a +2 2 y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1 、 F 2分别为椭圆的左、右焦点，则 1 PF=a+e x0,2PF=a-e x0. (2) 若P(x ,y )为椭圆2 2 y a +2 2 x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2 、 F 1分别为椭圆的上、下焦点，则 1 PF=a+e y0,2PF=a-e y0. 2.双曲线的焦半径公式 (1)若P(x ,y )为双曲线2 2 x a -2 2 y b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 1、F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则 ①当点P在双曲线的左支上时， 1 PF=-e x0-a,2PF= -e x +a. ②当点P在双曲线的右支上时， 1 PF=e x0+a,2PF= e x0-a. (2)若P(x 0,y )为双曲线2 2 y a -2 2 x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、F 1 分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点P在双曲线的下支上时， 1 PF=-e y0-a,2PF= -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a. 3.抛物线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则 PF = x 0+2 p (2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则 PF = -x 0+2 p (3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则 PF = y 0+2 p (4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则 PF = -y 0+2 p 下面举例说明上述各公式的应用 例 1．求椭圆2 16x +225 y =1 上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的 距离. 解：易知a=5,e=35 且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35 ×4= 37 5 ,2MF = a-e y 0=5-35×4= 13 5 。 例 2.试在椭圆2 25 x + 29y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离 是它到右焦点的距离的两倍． 解：由 1212210 { PF PF PF PF =+=，得 1220 3103{ PF PF = = 。 设P(x 0, y 0),则1PF =a+ex 0,即5+45 x 0= 203，解之得x 0=2512 ， 椭圆焦半径公式及应用面面观 在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。 一、椭圆焦半径公式 P 是椭圆x a y b 222 2+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。 P 是椭圆y a x b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。 以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。 （一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式 数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发. 例1 已知点P （x ，y ）是椭圆122 22=+b y a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+ x a c ；|PF 2|=a -x a c . 【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y ”即可. 【解答】 由两点间距离公式，可知 |PF 1|=22)(y c x ++ (1) 从椭圆方程12 2 22 =+b y a x 解出 )(2222 2x a a b y -= (2) 代（2）于（1）并化简，得 |PF 1|=x a c a + (-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a c a - (-a ≤x ≤a) 圆锥曲线的焦半径公式 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。 1.椭圆的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为椭圆2 2 x a +2 2 y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1 、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，则 1 PF=a+e x0, 2 PF=a-e x . (2) 若P(x 0,y )为椭圆2 2 y a +2 2 x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2 、F 1 分别为椭圆的上、下焦点，则 1 PF=a+e y0, 2 PF=a-e y . 2.双曲线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y )为双曲线2 2 x a -2 2 y b =1(a>0，b>0)上任意一点，F 1 、F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则 ①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a. ②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a. (2)若P(x 0,y 0)为双曲线22y a -2 2x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a. 3.抛物线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2 p (2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则PF = -x 0+2p (3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2p (4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2p 不能，请说明理由.(答案：点P 不存在) 智愛高中數學 椭圆焦半径公式及应用 在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。 思路1：由椭圆的定义有：r r a 1221+=<> 故只要设法用x a c 0、、等表示出r r 12-（或r r 12·），问题就可迎刃而解。 由题意知()r x c y 1202 02=++， ()r x c y 2202 02=-+ 两式相减得()()r r r r cx 121204+-= ∴-= +==<>r r cx r r cx a ex 120120 44222 联立<1>、<2>解得：r a ex r a ex 1020=+=-， 点评：在r a ex 10=+与r a ex 20=-中，ex 0前的符号不表示正、负，真正的正、负由x 0确定。 思路2：设焦点()() F ae F ae 1200-，、， 则r r a 122+=，即 ()()x ae y x ae y a 0202 0202 21+++ -+=<> 另有()[]()[] x ae y x ae y aex 02 02 02 02 42++--+=<> <2>÷<1>得： ()()x ae y x ae y ex 0202 0202 23++- -+=<> <1>、<3>联立解得： ()x ae y r a ex 020210++==+ ()x ae y r a ex 0202 20-+==- 点评：把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。 思路3：推敲()r x c y a ex 10202 0= ++?+的沟通渠道，应从消除差异做起，根 式中y 02 理应代换。 2 2 2 圆锥曲线的焦半径公式 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。 利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥 曲线的焦半径公式。 1. 椭圆的焦半径公式 (1) 若 P(x 0 ,y 0 )为椭圆 x y 2 a 2 + b 2 =1(a>b>0) 上任意一点， F 1 、F 2 分别为椭圆的左、 右焦点，则 PF 1 =a+e x 0 , PF 2 =a-e x 0 . (2) 若 P(x 0 ,y 0 )为椭圆 y x 2 a 2 + b 2 =1(a>b>0) 上任意一点， F 2 、F 1 分别为椭圆的上、 下焦点，则 PF 1 =a+e y 0 , PF 2 =a-e y 0 . 2. 双曲线的焦半径公式 (1) 若 P(x 0 ,y 0 )为双曲线 x y 2 a 2 - b 2 =1(a>0 ， b>0) 上任意一点， F 1 、F 2 分别为双曲线的左、右焦点，则 2 0 0 0 0 ①当点 P 在双曲线的左支上时， PF 1 =-e x 0 -a, PF 2 = -e x 0 +a. ②当点 P 在双曲线的右支上时， PF 1 =e x 0 +a, PF 2 = e x 0 -a. (2) 若 P(x 0 ,y 0 )为双曲线 y x 2 a 2 - b 2 =1(a>0 ， b >0) 上任意一点， F 2 、 F 1 分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点 P 在双曲线的下支上时， PF 1 =-e y 0 -a, PF 2 = -ey 0 +a. ②当点 P 在双曲线的上支上时， PF 1 =ey 0 +a, PF 2 = ey 0 -a. 3. 抛物线的焦半径公式 (1) 若 P(x 0 ,y )为抛物线 y 2 =2px(p>0) 上任意一点，则 PF = x + p 2 (2) 若 P(x 0 ,y )为抛物线 y 2 =-2px(p>0) 上任意一点，则 PF = -x + p 2 (3) 若 P(x 0 ,y )为抛物线 x 2 =2py(p>0) 上任意一点，则 PF = y + p 2 (4) 若 P(x 0 ,y )为抛物线 x 2 =-2py(p>0) 上任意一点，则 PF = -y + p 2 不能，请说明理由 .(答案：点 P 不存在) 0 0 0 0 1 椭圆的焦半径公式及其拓展 1. 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。 2. 焦半径公式： （1）),(00y x P 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点，)0,(),0,(21c F c F -是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,ex a PF ex a PF -=+=. （2）),(00y x P 是椭圆)0(122 22>>=+b a b x a y 上一点，),0(),,0(21c F c F -是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则0201,-ey a PF ey a PF +==. 推导过程：（以x 型椭圆方程为例进行推导） 方法一：利用椭圆的标准方程推导 由两点间距离公式，可知2 0201)(y c x PF ++=， 根据椭圆方程)0(12222>>=+b a b y a x ，解得)(2222 2x a a b y -= 故)(20222 2 0x a a b y -= 将上式代入2 0201)(y c x PF ++= 可得：)(0001a x a ex a x a c a PF ≤≤-+=+= 同理可得：)(-- 0002a x a ex a x a c a PF ≤≤-== 方法二：利用椭圆的第二定义 2 椭圆的左准线方程为：c a x 2 -=，设点),(00y x P 到左准线的距离为PD 由椭圆的第二定义：)(002011 a x a ex a c a x e PD e PF e PD PF ≤≤-+=???? ? ?+==?= 同理可得：)(-002a x a ex a PF ≤≤-= 五、典型例题 例1：在椭圆18 42 2=+y x 上有一个点P ，满足P 到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3倍，则点P 的坐标为________. 【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题. 解法一：根据椭圆方程：18 42 2=+y x 可知，椭圆焦点为)2,0()2,0(-和 设),(n m P ，则有18 42 2=+n m 且2222)2(3)2(n m n m ++=+-或2222)2-(3)2(n m n m +=++ 解两次二次方程可得：)2,2()2,2(±-±P P 或 解法二：设椭圆度上下焦点分别为21,F F ，点),(n m P 由椭圆方程可知：2 2,2,22===e c a 一．坐标表示的焦半径公式 1、椭圆（一类） 由代入整理得 , 同理， 可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有符合椭圆定义。公式常见应用： （1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c （2）椭圆上三点A,B,C，若成等差数列，则到同一个焦点的焦半径也成等差数列。 （3）定义直线为椭圆的左右准线。 由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e. 2. 双曲线 由代入整理得 , 由双曲线上点 , 若点P在右支上，同理， .总有 . 若点P在左支上，同理， .总有 . 公示的应用： （1）若双曲线上同一支上的三点A,B,C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。 （2）定义直线为双曲线的左右准线。 由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e. 3.抛物线 公式的应用：抛物线上三点A,B,C， 若，则。 二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式 1、统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于 常数e的点轨迹。若0 椭圆焦半径公式及应用 在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。 思路1：由椭圆的定义有：r r a 1221+=<> 故只要设法用x a c 0、、等表示出r r 12-（或r r 12·），问题就可迎刃而解。 由题意知()r x c y 1202 02=++， ()r x c y 2202 02=-+ 两式相减得()()r r r r cx 121204+-= ∴-= +==<>r r cx r r cx a ex 120120 44222 联立<1>、<2>解得：r a ex r a ex 1020=+=-， 点评：在r a ex 10=+与r a ex 20=-中，ex 0前的符号不表示正、负，真正的正、负由x 0确定。 思路2：设焦点()() F ae F ae 1200-，、， 则r r a 122+=，即 ()()x ae y x ae y a 0202 0202 21+++ -+=<> 另有()[]()[] x ae y x ae y aex 02 02 02 02 42++--+=<> <2>÷<1>得： ()()x ae y x ae y ex 0202 0202 23++- -+=<> <1>、<3>联立解得： ()x ae y r a ex 020210++==+ ()x ae y r a ex 0202 20-+==- 点评：把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。 思路3：推敲()r x c y a ex 10202 0= ++?+的沟通渠道，应从消除差异做起，根 式中y 02 理应代换。 圆锥曲线的焦半径公式及其应用 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径。利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式。 1.椭圆的焦半径公式 (1)若 P(x 0,y 0)为椭圆2 2 x a +22 y b =1(a>b>0)上任意一点，F 1、F 2 分别为椭圆的左、右焦点，则1PF =a+e x 0,2PF =a-e x 0. (2) 若 P(x 0,y 0)为椭圆2 2 y a +22x b =1(a>b>0)上任意一点，F 2、 F 1分别为椭圆的上、下焦点，则1PF =a+e y 0,2PF =a-e y 0. 2.双曲线的焦半径公式 (1)若 P(x 0,y 0)为双曲线2 2 x a -22 y b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则 ①当点P 在双曲线的左支上时，1PF =-e x 0-a,2PF = -e x 0+a. ②当点P 在双曲线的右支上时，1PF =e x 0+a,2PF = e x 0-a. (2)若 P(x 0,y 0)为双曲线2 2 y a -22x b =1(a>0，b>0)上任意一点， F 2、 F 1分别为双曲线的上、下焦点，则 ①当点P 在双曲线的下支上时，1PF =-e y 0-a,2PF = -ey 0+a. ②当点P 在双曲线的上支上时，1PF =ey 0+a,2PF = ey 0-a. 3.抛物线的焦半径公式 (1)若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，则PF = x 0+2 p (2) 若P(x 0,y 0)为抛物线y 2=-2px(p>0)上任意一点，则 PF = -x 0+2 p (3) 若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=2py(p>0)上任意一点，则PF = y 0+2 p (4)若P(x 0,y 0)为抛物线x 2=-2py(p>0)上任意一点，则PF = -y 0+2 p 下面举例说明上述各公式的应用 例1．求椭圆216x +2 25 y =1 上一点M(2.4,4)与焦点F 1、F 2的距 离. 解：易知a=5,e=35且椭圆的焦点在轴上，∴1MF = a+ey 0=5+35 ×4= 37 5 ,2MF = a-e y 0=5-35×4= 13 5 。 例 2.试在椭圆225x + 2 9 y =1上求一点P ，使它到左焦点的距离是 它到右焦点的距离的两倍． 解：由 1212210 { PF PF PF PF =+=，得 1220 3103{ PF PF = = 。 设P(x 0, y 0),则1PF =a+ex 0,即5+45 x 0=20 3 ，解之得x 0= 2512 ，所以P( 2512 , 1194 ±). 椭圆焦半径公式的一种变式与应用 玉宏图 在圆锥曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。为此，本文以椭圆为例研究它的一种变式。 一、椭圆焦半径公式 P 是椭圆x a y b 222 2+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+， （2）||PF a ex P =-。 P 是椭圆y a x b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。 以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。 二、椭圆焦半径公式的变式 P 是椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2 α ；（2）||cos PF b a c =+2β。 P 是椭圆y a x b a b 222 210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（3）||sin PE b a c =+2 α ；（4）||sin PF b a c =-2β。 证明：（1）设P 在x 轴上的射影为Q ，当α不大于90°时，在三角形PEQ 中，有 cos |||||| α==+PQ PE x c PE P 由椭圆焦半径公式（1）得 ||PE a ex P =+。 消去x P 后，化简即得（1）||cos PE b a c =-2 α 。 而当α大于90°时，在三角形PEQ 中，有 cos()|||||| πα-==--PQ PE c x PE P巧用椭圆三角形焦半径公式解题
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