大学物理习题册答案
练习 十三
知识点：理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能
一、选择题
1． 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T ，分子质量为m ，则分子速度在x 方向的分量平均值为 （根据理想气体分子模型和统计假设讨论） ( )
（A ）x υ= （B ）x υ=； （C ）m kT x 23=υ； （D ）0=x υ。 解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.
2． 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 （ ）
（A ）pV /m ； （B ）pV /(kT )； （C ）pV /(RT )； （D ）pV /(mT )。
解: (B)理想气体状态方程NkT T N R N RT m N Nm RT M M pV A
A mol ==== 3．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于 （ ）
（A ）气体的体积； （B ）气体的压强；
（C ）气体分子的平均动量；（D ）气体分子的平均平动动能。
解: (D)kT v m k 2
3212==ε (分子的质量为m ) 4．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 （ ）
（A ）氧气的温度比氢气的高； （B ）氢气的温度比氧气的高；
（C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。
解:(A) kT v m k 23212==ε,2
222H O H O T T m m =(分子的质量为m ) 5．如果在一固定容器内，理想气体分子速率都提高为原来的2倍，那么 （ ）
（A ）温度和压强都升高为原来的2倍；
（B ）温度升高为原来的2倍，压强升高为原来的4倍；
（C ）温度升高为原来的4倍，压强升高为原来的2倍；
（D ）温度与压强都升高为原来的4倍。
解:(D)根据公式23
1v nm p =,nkT p =即可判断. (分子的质量为m ) 6．一定量某理想气体按pV 2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 （ ）
（A ）将升高； （B ）将降低； （C ）不变； （D ）升高还是降低，不能确定。
解:(B) pV 2＝恒量, pV /T ＝恒量,两式相除得VT ＝恒量
二、填空题
1．质量为M ，摩尔质量为M mol ，分子数密度为n 的理想气体，处于平衡态时，状态方程为_______________，状态方程的另一形式为_____________，其中k 称为____________常数。
解: RT M M pV mol
=; nkT p =;玻耳兹曼常数 2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。（填“相同”或“不同”）。
解: 平均平动动能kT v m k 2
3212==ε,nkT p =?相同,不同;相同,不同;相同. (分子的质量为m ) 3．理想气体的微观模型：
（1）___________________________________；（2）____________________________________；
（3）____________________________。简言之理想气体的微观模型就是____________________。
解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.在碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。简言之:气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。
4．氢分子的质量为3.3?10-24g ，如果每秒有1023个氢分子沿着与容器器壁的法线成45?角方向以105cm/s 的速率撞击在2.0cm 2面积上（碰撞是完全弹性的），则由这些氢气分子产生的压强为_________________。
解:232
41327123/1033.2102707.010103.3102cos 2m N m ms kg s S Nmv ?=??????=----α (分子的质量为m ) 5．宏观量温度T 与气体分子的平均平动动能k ε的关系为k ε=___，因此，气体的温度是_______的量度。 解:kT k 2
3=ε, 分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度) 6*．储有氢气的容器以某速度v 作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度v =__________m/s ，容器中气体分子的平均动能增加了__________J 。
解:s m M T iR v T R i M M Mv mol mol /6.12010
27.031.85,22132=???=?=?=- 分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加J T k i 23231042.27.01038.12
52--?=???=? 三、计算题
1．有一水银气压计，当水银柱高度为0.76m 时，管顶离水银柱液面为0.12m 。管的截面积为2.0?10-4m 2。当有少量氦气混入水银管内顶部，水银柱高度下降为0.60m 。此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶？（氦气的摩尔质量为0.004kg/mol ，0.76m 水银柱压强为1.013?105Pa ）
解：设管顶部氦气压强为p ,pa mHg p 451013.210013.176
.016.016.0?=??== 354106.5100.228.0m V --?=??= 由理想气体状态方程RT M M pV mol
=可得, 456mol 2.1310 5.6100.004 1.9110(kg)8.31(27273)
pVM M RT --????===??+ 2．一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为k ε= 6.21×10-21 J 。求：
(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；
(2) 氧气的温度。(阿伏伽德罗常量N A ＝6.022×1023 mol -1，玻尔兹曼常量k ＝1.38×10-23 J ·K -1) 解：(1) 温度相同,分子的平均平动动能相同
J v m kT k 2121021.62123-?===ε,(分子的质量为m ) s m M N m v mol A k k /484100.3210022.61021.62223
23
212=?????===--εε (2) 氧气的温度 K k T k 30010
38.131021.62322321=????==--ε 3．（1）有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃、体积减少一半，求气体压强变为原来的几倍？（2）这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍？分子的方均根速率变为原来的几倍？
解：(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知
T R M M V p RT M M pV mol mol '='=
2,,p p T T p p 3,3300
)177273(22='=+='=' (2) 根据分子平均平动动能公式可知 kT k 23=ε,T k k '='23ε,5.127273173273=++='='T T k k εε 根据方均根速率公式225.12/3//,3,32222=='=''='=T T v v M T R v M RT v mol
mol 4． 水蒸气分解为同温度T 的氢气和氧气H 2O →H 2＋21O 2时，1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和21摩尔氧气。当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。
解：水蒸汽的自由度6=i ，RT RT i M M E mol O H 32
2=?=
氢气和氧气的自由度均为5，RT RT RT E E O H 41525212522=?+=
+ 内能的增量RT RT RT E 4
33415=-=? 5．有 2×10-3 m 3刚性双原子分子理想气体，其内能为6.75×102 J 。(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总数为 5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。
解：（1）因为RT M M PV mol =，内能kT N RT M M E mol 2
525?==。 所以 2532
/1035.110
251075.6252m N V E p ?=????==- （2）分子的平均平动动能J N E N E kT k 21222105.710
4.55107
5.6353522323-?=????==?==ε J T kT k 2123105.71038.12
323--?=???==ε，K T 362= 6．一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K ；另一半装有氧气，温度为310K ，二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。
解：设氦气、氧气的摩尔数分别为1μ、2μ，根据理想气体状态方程可知
112
RT V p μ=,222RT V p μ=,2112T T =μμ 将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒
2121E E E E '+'=+,RT RT RT RT 2
5232523212211μμμμ+=+, )
/(53)/(53)/(53)/(535353212211122121212211T T T T T T T T T T T ++=++=++=μμμμμμμμk T T T T 4.2845381221=+= 练习 十四
知识点：麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程
一、选择题
1． 在一定速率υ附近麦克斯韦速率分布函数 f (υ)的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 （ ）
（A ）速率为υ的分子数；
（B ）分子数随速率υ的变化；
（C ）速率为υ的分子数占总分子数的百分比；
（D ）速率在υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。
解：(D) Ndv
dN v f =)(,速率在v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比 2． 如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 （ ）
（A ）这两种气体的平均动能相同； （B ）这两种气体的平均平动动能相同；
（C ）这两种气体的内能相等； （D ）这两种气体的势能相等。
解：(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,3=i ;氢气为双原子(刚性)分子, 5=i
3． 在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数z 与温度T 的关系为 ( )
（A ）与T 无关； （B ）与T 成正比； （C ）与T 成反比；
（D ）与T 成正比； （E ）与T 成反比。
解：(C)T
M R p d d kT p M RT d n v z mol mol πππππ82822222=== 4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为 （ ）
（A ）kT /4； （B ）kT /3； （C ）kT /2； （D ）3kT /2； （E ）kT 。 解：(C)
5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）
（A ）部分势能和部分动能； （B ）全部势能； （C ）全部转动动能；
（D ）全部平动动能； （E ）全部振动动能。
解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0
6． 1mol 双原子刚性分子理想气体，在1atm 下从0℃上升到100℃时，内能的增量为 （ ）
（A ）23J ； （B ）46J ； （C ）2077.5J ； （D ）1246.5J ； （E ）12500J 。
解：(C)J T R i M M E mol 5.207710031.82512=???=?=
? 二、填空题
1．)(υf 为麦克斯韦速率分布函数，?∞p f υυυd )(的物理意义是_____________，?∞02d )(2
υυυf m 的物理意义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。 解：???∞∞∞==p p p v v v N dN dv Ndv
dN dv v f )(,∞~p v 速率区间内分子数占总分子数的百分率;
2 )(20202??∞∞=N dN mv dv v f mv ,∞~0速率区间内分子的平均平动动能; 1)(0=?
∞dv v f ;速率在∞~0内的分子数占总分子数的比率为1。
2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或
“氧气”）。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为
T 1和T 2且T 1 解：最可几速率mol p M RT v 2=,T 相同时,mol M 大p v 小?氧气、氢气;同一种气体T 大p v 大?1T 3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________；分子内原子间的振动自由度为__________。解：3;2;0 4．在温度为27℃时，2mol 氢气的平动动能为 ，转动动能为 。 解：分子平动自由度3, 平动动能为J RT kT N N A k A 747930031.8332 322=??==?=ε 分子转动自由度2, 转动动能为J RT kT N A 498630031.8222=??==? 5． 1mol 氧气和2mol 氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。 解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此 J kT 21231042.92731038.12525--?=???==ε;J 211042.9-?=ε; RT i M M E mol 2 = ?2:1 6．2 mol 氮气，由状态A (p 1,V )变到状态B (p 2,V )，气体内能的增量为__________。 解：内能PV i RT i M M E mol 22==,内能的增量V P P E )(2 512-=? 三、计算题 1*． 设氢气的温度为300℃。求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数N 1与速率在υp 到υp +10m/s 之间的分子数N 2之比。 解：根据麦克斯韦速率分布函数可得 p v v p kT mv v v e v v v v e kT m N N p ?=?=?--2 2)(2222/3)(4)2(4πππ(分子的质量为m ) p p v p v e N N v e v N N p 104,10)3000(412)3000( 212--==ππ，,)3000(2)3000(221e e v N N p v p ?=- s m M RT v mol p /2183/2==，,78.0)2183 3000(2 )21833000(221=?=-e e N N 2*．假定大气层各处温度相同均为T ，空气的摩尔质量为mol M ，试根据玻尔兹曼分布律)(0kT mgh e n n -?=， 证明大气压强p 与高度h (从海平面算起)的关系是0mol ln p RT h M g p = ?。并求上升到什么高度处，大气的压强减到地面的75%。 解：kT mgh kT mgh e p kTe n nkT p /0/0--===,p p g M RT h mol 0ln =(分子的质量为m ) 3 4ln 75.0ln 00g M RT p p g M RT h mol mol == 3*．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N 个自由电子。电子气中电子的最大速率υF 叫做费米速率。电子的速率在υ与υ+d υ之间的概率为： ?????>>>=)( 0)0( d 4d F F 2υυυυπυN V A N N 式中A 为归一化常量。（1）由归一化条件求A 。（2）证明电子气中电子的平均动能F 2F k 53)21(53E m ==υε，此处E F 叫做费米能。 解：(1)1)(0=?∞dv v f , 1344302==?N A v N Adv v F v F ππ，343F v N A π=,323F v dv v N dN = (2)F F V F V k E mv v dv v m dv v f mv F F 53215323)(21203420=??? ??===??ε 4．今测得温度为t 1＝15℃，压强为p 1＝0.76 m 汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：Ar λ＝ 6.7×10-8 m 和Ne λ=13.2×10-8 m ，求： (1) 氖分子和氩分子有效直径之比d Ne / d Ar ＝？ (2) 温度为t 2＝20℃，压强为p 2＝0.15 m 汞柱高时，氩分子的平均自由程/Ar λ＝？ 解：(1)n d 221 πλ=, 22Ar Ne Ne Ar d d =λλ,712.02.137.6===Ne Ar Ar Ne d d λλ (2) p d kT 22πλ=, 15.528815.076.02931122=??=?='T p p T Ar Ar λλ， m Ar Ar 71045.315.5-?=='λλ 5．真空管的线度为 m 210-，其中真空度为a p 31033.1-?，设空气分子的有效直径为m 10103-?。求： （1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。 解：(1)317233 /1021.33001038.11033.1m kT p n 个?=???==--,(2)s m M RT v mol /4670289 .0142.330031.888=???==π， 1172027.591021.346710914.322---=??????==s n v d z π ，(3)m n d z v 82.7212===πλ 练习 十五 知识点：热力学第一定律及其应用、绝热过程 一、选择题 1． 如图所示为一定量的理想气体的p —V 图，由图可得出结论 ( C ) （A ）ABC 是等温过程； （B ）T A >T B ； （C ）T A 解：(C)C C A A V p V p =?C A T T =;过A 、C 作等温线,B 在过A 、C 的等温线之上。 2． 一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ D ） （A ）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； （B ）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强； （C ）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； （D ）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。 解：(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。 3． 气体的摩尔定压热容C p 大于摩尔定体热容C V ，其主要原因是 （ C ） （A ）膨胀系数不同； （B ）温度不同； （C ）气体膨胀需作功； （D ）分子引力不同。 解：(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程E Q V ?=;对等压过程A E Q p +?=。 4． 压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 （ C ） （A ）1:1； （B ）5:9； （C ）5:7； （D ）9:5。 解：(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式 : )m 33- )(a 图)(b 图T C M M Q p mol p ?=,T R M M V p A mol ?=?=?p p C R Q A =?75)2/5/()2/7/(2==RT R RT R A A He O 。 5． 一摩尔单原子理想气体，从初态温度T 1、压强p 1、体积V 1，准静态地等温压缩至体积V 2，外界需作多少功？ （ B ） （A ）RT 1ln(V 2/V 1)；（B ）RT 1ln(V 1/V 2)；（C ）p 1(V 2-V 1)；（D ）(p 2V 2- p 1V 1)。 解：(B)RT M M pV mol =,2111ln 12121V V RT M M dV V RT M M pdV A mol V V mol V V =-=-=??外 。 6． 在p —V 图上有两条曲线abc 和adc ，由此可以得出以下结论： （A ）其中一条是绝热线，另一条是等温线；（B ）两个过程吸收的热量相同； （C ）两个过程中系统对外作的功相等；（D 解：(D)对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 7． 1mol 的单原子分子理想气体从状态A 变为状态B ，如果不知是什么气体，变化过程也不知道，但A 、 B 两态的压强、体积和温度都知道，则可求出： （ D ） (A) 气体所作的功； (B) 气体内能的变化； (C) 气体传给外界的热量； (D) 气体的质量。 解：(B) 对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 二、填空题 1． 一定量的理想气体从同一初态a(p 0,V 0)出发，分别经两个准静态过程ab 和ac ，b 点的压强为p 1，c 点的体积为V 1，如图所示，若两个过程中系统吸收的热量相同，则 该气体的比热容比γ =C p /C V =_________________。 解：)(a b V mol ab T T C M M Q -=, )(a c p mol ac T T C M M Q -=, RT M M pV mol = , ???? ??-=??? ??-R V p R V p C R V p R V p C p V 00100001,1/1/0101--==V V p p C C V p γ 2． 如图所示，一理想气体系统由状态a 沿acb 到达状态b ，系统吸收热量350J ， 而系统做功为130J 。 （1）经过过程adb ，系统对外做功40J ，则系统吸收的热量Q =____________。 （2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统做功为60J ，则系统吸收的热量Q =________。 解：根据热力学第一定律求解:J A Q E acb acb ab 220130350=-=-=?, J E A Q ab adb adb 26022040=+=?+=,J E A Q ba ba ba 28022060-=--=?+= 3*． 对下表所列的理想气体各过程，并参照下图，填表判断系统的内能增量?E ，对外作功A 和吸收热量Q 4 (1) 外界传给系统的热量_________零；(2) 外界对系统作的功__________零； (3) 系统的内能的增量___________零；（填大于、等于、小于） 解：等于零；大于零；大于零； 5．压强、体积和温度都相同的氢气和氦气(均视为刚性分子的理想气体)，它们的质量之比为m 1∶m 2 =__________，它们的内能之比为E 1∶E 2 =__________，如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外作功之比为A 1∶A 2 =__________。(各量下角标1表示氢气，2表示氦气) 解：RT M m pV mol =,21422121===mol mol M M m m ;pV i RT i M m E mol 22==,352121==i i E E ; T C M m Q p mol p ?=,T R M m V p A mol ?=?=?p p C R Q A =?7 5)2/5/()2/7/(2==RT R RT R A A He O 三、计算题 1． 标准状态下的0.014kg 氮气，压缩为原体积的一半，分别经过（1）等温过程，（2）绝热过程，（3）等01 压过程。试计算在这些过程中气体内能的改变、吸收的热量和对外界所作的功。 解：(1) 等温过程，内能不变， 0=?E 吸收的热量和对外界所作的功J V V RT M M A Q Mol 7862 1ln 27331.85.0ln 12-=???=== (2) 绝热过程，根据绝热方程K T T V V T T 3602,2112112112===??? ? ??=---γγγ, 内能的改变J T R M M T C M M E Mol V Mol 904)273360(31.82 55.025=-???=?=?=? 吸收的热量0=Q , 对外界所作的功J E A 904-=?-= (3)等压过程2211T V T V =，111222 1T T V V T == 内能增量J T R M M T C M M E Mol V Mol 1418)2732 273(31.8255.025-=-???=?=?= ? 气体对外界所作的功为J T R M M T R M M V p A Mol Mol 565)2732273(31.85.0-=-??=?=?=?= 吸收的热量为 J A E Q 1983-=+?= 2． 2 mol 双原子分子理想气体从状态A (p 1,V 1)沿p -V 图所示直线变化到状态B (p 2,V 2)，试求： (1) 气体的内能增量；(2) 气体对外界所作的功；(3) 气体吸收的热量； 解：(1) 内能增量)(25)(2112212V p V p T T R i M M E mol -=-=? (2) 功等于直线AB 下的面积)(211122V p V p A -= (3) 根据热力学第一定律得 )(31122V p V p E A Q -=?+= 3．如果一定量的理想气体，其体积和压强依照p a V /=的规律变化，其中a 为已知常量。试求： (1) 气体从体积V 1膨胀到V 2所作的功； (2) 气体体积为V 1时的温度T 1与体积为V 2时的温度T 2之比。 解：???? ??-===??21222112121V V a dV V a pdV A V V V V ， RT M M V a pV mol ==2Θ,1221V V T T =∴ 4． 有单原子理想气体，若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率变为原来的速率的几倍？若为双原子理想气体，又为几倍？ 解：根据绝热方程122111--=γγV T V T 由题意知，1121122--=???? ??=γγV V T T 根据平均速率公式mol M RT v π8=得,2112122-==γT T v v 单原子26.12,3523/11 2===+=v v i i γ;双原子15.12,5725/112===+=v v i i γ 5．温度为27℃、压强为1 atm 的2 mol 刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。 (1) 计算这个过程中气体对外所作的功； (2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程中的功 J V V RT M M A Mol 54783ln 30031.82ln 1 2=???== (2) 根据绝热方程得 K T T T V V T T 193300644.033,31115/7112112112=?====??? ? ??=+-+---γγγ 绝热过程 0=?+E A J T R M M T C M M E A Mol V Mol 4446)300193(31.825225=-???-=?-=?-=?-= 6．气缸内有2 mol 氦气，初始温度为27℃，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨 p p 1 2 胀，直至体积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体。试求：在p ―V 图上大致画出气体的状态变化过程； (2) 在这过程中氦气吸热多少？ (3) 氦气的内能变化多少？(4) 氦气所作的总功是多少？ 解：(1) 如图 (2) 等压过程 2211T V T V =，K T T 600212==,J T T C M M Q p mol 1246530031.82 52)(1212=???=-= 绝热过程023=Q , 因此J Q Q Q 124652312=+= (3) 因始末状态温度相同, 0=?E (4) 根据热力学第一定律A E Q +?=得 J Q A 12456== 练习 十六 知识点：循环过程、卡诺循环、热机效率、热力学第二定律、熵 一、选择题 1． 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小（图中阴影部分）分别为 S 1和S 2，则两者的大小关系为： （ ） （A ）S 1>S 2； （B ）S 1 （A ）不违反热力学第一定律，但违反热力学第二定律； （B ）不违反热力学第二定律，但违反热力学第一定律； （C ）不违反热力学第一定律，也不违反热力学第二定律； （D ）违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律。 解(C)热力学第一定律说明任何过程能量守恒,热力学第二定律说明并非能量守恒的过程都能实现.热力学第二定律的开尔文表述中强调的是不可能制成一种循环动作的热机… 3． 一热机由温度为727℃的高温热源吸热，向温度为527℃的低温热源放热，若热机在最大可能效率下工作、且吸热为2000焦耳，热机作功约为 （ ） （A ）400J ； （B ）1450J ； （C ）1600J ； （D ）2000J ； （E ）2760J 。 解 (A)J Q A T T Q A 4002.0,2.01000 8001112===-=-= 4． 在功与热的转变过程中，下面的那些叙述是正确的？ （ ） （A ）能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用功； （B ）其他循环的热机效率不可能达到可逆卡诺机的效率，因此可逆卡诺机的效率最高； （C ）热量不可能从低温物体传到高温物体； （D ）绝热过程对外作正功，则系统的内能必减少。解 (D)E A Q ?+= 5*． 1mol 单原子理想气体从初态（p 1、V 1、T 1）准静态绝热压缩至体积为V 2其熵 （ ） （A ）增大； （B ）减小； （C ）不变； （D ）不能确定。 解 (C)准静态绝热过程是可逆的,可逆的绝热过程是等熵过程. 6*． 一定量的理想气体向真空作自由膨胀，体积由V 1增至V 2，此过程中气体的 （ ） （A ）内能不变，熵增加； （B ）内能不变，熵减少； （C ）内能不变，熵不变； （D ）内能增加，熵增加。 解(A)自由膨胀过程是不可逆的,对可逆过程才能把T dQ /理解为熵的变化.自由膨胀过程中内能不变,温度不变,熵是状态的单值函数,可设想一等温过程求自由膨胀过程中的熵变. 二、填空题 1． 一卡诺热机（可逆的），低温热源为27℃，热机效率为40%，其高温热源温度为________K 。今欲将该热机效率提高到50%，且低温热源保持不变，则 高温热源的温度增加________K 。500K ，100K 2． 有v 摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba ，其中acb 为半圆弧，ba 为等压过程，p c =2p a ，在此循环过程中气体净吸收热量为Q =_______vC p (T b -T a )。（填：>、<或=）。 b a p 解：<.由功的大小与V p -图上曲线下的面积关系讨论 )()()(2a b a a b a a b a acba acba V V p V V p V V p A Q -=---<=,)()(a b a a b V ab V V p T T C Q -+-=ν 3*．使4mol 的理想气体，在T =400K 的等温状态下，准静态地从体积V 膨胀到2V ，则此过程中，气体的熵增加是__________，若此气体膨胀是绝热状态下进行的，则气体的熵增加是________。解:23J/K ，0 4*．从统计意义来解释：不可逆过程实质是一个____________________的转变过程。一切实际过程都向着______________________的方向进行。解:概率，概率大的状态 5．热力学第二定律的两种表述：开尔文表述： 。克劳修斯表述： 。 解:开尔文表述:不可能制成一种循环动作的热机,只从一个热源吸取热量,使之完全变为有用的功，而其他物体不发生任何变化．克劳修斯叙述:热量不可能自动从低温物体传向高温物体. 6*．熵是 的量度。解:熵是分子无序性或混乱性的量度. 三、计算题 1．一卡诺循环热机，高温热源温度是 400 K ．每一循环从此热源吸进 100 J 热量并向一低温热源放出80 J 热量。求：(1) 低温热源温度；(2) 这循环的热机效率。 解：(1) 2121T T Q Q =,K T Q Q T 320400*********=?==, (2) %202.0100 8011`12==-=-=T T η 2． 如图所示，有一定量的理想气体，从初状态a (p 1,V 1)开始，经过一个等体过程达到压强为p 1/4的b 态，再经过一个等压过程达到状态c ，最后经等温过程而完成一个循环。求该循环过程中系统对外作的功A 和所吸的热量Q 。 解：对等温过程ca 有 c V p V p 4 111=,14V V c = 0=ab A ，()()1111114 3444V p V V p V V p A b c bc =-=-= 4ln 4ln ln 111 111V p V V V p Vc V RT M m A a mol ca -=== 111111636.04ln 43V p V p V p A A A A ca bc ab -=-=++=， 11636.0V p A Q -== 3．一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A →B 和C →D 是等压过程，B →C 和D →A 是绝热过程。已知：T C ＝ 300 K ，T B ＝ 400 K 。试求：此循环的 效率。 解：由绝热方程得：11a a d d p T p T γγγγ----=，11b b c c p T p T γγγγ----= 又 b a p p =，d c p p =，∴ a d b c T T T T = 或 c d c b a b T T T T T T -=- AB 过程吸热 1p b a ()m Q C T T M =- CD 过程放热 2p c d ()m Q C T T M =- 循环效率为 -=-=1112Q Q ηc d b a T T T T --c b 125%T T =-= 4．两台卡诺热机联合运行，即以第一台卡诺热机的低温热源作为第二台卡诺热机的高温热源。试证明它们各自的效率1η及2η和该联合机的总效率η有如下的关系：=η1η+（1-1η）2η 解：循环为卡诺循环1 21111T T Q A -==η,232221T T Q A -==η 111121η-==Q A T T ,222231η-==Q A T T ,()()211 311ηη--=T T ()()()2112113111111ηηηηηη-+=---=-==T T Q A 5*．1kg0℃的冰，在0℃时完全熔化成水。已知冰在0℃时的熔化热334=λJ/g 。求冰经过熔化过程的熵变，并计算从冰到水微观状态数增大到几倍。 解：冰在00C 时等温熔化，可以设想它和一个00C 的恒温热源接触而进行可逆的吸热过程，因而 A B C D O V p 1 1A 2 3310334 1.2210273dQ Q m S T T T λ??=====??,又21 ln()S k Ω?=Ω。所以253.84102110?Ω=Ω 6*．1mol 的理想气体由初态),(11V T 经某一过程到达末态),(22V T ，求熵变。设气体的V C 为常量。 解：222222111111 ln ln V V C dT T V dQ dE PdV dV S R C R T T T V T V +?===+=+???? 练习 十七 (简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成) 一、选择题 1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ） （A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。 解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m -=++-=)(22(mg kl =),0222=+x dt x d ω 弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m -=++-=αsin )(22 (mg kl =),0222=+x dt x d ω 2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前2π； （B ）A 落后2π；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。 解：(A)t A x A ωcos =,)2/cos(πω-=t A x B 3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8T 。 解：(B)振幅矢量转过的角度6/πφ=?,所需时间12 /26/T T t ==?=ππωφ, 4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31+=t x 和)π75.0π50cos(42+=t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ） （A ）)π25.0π50cos(2+=t x ； （B ）)π50cos(5t x =； （C ）π15cos(50πarctan )27 x t =++； （D ）7=x 。 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算 )cos(21020212221φφ-++=A A A A A 5)25.075.0cos(4324322=-??++=ππ 7 12)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4) 25.0sin(3cos cos sin sin 1120210120210110---+=++=++=tg tg A A A A tg πππππφφφφφ 5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l ?和2l ?，且212l l ?=?，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ） （A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。 解：(B) 弹簧振子的周期k m T π 2=,11l mg k ?=, 22l mg k ?=,22 121=??=l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ） (A) 2max 2max /x m k v =； (B) x mg k /=； (C) 22/4T m k π=； (D) x ma k /=。 解：B 7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = ．当A ? 第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动表式为 （B ） (A) )π21cos(2++=αωt A x ； (B) )π2 1 cos(2-+=αωt A x ； (C) )π2 3cos(2-+=αωt A x ； (D) )cos(2π++=αωt A x 。解：(B)作旋转矢量图 8. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动表式为 )312cos(1042π+π?=-t x (SI 制)。从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 （C ） （A ）18s ； （B ）16s ； （C ）12s ； （D ）14s 。 解：(C)作旋转矢量图s t 2 /12//min ==?=ππωφ 二、填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =______；ω =______；φ 0=______。 解：由图可知m cm A 1.010= =,s T 12=,16//2-==s T ππω, 作旋转矢量得3/0πφ= 2．单摆悬线长l ，在悬点的铅直下方2/l 处有一小钉，如图所示。则单摆的左右两方振动周期之比21:T T 为 。解：单摆周期g l T π2=,22==右左右 左l l T T 3．一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点。已知周期为T ，振幅为A 。 （1）若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为 x =＿＿＿＿＿＿＿＿。 （2）若t = 0时质点处于A x 2 1=处且向x 轴负方向运动，则振动方程为x =＿＿＿＿＿。 解：作旋转矢量图,由图可知(1))22cos(ππ-=t T A x ;(2))3 2cos(ππ+=t T A x 4．有两个相同的弹簧，其劲度系数均为k ，(1)把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；(2)把它们并联起来，下面挂一质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 。 解：两个相同弹簧串联, 劲度系数为2 k ,k m T 22π=;两个相同弹簧并联,劲度系数为k 2,k m T 22π=. 5．质量为m 的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T ，当它作振幅为A 的自由简谐振动 时，其振动能量E = 。解：弹簧振子振动周期k m T π2=,224T m k π =,振动能量2222221A T m kA E π== 6．若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为t A x π10cos 1=和t A x π12cos 2=，则它们的合振动频率为 ，拍频为 。 解：πνω2=,51=ν, 62=ν,合振动频率Hz 2 11212=+=ννν,拍频Hz 112=-=?ννν 7．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。合振动的振幅为________________，合振动的振动方程为___________________。 解：作旋转矢量图12A A -; ??? ??+-=22cos )(12ππt T A A x 三、计算题 1．质量m = 10 g 的小球按如下规律沿x 轴作简谐振动：)3 28cos(1.0π+ π=t x (SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。 解：圆频率)/1(8s πω=,周期)(4/1/2s T ==ωπ,振幅m A 1.0=,初相3/20πφ= 振动速度最大值)/(5.28.081.0max s m A v ==?==ππω, 加速度最大值)/(634.6)8(1.02222max s m A a ==?==ππω )(t A ??4π?O )0(A O )0(1A 振动的能量J mv kA E 222max 210125.35.201.02 12121-?=??=== 2*. 边长为l 的一立方体木块浮于静水中，其浸入水中部分的深度为0h ，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的深度为h ，然后放手任其运动。若不计水对木块的粘滞阻力,试证明木块作简谐运动，并求振动的周期T 和振幅A 。（水和木块的密度分别为12ρρ和） 解：木块平衡时：g l h mg 201ρ=,取液面为坐标原点，向下为x 轴正向,当木块浸入水中深度增加x 时 mg F dt x d m +-=浮22,xg l g l g h x l dt x d l 21320212232)(ρρρρ-=++-= x l g dt x d 2122ρρ-=,02022=+x dt x d ω,l g 21ρρω=,g l T 1222ρρπωπ==, 022020/h h v x A -=+=ω 3.一水平放置的弹簧振子，振动物体质量为0.25kg ，弹簧的劲度系数25N m k =?-1。 (1) 求振动的周期T 和角频率ω； (2) 以平衡位置为坐标原点。如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求振动的表达式； (3) 求振动速度的表达式。 解：(1) 角频率)/1(1025.0/25/s m k ===ω,)(2.0/2s T πωπ== (2) 作旋转矢量图,由图可知3/0πφ= ??? ??+=310cos 15.0πt x （SI 制）, (3)??? ? ?+-=310sin 5.1πt v （SI 制） 4． 一个弹簧振子作简谐振动，振幅m 2.0=A ，如弹簧的劲度系数N/m 0.2=k ，所系物体的质量 kg 50.0=m ，试求： （1）当系统动能是势能的三倍时，物体的位移是多少？（2）物体从正的最大位移处运动到动能等于势能的三倍处所需的最短时间是多少？ 解(1)由题意，3k p E E =,222121 44kA kx E E E E p p k =?==+=,得224x A = , 10.12x A m =±=± (2) 由题意知 )/1(25.0/0.2/s m k ===ω， 作旋转矢量图知：3/πφ=?，最短时间为)(6//s t πωφ=?=? 5．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表达式为： 130.05cos 10π4x t ??=+ ?? ?，210.06cos 10π4x t ??=+ ???（SI 制） （1）求它们合成振动的振幅和初相。（2）另有一个振动300.07cos(10)x t φ=+，问0φ为何值时，31x x +的振幅最大；0φ为何值时，32x x +的振幅最小。 解：(1)由图可知m A A A 078.02221=+=,0108.846 54=+=-tg πφ (2) 31x x +的振幅最大时πφφ4 3100==; 32x x +的振幅最小时πφφ±=-200 ,)4 3(,450ππ?-=或 练习 十八 平面简谐波、波的能量 一、选择题 1．一个平面简谐波沿x 轴负方向传播，波速m/s 10=u 。0=x 处，质点振动曲线如图所示，则该波的表达式(SI 制)为 (B ) （A ）)2π20π2πcos(2++=x t y ；（B ）)2π20π2πcos(2-+=x t y ； （C ）)2π20π2πsin(2++=x t y ；（D ）)2π20π2πsin(2-+=x t y 。 解：(B)由图可知s T 4=,0=x 处质点振动方程??? ??-=??? ??+=22 cos 22cos 00ππφπt t T A y A ? ?- ? O )0(A x =0处质点在t =0 时振幅矢量. O )0(A x =0处质点在t =0 时振幅矢量. 波的表达式??????-+=?? ????-??? ??+=????????-???? ??-=2202cos 22102cos 222cos 2πππππππx t t x t t u x t y 2．一个平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速为m/s 160=u ，0=t 时刻的波形图如图所示，则该波的表达式(SI 制)为 ( C ) （A ）)2π4ππ40cos(3-+=x t y ；（B ）)2 π4ππ40cos(3++=x t y ； （C ）)2π4ππ40cos(3--=x t y ；（D ）)2π4ππ40cos(3+-=x t y 。 解:(C)由图可知m 8=λ,s m u /160=,)/1(20/s u ==λν,)/1(402s ππνω== 设0=x 处质点振动方程为()0040cos φπ+=t A y ,Θ0=t 时0=x 处质点位移为零且向y 轴正向运动, 作旋转矢量图知20πφ- =,??? ? ?-=240cos 30ππt y 波的表达式??? ??--=????? ?-??? ??-=2440cos 3216040cos 3πππππx t x t y 3*. 一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t 为 ( D ) (A) ]2)(cos[π+'-=t t b u a y ；(B) ]2 )(2cos[π-'-π=t t b u a y ； (C) ]2)(cos[π+'+π=t t b u a y ；(D) ]2 )(cos[π-'-π=t t b u a y 。 解:(D) 由图可知b 2=λ,b v v 2//==λν,b v /2ππνω== Θt t '=时0=x 处质点位移为零且向y 轴正向运动,∴0cos 0=φ,0sin 0>-φ,2/0πφ-= 4. 一个平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 ( C ) （A ）它的势能转化成动能； （B ）它的动能转化成势能； （C ）它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加； （D ）把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。 解：(C)质元的动能2v dE k ∝,势能()2/x y dE P ??∝,质元由最大位移处回到平衡位置过程中,v 和x y ??/由↑0到最大值. 5．一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处，则它的 ( B ) （A ）动能为零，势能最大； （B ）动能为零，势能也为零； （C ）动能最大，势能也最大；（D ）动能最大，势能为零。 解：(B)质元的动能2v dE k ∝,势能()2/x y dE P ??∝,质元在最大位移处,v 和x y ??/均为0. 6．频率为 100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为3/π，则此两点相距 ( C ) (A) 2.86 m ； (B) 2.19 m ； (C) 0.5 m ； (D) 0.25 m 。 解:(C) 波长m u 3100/300/===νλ,φπλ???x ,2，)3//(2/3ππ=x ,m x 5.0= 7．在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波强度之比是4:21=I I ，则两列波的振幅之比21:A A 为 （A ）4； （B ）2； （C ）16； （D ）0.25。 ( B ) 解：(B)波强u A I 2221ωρ=,422 2121==A A I I 8．在下面几种说法中，正确的是： ( C ) （A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的； （B ）波源振动的速度与波速相同； （C ）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后； （D ）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相超前。 解：(C)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后 二、填空题 1． 产生机械波的必要条件是 和 。解：波源,介质. 2． 一平面简谐波的周期为s 0.2，在波的传播路径上有相距为cm 0.2的M 、N 两点，如果N 点的位相比 M 点位相落后6 π，那么该波的波长为 ，波速为 。 -) 解：φπλ???x ,2， φ πλ?=?2x ,cm x 2426/22=?=??=ππφπλ,s cm T u /12/==λ 3． 我们 （填能或不能）利用提高频率的方法来提高波在媒质中的传播速度。 解：不能.波速由媒质的性质决定. 4． 处于原点（0=x ）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为)cos(Cx Bt A y -=，其中A 、B 、C 皆为常数。此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l 处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。 解：)(cos )/(cos )cos(u x t A c B x t B A Cx Bt A y -=-=-=ω,C B u /=,B T /2/2πωπ==, C uT /2πλ==,λπφ/2/l =?,Cl l ==?λπφ/2,初相Cl - 5． 一平面简谐波沿x 轴正向传播，波动方程为]4 π)(cos[+-=u x t A y ω，则1L x =处质点的振动方程为 ，2L x -=处质点的振动和1L x =处质点的振动的位相差为=-12φφ 。 解：波方程中x 用特定值表示后即表示特定质点振动方程111cos ]4 )(cos[φπωA u L t A y =+-= 222cos ]4)(cos[φπωA u L t A y =++=,u L L )(1212+=-ωφφ 6．一平面简谐波（机械波）沿x 轴正方向传播，波动表达式为)2 1cos(2.0x t y π-π=(SI 制)，则x = -3 m 处媒质质点的振动加速度a 的表达式为____________________________。 解：)21cos(2.0222x t t y a ππ--=??=π,t t a x πππsin 2.0)2 3cos(2.0223ππ-=+-=-= 三、计算题 1．一平面简谐波，振动周期0.5T =s ，波长λ = 10m ，振幅A = 0.1m 。当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合，且波沿x 轴正方向传播，求：(1)波源的振动表达式；(2)简谐波的波动表达式；(3) x 1 = λ /4处质点，在t 2 = T /2时刻的位移和振动速度。 解:由题意可知)/1(4/2s T ππω==,s m T u /205.0/10/===λ (1) 设波源的振动表达式为)4cos(1.00φπ+=t y ,m y t 1.0,00==Θ,0,cos 1.01.000==∴φφ,t y π4cos 1.0= (2) 波动表达式)20/(4cos 1.0x t y -=π(SI 制) (3) 将s t m x 25.0,5.221==代入波动表达式得:05.0cos 1.0)20/5.225.0(4cos 1.0==-=ππy 振动速度)20/(4sin 4.0/x t t y v --=??=ππ 将s t m x 25.0,5.221==代入,)/(4.05.0sin 4.0)20/5.225.0(4sin 4.0s m v πππππ-=-=--= 2．一振幅为0.1m ，波长为2 m 的平面简谐波。沿x 轴正向传播，波速为1m/s 。t = 2s 时，x =1m 处的质点处于平衡位置且向正方向运动。求：(1)原点处质点的振动表达式；(2)波的表达式；(3)在x = 1.5m 处质点的振动表达式. 解:由题意可知s m u m m A /1,2,1.0===λ, )(2/s u T ==λ,)/1(/2s T ππω== (2)设x =1m 处的质点振动表达式)cos(1.0)cos(001φπφω+=+=t t A y 因为t = 2s 时，该质点处于平衡位置且向正方向运动 所以0)2cos(1.00=+φπ,0)2sin(1.00>+-φππ,2/0πφ-=,)2/cos(1.01ππ-=t y 波的表达式为()??????+-=??????-??? ? ?--=2cos 1.0211cos 1.0ππππx t x t y (SI 制) (1) 令0=x 得,)2/cos( 1.0ππ+=t y (SI 制) (3) 令m x 5.1=得,()[])cos(1.02/5.1cos 1.0ππππ-=+-=t t y (SI 制) 3． 一平面简谐波在介质中以速度m/s 20=u 沿x 轴负方向传播，如图所示。已知a 点的振动表式为t y π4cos 3a =（SI 制）。 （1）以a 为坐标原点写出波动表达式。 （2）以距a 点m 5处的b 点为坐标原点，写出波动表达式。 解:(1))5 4cos(3)20(4cos 3)20(4cos 3x t x t x t y ππππ+=+=-=(SI 制 ) u ?a b a b p u x O p u 1m x 题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？ 第八章 恒定磁场 8-1 均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为［ ］。 (A) B r 22π (B) B r 2π (C) 0 (D) 无法确定 分析与解 根据高斯定理，磁感线是闭合曲线，穿过圆平面的磁通量与穿过半球面的磁通量相等。正确答案为（B ）。 8-2 下列说法正确的是[ ]。 (A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时，回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度必定为零 (D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时，回路上任意点的磁感强度必定为零 分析与解 由磁场中的安培环路定理，磁感强度沿闭合回路的积分为零时，回路上各点的磁感强度不一定为零；闭合回路上各点磁感强度为零时，穿过回路的电流代数和一定为零。正确答案为（B ）。 8-3 磁场中的安培环路定理∑?=μ=?n L I 1i i 0d l B 说明稳恒电流的磁场是[ ]。 (A) 无源场 (B) 有旋场 (C) 无旋场 (D) 有源场 分析与解 磁场的高斯定理与安培环路定理是磁场性质的重要表述，在恒定磁场中B 的环流一般不为零，所以磁场是涡旋场；而在恒定磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量必为零，所以磁场是无源场；静电场中E 的环流等于零，故静电场为保守场；而静电场中，通过任意闭合面的电通量可以不为零，故静电场为有源场。正确答案为（B ）。 8-4 一半圆形闭合平面线圈，半径为R ，通有电流I ，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，则线圈所受磁力矩大小为[ ]。 (A) B R I 2π (B) B R I 221π (C) B R I 24 1π (D) 0 分析与解 对一匝通电平面线圈，在磁场中所受的磁力矩可表示为B e M ?=n IS ，而且对任意形状的平面线圈都是适用的。正确答案为（B ）。 8-5 一长直螺线管是由直径d =0.2mm 的漆包线密绕而成。当它通以I =0.5A 的电流时，其内部的磁感强度B =_____________。(忽略绝缘层厚度，μ0=4π×10-7N/A 2) 分析与解 根据磁场中的安培环路定理可求得长直螺线管内部的磁感强度大小为nI B 0μ=，方向由右螺旋关系确定。正确答安为（T 1014.33-?）。 8-6 如图所示，载流导线在平面内分布，电流为I ，则在圆心O 点处的磁感强度大小为_____________，方向为 _____________ 。 分析与解 根据圆形电流和长直电 流的磁感强度公式，并作矢量叠加，可得圆心O 点的总 一、选择题 1. 半径为R 的均匀带电球面，若其电荷面密度为σ，取无穷远处为零电势点，则在距离球面r （R r <） 处的电势为( ) A 、0 B 、R 0 εσ C 、r R 02 εσ D 、r R 024εσ 2. 下列说法正确的是：( ) A. 电场场强为零的点，电势也一定为零 B. 电场场强不为零的点，电势也一定不为零 C. 电势为零的点，电场强度也一定为零 D. 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零 3. 如图示，边长是a 的正方形平面的中垂线上，距中心O 点 处， 有一电量为q 的正点电荷，则 通过该平面的电通量是（ ）。 A. B. C. D. 4. 两根长度相同的细导线分别密绕在半径为R 和r 的两个直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长 度相同，R=2r ，螺线管通过的电流相同为I ，螺线管中的磁感应强度大小为B R ，B r ，则应该满足：( ) A. B R =2B r B. B R =B r C. 2B R =B r D. B R =4B r 5. 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <), 所带电荷分别为a q 和b q ．设某点与球 心相距r ，当b a R r R <<时，取无限远处为零电势，该点的电势为（ ） A 、 r q q b a +?π041ε B 、 r q q b a -?π041ε C 、???? ? ?+?b b a R q r q 0 41επ D 、 ???? ??+?b b a a R q R q 0 41 επ 6. 面积为S 和S 2的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I ．线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用21Φ表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用12Φ表示，则21Φ和12Φ的大小关系为（ ） 1 2 S 2 S I I A 、12212ΦΦ= B 、1221ΦΦ> C 、1221ΦΦ= D 、12212 1 ΦΦ= 7. 如图所示，两个“无限长”的、半径分别为1R 和2R 的共轴圆柱面均匀带电，沿轴线方向单位长度上所带电荷分别为1λ和2λ，则在两圆柱面之间、距离轴线为r 处的P 点的电场强度大小E 为（ ） A 、 r 02 12ελλπ+ B 、 2 02 10122R R ελελπ+ π C 、 r 01 2ελπ D 、0 8. 如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B ? 中以速度v ? 移动，直导线ab 中的电动势为（ ） 第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+= 第2章刚体得转动 一、选择题 1、如图所示，A、B为两个相同得绕着轻绳得定滑轮．A滑轮挂一质量为M得物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、Ｂ两滑轮得角加速度分别为βA与βＢ，不计滑轮轴得摩擦，则有 （Ａ) βA＝βB。（B）βA＞βＢ. (Ｃ)βA＜βB．(D）开始时βＡ=βB，以后βA<βB。 ［］ 2、有两个半径相同，质量相等得细圆环A与B。A环得质量分布均匀，B环得质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直得轴得转动惯量分别为ＪA与J B,则 （A）ＪA＞J B．(B) JＡ 单元一 简谐振动 一、 选择、填空题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？ 【 C 】 (A) 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； (B) 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； (C) 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； (D) 物体处在负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 2. 一沿X 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，振动方程用余弦函数表示，如果该振子的初相为π3 4 ，则t=0时，质点的位置在： 【 D 】 (A) 过A 21x = 处，向负方向运动； (B) 过A 21 x =处，向正方向运动； (C) 过A 21x -=处，向负方向运动；(D) 过A 2 1 x -=处，向正方向运动。 3. 将单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止释放任其振动，从放手开始计时，若用余弦函数表示运动方程，则该单摆的初相为： 【 B 】 (A) θ； (B) 0； (C)π/2； (D) -θ 4. 图(a)、(b)、(c)为三个不同的谐振动系统，组成各系统的各弹簧的倔强系数及重物质量如图所示，(a)、(b)、(c)三个振动系统的ω (ω为固有圆频率)值之比为： 【 B 】 (A) 2：1：1； (B) 1：2：4； (C) 4：2：1； (D) 1：1：2 5. 一弹簧振子，当把它水平放置时，它可以作简谐振动，若把它竖直放置或放在固定的光滑斜面上如图，试判断下面哪种情况是正确的： 【 C 】 (A) 竖直放置可作简谐振动，放在光滑斜面上不能作简谐振动； (B) 竖直放置不能作简谐振动，放在光滑斜面上可作简谐振动； (C) 两种情况都可作简谐振动； ) 4(填空选择) 5(填空选择 x L h 书中例题：1.2, 1.6（p.7;p.17）（重点） 直杆AB 两端可以分别在两固定且相互垂直的直导线槽上滑动，已知杆的倾角φ＝ωt 随时间变化，其中ω为常量。 求：杆中M 点的运动学方程。 解：运动学方程为： x=a cos(ωt) y=b sin(ωt) 消去时间t 得到轨迹方程： x 2/a 2 + y 2/b 2 = 1 椭圆 运动学方程对时间t 求导数得速度： v x ＝dx/dt ＝-a ωsin(ωt) v y ＝dy/dt ＝b ωcos(ωt) 速度对时间t 求导数得加速度： a x ＝d v x /dt ＝－a ω2cos(ωt) a y ＝d v y /dt ＝－b ω2sin(ωt) 加速度的大小： a 2＝a x 2＋a y 2 习题指导P9. 1.4（重点） 在湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过一高处的滑轮拉船靠岸，当绳子以v 通过滑轮时， 求：船速比v 大还是比v 小？ 若v 不变，船是否作匀速运动？ 如果不是匀速运动,其加速度是多少？ 解： l ＝（h2＋x2）1/2 221/2 122()d l x d x v d t h x d t ==+ 221/2()d x h x v d t x += 当x>>h 时，dx/dt ＝v ，船速＝绳速 当x →0时，dx/dt →∞ 加速度： x y M A B a b φ x h 220d x d t =2221/22221/2221/2221/2221/22221/2()1()11()()1112()2()d x d h x v dt dt x d h x v dt x d dx d h x dx h x v v dx x dt x dx dt dx x dx h x v v x dt x h x dt ?? +=??????=?+???? +??=?++ ???=-?+++ 将221/2()d x h x v d t x +=代入得： 2221/2221/2 221/2 22221/21()112()()2()d x h x x h x h xv v v v d t x x x h x x ++=-?+++3222232222)(x v h x v v x x h dt x d -=++-= 分析： 当x ∞, 变力问题的处理方法（重点） 力随时间变化：F ＝f （t ） 在直角坐标系下，以x 方向为例，由牛顿第二定律： ()x dv m f t dt = 且：t ＝t 0 时，v x ＝v 0 ；x ＝x 0 则： 1 ()x dv f t dt m = 直接积分得： 1 ()()x x v dv f t dt m v t c ===+?? 其中c 由初条件确定。 由速度求积分可得到运动学方程： 《大学物理》习题和答案 第9章热力学基础 1，选择题 2。对于物体的热力学过程，下面的陈述是正确的，即 [(A)的内能变化只取决于前两个和后两个状态。与所经历的过程无关(b)摩尔热容量的大小与物体所经历的过程无关 (C)，如果单位体积所含热量越多，其温度越高 (D)上述说法是不正确的 8。理想气体的状态方程在不同的过程中可以有不同的微分表达式，那么方程 Vdp？pdV？MRdT代表[(M)(A)等温过程(b)等压过程(c)等压过程(d)任意过程 9。热力学第一定律表明 [] (A)系统对外界所做的功不能大于系统从外界吸收的热量(B)系统内能的增量等于系统从外界吸收的热量 (C)在这个过程中不可能有这样一个循环过程，外部对系统所做的功不等于从系统传递到外部的热量(d)热机的效率不等于1 13。一定量的理想气体从状态(p，V)开始，到达另一个状态(p，V)。一旦它被等温压缩到2VV，外部就开始工作；另一种是绝热压缩，即外部功w。比较这两个功值的大小是22 [] (a) a > w (b) a = w (c) a 14。1摩尔理想气体从初始状态(T1，p1，V1)等温压缩到体积V2，由外部对气体所做的功是[的](a)rt 1ln v2v(b)rt 1ln 1v1 v2(c)P1(v2？ V1(D)p2v 2？P1V1 20。两种具有相同物质含量的理想气体，一种是单原子分子气体，另一种是双原子分子气体， 通过等静压从相同状态升压到两倍于原始压力。在这个过程中，两种气体[(A)从外部吸收相同量的热量和内部能量增量，(b)从外部吸收相同量的热量和内部能量增量是不同的，(c)从外部吸收相同量的热量和内部能量增量是不同的，(d)从外部吸收相同量的热量和内部能量增量是相同的。这两个气缸充满相同的理想气体，并具有相同的初始状态。在等压过程之后，一个钢瓶内的气体压力增加了一倍，另一个钢瓶内的气体温度也增加了一倍。在这个过程中，这两种气体从[以外吸收的热量相同(A)不同(b)，前者吸收的热量更多(c)不同。后一种情况吸收更多热量(d)热量吸收量无法确定 25。这两个气缸充满相同的理想气体，并具有相同的初始状态。等温膨胀后，一个钢瓶的体积膨胀是原来的两倍，另一个钢瓶的气体压力降低到原来的一半。在其变化过程中，两种气体所做的外部功是[] (A)相同(b)不同，前者所做的功更大(c)不同。在后一种情况下，完成的工作量很大(d)完成的工作量无法确定 27。理想的单原子分子气体在273 K和1atm下占据22.4升的体积。将这种气体绝热压缩到16.8升需要做多少功？ [](a)330j(b)680j(c)719j(d)223j 28。一定量的理想气体分别经历等压、等压和绝热过程后，其内能从E1变为E2。在以上三个过程中， 物理部分课后习题答案（标有红色记号的为老师让看的题）27页 1-2 1-4 1-12 1-2 质点的运动方程为22,(1)x t y t ==-，,x y 都以米为单位，t 以秒为单位，求： （1） 质点的运动轨迹； （2） 从1t s =到2t s =质点的位移的大小； （3） 2t s =时，质点的速度和加速度。 解：（1）由运动方程消去时间t 可得轨迹方程，将t = 或1= （2）将1t s =和2t s =代入，有 11r i =u r r ， 241r i j =+u r r r 位移的大小 r ==r V （3） 2x dx v t dt = = 2x x dv a dt = =， 2y y dv a dt == 当2t s =时，速度和加速度分别为 22a i j =+r r r m/s 2 1-4 设质点的运动方程为 cos sin ()r R ti R t j SI ωω=+r r r ，式中的R 、ω均为常量。求（1）质点的速度；（2）速率的变化率。 解 （1）质点的速度为 （2）质点的速率为 速率的变化率为 0dv dt = 1-12 质点沿半径为R 的圆周运动，其运动规律为232()t SI θ=+。求质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小和角加速度β的大小。 解 由于 4d t dt θ ω= = 质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小为 角加速度β的大小为 24/d rad s dt ω β== 77 页2-15, 2-30， 2-34， 2-15 设作用于质量1m kg =的物体上的力63()F t SI =+，如果物体在这一力作 用下，由静止开始沿直线运动，求在0到2.0s 的时间内力F 对物体的冲量。 解 由冲量的定义，有 2-21 飞机着陆后在跑道上滑行，若撤除牵引力后，飞机受到与速度成正比的 阻力（空气阻力和摩擦力）f kv =-（k 为常数）作用。设撤除牵引力时为0t =，初速度为0v ，求（1）滑行中速度v 与时间t 的关系；（2）0到t 时间内飞机所滑行的路程；（3）飞机停止前所滑行的路程。 解 （１）飞机在运动过程中只受到阻力作用，根据牛顿第二定律，有 即 dv k dt v m =- 两边积分，速度v 与时间t 的关系为 2-31 一质量为m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等 于地球半径的2倍（即2R ），试以,m R 和引力恒量G 及地球的质量M 表示出： （1） 卫星的动能； （2） 卫星在地球引力场中的引力势能. 解 (1) 人造卫星绕地球做圆周运动，地球引力作为向心力，有 卫星的动能为 212 6k GMm E mv R == （２）卫星的引力势能为 2-37 一木块质量为1M kg =，置于水平面上，一质量为2m g =的子弹以 500/m s 的速度水平击穿木块，速度减为100/m s ，木块在水平方向滑行了20cm 后 停止。求： （1） 木块与水平面之间的摩擦系数； （2） 子弹的动能减少了多少。 2014级机械《大学物理》习题库 1．以下四种运动形式中，a 保持不变的运动是 ［ D ］ (A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动 (C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动 2．一运动质点在某瞬时位于矢径(,)r x y r 的端点处，其速度大小为［ D ］ (A) d d r t (B) d d r t r (C) d d r t r 3．质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈。在2T 时间间隔 中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 ［ B ］ (A) 2/R T ，2/R T (B) 0 ，2/R T (C) 0 ， 0 (D) 2/R T ， 0. 4．某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向 吹来，试问人感到风从哪个方向吹来［ C ］ (A) 北偏东30° (B) 南偏东30° (C) 北偏西30° (D) 西偏南30° 5．对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： ［ B ］ (A) 切向加速度必不为零 (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外） (C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零 (D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零 6．下列说法哪一条正确［ D ］ (A) 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变 (B) 平均速率等于平均速度的大小 (C) 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成(v 1、v 2 分别为初、末 速率) 122 v v v (D) 运动物体速率不变时，速度可以变化。 7．质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，S 表示 路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中，［ D ］ (1) d d v a t ， (2) d d r v t ， (3) d d S v t ， (4) d d t v a t r (A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的 8．如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的［ D ］ (A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心 (B) 它的速率均匀增加 A R 大学物理学(上)练习题 第一编 力 学 第一章 质点的运动 1．一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为,v 瞬时速率为v ，平均速率为,v 平均 速度为v ，它们之间如下的关系中必定正确的是 (A) v v ≠，v v ≠； (B) v v =，v v ≠； (C) v v =，v v =； (C) v v ≠，v v = [ ] 2．一质点的运动方程为2 6x t t =-(SI)，则在t 由0到4s 的时间间隔内，质点位移的大小为 ，质点走过的路程为 。 3．一质点沿x 轴作直线运动，在t 时刻的坐标为23 4.52x t t =-（SI ）。试求：质点在 （1）第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒内运动的路程。 4．灯距地面的高度为1h ，若身高为2h 的人在灯下以匀速率 v 沿水平直线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子M 点沿地 面移动的速率M v = 。 5．质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式 （1） dv a dt =， （2）dr v dt =， （3）ds v dt =， （4）||t dv a dt =. （A ）只有（1）、（4）是对的； （B ）只有（2）、（4）是对的； （C ）只有（2）是对的； （D ）只有（3）是对的. [ ] 6．对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的。 （A ）切向加速度必不为零； （B ）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C ）由于速度沿切线方向；法向分速度必为零，因此法向加速度必为零； （D ）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； （E ）若物体的加速度a 为恒矢量，它一定作匀变速率运动. [ ] 7．在半径为R 的圆周上运动的质点，其速率与时间的关系为2 v ct =（c 为常数），则从 0t =到t 时刻质点走过的路程()s t = ；t 时刻质点的切向加速度t a = ；t 时刻质点 的法向加速度n a = 。 2 h M 1h 例1 路灯离地面高度为H，一个身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。 解:建立如右下图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为 ，设头顶影子的坐标为，则 由图中看出有 则有 所以有 ; 例2如右图所示，跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A 被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率。A离地高度保 持为h，h =1.5m。运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅 直位置绷紧，滑轮离地高度H = 10m，滑轮半径忽略不计，求： (1) 重物B上升的运动方程； (2) 重物B在时刻的速率和加速度； (3) 重物B到达C处所需的时间。 解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0 = H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为 因绳长为 由上式可得重物的运动方程为 (SI) (2)重物B的速度和加速度为 (3)由知 当时，。 此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。 例3一质点在xy平面上运动，运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 (1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线； (2) 求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。 解：(1) 在运动方程中消去t，可得轨道方程为 ， 轨道曲线为一抛物线如右图所示。 (2) 由 可得: 在t1=1s 时， 在t2=2s 时, 例4质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。 解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。 ) 2(选择题(5) 选择题单 元一 质点运动学（一） 一、选择题 1. 下列两句话是否正确： (1) 质点作直线运动，位置矢量的方向一定不变； 【 ? 】 (2) 质点作园周运动位置矢量大小一定不变。 【 ? 】 2. 一物体在1秒内沿半径R=1m 的圆周上从A 点运动到B 点，如图所示，则物体的平均速度是： 【 A 】 (A) 大小为2m/s ，方向由A 指向B ； (B) 大小为2m/s ，方向由B 指向A ； (C) 大小为3.14m/s ，方向为A 点切线方向； (D) 大小为3.14m/s ，方向为B 点切线方向。 3. 某质点的运动方程为x=3t-5t 3+6(SI)，则该质点作 【 D 】 (A) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴正方向； (B) 匀加速直线运动，加速度沿X 轴负方向; (C) 变加速直线运动，加速度沿X 轴正方向; (D)变加速直线运动，加速度沿X 轴负方向 4. 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2 m/s ，瞬时加速率a=2 m/s 2则一秒钟后质点的速度: 【 D 】 (A) 等于零 (B) 等于-2m/s (C) 等于2m/s (D) 不能确定。 5. 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向边运动。设该人以匀速度V 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 【 C 】 (A)匀加速运动; (B) 匀减速运动; (C) 变加速运动; (D) 变减速运动; (E) 匀速直线运动。 6. 一质点沿x 轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，如t=0时，质点位于坐标原点，则t=4.5s 时， 1。质点的运动方程为 求： (1)质点的轨迹方程； (2)质点在第1s和第2秒的运动速度； (3)质点在第1s和第2秒的加速度。 2．在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变的速率u收绳。求：当船在离岸距离为x时的速度和加速度。 例3：一质点作直线运动，已知其加速度a= 2- 2t (SI)，初始条件为x0=0，v0=0，求 (1)质点在第1s末的速度； (2)质点的运动方程； (3)质点在前3s内经历的路程。 4。 5。 6。已知l 长的绳端拴一质量m 的小球(另 一端固定在o 点)，自水平位置由静止释 放。求球摆至任一位置时，球的速度及绳 中的张力。 7． 一个滑轮系统，如图，A 滑轮的加速度为a ，两边分别悬挂质量为m 1和m 2的两个物体， 求两个物体的加速度。 7。一个以加速度大小a=1/3g 上升的升降机里，有一装置如图所示，物体A 、B 的质量相同，均为m ，A 与桌面之间的摩擦忽略不计，滑轮的重量忽略不计。从地面看，B 做自由落体运动。试求，若从升降机上看，B 的加速度大小是多少？ 8. 9.重量为P 的摆锤系于绳的下端,绳长为l ,上端固定,如图所示,一水平变力大小为F 从零逐渐增大,缓慢地作用在摆锤上,使摆锤虽然移动,但在所有时间内均无限接近力平衡,一直到绳子与竖直线成 Θ0 角的位置,试计算此变力所做的功. P F 10.一束子弹射入木块，并在木块中走了S '，然后停止；而子弹和木块整个系统水平向右走了S ，求子弹和木块所受的一对摩擦力f s 和f s '所做的净功。 11. 如图所示,倔强系数为k 的弹簧悬挂着质量为m 1,m 2两个物体,开始时处于静止,突然把两物体间的连线剪断,求m 1的最大速度为多少? 12. 墙壁上固定一水平放置的轻弹簧，弹簧的另一端连一质量为m 的物体，弹簧的弹性系数为k ，物体m 与水平面间的摩擦系数为μ，开始时，弹簧没有伸长，现以恒力F 将物体自平衡位置开始向右拉动，试求此系统所具有的最大势能。 k 1m 2 m 大学物理试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 第1部分：选择题 习题1 1-1 质点作曲线运动，在时刻t 质点的位矢为r ，速度为v ，t 至()t t +?时间内的位移为r ?，路程为s ?，位矢大小的变化量为r ?（或称r ?），平均速度为v ，平均速率为v 。 （1）根据上述情况，则必有（ ） （A ）r s r ?=?=? （B ）r s r ?≠?≠?，当0t ?→时有dr ds dr =≠ （C ）r r s ?≠?≠?，当0t ?→时有dr dr ds =≠ （D ）r s r ?=?≠?，当0t ?→时有dr dr ds == （2）根据上述情况，则必有（ ） （A ）,v v v v == （B ）,v v v v ≠≠ （C ）,v v v v =≠ （D ）,v v v v ≠= 1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即 （1） dr dt ；（2）dr dt ；（3）ds dt ；（4下列判断正确的是： （A ）只有（1）（2）正确 （B ）只有（2）正确 （C ）只有（2）（3）正确 （D ）只有（3）（4）正确 1-3 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度。对下列表达式，即 （1）dv dt a =；（2）dr dt v =；（3）ds dt v =；（4）t dv dt a =。 下述判断正确的是（ ） （A ）只有（1）、（4）是对的 （B ）只有（2）、（4）是对的 （C ）只有（2）是对的 （D ）只有（3）是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（ ） （A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改变 （B ）切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 （C ）切向加速度可能不变，法向加速度不变 （D ）切向加速度一定改变，法向加速度不变 * 1-5 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向 岸边运动。设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速率为v ，则小船作（ ） （A ）匀加速运动，0 cos v v θ= （B ）匀减速运动，0cos v v θ= （C ）变加速运动，0cos v v θ = （D ）变减速运动，0cos v v θ= （E ）匀速直线运动，0v v = 1-6 以下五种运动形式中，a 保持不变的运动是 ( ) （Ａ）单摆的运动． （Ｂ）匀速率圆周运动． （Ｃ）行星的椭圆轨道运动． （Ｄ）抛体运动． （Ｅ）圆锥摆运动． 1-7一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度ｖ＝２ｍ／ｓ，瞬时加速度22/a m s -=-，则一秒钟后质点的速度 ( ) （Ａ）等于零． （Ｂ）等于－２ｍ／ｓ． （Ｃ）等于２ｍ／ｓ． （Ｄ）不能确定． 第一部分：基本实验基础 1．（直、圆）游标尺、千分尺的读数方法。 答：P46 2．物理天平 1．感量与天平灵敏度关系。天平感量或灵敏度与负载的关系。 答：感量的倒数称为天平的灵敏度。负载越大，灵敏度越低。 2．物理天平在称衡中，为什么要把横梁放下后才可以增减砝码或移动游码。 答：保护天平的刀口。 3．检流计 1．哪些用途？使用时的注意点？如何使检流计很快停止振荡？ 答：用途：用于判别电路中两点是否相等或检查电路中有无微弱电流通过。 注意事项：要加限流保护电阻要保护检流计，随时准备松开按键。 很快停止振荡：短路检流计。 4．电表 量程如何选取？量程与内阻大小关系？ 答：先估计待测量的大小，选稍大量程试测，再选用合适的量程。 电流表：量程越大，内阻越小。 电压表：内阻=量程×每伏欧姆数 5．万用表 不同欧姆档测同一只二极管正向电阻时，读测值差异的原因？ 答：不同欧姆档，内阻不同，输出电压随负载不同而不同。 二极管是非线性器件，不同欧姆档测，加在二极管上电压不同，读测值有很大差异。 6．信号发生器 功率输出与电压输出的区别？ 答：功率输出：能带负载，比如可以给扬声器加信号而发声音。 电压输出：实现电压输出，接上的负载电阻一般要大于50Ω。 比如不可以从此输出口给扬声器加信号，即带不动负载。 7．光学元件 光学表面有灰尘，可否用手帕擦试？ 答：不可以 8．箱式电桥 倍率的选择方法。 答：尽量使读数的有效数字位数最大的原则选择合适的倍率。 9．逐差法 什么是逐差法，其优点？ 答：把测量数据分成两组，每组相应的数据分别相减，然后取差值的平均值。 优点：每个数据都起作用，体现多次测量的优点。 10．杨氏模量实验 1．为何各长度量用不同的量具测？ 物理部分课后习题答案（标有红色记号的为老师让看的题） 27页 1-2 1-4 1-12 1-2 质点的运动方程为22,(1)x t y t ==-，,x y 都以米为单位，t 以秒为单位， 求： （1） 质点的运动轨迹； （2） 从1t s =到2t s =质点的位移的大小； （3） 2t s =时，质点的速度和加速度。 解：（1）由运动方程消去时间t 可得轨迹方程，将t = 21)y = 或 1= （2）将1t s =和2t s =代入，有 11r i =， 241r i j =+ 213r r r i j =-=- 位移的大小 231r =+= （3） 2x dx v t dt = = 2(1)y dy v t dt ==- 22(1)v ti t j =+- 2x x dv a dt ==， 2y y dv a dt == 22a i j =+ 当2t s =时，速度和加速度分别为 42/v i j m s =+ 22a i j =+ m/s 2 1-4 设质点的运动方程为cos sin ()r R ti R t j SI ωω=+，式中的R 、ω均为常量。求（1）质点的速度；（2）速率的变化率。 解 （1）质点的速度为 sin cos d r v R ti R t j dt ωωωω= =-+ （2）质点的速率为 v R ω== 速率的变化率为 0dv dt = 1-12 质点沿半径为R 的圆周运动，其运动规律为232()t SI θ=+。求质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小和角加速度β的大小。 解 由于 4d t dt θ ω= = 质点在t 时刻的法向加速度n a 的大小为 2216n a R Rt ω== 角加速度β的大小为 24/d rad s dt ω β== 77 页2-15, 2-30， 2-34， 2-15 设作用于质量1m kg =的物体上的力63()F t SI =+，如果物体在这一力作用 下，由静止开始沿直线运动，求在0到2.0s 的时间内力F 对物体的冲量。 解 由冲量的定义，有 2.0 2.0 2.02 (63)(33) 18I Fdt t dt t t N s ==+=+=? ? 2-21 飞机着陆后在跑道上滑行，若撤除牵引力后，飞机受到与速度成正比的阻力 （空气阻力和摩擦力）f kv =-（k 为常数）作用。设撤除牵引力时为0t =，初速度为0v ，求（1）滑行中速度v 与时间t 的关系；（2）0到t 时间内飞机所滑行的路程；（3）飞机停止前所滑行的路程。 解 （１）飞机在运动过程中只受到阻力作用，根据牛顿第二定律，有 dv f m kv dt ==- 即 dv k dt v m =- 两边积分，速度v 与时间t 的关系为 2-31 一质量为m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，离开地面的高度等于地球 练习一 质点运动学 1、26t dt d +== ，61+= ，t v 261 331+=-=-? ， a 241 31 331=--=- 2、020 22 12110 v Kt v Ktdt v dv t Kv dt dv t v v +=?-?=??-= 所以选（C ） 3、因为位移00==v r ?，又因为,0≠?0≠a 。所以选（B ） 4、选（C ） 5、（1）由,mva Fv P ==dt dv a =Θ，所以：dt dv mv P =，??=v t mvdv Pdt 0 积分得：m Pt v 2= （2）因为m Pt dt dx v 2==，即：dt m Pt dx t x ??=0 02，有：2 3 98t m P x = 练习二 质点运动学 （二） 1、 平抛的运动方程为 202 1gt y t v x ==，两边求导数有： gt v v v y x ==0，那么 2 220 t g v v +=， 2 22 022t g v t g dt dv a t +==， = -=22 t n a g a 2 220 0t g v gv +。 2、 2241442s /m .a ;s /m .a n n == 3、 （B ） 4、 （A ） 练习三 质点运动学 1、023 2332223x kt x ;t k )t (a ;)k s (t +=== 2、0321`=++ 3、（B ） 4、（C ） 练习四 质点动力学（一） 1、m x ;912== 2、（A ） 3、（C ） 4、（A ） 练习五 质点动力学（二） 1、m 'm mu v )m 'm (v V +-+-=00 2、（A ） 3、（B ） 4、（C ） 5、（1）Ns v v m I v s m v t t v 16)(,3,/19,38304042=-===+-= （2）J mv mv A 1762 1212 024=-= 练习六、质点动力学（三） 1、J 900 2、)R R R R ( m Gm A E 2 12 1-= 3、（B ） 4、（D ） 5、)(2 1 222B A m -ω 练习七 质点动力学（四） 1、) m m (l Gm v 212 2 12+= 2、动量、动能、功 3、（B ） 1．选择题 1．在升降机天花板上拴有轻绳，其下端系一重物，当升降机以加速度a 1上升时，绳中的张 力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，问升降机以多大加速度上 升时，绳子刚好被拉断？ （ ） (A) 2a 1． (B) 2(a 1+g )． (C) 2a 1＋g ． (D) a 1＋g ． 2．如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为θ的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为 （ ） (A) θcos mg . (B) θsin mg . (C) θcos mg . (D) θsin mg . 3．竖立的圆筒形转笼，半径为R ，绕中心轴OO ＇转动，物块A 紧靠在圆筒 的内壁上，物块与圆筒间的摩擦系数为μ，要使物块A 不下落，圆筒转动的 角速度ω至少应为 （ ） (A) R g μ (B)g μ (C) R g μ (D)R g 4．已知水星的半径是地球半径的 0.4倍，质量为地球的0.04倍．设在地球 上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为： （ ） (A) 0.1 g (B) 0.25 g (C) 2.5 g (D) 4 g 5．一个圆锥摆的摆线长为l ，摆线与竖直方向的夹角恒为θ，如图所示．则 摆锤转动的周期为 （ ） (A)g l . (B)g l θcos . (C)g l π 2. (D)g l θπcos 2 . 6．在作匀速转动的水平转台上，与转轴相距R 处有一体积很小的工件A ，如图所示．设工件与转台间静摩擦系数为μs ，若使工件在转台上无滑动， 则转台的角速度ω应满足 （ ） (A)R g s μω≤. (B)R g s 23μω≤. (C)R g s μω3≤. (D)R g s μω2≤. 7．用水平压力F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F 逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f （ ） (A) 恒为零． (B) 不为零，但保持不变． (C) 随F 成正比地增大． (D) 开始随F 增大，达到某一最大值后，就保持不变 a 1 m θ θ l ωO R A A O O ′ ω大学物理(第四版)课后习题及答案 质点
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