直线与方程专题复习(教师)

直线与方程专题复习

一、知识归类

1.直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 （)900≠α.

（2）直线倾斜角的范围是 .

（3）直线过))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k .

2.两直线垂直与平行的判定

（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：?21//l l ；?⊥21l l .

（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率

不存在时，两条直线 .

3.直线方程的几种形式

4.几个距离公式

（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P .

（2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d .

（3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d .

二、典型例题

题型一：直线的倾斜角与斜率问题

例1 已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.

（2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.

变式训练1、直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )

A.??????π6，π2∪? ????π2，5π6

B.??????0，π6∪??????5π6，π

C.??????0，5π6

D.????

??π6，5π6 2、直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是( )

A ．－1＜k ＜15

B ．k ＞1或k ＜12

C ．k ＞15或k ＜1

D ．k ＞12

或k ＜－1

本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点由与x 轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到∞+（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到∞-（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.

题型二：直线的平行与垂直问题

例2 已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求下列直线l '的方程, l '满足

（1）过点)3,1(-，且与l 平行； （2）过)3,1(-，且与l 垂直.

变式训练1、已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( )

A ．0或3或－1

B ．0或3

C ．3或－1

D ．0或－1

2、已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )

A ．－10

B ．－2

C ．0

D ．8

本题小结：与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为01=++C By Ax ，再由其 他条件列方程求出1C ；与直线0=++C By Ax 垂直的直线方程可设为 02=+-C Ay Bx ，再由其他条件求出2C .

题型三：直线的交点、距离问题

例3 已知直线l 经过点A )4,2(,且被平行直线01:01:21=--=+-y x l y x l 与所截得的线段的中点M 在直线03=-+y x 上，求直线l 的方程.

变式训练、已知点P (2，－1)，试求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，并求出原点到直线的最大距离．

本题小结：解此类题目常用的方法是待定系数法，然后由题意列出方程求参数；也可综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线的特征，然后由已知条件写出直线的方程.

题型四：直线方程的应用

例4 已知直线0355:=+--a y ax l .（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；

（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围.

变式训练、已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3，4)．(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程

(1)证明 直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，

由?????2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得?

????x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2，3)．

(2)设直线l 恒过定点A (－2，3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15

， ∴直线l 的斜率k l ＝－5.

故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.

本题小结：含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，这里对一般式灵活变形后发现问题是解决问题的关键，在变形后特点还不明显的情况，可研究直线过定点.

【检测反馈】

1.若直线过点),32,4(),2,1(+则此直线的倾斜角是（ ）.

（A ）030 （B ）045（C ）060 （D ） 090

2.过点)1,1(E 和)0,1(-F 的直线与过点)0,2(k M -和点)4

,0(k N 直线的位置关系是（ ） （A ）平行（B ）重合（C ）平行或重合（D ）相交或重合

3.过点)3,1(-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）.

(A)012=-+y x (B) 052=-+y x (C) 052=-+y x (D) 072=+-y x

4.已知点),1,3(),2,1(B A 则到B A ,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）.

（A ）524=+y x （B ）524=-y x （C ）52=+y x （D ）52=-y x

5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.

6.直线l 被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是原点

O ，则直线l 的方程为

. 7.已知,0>a 若平面内三点),3

(),,2(),,1(32a C a B a A -共线，则a = . 8.过点),4,1(A 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）.

（A ）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

9.已知直线l 过点)1,1(P ，且被平行直线01343=--y x 与0743=+-y x 截得的线段长为24，求直线l 的方程.

﹡﹡10、在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大．

解：设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．

设B ′的坐标为(a ，b )，

则k BB ′·k l ＝－1，

A 1

2

即b －4a

·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①

又由于线段BB ′的中点坐标为? ??

??a 2，b ＋42，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0， 即3a －b －6＝0.②

①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3，3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －4

3－4

，即2x ＋y －9＝0. 解?????3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得?

????x ＝2，y ＝5， 即l 与AB ′的交点坐标为P (2，5)．

总结、反思：

2020-2021学年高中数学人教A版 必修2第三章直线与方程测试卷(一)-教师用卷

2020-2021学年必修2第三章测试卷 直线与方程（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行，则实数m 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ． 3 2 D ．32 - 【答案】B 【解析】因为直线1:320l x my +-=，2:280l x y ++=互相平行， 所以321m ?=?且82(2)m ?≠?-，解得6m =且1 2 m ≠-，所以6m =， 故选B ． 2．已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ） A ．25 B ．26 C ．4 D ．5 【答案】B 【解析】根据题意画出图形，如图所示：

设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '， 连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且 A B ' 故选B ． 3．下面说法正确的是（ ） A ．经过定点()00,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示 B ．不经过原点的直线都可以用方程 1x y a b +=表示 C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示 D ．经过任意两个不同的点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线都可以用方程 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示 【答案】D 【解析】经过定点()00,P x y 且斜率存在的直线才可用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程 1x y a b +=表示，所以B 错； 经过定点(0,)A b 且斜率存在的直线才可用方程y kx b =+表示，所以C 错； 当12x x ≠时，经过点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线可以用方程()21 1121 y y y y x x x x --= --，即 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示； 当12x x =时，经过点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线可以用方程1x x =， 即()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示， 因此经过任意两个不同的点()11,P x y ，()22,Q x y 的直线都可以用方程 ()()()()211211-?-=--x x y y y y x x 表示，所以D 对， 故选D ． 4．若两条平行直线()1:200l x y m m -+=>与2:260l x ny +-=，则m n +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2- D ．1- 【答案】C

直线与方程专题复习上课讲义

直线与方程专题复习

专题复习直线与方程 【基础知识回忆】 1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：i ?与x轴相交；ii.x轴正向；iii.直线向上方向? ②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 _____________ . (2)直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点P l(X!，y!),P2(X2, y2)(X! X2)两点的斜率公式为：k ③每条直线都有倾斜角，但并 不是每条直线都有斜率。倾斜角为_的直线斜率不存 在。 2. 两直线垂直与平行的判定 (1) 对于不重合的两条直线I i,l2，其斜率分别为k「k2,，则有： l l〃l2 ______________ ____________________________________ ；I l l2 (2) ___________________________________________________ 当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ____________________________________ ;当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时，两条直线. 3. 直线方程的几种形式

一般式 Ax By c 0 (A2 B20) 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式? 4. 三个距离公式 (1) ____________________________________________________ 两点只(人，浙),卩2匕2°2)之间的距离公式是：|P l P2| ___________________________________ ? (2)点P(x0, y0)到直线l : Ax By c 0的距离公式是：d _____________ . (3)两条平行线l : Ax By & 0,1: Ax By c? 0间的距离公式是：d . 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1、已知坐标平面内三点A( 1,1), B(1,1),C(2, ..3 1). (1) 求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角. (2) 若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围. 例2、图中的直线11、12、|3的斜率分别为k1、k2、k3,贝U： A . k1 < k2 v k3 B. k3< k1< k2 C. k3< k2< k1 < k2 例3、利用斜率证明三点共线的方法： D. k1 < k3

高二数学直线与方程典型习题教师版

【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0 ③倾斜角α的范围0 0180α≤< （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠ ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（ ）的直线的斜率公式是21 21 y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式21 2121 ()y y k x x x x -= ≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】 （1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =? 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行 （2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=??⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确； 由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点

高一直线与方程练习题及答案详解

直线与方程练习题 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（） A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（） A ．0≠m B ．2 3-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3-≠m ，0≠m 7．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 8．若1(2,3),(3,2),(,)2 A B C m --三点共线 则m 的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．2 1- Ｃ．2- Ｄ．2

9．直线x a y b 22 1-=在y 轴上的截距是（） A ．b B ．2b - C ．b 2 D ．±b 4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 10．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关 二、填空题 1．点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 3．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 4．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 三、解答题 1．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。 2．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．

广东省2021高考数学学业水平合格考试总复习第6章直线与方程教师用书教案

直线与方程 考纲展示考情汇总备考指导 直线与方程 ① 在平面直角坐标系中，结合具体图 形，确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念， 掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条 直线平行或垂直. ④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌 握直线方程的几种形式(点斜式、两点 式及一般式)，了解斜截式与一次函数 的关系. ⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交 点坐标. ⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线 的距离公式，会求两条平行直线间的距 离. 2017年1月T5 2019年1月T5 2020年1月T4 本章的重点是根据所给条件 求直线的方程，难点是两条直 线的位置关系的判定，易错点 是在根据两直线的位置关系 求参数的值时，容意漏解或出 现增根，出错的根本原因是没 有掌握两直线平行或垂直的 充要条件. 直线的倾斜角、斜率和位置关系1．直线的倾斜角和斜率

(1)倾斜角 当直线l 与x 轴平行或重合时，规定此时直线的倾斜角为0°. 当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫直线l 的倾斜角． 注：倾斜角的取值范围为[)0°，180°. (2)直线的斜率 当直线l 的倾斜角θ≠90°时(即直线与x 轴不垂直)，直线l 的斜率存在，且斜率k ＝tan θ. 当直线的倾斜角为θ(θ≠90°)，斜率为k ，则k ≥0?θ∈?????0，π2；k <0?θ∈ ?? ??π2，π. (3)直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的斜率k ＝y 1－y 2 x 1－x 2 . 注：任何直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． 2．两条直线平行和垂直的判定 (1)当直线l 1∥l 2或l 1与l 2重合，倾斜角α1＝α2. 若斜率存在，则k 1＝k 2. 若斜率不存在，则k 1与k 2都不存在． (2)直线l 1∥l 2，若斜率存在，则k 1＝k 2，且在y 轴上的截距不同，若斜率不存在，则l 1 与l 2都垂直于x 轴且在x 轴上的截距不同． (3)若斜率存在，且直线l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1. 若其中有一条斜率不存在，且l 1⊥l 2，则另一条直线斜率为0. (4)若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，且A 1，A 2，B 1，B 2都不为零． ①l 1∥l 2?A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 . ②l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. ③l 1与l 2相交?A 1A 2≠B 1B 2 . ④l 1与l 2重合?A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2 . [学考真题对练] 1．(2019·1月广东学考)直线3x ＋2y －6＝0的斜率是( ) A ．32 B ．－32 C ．23 D ．－23

人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义全

必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤

注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行 斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行. 一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注：1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （2）两条直线垂直 斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.

直线与方程专题复习(教师)

直线与方程专题复习 一、知识归类 1.直线的倾斜角与斜率 (aH9O0). (1)直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 (2)直线倾斜角的范围是. (3)直线过p(X1，y1),P2(X2，y2)(X1 H X2)两点的斜率公式为：k 2.两直线垂直与平行的判定 (1)对于不重合的两条直线l i,l2，其斜率分别为k i,k2，，则有：I1//I2U ；l i 丄I2 二 (2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时，两条直线. 3.直线方程的几种形式 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式 4.几个距离公式 (1) 两点P (花，yj, P2(X2, y2)之间的距离公式是：|RP2|= (2) 点P(x。，y。)到直线l : Ax + By + c = 0的距离公式是：d = 两条平行线I : Ax + By +C, = 0,1 : Ax + By + C2 = 0间的距离公 式是: 二、典型例题 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1已知坐标平面内三点A(—1,1), B(1,1),C(2」3 +1).( 1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角. (2)若D为MBC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.

变式训练1、直线XCOS a +（3y+ 2= 0的倾斜角的范围是（ ） 2、直线I 经过点A （1 ,2），在x 轴上的截距的取值范围是（—3,3）,则其斜率k 的取值范围是（ ） 1 1 C. k>-或 k< 1 D . k>-或 k< — 1 5 2 本题小结：数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点 .当直线绕定点由与 x 轴平行（或重合）位 置按逆时针方向旋转到与 y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到 +比（即斜率不存在）；按顺时针方向旋 转到与y 轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到 -比（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜 率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围 . 题型二：直线的平行与垂直问题 例2已知直线I 的方程为3x+4y -12= 0,求下列直线1’的方程，1’满足 变式训练1、已知直线x+a 2y+ 6= 0与直线（a — 2）x + 3ay+ 2a = 0平行，则a 的值为（ ） A. 0 或 3 或—1 B. 0 或 3 C . 3 或—1 D . 0 或—1 2、已知过点A — 2, m ）和点B （m 4）的直线为I 1, l 3，若l 1 //I 2, I 2丄l 3,贝U 实数m+ n 的值为（ ） A.— 10 B.— 2 C. 0 与直线Ax + By +C = 0垂直的直线方程可设为 Bx - Ay + C 2 = 0，再由其他条件求出 C 2. 题型三：直线的交点、距离问题 例3已知直线I 经过点A （2,4）,且被平行直线h ：x-y +1 =0与12 ：x-y —1 = 0所截得的线段的中点 M 在直线x +y -3=0上，求直线I 的方程. n 〕u 佇，v] B. [0 , n ” 舄‘ n 、 L 5n ] r n 5n ] n J C . !0 , TJ D. ，-FJ A.- 1< k <1 5 B. k> 1 或 k<2 （1）过点（ -1,3），且与I 平行; （2）过（—1,3），且与I 垂直. 直线 2x + y — 1= 0 为 12,直线 x + ny + 1= 0 为 D. 8 本题小结：与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为 Ax + By + C 1 = 0，再由其 他条件列方程求出C 1 ；

直线与方程专题复习

直线与方程专题复习 一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率 知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 注意： 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠?的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意： 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存有的王新敞 知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21 21 y y k x x -= -. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 王新敞 ． 知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直. 即12l l ⊥?12 1 k k =-?121k k =- 王新敞 注意： 1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存有且不重合. 2．12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存有，或20k =且1l 的斜率不存有. 2.直 线 的 方 程 知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意： ⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程 为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，因为这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠， 则直线l 的方程为 1=+b y a x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0, b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上?00Ax By +0C += 王新敞 3、直线的交点坐标与距离 知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组111222 0A x B y C A x B y C ++=?? ++=?，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.

高二数学讲义：直线与方程

讲义：直线与方程 内容讲解： 1、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为α() 0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα??=≠ ?? ?.当2 π α=时，斜率不存在. （2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21 2121 ()y y k x x x x -=≠-. 2、两直线的位置关系： 两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则： （1）1l ∥2l ?12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥??=-； （3）1l 与2l 重合?12k k =且12b b = 3、直线方程的形式： （1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距） （3）两点式： 11 21212121 (,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点） （4）一般式：( ) 22 00x y C A B A +B += +≠ （5）截距式： 1x y a b +=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距） 4、直线的交点坐标： 设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ? ≠；（2）1l ∥2l 111 222 A B C A B C ?=≠；（3）1l 与2l 重合

111 222 A B C A B C ? ==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式2 2 122121()()PP x x y y = -+- 原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y = + 6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离002 2 Ax By C d A B ++= + （1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C d A += （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C d B += （3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离2 2 C d A B = + 7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离122 2 C C d A B -= + 8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为 ()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈ 9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称： （1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012 022 x x x y y y +?=??? +?=?? （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有 122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C B +=-且12x x =

高一数学必修二直线与方程专题复习

专题复习 直线与方程 【基础知识回忆】 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的围 . （2）直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为 的直线斜率不存在。 2.两直线垂直与平行的判定 （1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有： ?21//l l ? ； ?⊥21l l ? . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一 条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.

4.三个距离公式 （1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d . （3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d . 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1、已知坐标平面三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A . （1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角. （2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化围. 例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则： A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 例3、利用斜率证明三点共线的方法： 若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 . 总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 不过第二象限，求a 的取值围。 变式：若0

上海2020年高三数学基础知识回顾辅导讲义——解析几何(教师版)

1 / 26 一、直线与方程 ★1、直线的倾斜角及斜率： （1）倾斜角：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，倾斜角的范围是[)π，0. （2）斜率：①倾斜角不是2 π 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，即αtan =k （2 π α= 时，直线斜率不存在）；②过两点的直线斜率公式：()211 21 2x x x x y y k ≠--= . ★2、直线的方程：点方向式： v y y u x x 0 0-= -（过点()00,y x ，方向向量()v u ,） 点法向式：()()000=-+-y y b x x a （过点()00,y x ，法向量()b a ,） 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x 截矩式： 1x y a b +=（与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ） 一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 高考数学基础知识回顾：解析几何 基础知识

2 / 26 ★★3、直线与直线的位置关系：（1）平行直线系：01=++C By Ax 与02=++C By Ax ；（2）垂直直线系：01=++C By Ax 与02=+-C Ay Bx ；（3）直线平行与垂直的充要条件：①当 111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l ；②当 :1111=++c y b x a l ， :2222=++c y b x a l 时， //122121=-?b a b a l l ； 0212121=+?⊥b b a a l l ★★4、直线的夹角公式：（1）对直线0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ， 2 2 2 22 12 121212121||| |||| |cos |cos b a b a b b a a d d +?++= ?==θα；（2）对直线111:b x k y l +=， 222:b x k y l +=，2 12 11tan k k k k +-= α ★★5、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离为 2 2 00B A C By Ax d +++= ；（2 ）点在直线的同侧或异侧的问题：令δ= ，当两点在直线l 的同侧，则它们的δ同号；当两点在直线l 的异侧，则δ异号；（3）两平行线间的距离公式： 0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 为2 2 21B A C C d +-= ★6、线性规划：①设出所求的未知数；①列出约束条件（即不等式组）；①建立目标函数；①作出可行域；①运用图解法求出最优解． 二、圆与方程 ★1、圆的方程：（1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r ；（2）一般方程 02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆心?? ? ??--2,2E D ，半径2422F E D -+，能形成圆的充要条件是 0422>-+F E D ；（3）参数方程：???+=+=θ θ sin cos r b y r a x ，圆心()b a ,，半径为r ．

《直线与方程》说课稿1

《直线与方程》说课稿 一、高中数学总课标 1 、掌握数学基础知识、基本技能、基本方法、基本实践活动 2 、培养空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理的能力；培养应 用意识、创新意识 3、提高兴趣、树立信心、培养理性认识、辩证唯物主义世界观 二、《直线与方程》的课程目标 1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线 方程的点斜式、两点式和一般式，并能根据条件求出直线方程；掌握交点的求法和点到直线距离公式的推导。 2、培养全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力。 3、激发学生的学习兴趣，拓展学生的视野，培养良好的学习习惯 三、新教材编写特点 1．更换教学顺序，更加重视学生的认知规律 ①.两直线的夹角、曲线与方程的关系没有在此出现． ②.两条直线平行与垂直的判定放在了直线方程之前 (学斜率之后的趁热 打铁)．旧《大纲》课时安排大约10课时，新《课程标准》课时安排大约9课时，如果增加1课时以复习初中的相关知识，两者基本相当。 2.选用素材更贴近生活，更加凸显了新课程教学内容要密切联系学生生活实际的特点 3.使用“思考”、“探究”等行为动词，更加注重学生的学习过程的培养 4.注重数学文化教学 四、教学建议 1．注意把握课标教学 教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。但是也不能仅仅停留在书本的教学上，教参在P59、P71、P77、P82-84、P93-96都配备了大量不同类型的例题，从这里也可以看出编者对本章的重视程度，因此，我觉得可以在大纲规定的10课时的基础上增加2节习题课，也为后面圆的方程的学习打好基础。 2．关注重要数学思想方法的教学 重要的数学思想方法不怕重复。《普通高中数学课程标准（实验）》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对

高二数学-直线与方程典型习题(教师版)

【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 ③倾斜角α的范围00 0180α≤< （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠ ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 0 0α=,0 tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 0 90α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是21 21 y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式21 2121 ()y y k x x x x -= ≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】 （1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =? 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行 （2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=??⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确； 由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式 121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，

2018版高中数学必修二同步讲义(人教A版)第三章直线与方程3.3.3-3.3.4Word版含答案

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题． 知识点一 点到直线的距离 思考1 如图，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离d 同线段PS ，PR ，RS 间存在什么关系？ 答案 d ＝|PR ||PS | |RS | . 思考2 根据思考1的思路，点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 怎样用A ，B ，C 及x 0，y 0表示？ 答案 d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 . 思考3 点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0， 即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B |＝|By 0＋C | |B | ，适合公式． ②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C | |A |，适合公式． 梳理 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的垂线段的长度． (2)图示： (3)公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 .

知识点二 两条平行直线间的距离 思考 直线l 1：x ＋y －1＝0上有A (1,0)、B (0,1)、C (－1,2)三点，直线l 2：x ＋y ＋1＝0与直线l 1平行，那么点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？ 答案 点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为2、2、 2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． 梳理 两条平行直线间的距离 (1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长． (2)图示： (3)求法：转化为点到直线的距离． (4)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝ |C 1－C 2|A 2＋B 2 . 类型一 点到直线的距离 例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋1 3；②3y ＝4；③x ＝3. 解 ①y ＝43x ＋1 3可化为4x －3y ＋1＝0， 点P (2，－3)到该直线的距离为 |4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝18 5； ②3y ＝4可化为3y －4＝0， 由点到直线的距离公式得|－3×3－4|02＋32＝13 3； ③x ＝3可化为x －3＝0， 由点到直线的距离公式得|2－3| 1 ＝1. (2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程． 解 方法一 当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时， 直线l 的方程为x ＝－1，

初中补习班数学讲义直线与方程

§1 直线与方程（教案） 一、基础知识点 1.平面直角坐标系中的基本公式 （1）数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离 |AB |＝21x x -. （2）平面上两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为 d (A ，B )＝|AB |＝ ()()221221y y x x -+-. （3）线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的 坐标为(x ，y )，则??? ??? ?+=+=222121y y y x x x 2.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾斜角. 当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. （2）斜率：一条直线的倾斜角α的正切叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即 k ＝αtan (α≠ 2 π). 当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k=0；当直线的倾斜角为锐角时，k>0；当直线的倾斜角为钝角时，k<0；倾斜角为2 π 的直线没有斜率. 倾斜角不同，直线的斜率也不同. 因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度. 3. 直线的方程： 若直线l 与方程()0,=y x f 满足： ①直线l 上每个点的坐标都是方程()0,=y x f 的解； ②以方程()0,=y x f 的解为坐标的点都在直线l 上. 则称方程()0,=y x f 为直线l 的方程，直线l 称为方程()0,=y x f 的直线. 4. 直线方程的几种形式 （1）截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的横坐标a 叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距. 注：截距不是距离(填“是”或“不是”). （2）直线方程的几种形式：

高中数学 讲义

\ 高中函数部分附高中必修一到四 点 直线，切线 直线与方程 标准圆，圆与圆 圆与方程，曲线与方程 xy=+ k, - k 一次函数函数二次函数 对称轴 求根 不等式，方程组 三角函数，二倍角 、 曲线与方程 在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 求曲线的方程 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度 洋,北冰洋} ◆用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} ◆集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c ……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集 合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn 图: 4、集合的分类： (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ? /B 或B ?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a 、b 属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a 、b 属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a 、b 属于Q) 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x 与y=a^-x 关于y 轴对称 2、函数y=a^x 与y=-a^x 关于x 轴对称 3、函数y=a^x 与y=-a^-x 关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式