由传递函数转换成状态空间模型
由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统
高阶微分方程化为状态空间表达式
SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ
)(2
211110n
n n n m
m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ 假设1+=m n
外部描述
←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统
内部描述
SISO ???+=+=du
cx y bu Ax x
&
实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、
直接分解法
因为
1
0111
11()()()()
()()()()
1m m m m
n n n n
Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=?
=?++++++++L L ???++++=++++=----)
()()()
()()(11
11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ 对上式取拉氏反变换，则
???++++=++++=----z a z a z
a z u z
b z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1)
1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z
x z x Λ&，于是有 ??????
?+----===-u x a x a x a x
x x x x n n n n 12113
22
1Λ&M &&
写成矩阵形式
式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。 则输出方程
121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--Λ
写成矩阵形式
???????
?
????????=--n n m m x x x x b b b b y 12101
1][M Λ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。
在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。
例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。
4
2383)()(23++++=s s s s
s U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即
u x x x u x x x a a a x x x ??
????????+????????????????????---=??????????+????????????????????---=??????????100324100010
100100010321321123
321&&& ????
?
?????=??????????=32132101
2
]083[][x x x x x x b b b y
若选择状态变量[]T
n x x x x Λ
21
=满足下列条件（如何考虑）
??
??
?
?????
?----+++=----+++=--++=-+==------------u b u b u b y a y a y x u b u b u b y a y a y x u b u b y a y a y x u b y a y x y x m m m n n n m m m n n n n n n ΛΛΛΛM &&&&
&)2(1)1(0)2(1)1(11)3(1)2(02)3(1)2(210212011 考虑式
()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ
设系统的输出n x y =，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到
?????
???
?+-=+-=+-=+-=-----u b x a x x u b x a x x u b x a x x u
b x a x n n n
n n n m n n m n n 0111221
11121&&M && 写成矩阵形式
u b b b b x x x x a a a a x
x x x m m n n n n n n n I
????????
????????+???????????
?????????????????????----=????????????????-----011121121
11210
0M M M Λ&&M &&
???????
?
????????=-n n x x x x y 121]1000[M Λ
式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的A 阵和c 阵具有上式的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型
从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A 是互为转置，能控标准型输入阵b 和能观标准型输出阵c 互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。
将在第六章进一步讨论。
通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：
（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。
（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A 的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B 的元素。
（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即n m =，状态空间表达式的输出方程中才出现Du 项，否则D 为零阵。 例：求前例的能观标准型的状态空间模型 解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即
u x x x x x x ????
??????+????????????????????---=?????
?????083310201400321321&&& []T
x x x y 32
1]100[=
二、
串联分解法
若SISO 系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式
1212()()()()()()()()()()
m n K s z s z s z Y s G s n m U S s p s p s p +++=
=
≥+++L L
例：1212312123
2312123()()()()()()()()11K s z s z Y s G s U S s p s p s p s z s z K s p s p s p z p z p K s p s p s p ++=
=
+++++=??
+++????--=?+?+ ? ?+++????
图示！！
[]????
?
?????--=?????
?????+????????????????????----=??????????3212
13
232112
213321100000x x x k p z p z y u x x x p k p k p z p x x x &&&
三、 并联分解法（对角标准型/约旦标准型——特征值标准型）
（一）若SISO 系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型的模型。
当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式
1212()()()
()()()()()()()
m n K s z s z s z Y s G s n m U S s p s p s p +++=
=
≥+++L L
写成部分分式
∑=+=++++++==n
i i
i n n p s c p s c p s c p s c s U s Y s G 12211)()
()(Λ
其中，i c ，n i ,,2,1Λ=为待定系数，其值为
))((lim i s i p s s G c i
+=-λ
选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）
,)
()(i
i p s s U s X +=
n i ,,2,1Λ= 即
)()()(s U s X p s sX i i i =+
对上式拉氏反变换，得
u x p x i i i =+&
即
???????+=+=+=u x p x
u x p x u x p x n n n &M &&222111
写成矩阵形式
u x x x p p p x x x n n n ?????
?
??????+???????????????????????
?---=????????????111212
121M M O
&M && 式中，系数矩阵A 为对角阵。对角线上的元素是传递函数G （s ）的极点，即系统的特征值。b 阵是元素全为1的n ×1矩阵。
求对角标准型模型的输出方程中c 的结构
)()(1
s U p s c s Y n
i i
i
∑
=+= )()()(s X p s s U i i +=
∑==n
i i i s X c s Y 1)()(
对上式拉氏反变换，得
[]T
n n i i x x x c c c x c y Λ
Λ
21
21
][∑==
如果系统的状态方程的A 阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。多变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。
系统的状态结构图如图所示。
例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换
6
1168
6)()()(2
3++++==
s s s s s U s Y s G 解：将)(s G 用部分分式展开
3
21)3)(2)(1(86)(321+++++=++++=
s c
s c s c s s s s s G
从而可得)(s G 的极点3,2,1111-=-=-=λλλ为互异的，求待定系数i c
1)
3)(2(8
6lim
))((lim 1111
=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ
4)
3)(1(8
6lim
))((lim 2222
=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ
5)
2)(1(8
6lim
))((lim 3333
-=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ
得对角标准型的转换为
u x x x x x x ????
??????+????????????????????---=?????
?????111300020001321321&&&
[][]T
x x x y 321541-=
（二）对SISO 系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型的状态空间模型。
此时模型的系数矩阵A 中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对应的约当块，即
?????
????
??
?=i i
i
i λλλJ 11O
O 设系统具有一个重特征值1λ，其重数为j ，而其余为互异的特征值，记为
n j λλ,,1Λ+，则传递函数可以用部分分式展开成
)
()()()()
()()()(11
11111112
111n n
i i j j j i
i j j p s c p s c p s c p s c p s c p s c p s c s G ++++++++++++++++++=++-ΛΛΛΛΛ
式中，待定系数j c c c 11211,,Λ对应的是重极点的待定系数，其值为
]))(([lim )!1(11)1()
1(11j i i s i p s s G ds
d i c +-=--→λ
其余互异根的待定系数),,2,1(n j j i c i Λ++=求法同前。 画图示意状态变量的取法：
例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对约当准型的状态空间模型
)
1)(2()3()
5(3)()()(2++++==
s s s s s U s Y s G 解：从已知系统地传递函数)(s G 可知，该系统为四阶，有一个重极点，重数为
j =2，有两个互异的极点，即1,2,34321-=-=-==λλλλ 按部分分式展开
1
2)3()3()(4
312211+++++++=
s c s c s c s c s G
求重极点对应的待定系数i c 1
3)
1)(2.()
5(3lim ])3)(([lim )!11(132)11()11(111=+++=+-=-→--→s s s s s G ds d c s s λ
6
)23()32)(5(3)23(3lim
)1)(2.()5(3lim
])3)(([lim )!12(12
22
332)12()12(121=++++-++=???
???+++=+-=-→-→--→s s s s s s s s s ds d s s G ds d c s s s λ
求互异极点对应的待定系数43,c c
9)1()3()
5(3lim
)2)((lim 2233
-=+++=+=-→→s s s s s G c s s λ
3)
2()3()
5(3lim
)1)((lim 2144
=+++=+=-→→s s s s s G c s s λ
可得约当标准型的模型为
u x x x x x x x x ????????????+???????????????????????
?----=????????????11101000020000300013432143
21&&&& [][]T
x x x x y 43
21
3963-=
由传递函数转换成状态空间模型(1)
由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211 )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=--- 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了部结构—→模拟系统 部描述 SISO ? ??+=+=du cx y bu Ax x 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()()()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++ ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m 对上式取拉氏反变换，则 ? ??++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m 1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x ，于是有
?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 221 写成矩阵形式 式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。 则输出方程 121110x b x b x b x b y m m n n ++++=-- 写成矩阵形式 ??????? ? ????????=--n n m m x x x x b b b b y 12101 1][ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。 在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。 例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。 4 2383)()(2 3++++=s s s s s U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即
实验四用MATLAB求解状态空间模型
实验四 用MATLAB 求解状态空间模型 1、实验设备 MATLAB 软件 2、实验目的 ① 学习线性定常连续系统的状态空间模型求解、掌握MATLAB 中关于求解该模型的主要函数； ② 通过编程、上机调试，进行求解。 3、实验原理说明 Matlab 提供了非常丰富的线性定常连续系统的状态空间模型求解(即系统运动轨迹的计算)的功能，主要的函数有： 初始状态响应函数initial()、阶跃响应函数step()以及可计算任意输入的系统响应数值计算函数lsim()和符号计算函数sym_lsim()。 数值计算问题可由基本的Matlab 函数完成，符号计算问题则需要用到Matlab 的符号工具箱。 4、实验步骤 ① 根据所给状态空间模型，依据线性定常连续系统状态方程的解理论，采用MATLAB 编程。 ② 在MATLAB 界面下调试程序，并检查是否运行正确。 习题1：试在Matlab 中计算如下系统在[0,5s]的初始状态响应，并求解初始状态响应表达式。 Matlab 程序如下： A=[0 1; -2 -3]; B=[]; C=[]; D=[]; x0=[1; 2]; sys=ss(A,B,C,D); [y,t,x]=initial(sys,x0,0:5); plot(t,x) 0011232????==????--???? x x x
习题2：试在Matlab 中计算如下系统在[0,10s]内周期为3s 的单位方波输入下的状态响应。并计算该系统的单位阶跃状态响应表达式。 Matlab 程序如下： A=[0 1; -2 -3]; B=[0; 1]; C=[]; D=[]; x0=[1; 2]; sys=ss(A,B,C,D); [u t]=gensig('square',3,10,0.1) 0011232????==????--???? x x x
状态空间模型
状态空间模型概述 状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。状态空间模型在经济时间序列分析中的应用正在迅速增加。其中应用较为普遍的状态空间模型是由Akaike提出并由Mehra进一步发展而成的典型相关(canonical correlation)方法。由Aoki等人提出的估计向量值状态空间模型的新方法能得到所谓内部平衡的状态空间模型，只要去掉系统矩阵中的相应元素就可以得到任何低阶近似模型而不必重新估计，而且只要原来的模型是稳定的，则得到的低阶近似模型也是稳定的。 状态空间模型起源于平稳时间序列分析。当用于非平稳时间序列分析时需要将非平稳时间序列分解为随机游走成分(趋势)和弱平稳成分两个部分分别建模。含有随机游走成分的时间序列又称积分时间序列，因为随机游走成分是弱平稳成分的和或积分。当一个向量值积分序列中的某些序列的线性组合变成弱平稳时就称这些序列构成了协调积分(cointegrated)过程。非平稳时间序列的线性组合可能产生平稳时间序列这一思想可以追溯到回归分析，Granger提出的协调积分概念使这一思想得到了科学的论证。Aoki和Cochrane等人的研究表明：很多非平稳多变量时间序列中的随机游走成分比以前人们认为的要小得多，有时甚至完全消失。 协调积分概念的提出具有两方面的意义：
①如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，就有可能同时考察他们之间的长期稳定关系和短期关系的变化； ②如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，则只要将协调回归误差代入系统状态方程即可纠正系统下一时刻状态的估计值，形成所谓误差纠正模型。 Aoki的向量值状态空间模型在处理积分时间序列时，引入了协调积分概念和与之相关的误差纠正方法，因此向量值状态空间模型也是误差纠正模型。一个向量值时间序列是否为积分序列需判断其是否含有单位根，即状态空间模型的动态矩阵是否含有量值为1的特征值。根据动态矩阵的特征值即可将时间序列分解成两个部分，其中特征值为1的部分(包括接近1的“近积分”部分)表示随机游走趋势，其余为弱平稳部分，两部分分别建模就得到了两步建模法中的趋势模型和周期模型。 状态空间模型的假设条件是动态系统符号马尔科夫特性，即给定系统的现在状态，则系统的将来与其过去独立。 [编辑] 状态空间模型的分类 状态空间模型包括两个模型：一是状态方程模型，反映动态系统在输入变量作用下在某时刻所转移到的状态；二是输出或量
实验八MATLAB状态空间分析
实验八 线性系统的状态空间分析 §8.1 用MATLAB 分析状态空间模型 1、状态空间模型的输入 线性定常系统状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du =+=+ 将各系数矩阵按常规矩阵形式描述。 [][][]11 121120 10 1;;;n n n nn n n A a a a a a a B b b b C c c c D d ==== 在MATLAB 里，用函数SS()来建立状态空间模型 (,,,)sys ss A B C D = 例8.1 已知某系统微分方程 22d d 375d d y y y u t t ++= 求该系统的状态空间模型。 解：将上述微分方程写成状态空间形式 0173A ??=??--??，01B ??=???? []50C =，0D = 调用MATLAB 函数SS()，执行如下程序 % MATLAB Program example 6.1.m A=[0 1;-7 -3]; B=[0;1]; C=[5 0]; D=0; sys=ss(A,B,C,D) 运行后得到如下结果 a = x1 x2 x1 0 1
x2 -7 -3
b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 5 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 2、状态空间模型与传递函数模型转换 状态空间模型用sys 表示，传递函数模型用G 表示。 G=tf(sys) sys=ss(G) 状态空间表达式向传递函数形式的转换 G=tf(sys) Or [num,den]=ss2tf(A,B,C,D) 多项式模型参数 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu) 零、极点模型参数 iu 用于指定变换所需的输入量，iu 默认为单输入情况。 传递函数向状态空间表达式形式的转换 sys=ss(G) or [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) [A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k) 例 8.2 11122211220.560.050.03 1.140.2500.1101001x x u x x u y x y x -??????????=+??????????-????????????????=??????? ????? 试用矩阵组[a ，b ，c ，d]表示系统，并求出传递函数。 % MATLAB Program example 6.2.m
状态空间模型
引言 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组成。 在经典控制理论中，采用n阶微分方程作为对控制系统输入量u（t）和输出量y（t）之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量U(s)=L[u(t)]和输出量Y(s)=L[y(t)]之间的关系。传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。 现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。该算法是构建在数学支持的基础之上的。 标准四阶龙格——库塔法的基本思想 龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor公式的方法，即利用y(x)在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组合式，选取适当系数使这个组合式进Taylor展开后与y(xi+1)的Taylor展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。 一、实验原理 龙格——库塔法 龙格—库塔法是仿真中应用最广泛的方法。它以泰勒展开公式为基础，用函数f的线性组合代替f的高阶导数项，避免了高阶导数的运算，又提高了精度。泰勒公式的阶次取得越高，龙格—库塔法所得的误差等级越低，精度越高。最常用的是四阶龙格—库塔法，它虽然有一定的时间损耗，但比梯形法要快，而且与
实验四 用MATLAB求解状态空间模型
实验四用MATLAB求解状态空间模型 1、实验设备 MATLAB软件 2、实验目的 ①学习线性定常连续系统的状态空间模型求解、掌握MATLAB中关于求解该模型的主要函数； ②通过编程、上机调试，进行求解。 3、实验原理说明 Matlab提供了非常丰富的线性定常连续系统的状态空间模型求解(即系统运动轨迹的计算)的功能，主要的函数有： 初始状态响应函数initial()、阶跃响应函数step()以及可计算任意输入的系统响应数值计算函数lsim()和符号计算函数sym_lsim()。 数值计算问题可由基本的Matlab函数完成，符号计算问题则需要用到Matlab 的符号工具箱。 4、实验步骤 ①根据所给状态空间模型，依据线性定常连续系统状态方程的解理论，采用MATLAB编程。 ②在MATLAB界面下调试程序，并检查是否运行正确。 习题1：试在Matlab中计算如下系统在[0,5s]的初始状态响应，并求解初始状态响应表达式。 Matlab程序如下：A=[0 1; -2 -3]; B=[]; C=[]; D=[]; 011 232???? == ???? -- ????x x x
x0=[1; 2]; sys=ss(A,B,C,D); [y,t,x]=initial(sys,x0,0:5); plot(t,x) 习题2：试在Matlab 中计算如下系统在[0,10s]内周期为3s 的单位方波输入下的状态响应。并计算该系统的单位阶跃状态响应表达式。 0011232????==????--???? x x x
Matlab程序如下： A=[0 1; -2 -3]; B=[0; 1]; C=[]; D=[]; x0=[1; 2]; sys=ss(A,B,C,D); [u t]=gensig('square',3,10, [y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0) plot(t,u,t,x);