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(word完整版)高考导数专题复习

高考数学专题复习——导数

一、有关切线的相关问题

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

三、交点与根的分布

1、判断零点个数

2、已知零点个数求解参数范围

四、不等式证明

1、作差证明不等式

2、变形构造函数证明不等式

3、替换构造不等式证明不等式

五、不等式恒成立求参数范围

1、恒成立之最值的直接应用

2、恒成立之分离常数

3、恒成立之讨论参数范围

六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论

一、有关切线的相关问题

例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；【答案】（Ⅰ）34

a =

跟踪练习：

1、【2011高考新课标1，理21】已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（Ⅰ）求a 、b 的值；

解：（Ⅰ）22

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x α+-=

由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,

1'(1),2

f f =??

?=-??即

1,22

b a b =???-=-??

解得1a =，1b =。

2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；

解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.

3、 (2014课标全国Ⅰ，理21)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)

f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；

【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x

x x x a b b f x ae x e e e x x x

--'=+-+

由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分

二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性

1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015高考江苏，19】

已知函数),()(2

R b a b ax x x f ∈++=.

（1）试讨论)(x f 的单调性；

【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ??-∞-

???，()0,+∞上单调递增，在2,03a ??

- ???

上单调递减；

当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ??-+∞ ???上单调递增，在20,3a ??- ??

?上单调递减．

当0a <时，()2,0,3a x ??∈-∞-+∞ ???U 时，()0f x '>，20,3a x ??∈- ??

?时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ??-

+∞ ???上单调递增，在20,3a ?

?- ??

?上单调递减．

练习：1、已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R .

⑴当1

a ≤

时，讨论()f x 的单调性；答案：⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222

l 11

()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2

()1(0)h x ax x a x =-+->

①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得121

1,1x x a

==-. 当1

2a =

时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减；当102a <<时，1

110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减；

(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；

(1,)x a

∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.

当0a <时1

10a

-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；

当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增；

当1

2a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,

(1,)a

-+∞递减.

2、已知a 为实数，函数()(1)e x f x ax =+，函数1

()1g x ax

=-，令函数()()()F x f x g x =?．当0a <时，求函数()F x 的单调区间．

解：函数1()e 1x ax F x ax +=

-，定义域为1x x a ?

?≠???

．当0a <时，222

()

21()e e (1)(1)x

x a a x a x a a F x ax ax +--

-++'=

--．令()0F x '=，得22

a x a +=

． ……………………………………9分

①当210a +<，即1

a <-时，()0F x '<．

∴当12a <-时，函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞，1

(,)a +∞．………………11分

②当102a -<<时，解2221

a x a

得12x x ==．

∵

1a <

∴令()0F x '<，得1(,)x a ∈-∞，11

(,)x x a

∈，2(,)x x ∈+∞；

令()0F x '>，得12(,)x x x ∈． ……………………………13分

∴当102a -<<时，函数()F x 的单调减区间为1

(,)a -∞

，1(a

，

()+∞；函数()F x

单调增区间为． …………15分 ③当210a +=，即1

a =-时，由（2）知，函数()F x 的单调减区间为(,2)-∞-及

(2,)-+∞

2、根据判别式进行讨论

例题：【2015高考四川，理21】已知函数2

()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >.

（1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；【答案】（1）当104a <<

时，()g x

在区间)+∞上单调递增，

在区间上单调递减；当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递

增.

【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

()()222ln 2(1)a

g x f x x a x x '==---+，

所以222

112()2()

2224()2x a a g x x x x -+-'=-+=.

当104a <<

时，()g x 在区间)+∞上单调递增，

在区间上单调递减；当1

a ≥

时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. 练习：已知函数()ln a

f x x x x

=--

，a ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 222

1()1a x x a

f x x x x -++'=-+=．

令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ?=+．

（ⅰ）当1

4a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分

（ⅱ）当1

a >-时，由()0f x '=得12x x ==

①若1

a -<<，则120x x >>，

由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．

所以，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为

； …………………………………………………………7分

②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；

③若0a >，则120x x >>，

由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．

()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分

综上所述：当1

4a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；

当1

a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，

单调增区间为；

当0a ≥时，()f x 单调减区间为114(,)a

+++∞，单调增区间为

114(0,

++． ………………………………………………………10分

2. 已知函数1

()()2ln ()f x a x x a x

=--∈R ．

求函数()f x 的单调区间；

解：函数的定义域为()0,+∞，222

122()(1)ax x a

f x a x x x -+'=+-=． ……………1分

（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，

则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减． ……………4分（2）当0a >时，2

44a ?=-，

（ⅰ）若01a <<，

由()0f x '>，即()0h x >，得211a x a -<或2

11a x a

->； ………………5分

由()0f x '<，即()0h x <22

1111a a x --+-<<．………………………6分所以函数()f x 的单调递增区间为211a --和2

11()a +-+∞，

单调递减区间为22

1111(

a a a a

--． ……………………………………7分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ……………………………………………………………

3、含绝对值的函数单调性讨论

例题：已知函数()ln f x x x a x =--.

（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；

（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．

当[1,]x e ∈时, 2

()ln f x x x x =--,2'

121

()210x x f x x x x

--=--=

>，所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2

max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分

（2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．

（ⅰ）当0a ≤时，则2

()ln f x x ax x =--，2'

121

()2x ax f x x a x x

--=--=，

令'

()0f x =，得00x =>（负根舍去），

且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'

()0f x >，

所以()f x 在上单调减，在)+∞上单调增.……4分

（ⅱ）当0a >时，

①当x a ≥时， 2'

121

()2x ax f x x a x x

--=--=,

令'

()0f x =，得14a x =（4

a x a =<舍），

若4a a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；

若4a a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，

()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调

增. ……………………………………………6分

②当0x a <<时, 2'

121

()2x ax f x x a x x

-+-=-+-=,

令'

()0f x =，得2210x ax -+-=，记2

8a ?=-，

若2

80a ?=-≤，即0a <≤, 则'

()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；

若2

80a ?=->，即a >

则由'

()0f x =得3x =，4x =且340x x a <<<，

当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'

()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，

()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在

上单调增；在)+∞上单调减. …………………………………………8分

综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是(0,4a ，()f x 单调递增区间

是(,)4

a +∞；

当1a ≤≤, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是

(,)a +∞；

当a >, ()f x 单调递减区间是(0, 4a )和()4

a a ，

()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞. ………………10分（3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞．由()0f x >，得ln x

x a x

． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0x

<，不等式*恒成立，所以R a ∈；（ⅱ）当1x =时，10a -≥，

ln 0x

=，所以1a ≠； ………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-

恒成立或ln x

a x x

>+恒成立．

令ln ()x

h x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=．

因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >．因为ln x

a x x

恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤．令ln ()x

g x x x

=+，则221ln ()x x g x x +-'=．

再令2()1ln e x x x =+-，则1

()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上

无最大值．

综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分 2．设a 为实数，函数2

()||f x x x a =-

（2）求函数()f x 的单调区间

4、分奇数还是偶数进行讨论

例题：【2015高考天津，理20已知函数()n ,n

f x x x x R =-∈，其中*

n ,n 2N ∈≥.

(I)讨论()f x 的单调性；

【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.

(2)当n 为偶数时，

当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.

所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. 5、已知单调区间求参数范围

例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).

（1）讨论函数f(x )的单调性；

（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.

解：（1）2()363f x ax x '=++，2

()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）.

（i ）若a ≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.

（ii ）由于a ≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：121111a a

x x -+----=

，

若0，故f （x ）在（－

∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；

当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；

（2）当a>0，x >0时, ()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得

a -

≤<. 综上，a 的取值范围是5

[,0)(0,)4

+∞U . 二、极值

（一）判断有无极值以及极值点个数问题

例题：【2015高考山东，理21】设函数()()()

2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（2）当0a > 时， ()()2

8198a a a a a ?=--=-

①当8

a <≤

时，0?≤ ，()0g x ≥ 所以，()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值；

②当8

a >

时，0?> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212

x x +=- 所以，1211,44

x x <-

>- 由()110g -=>可得：11

1,4

x -<<-

所以，当()11,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；因此函数()f x 有两个极值点．（3）当0a < 时，0?> 由()110g -=>可得：11,x <-

当()21,x x ∈-时，()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减；因此函数()f x 有一个极值点．综上：

当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点；当8

a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；当8

a >

时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点；例题：【2015高考安徽，理21】设函数2

()f x x ax b =-+. （Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22

ππ

-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

【解析】

（Ⅰ）2

(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，2

x π

[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-，2

x π

-<<

因为2

x π

，所以cos 0,22sin 2x x >-<<.

①当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值. ②当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值. ③当22a -<<，在(,)22

ππ

-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =. 02

x x π

<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02

x x π

时，函数(sin )f x 单调递增.

因此，22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值

0(sin )()24

a a f x f

b ==-.

（二）已知极值点个数求参数范围

例题：【14年山东卷（理）】设函数())ln 2

(2x x

k x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =L

是自然对数的底数）

（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；

（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。

()()()）。

的取值范围为（综上则）令（单调递增。时，当单调递减；时，当则令时，当）解：（2

,:1ln 0ln ln 2

022,0)2(0

1)0(,01)0(ln ,)(2)(),2()()2,0(2

,0)(0

e 0,kx 0k )0()

)(2()12(2)(12

ln 2

'''x 3

e e e e

k k k k e k g e k k e g k e g g k g k

x k e k e x g kx e x g x f x x f x x x f kx x x

kx e x x x k x

xe x e x f k x x x x

x >∴>∴<-=<

∴>-=>-=>=<-===∴-=-=+∞∈∈∴==>-∴≤≤>--=+---?=Θ

练习：1、【2014年天津卷（理）】

2、（2014湖南）（本小题满分13分）

已知常数0a >，函数2()ln(1)2

f x ax x =+-

+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；

（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）()()24

'12a f x ax x =-++()()()()2

224112a x ax ax x +-+=++()()()

4112ax a ax x +-=++,（*）

因为()()2

120ax x ++>,所以当10a -≤时,

当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增, 当01a <<时, ()1211'02

,2a a

f x x x a a

--=?==-（舍去），当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <. 故()f x 在区间1(0,)x 单调递减,在1(,)x +∞单调递增的. 综上所述

当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,

当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ??

- ? ???上单调递减,在12a a ??-+∞ ? ???

上单调递增的.

（Ⅱ）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()

f x

有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能

是1x =

和2x =- 且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-

，所以1a --

，2--，解得1

a ≠-，此时，（*）式知1x ,2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而

12121222()()ln(1)ln(1)22

x x f x f x ax ax x x +=+-++-++

()()()12122

1212121244ln 1224

x x x x a x x a x x x x x x ++??=+++-

??+++

()()()2

412

ln 21ln 21221

a a a a a -=--

=-+

--- 令21a x -=，由01a <<且

12a ≠-

知

当102a <<时,10;x -<< 当112

a <<时,0 1.x <<记22

()ln 2g x x x =+-

（ⅰ）当10x -<<时，()2

()2ln 2g x x x

=-+-，所以 22

2222

'()x g x x x x -=-=

因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，

故当1

a <<

时，12()()0f x f x +<

（ⅱ）当01x <<时，2

()2ln 2g x x x

=+-，所以 22

2222

'()x g x x x x -=-=

因此，()g x 在()0,1上单调递减，从而()(1)0g x g >=，

故当

a <<时，12()()0f x f x +> 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12??

???

【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式. （三）最值

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

高考真题导数第一问分类汇总

切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++，()ln g x x =-．当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a 、b 的值； 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 5已知函数f(x)＝e x －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. 求a 的值及函数f(x)的极值； 6设函数，曲线在点处的切线方程为， 7已知函数．求曲线在点处的切线方程； 8设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．求a ，b ，c ，d 的值； ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f

单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．求)(x f 的解析式及单调区间； 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性； 4 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2．求)(x f 的单调区间； 5已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； 6设，已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．求的单调区间； 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在的解，附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条件12】“对任意 B．必要而不充分条件，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（）．既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选所述，“ 对任意B．，

【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意；当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝，令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0，， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在处取得极小值，要使 f ( x ) 有唯一的零点，需，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意；当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0，，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在处取得极小值，要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当时，不等式恒成立，则实数 a 的取值范围是（）

近五年高考试题分类汇编-导数部分(附答案解析)

2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x

13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .

精编导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1 处的切线方程为（） x 2 （A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y 2x2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选A.因为y 2 2，所以，在点 1,1 处的切线斜率 2) (x 2 22 ，所以，切线方程为 y1 2(x 1) ，即 y2x1 ，故选A. ky x1 (12) 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为y 1x3 81x 234，则使该生产厂 3 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11 万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9 时y' 0；

当x9时y'0，故当x 9时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x 2,y= x 3围成的封闭图形面积为（）（A）1 (B) 1 (C) 1 (D) 7 12 4 3 12 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx= 1 1 1 0 1- 1= 故选A. 3 4 12 4 4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y= x 上，为曲线在点 e 1 P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（） (A)[0, )(B)[ , )( ,3 ](D)[ 3 ,) 4 4 2 2 4 4 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。【规范解答】选 D. 5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4） 4 1 dx等于（）2x A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算. 【思路点拨】记住1 的原函数. x 1 4 【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 2 x 【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

高考文科数学专题复习导数训练题(汇编)

高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）