2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程

2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程

1．直线?????x ＝1＋tsin70°，

y ＝2＋tcos70°

(t 为参数)的倾斜角为( )

A ．70°

B ．20°

C ．160°

D ．110°

答案 B

解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式：

?

??

??x ＝1＋tcos20°，

y ＝2＋tsin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B. 方法二：tan α＝cos70°sin70°＝sin20°cos20°

＝tan20°，∴α＝20°.

另外，本题中直线方程若改为?????x ＝1－tsin70°

y ＝2＋tcos70°

，则倾斜角为160°.

2．若直线的参数方程为?

????x ＝1＋2t ，

y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )

A.2

3 B ．－23

C.32 D ．－32

答案 D

3．参数方程?

????x ＝－3＋2cos θ，

y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案 A

解析 参数方程?????x ＝－3＋2cos θ，

y ＝4＋2sin θ

(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，

这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.

4．(2018·皖南八校联考)若直线l ：?????x ＝2t ，

y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：?

??x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)

相切，则实数m 为( )

A ．－4或6

B ．－6或4

C ．－1或9

D ．－9或1

答案 A

解析 由?????x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由?

????x ＝5cos θ，

y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲

线C ：x 2＋(y －m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋1

＝5，解得m ＝－4或m ＝6.

5．(2014·安徽，理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是?

????x ＝t ＋1，

y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极

坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2

答案 D

解析 由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2

r 2－d 2＝2 2.

6．(2017·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?

????x ＝t ，

y ＝4＋t (t 为参数)．以

原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin (θ＋π

4)，则直线l 和曲线C 的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个

答案 B

解析 直线l ：?

????x ＝t ，

y ＝4＋t (t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；

曲线C ：ρ＝42sin (θ＋π

4)化成普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，

∴圆心C(2，2)到直线l 的距离为d ＝|2－2＋4|

2＝22＝r.

∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B.

7．在直角坐标系中，已知直线l ：?????x ＝1＋s ，y ＝2－s (s 为参数)与曲线C ：?

????x ＝t ＋3，

y ＝t 2

(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案

2

解析 曲线C 可化为y ＝(x －3)2

，将?????x ＝1＋s ，

y ＝2－s

代入y ＝(x －3)2，化简解得s 1＝1，s 2＝2，

所以|AB|＝

12＋12|s 1－s 2|＝ 2.

8．(2017·人大附中模拟)已知直线l 的参数方程为???x ＝2－t

y ＝1＋3t

(t 为参数)，圆C 的极坐标方程

为ρ＋2sin θ＝0，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________． 答案 (

32，－12

) 解析 由已知得，直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋1＋23，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，在圆C 上任取一点P(cos α，－1＋sin α)(α∈[0，2π))，则点P 到直线l 的距离为d ＝|3cos α＋sin α－2－23|1＋3＝|2sin （α＋π3）－2－23|2＝2＋23－2sin （α＋π

3

）2.∴当α＝

π6

时，d min ＝3，此时P(

32，－12

)． 9．(2018·衡水中学调研)已知直线l 的参数方程为?

????x ＝－2＋tcos α，

y ＝tsin α(t 为参数)，以坐标原点

为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ. (1)求曲线C 的参数方程；

(2)当α＝π

4

时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．

答案 (1)???x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ

(φ为参数) (2)(2，π

2)，(2，π)

解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ， 可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ.

所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.

曲线C 的参数方程为?????x ＝－1＋2cos φ，

y ＝1＋2sin φ

(φ为参数)．

(2)当α＝π

4时，直线l 的方程为???x ＝－2＋2

2t ，y ＝2

2t ，

化为普通方程为y ＝x ＋2.

由?????x 2＋y 2

＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得?????x ＝0，y ＝2或?

????x ＝－2，y ＝0. 所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π

2

)，(2，π)．

10．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

(2)直线l 的参数方程是?

????x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的

斜率．

答案 (1)ρ2＋12ρcos θ＋11＝0 (2)

153或－15

3

解析 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．

设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2

＝

144cos 2α－44.

由|AB|＝10得cos 2α＝38，tan α＝±15

3.

所以l 的斜率为

153或－153

. 11．(2017·江苏，理)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为????

?x ＝－8＋t ，y ＝t

2

(t 为参数)，曲线C 的参数方程为???x ＝2s 2

，

y ＝22s

(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线

l 的距离的最小值． 答案

45

5

解析 直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P(2s 2，22s)， 从而点P 到直线l 的距离d ＝

|2s 2－42s ＋8|

12＋（－2）

2＝2（s －2）2＋45.

当s ＝2时，s min ＝

45

5

. 因此当点P 的坐标为(4，4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值为45

5

.

12．(2018·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方

程为?????x ＝3＋tcos α，

y ＝tsin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：??

???x ＝1

cos θ，y ＝tan θ

(θ为参数)相交于不同的两点A ，B.

(1)若α＝π

3，求线段AB 的中点的直角坐标；

(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P(3，0)，求 |PA|·|PB|的值．

答案 (1)(92，332) (2)40

3

解析 (1)由曲线C ：??

?x ＝1cos θ

，y ＝tan θ

(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.

当α＝π

3

时，直线l 的参数方程为

???x ＝3＋12

t ，

y ＝32t

(t 为参数)，

代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝6，

所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 2

2＝3，

故线段AB 的中点的直角坐标为(92，33

2

)．

(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6tcos α＋8＝0， 则|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝|8

cos 2α－sin 2α|

＝|8（1＋tan 2α）1－tan 2α

|，

由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝

40

3

. 13．(2018·东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是

???x ＝1－255t ，

y ＝1＋5

5

t (t 为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；

(2)若曲线C 2的参数方程为?

????x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，曲线C 1上的点P 的极角为π4，Q 为曲

线C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值． 答案 (1)x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋2y －3＝0 (2)10

5

解析 (1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，

又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 由直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0. (2)因为点P 的极坐标为(22，π

4)，直角坐标为(2，2)，

点Q 的直角坐标为(2cos α，sin α)， 所以M(1＋cos α，1＋1

2

sin α)，

点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5

＝10

5|sin (α＋π4)|，

当α＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，即α＝π4＋kπ(k ∈Z )时，点M 到直线l 的距离d 的最大值为10

5

.

14．(2018·天星大联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为???x ＝t ，

y ＝－1＋22t

(t 为

参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos (θ

＋π

4)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)若P(0，－1)，求|PA|＋|PB|；

(2)若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求△MAB 的面积的最大值． 答案 (1)2103 (2)105

9

解析 (1)ρ＝22cos (θ＋π4)可化为ρ＝2cos θ－2sin θ，将?

????x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ

代入，得曲线C 的直角

坐标方程为(x －1)2

＋(y ＋1)2

＝2.将直线l 的参数方程化为???x ＝1

3t ，

y ＝－1＋22

3t

(t 为参数)，代入(x

－1)2＋(y ＋1)2＝2，得t 2－23t －1＝0，设方程的解为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2

3，t 1t 2＝－1，

因而|PA|＋|PB|＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2| ＝

（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝210

3

.

(2)将直线l 的参数方程化为普通方程为22x －y －1＝0，设M(1＋2cos θ，－1＋2sin θ)， 由点到直线的距离公式，得M 到直线AB 的距离为

d ＝|22（1＋2cos θ）＋1－2sin θ－1|3＝|22＋4cos θ－2sin θ|3

，

最大值为523，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝2103，因而△MAB 面积的最大值为12×523×

210

3＝105

9

.

1．(2018·山西5月联考改编)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为??

?x ＝2＋tcos φ，

y ＝3＋tsin φ

(t 为参数，φ∈[0，π

3])，直线l 与⊙C ：x 2＋y 2－2x －23y ＝0交于M ，N 两点，当φ变化

时，求弦长|MN|的取值范围． 答案 [13，4]

解析 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得， (2＋tcos φ)2＋(3＋tsin φ)2－2(2＋tcos φ)－23(3＋tsin φ)＝0，

整理得，t 2＋2tcos φ－3＝0，

设M ，N 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos φ，t 1·t 2＝－3， ∴|MN|＝|t 1－t 2|＝

（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝

4cos 2φ＋12，

∵φ∈[0，π3]，∴cos φ∈[1

2

，1]，∴|MN|∈[13，4]．

2．(2018·陕西省西安地区高三八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；

(2)在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：???x ＝3t ＋3，

y ＝－3t ＋2，

(t 为参数，t ∈R )的距离最短，并求

出点D 的直角坐标．

答案 (1)x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1) (2)(

32，32

) 解析 (1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. 因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，

所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0(或x 2＋(y －1)2＝1)．

(2)因为直线l 的参数方程为?

????x ＝3t ＋3，

y ＝－3t ＋2，(t 为参数，t ∈R )，消去t 得直线l 的普通方程为

y ＝－3x ＋5.

因为曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x 0，y 0)，且点D 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行，

即直线CD 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1

x 0×(－3)＝－1.①

因为x 02＋(y 0－1)2＝1，② 由①②解得x 0＝－

32或x 0＝32

， 所以点D 的直角坐标为(－

32，12)或(32，3

2

)． 由于点D 到直线y ＝－3x ＋5的距离最短，所以点D 的直角坐标为(

32，3

2

)．

3．(2014·课标全国Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 2

9＝1，直线l ：?

????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．

(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA|的最大值与最小值．

思路 (1)利用椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>0，b>0)的参数方程为?

????x ＝acos θ，y ＝bsin θ

(θ为参数)，写出曲线C

的参数方程．消去直线l 的参数方程中的参数t 可得直线l 的普通方程． (2)设出点P 的坐标的参数形式．求出点P 到直线l 的距离d ，则|PA|＝d

sin30°

.转化为求关于θ的三角函数的最值问题，利用辅助角公式asin θ＋bcos θ＝

a 2＋

b 2sin (θ＋φ)求解．

答案 (1)C ：?

????x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数)，l ：2x ＋y －6＝0

(2)|PA|max ＝

2255，|PA|min ＝25

5

解析 (1)曲线C 的参数方程为?

????x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ(θ为参数)．

直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.

(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝5

5

|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA|＝

d sin30°

＝255|5sin (θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4

3.

当sin (θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为225

5.

当sin (θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为25

5

.

4．(2015·福建)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为?

????x ＝1＋3cost ，

y ＝－2＋3sint (t 为参数)．在

极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin (θ－π

4)＝m(m ∈R )．

(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 答案 (1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，x －y ＋m ＝0 (2)m ＝－3±2 2

解析 (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin(θ－π

4)＝m ，得

ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.

所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－（－2）＋m|2

＝2，解得m ＝－3±2 2.

5．已知曲线C 1：?????x ＝－4＋cos α，y ＝3＋sin α(α为参数)，C 2：?

???

?x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．

(1)分别求出曲线C 1，C 2的普通方程；

(2)若C 1上的点P 对应的参数为α＝π

2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：

?????x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t

(t 为参数)距离的最小值及此时Q 点坐标．

答案 (1)C 1：(x ＋4)2

＋(y －3)2

＝1 C 2：x 264＋y 29＝1 (2)855，(325，－9

5

)

解析 (1)由曲线C 1：?

????x ＝－4＋cos α，

y ＝3＋sin α(α为参数)，得(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，

它表示一个以(－4，3)为圆心，以1为半径的圆；

由C 2：?????x ＝8cos θ，y ＝3sin θ

(θ为参数)，得x 264＋y 2

9

＝1，

它表示一个中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆． (2)当α＝π

2时，P 点的坐标为(－4，4)，设Q 点坐标为(8cos θ，3sin θ)，PQ 的中点M(－2＋

4cos θ，2＋3

2

sin θ)．

∵C 3：?

????x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t ，∴C 3的普通方程为x －2y －7＝0，

∴d ＝|－2＋4cos θ－4－3sin θ－7|

5

＝|4cos θ－3sin θ－13|5＝|5sin （θ＋φ）－13|5

，

∴当sin θ＝－35，cos θ＝45时，d 的最小值为85

5，

∴Q 点坐标为(325，－9

5

)．

(第二次作业)

1．(2018·衡水中学调研卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：???x ＝2cos φ，

y ＝sin φ

(φ为参数)，

曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B(均异于原点O)． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；

(2)当0<α<π

2时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．

答案 (1)ρ2＝2

1＋sin 2θ

，ρ＝2sin θ (2)(2，5)

解析 (1)∵?????x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 22

＋y 2

＝1，

由?????x ＝ρcos θy ＝ρsin θ

得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝2

1＋sin 2θ. ∵x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝21＋sin 2α

，|OB|2＝ρ2＝4sin 2

α， ∴|OA|2＋|OB|2＝

21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2α

＋4(1＋sin 2α)－4， ∵0<α<π2，∴1<1＋sin 2α<2，∴6<2

1＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9， ∴|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．

2．(2018·皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?

??

??x ＝a ＋acos β，y ＝asin β(a>0，β为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ－π3)＝3

2

.

(1)若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值；

(2)A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π

3

，求△OAB 面积的最大值．

答案 (1)a ＝1 (2)33a 2

4

解析 (1)由题意知，曲线C 是以(a ，0)为圆心，以a 为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.

由直线l 与圆C 只有一个公共点，可得|a －3|

2＝a ，

解得a ＝1，a ＝－3(舍)．所以a ＝1.

(2)曲线C 是以(a ，0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB|

sin π

3＝2a ，所

以|AB|＝3a.

又|AB|2＝3a 2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|·cos π

3≥|OA|·|OB|，

所以S △OAB ＝12|OA|·|OB|sin π3≤12×3a 2

×32＝33a 24，

所以△OAB 面积的最大值为33a 2

4

.

3．(2018·福建质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?

????x ＝2＋2cost ，

y ＝2sint (t 为参数)．在

以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：θ＝π

6

(ρ>0)，A(2，0)． (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；

(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△APQ 的面积． 答案 (1)ρ＝4cos θ (2)3－1

2

解析 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， 所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.

(2)方法一：依题意，设点P ，Q 的极坐标分别为(ρ1，π6)，(ρ2，π

6)．

将θ＝π

6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23，

将θ＝π

6

代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，

所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝23－1，

点A(2，0)到曲线θ＝π6(ρ>0)的距离d ＝|OA|sin π

6＝1.

所以S △APQ ＝12|PQ|·d ＝1

2×(23－1)×1＝23－12

.

方法二：依题意，设点P ，Q 的极坐标分别为(ρ1，π6)，(ρ2，π

6)．

将θ＝π

6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23，得|OP|＝23，

将θ＝π

6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，即|OQ|＝1.

因为A(2，0)，所以∠POA ＝π

6，

所以S △APQ ＝S △OPA －S △OQA ＝1

2|OA|·|OP|·sin π6－12|OA|·|OQ|·sin π6 ＝12×2×23×12－12×2×1×12 ＝3－12

.

4．(2018·河北保定模拟)在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的1

2，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐

标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2. (1)求曲线C 2的参数方程；

(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．

答案 (1)?????x ＝2cos θy ＝sin θ

(θ为参数) (2)y ＝1

4x

解析 (1)由ρ＝2，得ρ2＝4，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.

由题可得曲线C 2的方程为x 24

＋y 2

＝1.

所以曲线C 2的参数方程为?????x ＝2cos θ

y ＝sin θ

(θ为参数)．

(2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A(2cos θ，sin θ)， 则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45(25cos θ＋1

5

sin θ)＝45sin (θ＋φ)， 其中cos φ＝

15，sin φ＝2

5

. 所以当θ＋φ＝2k π＋π

2(k ∈Z )时，l 取得最大值，最大值为4 5.

此时θ＝2k π＋π

2－φ(k ∈Z )，

所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15

， 此时A(455，5

5

)．

所以直线l 1的普通方程为y ＝1

4

x.

5．(2018·湖北鄂南高中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为??

?x ＝3－22t ，

y ＝5＋2

2

t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝25sin θ. (1)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

(2)设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P 的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 答案 (1)y ＝－x ＋3＋5，x 2＋(y －5)2＝5 (2)3 2

解析 (1)由直线l 的参数方程???x ＝3－22t ，

y ＝5＋2

2

t (t 为参数)得直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋

5.

由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －5)2＝5.

(2)通解：由?????x 2＋（y －5）2

＝5，

y ＝－x ＋3＋5

得x 2－3x ＋2＝0，

解得?????x ＝1，y ＝2＋5或?????x ＝2，y ＝1＋ 5.

不妨设A(1，2＋5)，B(2，1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)． 故|PA|＋|PB|＝8＋2＝3 2.

优解：将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t)2＋(2

2

t)2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.

由于Δ＝(32)2

－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两个实根，所以?????t 1＋t 2＝32，

t 1t 2＝4.

又直线l 过点P(3，5)，

故|PA|＋|PB|＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.

6．(2017·江西南昌一模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为

??

?x ＝a ＋2t ，

y ＝1＋2t

(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.

(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；

(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a 的值． 答案 (1)x －y －a ＋1＝0，y 2＝4x (2)136或9

4

解析 (1)∵曲线C 1的参数方程为?

????x ＝a ＋2t ，

y ＝1＋2t ，

∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0.

∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，

∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x.

(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1

，t 2

，由????

?y 2＝4x ，

x ＝a ＋

2t ，y ＝1＋

2t ，

得2t 2－22t ＋1－4a ＝0.

Δ＝(2

2)2

－4×2(1－4a)>0，即a>0，由根与系数的关系得???t 1

＋t 2

＝2，

t 1·t 2

＝1－4a 2.

根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t 1|，|PB|＝2|t 2|， 又|PA|＝2|PB|可得2|t 1|＝2×2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.

∴当t 1

＝2t 2

时，有???t 1

＋t 2

＝3t 2

＝2，t 1·t 2

＝2t 22

＝1－4a 2

，解得a ＝1

36

>0，符合题意． 当t 1

＝－2t 2

时，有???t 1

＋t 2

＝－t 2

＝2，t 1·t 2

＝－2t 2

2＝1－4a 2

，解得a ＝9

4

>0，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136或9

4.

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=

∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

2019年高考数学模拟试题含答案

2019年高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ． 12 B ． 13 C ． 16 D ． 112 3．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14 - B ． 14 C ．23 - D ． 23 4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张 卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 6．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ． 54 钱 B ． 43 钱 C ． 32 钱 D ． 53 钱 8．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2) 9．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 10．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α，m n ⊥，则n α⊥；

2019年高考数学总复习：四种命题的真假

2019年高考总复习：命题的真假 1．下列命题中是假命题的是( ) A ．?x ∈R ，log 2x ＝0 B ．?x ∈R ，cosx ＝1 C ．?x ∈R ，x 2>0 D ．?x ∈R ，2x >0 答案 C 解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以A 、B 项均为真命题，02＝0，C 项为假命题，2x >0，选项D 为真命题． 2．(2018·广东梅州联考)已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)≥0，则非p 是( ) A ．?x 1，x 2?R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 B ．?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 C ．?x 1，x 2?R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 D ．?x 1，x 2∈R ，[f(x 1)－f(x 2)](x 1－x 2)<0 答案 B 解析 根据全称命题否定的规则“改量词，否结论”，可知选B. 3．已知命题p ：若x>y ，则－x<－y ；命题q ：若x>y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(非q)；④(非p)∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 答案 C 解析 若x>y ，则－x<－y 成立，即命题p 正确；若x>y ，则x 2>y 2不一定成立，即命题q 不正确；则非p 是假命题，非q 为真命题，故p ∨q 与p ∧(非q)是真命题，故选C. 4．(2018·浙江临安一中模拟)命题“?x 0∈R ，2x 0<12或x 02>x 0”的否定是( ) A ．?x 0∈R ，2x 0≥1 2或x 02≤x 0 B ．?x ∈R ，2x ≥1 2或x 2≤x C ．?x ∈R ，2x ≥1 2且x 2≤x D ．?x 0∈R ，2x 0≥1 2且x 02≤x 0 答案 C 解析 特称命题的否定是全称命题，注意“或”的否定为“且”，故选C. 5．已知集合A ＝{y|y ＝x 2＋2}，集合B ＝{x|y ＝lg x －3}，则下列命题中真命题的个数是( ) ①?m ∈A ，m ?B ；②?m ∈B ，m ?A ；③?m ∈A ，m ∈B ；④?m ∈B ，m ∈A. A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

2019年常德市数学高考模拟试卷及答案

2019年常德市数学高考模拟试卷及答案 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．如图，点是抛物线 的焦点，点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动，且 总是平行于轴，则 周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 3．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．100 4．函数()1 ln 1y x x = -+的图象大致为( ) A ． B ． C ． D ． 5．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -等于（ ） A 7B 10 C 13 D ．4 6．若θ是ABC ?的一个内角，且1 sin θcos θ8 ，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3 B 3C ．5- D 5 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π = 对称的函数是（ ）

A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ??? D ．2sin 23y x π? ?=- ?? ? 8．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 9．5 22x x ??+ ?? ?的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 10．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4 π α+的值等于（ ） A ． 1318 B ． 3 22 C ． 1322 D ． 318 11．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 12．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 二、填空题 13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2 21y ax a x =+++相切,则 a= ． 14．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120?，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____． 15．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 16．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．

极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

2019年高考数学模拟试题含答案

F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?=

A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是

2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程

2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程 x = 1 + tsin70 ° , 1.直线 o （t 为参数）的倾斜角为（ ） y = 2 + tcos70 A . 70° B . 20° C . 160° D . 110 答案 B 解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式： x = 1 + tcos20°, y = 2 + tsin20 ° （t 为参数），则倾斜角为20°，故选B. x = 1 — tsi n70 ° 另外，本题中直线方程若改为 ，则倾斜角为160 ° . y = 2 + tcos70 ° x = 1 + 2t , 2 .若直线的参数方程为 （t 为参数），则直线的斜率为（ ） y = 2— 3t 答案 D x = — 3 + 2cos 0, 3?参数方程 （0为参数）表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为 （ ） y = 4+ 2si n 0 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 答案 A x = — 3+ 2cos 0, 解析 参数方程 （伪参数）表示的曲线的普通方程为（x + 3）2 + （y — 4）2= 4, y = 4+ 2sin 0 这是圆心为（一3, 4）,半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为 1. 4. （2018皖南八校联考）若直线 l : x = 2t , （t 为参数）与曲线C : y = 1 — 4t x = '. 5cos 0, （0为参数） y = m+ . 5sin 0 相切，则实数m 为（ ） A . — 4 或 6 B . — 6 或 4 方法 tan a = cos70° sin 70° = sin20 ° =tan 20°,「.a = 20° 代3 3

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．

2019年高考文科数学模拟试题精编(文)

高考文科数学模拟试题精编(一) (考试用时：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设全集Q ＝{x |2x 2－5x ?0，x ∈N}，且P ?Q ，则满足条件的集合P 的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 2．若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1 z ＝( ) A ．i B ．－i C ．2i D ．－2i 3．已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．95 4．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( )

A.34 B.23 C.12 D.1 3 5．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图的是( ) 6．已知p ：a ＝±1，q ：函数f (x )＝ln(x ＋a 2＋x 2)为奇函数，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x ，则f (1)＋f (4)等于( ) A.3 2 B ．－3 2 C ．－1 D ．1 8．我们可以用随机数法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为( ) A ．3.119 B ．3.124

极坐标与参数方程测试题(有详解答案)

极坐标与参数方程测试题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 222t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121t y t x （t 为参数） D 、???+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ?-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A 、??? ?? -3,5π B 、??? ?? 34,5π C 、??? ?? -32,5π D 、?? ? ?? --35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点()3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、??? ?? 3,2π B 、??? ?? 34,2π C 、??? ?? -3,2π D 、?? ? ?? -34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+???=?为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 8.()124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）

（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

2019年高考数学模拟试题(含答案)

2019年高考数学模拟试题(含答案) 一、选择题 1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 2．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他

十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 9．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 10．在[0,2]π内，不等式3 sin 2 x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33 ππ?? ??? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 11．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4 π- 12． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D 3二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在ABC 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于1[0,]2 的概率为 ． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 18．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则 ACB =∠______________. 19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

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1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为12232 x t y t ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝ 6 π ，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y α α =+??=-+?（α为参数）， 点Q 的极坐标为7(22,)4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

2019年高考模拟试卷文科数学(一) 学生版

2019年高考考前冲刺模拟试卷 绝密 ★ 启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文 科 数 学（一） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1 {|24}4 x A x =≤≤ ，{|B x y ==，则A B =（ ） A ．}2{ B ．}0{ C ．[2,2]- D ．[0,2] 2．若复数z 满足(1)12z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知圆2 2 :1O x y +=，直线:0l x y m ++=，若圆O 上总存在到直线l 的距离为1的点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(,[22,)-∞-+∞ B ．[- C ．(,1][1,)-∞-+∞ D ．[1,1]- 4．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺， 则该女子织布每天增加（ ） A ． 7 4 尺 B ． 29 16尺 C ． 15 8尺 D ． 31 16尺 5．已知直线x y =与双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 无公共点，则双曲线离心率的取值范围 为（ ） A ．)+∞ B ．(1 C ．(-∞ D ．]3,2[ 6．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的 半径为3，则制作该手工表面积为（ ） A ．π5 B ．π01 C ．π512+ D ．2412π+ 7．在ABC ?中，2=?ABC S ，5AB =，1AC =，则BC =（ ） A ．52 B ．32 C ．32或34 D ．52或24 8．从某中学抽取100名学生进行阅读调查，发现每年读短篇文章量都在50篇至350篇之间，频率 分布直方图如图所示，则对这100名学生的阅读量判断正确的为（ ） A ．a 的值为0.004 B ．平均数约为200 C ．中位数大约为183.3 D ．众数约为350 9．已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且12||||PF PF λ=， 若λ的最小值为 2 1 ，则椭圆的离心率为（ ） A ． 21 B ． 2 2 C ． 3 1 D ． 3 5 10．已知） ，（2 0π α∈，则21tan tan 2tan α αα-+取得最小值时α的值为（ ） 此 卷只 装 订不 密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

2021年极坐标与参数方程含答案经典39题整理版

*欧阳光明*创编 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 高考极坐标参数方程(经典 39题) 1． 欧阳光明（2021.03.07） 2．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的 圆C 与直线:()3 l R π θρ=∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3 tan 4 α=）作平行于()4 R π θρ=∈的直 线l ，且l 与曲线L 辨别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐 标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 ,3(π，曲线C 的方程 为)4 sin(22 π θρ+ =； 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求 ||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为)4 cos( 2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最 小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

()为参数t t y t a x ,3? ? ?=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3 π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点 O ，已知圆C 的 圆心坐标为 ) 4,2(C π ，半径为2，直线l 的极坐标方程为 22 )4sin(= θ+πρ. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线?? ?==αα sin cos 4y x （α为参数） 上的每一点纵坐标不变，横坐标变成原来的一半， 然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍获得曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线 2C 的方程为θ ρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ??? ?=+-=. 21, 23 3t y t x （t 为

2019年高考数学模拟试题及答案

2019年高考数学模拟试题及答案 一、选择题 1．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 2．若满足 sin cos cos A B C a b c ==，则ABC ?为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30的等腰三角形 3．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 4．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是 ，若 0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形但不是等边三角形. 5．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( )