教学设计:函数图像的变换
课题函数图形的变换
教材普通高中课程标准试验教材人教(A版)必修1教法参与式教学
一、教材内容分析
函数图像变换,是画复杂函数的基础,为研究数量关系提供了“形”的直观性。以形辅数,即借助形的几何直观性、形象性来揭示书之间的某种关系,用形作为探求解题途径,获得问题结果的重要工具;以数解形,即借助输的精确性、深刻性阐明形某些属性。而数形结合思想方法是高考考查的重点,因此通过本节课的教学,培养学生在作图、画图、用图上的熟练程度和准确性,感受函数图像变换的运动美,体验数学的博大与精深。
二、学情分析
对本节课有利的方面:
1、学生已经形成合作探究小组,有共同探究解决问题的习惯;
2、本节内容是对高一内容的重新复习和巩固,学生已经有了一定的基础,有了一定的归纳总结的能力;
3、通过高一、高二的学习,对于数形结合思想应该有了深刻的了解。
对本节课不利的方面:
1、学生在高一时对于函数图形的变换的学习比较含糊,大多数学生对于图像的平移和翻折的内容存在很大的盲区,这也是为什么本节课需要重新讲解的原因;
2、画图规范性需要强调。
三、教法分析
本节课采取探究教学法,借助多媒体教学辅助手段,探究图像的平移与翻折,并通过讲练结合巩固所学知识。
四、学法分析
1、动手操作,探究新知;
2、归纳总结,完备知识体系;
3、注重作图规范。
五、教学目标
1、知识目标:熟练掌握基本函数的图像的平移与翻折;能正确地从函数图像特征去讨论函数的主要性质;能够正确运用数形结合的思想方法解题。
2、能力目标:培养学生的时间能力和分析问题、解决问题的能力,归纳总结能力、逻辑思维能力。
3、情感目标:①数形结合思想的渗透;
②培养学生“由简单到复杂、由特殊到一般”的化归思想和辩证思想;
③培养学生的探究能力和协作学习的能力,从而提高学习数学的兴趣。六、教学重难点
重点:图像的平移变换、对称变换,学习如何将一个复杂问题分解成若干简单问题的方法;难点:(1)在观察图像变换中发现规律,并能用自己的语言来表达;
(2)变换的不同顺序对图像的影响。
七、教学过程设计
教学环节教学内容师生活动设计意图
情景设置展示生活实际中部分对称图片
的。
师:在生活中,我
们经常会见到一些
对称的图形,它们
造型完美,但是实
际上这些图形都可
以用数学的知识解
释,所以今天我们
就来一起重新学
习、巩固图像的变
换。
激发学生对规则图形
性质研究的兴趣
温固引新复习图像的平移变换规律
问题一:
1、如何由函数x
y3
=的图像
得到x
y)
(
3
1
3?
=的图像?
2、如何由函数
3
4
2+
-
=x
x
y的图像得到函
数|
|3
4
2+
-
=x
x
y的图像?
师:当图像进行左
右平移时的口诀是
怎样的?
生:左加右减。
师:那么如果是上
下平移呢?
生:上加下减。
让学生复习平移规律,
既熟悉了图像的相关
性质,又可以为后面的
学习做铺垫,方便后面
的小组探究。
)
(x
f
y=)
(a
x
f
y+
=
?
?
?个单位
向左平移a
a0
>
个单位
向右平移|a|
<
a
)
(x
f
y=k
x
f
y+
=)
(
?
?
?个单位
向上平移k
k0
>
个单位
向下平移|k|
<
k
问
题探
究一在同一直角坐标系中做出函数
x
y2
=和函数x
y-
=2的图像,
并找出规律。
师:现在大家四人
一组,共同快速做
出图像,注意作图
规范性,并找出两
个函数图像的规
律。
生:图像关于y轴
对称。
师:非常好,那么
大家能够总结出关
于y轴对称的函数
上的点有怎样的特
点吗?
生:(x,y)换成(-x,y)
师:现在大家把函
数x
y-
=2分别换
成x
y2
-
=和
x
y-
-
=2,再来观
察有怎样的特点?
生:分别关于x轴
和原点对称。
师:那么点的坐标
呢?
生:关于x轴对称:
(x,y)换成(x,-y);
关于原点对称:
(x,y)换成(-x,-y).
学生自己通过作图、讨
论,不仅增加了彼此间
的合作精神,而且可以
更加深刻的理解图像
对称变换的规律。
适应练习一1、2x
y=与2x
y-
=的图像关
于对称;
2、1
2+
=x
x
f)
(与x
x
g-
=12
)
(
的图像关于对称;
3、如何由函数x
y3
=的图像得
到x
y)
(
3
1
3?
=的图像?
师:大家根据刚才
总结的规律,小组
完成。
生:第一题关于x
轴对称,第二题关
于y轴对称。
师:第三题大家有
几种做法呢?
生1:x
y3
=向左
移一个单位,然后
关于y轴对称。
生2:x
y3
=关于y
轴对称,然后右移
一个单位。
师:非常好,这里
一定要注意当自变
量的系数为负时,
注意平移变换的方
向。
通过讨论和题目的跟
踪训练,让学生对所学
内容及时进行巩固加
深。
问
题探
究二画出函数|x|
log
2
=
y和
|
log
|x
y
2
=的图像,并指出它
们与x
y
2
log
=的图像之间有
什么联系?
师:大家还是按照
刚才的分组,小组
作图,找出规律。
生:|x|
log
2
=
y
是把x
y
2
log
=的
图像以y轴为对称
轴进行翻折得到
的,而|
log
|x
y
2
=
是保留x
y
2
log
=
在x轴上方的图
像,然后把x轴下
方的图像以x轴为
对称轴进行翻折。
翻折变换相对于平移
变换复杂,而且是学生
平时训练和高考易错
的点,由学生合作得到
的结论记忆更加深刻,
并且通过作图,学生可
以不必死记硬背、理解
记忆。
适应练习二分别作出函数
|
|3
4
2+
-
=x
x
y与函数
3
4
2+
-
=|
|x
x
y的图像。
有学生小组先做
图,而后由教师多
媒体展示作图结
果。
注意|)
(
|x
f
y=与
|)
(|x
f
y=的区别。
函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象教学设计 教学目标 1.知识与技能 (1)结合物理中的简谐振动,了解()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的实际意义; (2)用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象, 并借助图形计算器 动态演示三角函数图象,研究参数?ω,,A 对函数图象变化的影响,让学 生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律. (3)考察参数A 、?、ω对()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象影响的过程中认识 到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的联系. 2.过程与方法 (1)经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象变换探究的过程,培养学生 的数学发现能力和概括总结能力. (2)让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用,体验各种变换的内在联系, 提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力. (3)在研究各种变换的过程中,让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归 思想,渗透数形结合的思想. 3.情感、态度、价值观 (1)通过三角函数图象各种变换的探求,培养学生的探索能力、钻研精神和科学 态度. (2)通过合作学习,探求三角函数图象各种变换,培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点 教学重点:函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象以及参数?ω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象之间的变换关系. 教学难点:函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变
函数图像与变换 教学目标:掌握常见函数图像及其性质(高考要求B ),熟悉常见的函数图像(平移、对称、翻折)变换(高考要求B ). 教学重难点:掌握常见函数图像及其性质,会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。 教学过程: 一.知识要点: 1.常见函数图像及其性质: (1)平移变换: ①y =f (x ) →y =f (x ±a )(a >0)图象 横向 平移a 个单位,(左+右—). ②y =f (x ) →y =f (x )±b (b >0)图象 纵向 平移b 个单位,(上+下—) ③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象; ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. (2)对称变换: ①y =f (x ) →y =f (-x )图象关于 y 轴 对称; 若f (-x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =-f (x )图象关于x 轴 对称. ③y =f (x ) →y =-f (-x )图象关于原点 对称; 若f (-x )=-f (x ),则函数自身的图象关于原点对称. ④y =f (x ) →y =f -1(x )图象关于直线y =x 对称. ⑤y =f (x ) →y =-f -1(-x )图象关于直线y =-x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a -x )图象关于直线x =a 对称; ⑦y =f (x ) →y =2b -f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b -f (2a -x )图象关于点(a ,b ) 对称. 若f (x )=f (2a -x )(或f (a +x )=f (a -x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称. 若函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-= (3)翻折变换主要有 ①y =f (x ) →y =f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y =f (x )的图象相同,在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同,其他部分图象为y =f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习: 1.若把函数f (x )的图象作平移变换,使图象上的点P (1,0)变换成点Q (2,-1), 则函数y =f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A ) A.y =f (x -1)-1 B.y =f (x +1)-1 C.y =f (x -1)+1 D.y =f (x +1)+1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3,则下列函数所对应的图象中,不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (-x ) D.y =-f (x ) 解: y =f (|x |)是偶函数,图象关于y 轴对称. 图2—3
三角函数的图像与性质
π??
据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2)); (3)换元法:把sin x 或cos x 看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2)). 以题试法 1. (1)函数y = 2+log 1 2 x +tan x 的定义域为________. (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )=3sin ? ????2x -π6在区间??????0,π2上的值域为( ) A.??????-32,32 B.??????-32,3 C.??????-332,332 D.???? ??-332,3 解析:(1)要使函数有意义 则????? 2+log 1 2 x ≥0, x >0,tan x ≥0, x ≠k π+π2 ,k ∈Z ?? ???? 0 电教优质课教案 《三角函数图象》 舞钢市第二高级中学 李培林 《三角函数图象》教案 舞钢市第二高级中学 李培林 一、教材分析: 1、地位与作用 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书〃数学必修4》(人教A 版)第一章第5节内容,是高一年级课程,三角函数的图象既是函数图象知识的延伸,也是物理简谐波和交流电的图象,还是自然界的生命线,广泛应用于医学领域的心电图,脑电图,多普勒,核磁共振等。同时三角函数的图象对于研究三角函数的性质起到了非常重要的作用,是历年来高考的热点和重点。 2、知识与技能 掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ω?= +的图象的变换原理, 理解振幅变换、周期变换和平移变换,区分先周期后平移,先平移后周期两种变换的联系与区别,灵活应用三种变换解答三角函数的图象问题。 二、学情分析 对高一的学生来说,已经学习了函数图象的平移、伸缩、对称和翻折四种变换,有一定观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习自主性和主动性,带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 三、设计思想: 本节课采用自主学习的课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以问题为导向设计教学情境,以“三角函数的图象”为基本探究内容,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。 四、教学目标: A.课堂目标 1、理解三角函数“几何”作图法 2、掌握三角函数“五点”作图法 3、掌握三角函数图像变换原理与方法 4、能用三种变换解答三角函数的图象问题 B.过程与方法 让学生从已有的知识出发,通过学生自主探索、合作交流,亲身体验数学规律的发现,由特殊到一般归纳出数学规律,并用规律解决数学问题,让学生掌握数形结合的思想方法。 C.情感态度与价值观 培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质,增强学习的成功心理,激发学习数学的兴趣,培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养创造性思维的能力。 ★三角函数图像变换小结★ 相位变换: ①()sin sin()0y x y x ??=→=+> 将sin y x =图像沿x 轴向左平移?个单位 ②()sin sin()0y x y x ??=→=+< 将sin y x =图像沿x 轴向右平移?个单位 周期变换: ①sin sin (01)y x y wx w =→=<< 将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 w 1倍 ②sin sin (1)y x y wx w =→=>将sin y x =图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 w 1倍 振幅变换: ①()sin sin 01y x y A x A =→=<<将sin y x =图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标缩短为原来的A 倍 ②()sin sin 1y x y A x A =→=>将sin y x =图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 A 倍 【特别提醒】 由y =sin x 的图象变换出y =Asin(x ω+?)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y =sin x 的图象向左(?>0)或向右(0?<)平移|?|个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω>0),便得y =sin(ωx +?)的图象 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y =sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω>0),再沿x 轴向左(?>0)或向()0?<右平 移ω ?| |个单位,便得y =sin(x ω+?)的图象 【特别提醒】若由sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象,则向左或向右平移应平移| |?ω 个单位 函数图象的几何变换教案 【教学目标】1.让学生熟练掌握各种图象变换,能迅速作出给定的函数图象; 2.让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论; 3.培养学生主动运用数形结合方法解题的意识. 【教学重点】函数图象的几何变换 【教学难点】1.各种图象变换之间的区别及灵活应用; 2.运用数形结合方法解题. 【例题设置】例1(平移易错点剖析),例2、4(函数作图),例3(找中心),例5(图 象法解不等式) 【教学过程】 第一课时 一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象. ⑴ 正比例函数 kx y =,)0,(≠∈k R k ⑵ 反比例函数 k y = , )0,(≠∈k R k ☆ 其图象是以原点为中心,以直线y x =和y x =-为对称轴的双曲线. ⑶ 一次函数 b kx y +=,)0,(≠∈k R k ⑷ 一元二次函数 )0(2 ≠++=a c bx ax y ⑸ 指数函数 ,0x y a a =>且1≠a (特征线:1=x ) ⑹ 对数函数 0, log >=a x y a 且1≠a (特征线:1=y ) ⑺ 正弦函数 R x x y ∈=,sin ,周期π2=T ⑻ 余弦函数 x y cos =,R x ∈,周期π2=T ⑼ 正切函数 ),2 (,tan Z k k x x y ∈+ ≠=π π 周期π=T ☆一个小结论:在区间)2 , 0(π 上恒有x x x sin tan >>(证明文科留至《三角函数》一节三角函数的图象
三角函数图像变换小结(修订版)
函数图象的几何变换教案