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第10讲函数图像及其变换(教案)

函数图像与变换

教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）.

教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。教学过程：

一.知识要点：

1.常见函数图像及其性质：（1）平移变换：

①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象横向平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象纵向平移b 个单位，(上+下—)

③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换：

①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.

②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴对称.

③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.

④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称.

⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称.

若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.

若函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=对称()()f a mx f b mx ?+=-

()()f a b mx f mx ?+-=

（3）翻折变换主要有

①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.

②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习：

1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)，则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A )

A.y ＝f (x －1)－1

B.y ＝f (x ＋1)－1

C.y ＝f (x －1)＋1

D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x )

解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称.

图2—3

3.设函数y=2x的图象为C，某函数的图象C′与C关于直线x=2对称，那么这个函数是y=24－x

解∵y=f(x)

的图象与y

(4－x)的图象关于直线x=2对称，设f(x)=2x,则f(4－x)=24－x

4.设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x－1)=f(1－x),那么f(x)的图象有对称轴直线x=0 解：设x－1=t,则f(t)=f(－t)，函数为偶函数，关于y轴对称.

5.函数y=

的图象关于点(1，－1)_对称.

解：y=

=－1＋

,y=

的图象是由y=

的图象先右移1个单位，再下移1个单位

而得到，故对称点为(1，－1).

三.例题精讲：

例1.(1)函数y=|

xa x

(0＜a＜1)的图象的大致形状是（ D ）

(2).（2009·郑州模拟）定义运算,

)

(

)

(

≤

a则函数f(x)=x

1?的图象是 ( A )

(3).已知函数y=f(x)的图象如图①所示，y=g(x)的图象如图②所示，则函数y=f(x)·g(x)

的图象可能是图中的（ C ）

例2. 作出下列函数的图象.

（1）.f(x)＝x2－2|x|＋1 （2）f(x)＝x2－2|x|＋1（3）f(x)＝|x2－1|（4）f(x)＝x2＋2x＋1

（5）y=

x;（6）y=)

(|x|.（7）（2）y=|log

（1-x）|； (8)y=

1(lgx+|lgx|);

例3.（1）定义在R上的函数y=f(x)、y=f(－x)、y=－f(x)、y=－f(－x)的图象重合，它们

的值域为__{0}.

【解析】函数y=f(x)与y=f(－x)的图象重合，说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称；y=f(x)

与y=－f(x)图象重合，说明y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=－f(－x)的图象重合，

说明y=f(x)的图象关于原点对称.即若y=f(x)上任一点(x,y),则也有点(－x,y)、(x,－y)、(－x,－y);根据函数的定义，对于任一x∈R,只能有惟一的y与之对应，从而y=－y,即y=0，

故函数的值域为{0}.

（2）已知函数f(x)定义域为R，则下列命题中

①y=f(x)为偶函数，则y=f(x＋2)的图象关于y轴对称.

②y=f(x＋2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.

③若f(x－2)=f(2－x),则y=f(x)关于直线x=2对称.

④y=f(x—2)和y=f(2－x)的图象关于x=2对称.

其中正确命题序号有_②④_(填上所有正确命题序号).

【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，

则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.

②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称. ③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.

④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位，分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 例4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f(x)=x 3

. (1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式. 【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),

则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)∴(x 1,y 1)也在y =f (x )的图象上，命题成立.

(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3

－1

∴f (x )=?????≤<-≤≤-)

53(,)4()

31(,)2(3

x x x x 例5.设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).

（1）证明：f(x)是偶函数；（2）画出函数的图象；（3）指出函数f(x)的单调区间；（4）求函数的值域. （1）证明 f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x 2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. （2）解当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,

当x ＜0时，f(x)=x 2

+2x-1=(x+1)2

-2,

即

f(x)=,)

03(2

)1()

30(2

)1(2

2???<≤--+≤≤--x x x x

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示. （3）解函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］. f （x ）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数.

（4）解当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2

-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2; 当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.

例6.作函数y ＝x ＋ 1x 的图象. 扩展：y ＝a x ＋ b

（a ＞0，b ＞0）的图像.

例7.（1）已知函数y=f(x)的定义域为R ，且当x ∈R 时f(m+x)=f(m-x)恒成立. 求证：y=f(x)的图象关于直线x=m 对称；

（2）若函数y=log 2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a 的值. （1）证明设P （x 0,y 0）是y=f(x)图象上任意一点，则y 0=f(x 0).

又设P 点关于x=m 的对称点为P ′，则P ′的坐标为（2m-x 0,y 0）.由已知f(m+x)=f(m-x), 得f(2m-x 0)=f ［m+(m-x 0)］=f ［m-(m-x 0)］

=f(x 0)=y 0.即),-(200y x m P '在y=f(x)图象上，

∴y=f （x ）的图象关于直线x=m 对称.

（2）解 ∵对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.

∴|a （2-x ）-1|=|a （2+x ）-1|恒成立，即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立.

又a ≠0,∴2a-1=0,得a=2

自我检测

1.（2008·全国Ⅱ理，3）函数f(x)=x

1-x 的图象关于坐标原点对称

2.作出下列函数的图象. （1）y=2-2x

；（2）y=1

2+-x x . （3）y ＝??

??x ＋1 x ≤112 （5－x ） 1＜x ≤3

4－x x ＞3

3.已知f(x)=[][],1,0,10,1,12

?∈+-∈+x x x x 则f(x-1)的图象是 4.若函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)的图象关于 y=x 对称，则函数g(x)= 2

x-3

5. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是（ A ）

6.设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y

1=0,则y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )

7.使log 2(-x)＜x+1成立的x 的取值范围是 .

答案（-1，0）

8.设f(x)是定义在R 上奇函数，在（0，2

1）上单调递减，且f(x)=f(-x-1).给出下列四个结论：①函数f(x)的图象关于直线x=2

1对称；②f(x)在(2

1,1)上单调递增；

③对任意的x ∈Z ，都有f(x)=0；④函数y=f )2

(x -π

的图象是中心对称图形，且对称中心为(

)0,2

.其中正确命题的序号是 .答案 ①②③④

9.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,则a 的取值范围为 .

答案 (1,2］

10.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_y __轴对称的图像，再向__右__平移3个单位而得到

11.函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有__2__个

12.如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_1

x =-__

高中数学第10讲函数图像及其变换(教案)新人教版必修1

函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）. 教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。教学过程：一.知识要点： 1.常见函数图像及其性质：（1）平移变换： ①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象横向平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象纵向平移b 个单位，(上+下—) ③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换： ①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴对称. ③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称. ④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称. ⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称. 若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称. 若函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-= （3）翻折变换主要有 ①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习： 1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)，则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A ) A.y ＝f (x －1)－1 B.y ＝f (x ＋1)－1 C.y ＝f (x －1)＋1 D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x ) 解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 图2—3

函数的图象教学设计教案设计

函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象教学设计教学目标 1．知识与技能（1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的实际意义；（2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象, 并借助图形计算器动态演示三角函数图象，研究参数?ω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．（3）考察参数A 、?、ω对()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的联系. 2．过程与方法（1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力. （2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系，提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力．（3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度、价值观（1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．（2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象以及参数?ω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象之间的变换关系. 教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变

高中函数的图像变换

函数图象变换一．平移变换（0,0>>k h ） 1．左右平移：“左+右-” （1）将函数()y f x =的图象，即可得()y f x h =+的图象；（2）将函数()y f x =的图象，即可得)(h x f y -=的图象； 2．上下平移：“上+下-” （1）将函数()y f x =的图象，即可得()y f x k =+的图象（2）将函数()y f x =的图象，即可得k x f y -=)(的图象例如：将函数x y 2log =的图象即可得)2(log 2+=x y 的图象将函数x y 2log =的图象即可得2log 2+=x y 的图象变式1：将函数x y 2log 2=的图象向右平移1个单位，得到函数________________的图象. 变式2：将函数x y 3=的图象__________________________得到函数23-=x y 的图象. 二．翻折变换 1．要得到函数|()|y f x =的图象，可将函数()y f x =的图象位于x 轴下方的关于x 轴对称翻折到 x 轴上方，其余部分不变（不保留x 轴下方的部分）. 2．要得到函数(||)y f x =的图象,先作出()y f x =)0(≥x 的图象，再利用偶函数关于y 轴对称，作出0>a A ） 1．将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，即可得)(x Af y = 的图象.（1>A 时伸长，10<a 时缩短，10<